घन और पासे

घन की बनावट और फलकों के रिश्ते — आसन्न और विपरीत।

हर फलक के चार पड़ोसी फलक होते हैं (जो उसके चारों किनारे साझा करते हैं) और एक फलक सामने होता है जो उसे कभी नहीं छूता। इसलिए कोई भी दो फलक या तो पड़ोसी हैं या आमने-सामने — तीसरा कोई रिश्ता नहीं।

• घन के एक कोने पर तीन फलक मिलते हैं और तीनों आपस में पड़ोसी हैं।
• इसलिए एक बार में अधिकतम तीन फलक दिख सकते हैं, और दिखने वाले तीनों कभी आमने-सामने के नहीं होते।
• छिपे हुए तीन फलक दिखने वाले तीन फलकों के ठीक सामने वाले होते हैं।

जाली क्या है, घन की ग्यारह जालियाँ, और कोई आकृति जाली है या नहीं यह जाँचने के नियम।

घन के छहों फलकों को कैंची से इस तरह काटकर एक समतल पर फैला दें कि वे किनारों से जुड़े रहें — तो जाली (नेट) बनती है। छह वर्ग जोड़कर बनी सारी आकृतियाँ 35 हैं, पर इनमें से सिर्फ़ 11 जालियाँ मुड़कर घन बनाती हैं (घुमाने और पलटने पर एक ही गिनी गईं)।

ऊपर की ग्यारह जालियाँ: एक पंक्ति में चार वर्ग वाली (बाकी दो वर्ग ऊपर-नीचे, छह तरह) · दो-तीन-एक वाली (तीन तरह) · दो-दो-दो वाली सीढ़ी (एक) · तीन-तीन वाली (एक)। इन्हें पूरा याद रखने की ज़रूरत नहीं; नीचे के तीन नियम काफ़ी हैं:

1. चार वर्गों का वर्गाकार खंड नहीं — चार वर्ग मिलकर $2\times 2$ बना लें तो वह घन नहीं बना सकती (घन के कोने पर तीन फलक मिलते हैं, चार नहीं)।
2. एक पंक्ति में पाँच नहीं — पाँच वर्ग एक सीध में हों तो पाँचवाँ वर्ग पहले पर चढ़ जाएगा।
3. चार की पंक्ति हो तो बाकी दो वर्ग पंक्ति के दोनों ओर (एक ऊपर, एक नीचे) होने चाहिए; दोनों एक ही ओर हों तो एक ही फलक पर आ जाते हैं।

जाली देखकर बिना मोड़े आमने-सामने के फलक पहचानने के नियम।

जाली के वर्ग मोड़ने पर घन के फलक बनते हैं। जो दो वर्ग जाली में एक किनारा साझा करते हैं वे मोड़ने पर भी पड़ोसी रहते हैं, पर जो वर्ग जाली में दूर हैं उनमें से कुछ आमने-सामने आते हैं। पहचानने के दो तरीके:

1. एक छोड़कर वाला नियम — जाली में एक सीधी रेखा में तीन वर्ग हों (या चार की पंक्ति) तो पहला और तीसरा वर्ग आमने-सामने होते हैं; चार की पंक्ति में पहला-तीसरा और दूसरा-चौथा।
2. पड़ोसी हटाओ — जिस फलक का सामने वाला खोजना है उसके चारों पड़ोसी (जाली में उसके साथ या घुमाव के बाद उससे जुड़ने वाले) गिनिए; पाँच अक्षरों में से बचा हुआ अक्षर ही उसका सामने वाला है।

जाली पर अक्षर लिखे हों तो चार घनों में से सही घन चुनना।

जाली के फलकों पर अक्षर लिखे हों और पूछा जाए कि मोड़ने पर कौन-सा घन बनेगा, तो दो जाँचें काफ़ी हैं:

1. विपरीत जोड़ी — जाली से निकालिए कि कौन-से दो अक्षर आमने-सामने हैं। जिस घन के चित्र में ये दोनों एक साथ दिखें वह गलत।
2. क्रम की जाँच — एक कोने के तीन अक्षर अगर गलत क्रम में लिखे हों (दर्पण-प्रतिबिंब), तो वह घन भी नहीं बन सकता, भले अक्षर सही हों। क्रम जाँचने के लिए जाली में तीन अक्षरों वाला कोना खोजिए और देखिए वे घड़ी की दिशा में किस क्रम में मिलते हैं।

सामान्य पासे के नियम और छिपे हुए फलकों की संख्याएँ।

साझा संख्या और पड़ोसियों की सूची से सामने की संख्या निकालना।

एक सामान्य पासे को कई बार पलटकर अंत में ऊपर या नीचे की संख्या।

$n\times n\times n$ घन के छोटे घनों के चार वर्ग और उनके सूत्र; घनाभ के लिए वही।

जब केवल कुछ फलक रंगे हों तब चारों वर्गों की गिनती कैसे बदलती है।

घन को काटने के कट और टुकड़ों का हिसाब।

प्रश्न का प्रकार देखकर कौन-सा औज़ार उठाएँ।

घन और पासे में अंक गँवाने की आम वजहें।

सरल जालियाँ, सामान्य पासा और छोटे घन।

जाली से घन, तीन स्थितियाँ, लुढ़काना और कुछ रंगे फलक।

कठिन जालियाँ, तीन स्थितियाँ, पाँच बार लुढ़काना और बड़े रंगे घन।