गणितीय संक्रियाएँ और संकेत

जब एक व्यंजक में कई चिह्न हों तो किसे पहले करें, बराबर श्रेणी के चिह्नों का दाएँ-बाएँ नियम और आम गलतियाँ।

अगर कहा जाए “2 + 3 × 4 = ?” तो कोई 20 कहता है (पहले जोड़ा), कोई 14 (पहले गुणा किया)। गणित में सबको एक ही उत्तर देने के लिए क्रम तय है, जिसे BODMAS कहते हैं:

याद रखने की सीढ़ी: कोष्ठक → भाग-गुणा → जोड़-घटाव। भाग और गुणा एक ही श्रेणी के हैं और जोड़-घटाव एक ही श्रेणी के। एक ही श्रेणी के चिह्न हों तो बाएँ से दाएँ चलिए: 20 − 8 + 3 में पहले 20 − 8 = 12, फिर 12 + 3 = 15 (न कि 20 − 11 = 9)। इसी तरह 36 ÷ 6 × 2 = 6 × 2 = 12 (न कि 36 ÷ 12 = 3)।

हल करने का तरीका: हर बार एक कार्य कीजिए और पूरा व्यंजक फिर से लिखिए। एक साथ कई कार्य करने से गलती होती है। नीचे का हल देखिए:

कोष्ठक में पहले भीतर वाला कोष्ठक खोलिए। (8 − (3 + 2)) × 4 में पहले 3 + 2 = 5, फिर 8 − 5 = 3, अंत में 3 × 4 = 12। कोष्ठक के सामने का ऋण चिह्न पूरे कोष्ठक के मान को घटाता है, उसके पहले अंक को नहीं।

पाँच तुलना-संकेत, “कम नहीं / ज़्यादा नहीं” जैसे वाक्यांश, और दो संकेत मिलकर क्या निष्कर्ष देते हैं — पूरी तालिका।

दो बातें सोचकर रखिए: (1) ‘या बराबर’ वाले संकेत (≥ और ≤) कमज़ोर हैं — वे बराबर होने की गुंजाइश छोड़ते हैं, इसलिए उनसे “निश्चित बड़ा” नहीं निकलता। (2) “नहीं” वाले वाक्यांश उलटे अर्थ का काम करते हैं: “बड़ा नहीं” का मतलब ≤।

दो संकेतों का मेल

अगर X और Y का संबंध पता है, और Y और Z का भी, तो X और Z के बारे में क्या निश्चित कहा जा सकता है? नीचे की तालिका सभी 25 मेलों को दिखाती है। (इसे हर संभव क्रम को जाँचकर बनाया गया है।)

• एक ही दिशा (> और >, या < और <): निष्कर्ष उसी दिशा में निकलता है।
• बड़ा + ‘या बराबर’: निष्कर्ष कमज़ोर हो जाता है — > और ≥ मिलकर > देते हैं (एक पक्का बड़ा काफ़ी है), पर ≥ और ≥ मिलकर केवल ≥।
• विपरीत दिशाएँ (> और <, ≥ और ≤): कुछ भी निश्चित नहीं — X और Z का कोई भी संबंध हो सकता है। ‘—’ वाले खानों पर यही होता है।
• बराबर (=) किसी भी संकेत को बदलता नहीं, बस उसे आगे बढ़ा देता है।

चिह्नों के नए अर्थ रखने का तरीका, दो चिह्नों की अदला-बदली और चारों के घूम जाने की स्थिति, और बचने की गलतियाँ।

अक्षरों वाले प्रश्न: हर अक्षर के लिए चिह्न लिखकर व्यंजक बनाना और हल करना।

हर विकल्प को बदले हुए अर्थ से जाँचना, और रिक्त स्थानों में चिह्न रखने की “जाँचकर देखो” विधि।

अदला-बदली के बाद हर विकल्प को हल करके जाँचना; संख्याओं की अदला-बदली में हर जगह की संख्या बदलना।

उलटा प्रश्न: समीकरण गलत है और आपको वह अदला-बदली खोजनी है जो उसे सही कर दे — सभी छह जोड़ियों की जाँच।

नियम खोजने का क्रम, आम नियमों की सूची और जाँचकर पक्का करना।

जब संख्याएँ दो अंकों की हों, तो नियम अक्सर अंकों पर चलता है: अंकों का योग, गुणनफल, अंतर या दसवें-इकाई अंकों का मेल।

तीन तरह के निष्कर्ष — पक्का सही, पक्का गलत, और “हो भी सकता है”; और एक ही दिशा की कड़ी बनाना।

पाँचों विकल्पों का अर्थ, “या तो I या II” का नियम और अभ्यास।

परीक्षा का असली रूप: संकेतों की तालिका के साथ कथन और निष्कर्ष। खोलने का क्रम और अभ्यास।

हर प्रकार का पहला संकेत, और उसका पहला कदम।

इस अध्याय में अंक गँवाने की सबसे आम वजहें और उनसे बचाव।

BODMAS, दो चिह्नों की अदला-बदली, सरल नियम और सीधे निष्कर्ष।

हर प्रकार का मध्यम स्तर।

लंबे व्यंजक, दोनों प्रकार की अदला-बदली, अंकों वाले नियम और पाँच अक्षरों वाले संकेत-प्रश्न।