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आँकड़ों की पर्याप्तता

तर्कशक्ति · तार्किक एवं विश्लेषणात्मक तर्क

5 भाग5 हल किए उदाहरण12 अभ्यास प्रश्न

सोचिए कि एक जासूस के पास दो सुराग़ हैं और उसे पूछा गया है: “चोर कौन है?” जासूस पहले यह नहीं देखता कि चोर कौन है; वह पहले देखता है कि क्या ये सुराग़ चोर का नाम तय करने के लिए काफ़ी हैं। पहला सुराग़ अकेला काफ़ी है? दूसरा अकेला? दोनों मिलकर? या दोनों मिलकर भी नहीं? यही आँकड़ों की पर्याप्तता का प्रश्न है।

प्रश्न में एक प्रश्न और दो कथन (Ⅰ और Ⅱ) दिए होते हैं। आपको प्रश्न हल करने की ज़रूरत नहीं; आपको पाँच विकल्पों में से बताना है कि कथनों से निश्चित उत्तर मिल सकता है या नहीं, और किस रूप में।

इस अध्याय के सारे प्रश्न बनाते समय हर उत्तर को कंप्यूटर से सभी संभावित स्थितियाँ आज़माकर जाँचा गया है — इसलिए हर समाधान में आप देखेंगे कि कथन से कौन-कौन से उत्तर संभव रह जाते हैं।

इस अध्याय को कैसे पढ़ें

  1. पढ़ें — पाँच स्थितियाँ, विधि और छह प्रकार के प्रश्न।
  2. हल किया उदाहरण देखें — हर कथन के बाद संभव उत्तरों की सूची खुली है।
  3. खुद करें — पहले कथन Ⅰ अकेला, फिर Ⅱ अकेला, फिर दोनों।
  4. स्तर पहचानें — आसान, मध्यम, कठिन।
ध्यान देंआपके सही किए प्रश्न इसी ब्राउज़र में सुरक्षित रहते हैं; दाईं ओर (फ़ोन पर ‘अनुक्रम’) प्रगति देखिए।
1

बुनियाद — पर्याप्त क्या है और जाँच कैसे करें

पाँच स्थितियाँ, तीन कदम

पर्याप्तता की परिभाषा, जाँच की विधि और पाँचों स्थितियों के एक-एक हल किए उदाहरण।

पर्याप्त का अर्थ और पाँच विकल्प

एक निश्चित उत्तर = पर्याप्त

पर्याप्त की परिभाषा (मान और हाँ/नहीं), और पाँचों मानक विकल्प।

कथन तब पर्याप्त है जब उससे प्रश्न का एक ही निश्चित उत्तर निकले। अगर प्रश्न किसी मान के बारे में है (“x क्या है?”), तो उत्तर एक ही संख्या होनी चाहिए। अगर प्रश्न हाँ/नहीं का है (“क्या x सम है?”), तो उत्तर हर स्थिति में ‘हाँ’ या हर स्थिति में ‘नहीं’ होना चाहिए। कभी ‘हाँ’ कभी ‘नहीं’ आए तो पर्याप्त नहीं।

विकल्पअर्थ
(क) केवल Ⅰ अकेला पर्याप्तⅠ से उत्तर निश्चित; Ⅱ से नहीं
(ख) केवल Ⅱ अकेला पर्याप्तⅡ से उत्तर निश्चित; Ⅰ से नहीं
(ग) दोनों में से कोई भी अकेलाⅠ से भी निश्चित और Ⅱ से भी
(घ) दोनों साथ चाहिएअकेले कोई नहीं, दोनों मिलकर निश्चित
(ङ) दोनों मिलकर भी नहींदोनों मिलाकर भी एक से अधिक उत्तर बचते हैं
याद रखें‘नहीं’ भी एक निश्चित उत्तर है। प्रश्न “क्या x > y?” में अगर कथन से हर हाल में x < y निकले, तो उत्तर ‘नहीं’ पक्का है और कथन पर्याप्त है — चाहे आपको x और y का मान पता न हो।
आसानपहले खुद करके देखें
प्रश्न: क्या x, y से बड़ा है? कथन Ⅰ: x − y = 3। कथन Ⅱ: y एक विषम संख्या है।
आसानपहले खुद करके देखें
प्रश्न: क्या x, y से बड़ा है? कथन Ⅰ: x × y = 39। कथन Ⅱ: x एक अभाज्य संख्या है।
आसानपहले खुद करके देखें
प्रश्न: एक सप्ताह सोमवार से रविवार तक माना जाए। वह कार्यक्रम किस दिन हुआ था? कथन Ⅰ: वह गुरुवार के बाद (उसी सप्ताह) था। कथन Ⅱ: वह मंगलवार और शनिवार के बीच था।

जाँच की तीन-कदम विधि

प्रश्न समझो → Ⅰ अकेला → Ⅱ अकेला → साथ

हर प्रश्न का एक ही क्रम, सत्य-तालिका और आम सावधानियाँ।

  1. प्रश्न समझिए — क्या पूछा है: कोई मान या हाँ/नहीं? किस चीज़ का?
  2. कथन Ⅰ को अकेला लीजिए (Ⅱ को भूल जाइए) — उससे कितने उत्तर संभव बचते हैं? एक → पर्याप्त।
  3. कथन Ⅱ को अकेला लीजिए (Ⅰ को भूल जाइए) — वही जाँच।
  4. अगर दोनों अकेले अपर्याप्त हैं, तब दोनों को मिलाइए — अब एक ही उत्तर बचता है?
Ⅰ अकेलाⅡ अकेलासाथउत्तर
पर्याप्तअपर्याप्त—(क)
अपर्याप्तपर्याप्त—(ख)
पर्याप्तपर्याप्त—(ग)
अपर्याप्तअपर्याप्तपर्याप्त(घ)
अपर्याप्तअपर्याप्तअपर्याप्त(ङ)

चार सावधानियाँ:

  • कथनों को अलग-अलग परखिए। Ⅰ जाँचते समय Ⅱ की जानकारी का उपयोग मत कीजिए — वरना (क)/(ख)/(ग) में गड़बड़ होगी।
  • उत्तर निकालने की ज़रूरत नहीं। बस देखिए कि एक निश्चित उत्तर निकलेगा या नहीं। समय बचता है।
  • बाहर की जानकारी नहीं। सिर्फ़ सामान्य ज्ञान (सप्ताह में सात दिन, आयु घटती नहीं) मान्य है।
  • ‘अपर्याप्त’ की जाँच उदाहरण से — दो अलग संभव स्थितियाँ दिखाइए जिनमें कथन सच है पर उत्तर अलग है।
ट्रिक‘दोनों साथ’ तभी चुनिए जब अकेला कोई कथन पर्याप्त न हो। अगर कोई एक अकेला काफ़ी है, तो दोनों जोड़ना अनावश्यक है — चाहे दोनों साथ भी काम करें।
आसानपहले खुद करके देखें
प्रश्न: एक सप्ताह सोमवार से रविवार तक माना जाए। क्या वह कार्यक्रम सप्ताहांत पर था? कथन Ⅰ: वह बुधवार और शनिवार के बीच था। कथन Ⅱ: वह सोमवार के बाद (उसी सप्ताह) था।
आसानपहले खुद करके देखें
प्रश्न: एक सप्ताह सोमवार से रविवार तक माना जाए। क्या वह कार्यक्रम सप्ताहांत पर था? कथन Ⅰ: वह सोमवार को नहीं था। कथन Ⅱ: उसके एक दिन पहले शुक्रवार था।
आसानपहले खुद करके देखें
प्रश्न: एक सप्ताह सोमवार से रविवार तक माना जाए। वह कार्यक्रम किस दिन हुआ था? कथन Ⅰ: वह बुधवार और रविवार के बीच था। कथन Ⅱ: वह शुक्रवार के बाद (उसी सप्ताह) था।
आसानपहले खुद करके देखें
प्रश्न: एक सप्ताह सोमवार से रविवार तक माना जाए। क्या वह कार्यक्रम सप्ताहांत पर था? कथन Ⅰ: वह रविवार से पहले (उसी सप्ताह) था। कथन Ⅱ: वह रविवार को नहीं था।

पाँचों स्थितियाँ — एक-एक उदाहरण

(क) (ख) (ग) (घ) (ङ) कैसे दिखते हैं

हर स्थिति का एक हल किया उदाहरण और उसके बाद अभ्यास।

नीचे पाँचों स्थितियों का एक-एक उदाहरण है। हर समाधान में देखिए कि कथन के बाद कौन-कौन से उत्तर संभव बचे। जहाँ एक ही बचता है, वहाँ कथन पर्याप्त है।

उदाहरण 1 · आसान
प्रश्न: क्या x एक सम संख्या है? कथन Ⅰ: x एक सम संख्या है। कथन Ⅱ: y एक विषम संख्या है।
हल, कदम-दर-कदम
  1. 1कथन Ⅰ अकेला: इससे एक ही उत्तर निकलता है: हाँ — पर्याप्त।
  2. 2कथन Ⅱ अकेला: इससे एक से अधिक उत्तर संभव हैं: नहीं (x = 1, y = 1), हाँ (x = 2, y = 1) — पर्याप्त नहीं।
उत्तर केवल कथन Ⅰ अकेला पर्याप्त है, कथन Ⅱ अकेला नहीं
(क): Ⅰ अकेला एक उत्तर देता है, Ⅱ नहीं।
उदाहरण 2 · आसान
प्रश्न: क्या x एक सम संख्या है? कथन Ⅰ: x, 3 का गुणज है। कथन Ⅱ: x एक सम संख्या है।
हल, कदम-दर-कदम
  1. 1कथन Ⅰ अकेला: इससे एक से अधिक उत्तर संभव हैं: नहीं (x = 3, y = 1), हाँ (x = 6, y = 1) — पर्याप्त नहीं।
  2. 2कथन Ⅱ अकेला: इससे एक ही उत्तर निकलता है: हाँ — पर्याप्त।
उत्तर केवल कथन Ⅱ अकेला पर्याप्त है, कथन Ⅰ अकेला नहीं
(ख): Ⅱ अकेला एक उत्तर देता है, Ⅰ नहीं।
उदाहरण 3 · मध्यम
प्रश्न: क्या x एक सम संख्या है? कथन Ⅰ: x × y = 32। कथन Ⅱ: x एक सम संख्या है।
हल, कदम-दर-कदम
  1. 1कथन Ⅰ अकेला: इससे एक ही उत्तर निकलता है: हाँ — पर्याप्त।
  2. 2कथन Ⅱ अकेला: इससे एक ही उत्तर निकलता है: हाँ — पर्याप्त।
उत्तर कथन Ⅰ और कथन Ⅱ में से कोई भी अकेला पर्याप्त है
(ग): दोनों अलग-अलग रास्तों से वही उत्तर देते हैं।
उदाहरण 4 · मध्यम
प्रश्न: y का मान क्या है? कथन Ⅰ: y एक सम संख्या है। कथन Ⅱ: y, 5 का गुणज है।
हल, कदम-दर-कदम
  1. 1कथन Ⅰ अकेला: इससे एक से अधिक उत्तर संभव हैं: 2 (x = 1, y = 2), 4 (x = 1, y = 4), 6 (x = 1, y = 6) … — पर्याप्त नहीं।
  2. 2कथन Ⅱ अकेला: इससे एक से अधिक उत्तर संभव हैं: 5 (x = 1, y = 5), 10 (x = 1, y = 10), 15 (x = 1, y = 15) — पर्याप्त नहीं।
  3. 3दोनों साथ: इससे एक ही उत्तर निकलता है: 10 — पर्याप्त।
उत्तर दोनों कथन साथ मिलकर पर्याप्त हैं, पर कोई अकेला नहीं
(घ): अकेले कोई नहीं, साथ मिलकर एक उत्तर।
उदाहरण 5 · मध्यम
प्रश्न: x का मान क्या है? कथन Ⅰ: y − x = 6। कथन Ⅱ: y, 4 का गुणज है।
हल, कदम-दर-कदम
  1. 1कथन Ⅰ अकेला: इससे एक से अधिक उत्तर संभव हैं: 1 (x = 1, y = 7), 2 (x = 2, y = 8), 3 (x = 3, y = 9) … — पर्याप्त नहीं।
  2. 2कथन Ⅱ अकेला: इससे एक से अधिक उत्तर संभव हैं: 1 (x = 1, y = 4), 2 (x = 2, y = 4), 3 (x = 3, y = 4) … — पर्याप्त नहीं।
  3. 3दोनों साथ: इससे एक से अधिक उत्तर संभव हैं: 2 (x = 2, y = 8), 6 (x = 6, y = 12) — पर्याप्त नहीं।
उत्तर दोनों कथन साथ मिलकर भी पर्याप्त नहीं हैं
(ङ): दोनों साथ भी कई उत्तर छोड़ते हैं।
ट्रिक(ग) सबसे कम आता है, पर सबसे आसानी से छूट जाता है: अगर आपने Ⅰ को पर्याप्त पाया, तो Ⅱ को भी अकेले ज़रूर जाँचिए — वह भी पर्याप्त हो सकता है।
मध्यमपहले खुद करके देखें
प्रश्न: एक सप्ताह सोमवार से रविवार तक माना जाए। क्या वह कार्यक्रम सप्ताहांत पर था? कथन Ⅰ: उसके एक दिन पहले मंगलवार था। कथन Ⅱ: वह सप्ताहांत (शनिवार या रविवार) को नहीं था।
मध्यमपहले खुद करके देखें
प्रश्न: क्या A की आयु B से अधिक है? कथन Ⅰ: 7 वर्ष पहले A की आयु B की आयु की 4 गुनी थी। कथन Ⅱ: A की आयु B से 21 वर्ष अधिक है।
मध्यमपहले खुद करके देखें
प्रश्न: एक सप्ताह सोमवार से रविवार तक माना जाए। वह कार्यक्रम किस दिन हुआ था? कथन Ⅰ: उसके एक दिन पहले गुरुवार था। कथन Ⅱ: वह सोमवार के बाद (उसी सप्ताह) था।
मध्यमपहले खुद करके देखें
प्रश्न: A की वर्तमान आयु कितनी है? कथन Ⅰ: दोनों की आयु का योग 61 वर्ष है। कथन Ⅱ: A की आयु B से 3 वर्ष अधिक है।
मध्यमपहले खुद करके देखें
प्रश्न: A की वर्तमान आयु कितनी है? कथन Ⅰ: A की आयु 23 वर्ष से कम है। कथन Ⅱ: B की आयु 7 वर्ष से अधिक है।
2

छह प्रकार के प्रश्न

संख्या, आयु, क्रम, दिशा, कूट, दिन

हर प्रकार की अपनी चाल और अभ्यास — सब उत्तर सभी संभावित स्थितियाँ आज़माकर जाँचे गए।

संख्याओं के प्रश्न

x और y — समीकरण और शर्तें

दो अज्ञात संख्याओं के प्रश्न: कितने स्वतंत्र समीकरण चाहिए, शर्तें क्या काम करती हैं, हाँ/नहीं में क्या सरल है।

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आयु के प्रश्न

अंतर, योग, अनुपात, ‘k वर्ष बाद/पहले’

आयु के कथनों का स्वभाव: अंतर, योग, गुणा-संबंध और काल-परिवर्तन।

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क्रम और तुलना के प्रश्न

सबसे लंबा कौन? दूसरे नंबर पर कौन?

चार व्यक्तियों के क्रम के प्रश्न: सीधी बातें, नकारात्मक कथन और कड़ियाँ जोड़ना।

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दिशा के प्रश्न

A से B, B से C — दोनों चरण चाहिए

दिशा-प्रश्नों में निर्देशांक बनाना और यह देखना कि कौन-सी कड़ी कथन में है।

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कूट-भाषा के प्रश्न

साझा शब्द पकड़िए, बाकी हटाइए

कूट-वाक्यों से किसी एक शब्द का अर्थ या कूट खोजना और कब यह संभव नहीं।

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दिन और सप्ताह के प्रश्न

बीच के दिन, ‘नहीं’ वाले दिन, सप्ताहांत

सप्ताह के दिनों की सूची काटने की विधि और हाँ/नहीं में ‘सब एक ही वर्ग में’ की कसौटी।

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3

हल करने की रणनीति

हर प्रश्न का एक ही क्रम और बचने वाले जाल

प्रश्न के प्रकार से चाल चुनना और आम गलतियाँ।

प्रकार के अनुसार चाल

प्रश्न देखकर पहला कदम तय कीजिए

हर प्रकार में क्या अकेला पर्याप्त होता है और क्या नहीं।

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आम जाल और समय बचाने के तरीके

जो गलतियाँ बार-बार होती हैं

आँकड़ों की पर्याप्तता में अंक गँवाने की वजहें।

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4

मिश्रित अभ्यास

सारे प्रकार मिलाकर

छहों प्रकार के प्रश्न तीन स्तरों में।

आसान अभ्यास

एक कथन साफ़ पर्याप्त या अपर्याप्त

सरल संख्या, आयु, क्रम, कूट और दिन के प्रश्न।

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मध्यम अभ्यास

दोनों साथ, या कोई भी अकेला

(ग) और (घ) वाले प्रश्न तथा नकारात्मक जानकारी।

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कठिन अभ्यास

सूक्ष्म भेद: (घ) बनाम (ङ), हाँ/नहीं की चालाकियाँ

दोनों साथ भी पर्याप्त हैं या नहीं — इस पर टिके प्रश्न।

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5

दोहराव — कार्ड

पलटिए और खुद से पूछिए

हर कार्ड पर पहले खुद उत्तर सोचिए, फिर पलटिए।

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