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संख्या श्रेणी

तर्कशक्ति · शाब्दिक तर्क

9 भाग1 हल किए उदाहरण3 अभ्यास प्रश्न

2, 5, 8, 11, 14, … अगली संख्या क्या होगी? आप तुरंत कहेंगे 17, क्योंकि हर बार 3 जुड़ रहा है। यही संख्या श्रेणी (number series) है: संख्याओं की एक पंक्ति जो किसी नियम से बनी है, और आपका काम है उस नियम को पकड़ना। नियम पकड़ते ही अगला पद, बीच का छूटा पद या गलत पद सब निकल आता है।

परीक्षा में नियम बताया नहीं जाता, इसलिए नियम पकड़ने का एक पक्का तरीका चाहिए। इस अध्याय का तरीका बहुत सीधा है: हमेशा पहले पास-पास के पदों का अंतर (और अनुपात) निकालिए, फिर देखिए कि वह खुद किस तरह बदलता है। इसी से सारे नियम खुलते हैं — बराबर अंतर, बढ़ता अंतर, गुणा, वर्ग, घन, अभाज्य, बारी-बारी के नियम।

प्रश्न का रूपक्या पूछा जाता हैभाग
अगला पद3, 7, 13, 21, 31, ?सारे भाग
लुप्त पद2, 6, ?, 54, 162सारे भाग
गलत पद5, 10, 17, 26, 33, 50 (एक पद गलत)गलत पद वाला भाग

इस अध्याय को कैसे पढ़ें

  1. पढ़ें — हर भाग पहले एक नियम समझाता है, फिर उसे पहचानने की पहचान बताता है।
  2. हल किया उदाहरण देखें — ‘उदाहरण’ वाले डिब्बों में पूरा हल कदम-दर-कदम खुला है।
  3. खुद करें — ‘पहले खुद करके देखें’ वाले प्रश्नों में हल छिपा है। पहले कॉपी पर अंतर निकालिए, फिर विकल्प चुनिए।
  4. स्तर पहचानें — हर प्रश्न पर आसान, मध्यम या कठिन लिखा है।
ध्यान देंआपके सही किए हुए प्रश्न इसी ब्राउज़र में सुरक्षित रहते हैं। दाईं ओर (फ़ोन पर ‘अनुक्रम’ बटन में) देखिए कि कितने प्रश्न सही हुए।
1

बुनियाद — श्रेणी, पद और नियम

अंतर निकालो → अंतर का व्यवहार देखो → नियम जाँचो

श्रेणी की शब्दावली, नियम खोजने की चार कदम की विधि और वे सूचियाँ जो पहचान तेज़ करती हैं।

श्रेणी और नियम खोजने की विधि

चार कदम जो हर श्रेणी पर चलते हैं

पद, अंतर, अनुपात की शब्दावली, नियम खोजने के चार कदम और नियमों के आठ परिवार।

श्रेणी की हर संख्या को पद (term) कहते हैं। दो पास-पास के पदों का अंतर (gap) = अगला पद − पिछला पद। अनुपात (ratio) = अगला पद ÷ पिछला पद। 3, 7, 11, 15 में अंतर 4, 4, 4 है; 3, 6, 12, 24 में अनुपात 2, 2, 2 है।

नियम खोजने के चार कदम
1. पास-पास के पदों का अंतर निकालिए2. अंतर बराबर? तो नियम मिल गया; नहीं तो अंतरों का अंतर या अनुपात देखिए3. नियम को सारे पदों पर जाँचिए4. नियम अगले कदम पर लगाइए
परिवारपहचानउदाहरण
बराबर अंतरअंतर हर बार एक-सा4, 9, 14, 19, 24
बदलता अंतरअंतर खुद किसी नियम पर चलते हैं3, 4, 6, 9, 13 (+1, +2, +3, +4)
गुणा / भागअनुपात एक-सा2, 6, 18, 54
गुणा और जोड़अनुपात लगभग एक-सा2, 5, 11, 23 (×2 + 1)
वर्ग, घनपद जाने-पहचाने वर्ग / घन के पास5, 10, 17, 26 (n² + 1)
अभाज्य और जानी-पहचानी सूचियाँपद या अंतर अभाज्य, 2 की घात, फ़िबोनाची2, 3, 5, 7, 11
बारी-बारीपद ऊपर-नीचे चलें, या दो श्रेणियाँ मिली हों5, 20, 8, 17, 11, 14
जोड़ वालेहर पद = पिछले दो का योग2, 3, 5, 8, 13
सावधानएक अंतर देखकर रुकिए मत। पहले अंतर के बराबर होने पर भी हो सकता है कि दूसरा पद अलग नियम का हो। हमेशा कम से कम चार-पाँच पद पर नियम जाँचिए, और अगला पद निकालने के बाद वही नियम पिछले पदों पर दोबारा चलाकर देखिए।
उदाहरण 1 · आसान
श्रेणी का अगला पद ज्ञात कीजिए: 32, 39, 46, 53, 60, ?
हल, कदम-दर-कदम
  1. 1पास-पास के पदों के बीच का संबंध लिखिए: 32 →(+7) 39 →(+7) 46 →(+7) 53 →(+7) 60 →(+7)।
  2. 2नियम: हर पद में हर बार +7 जुड़ता है (समान अंतर)।
  3. 3यही नियम अगले कदम पर: 60 → 67।
उत्तर 67
अंतर बराबर निकलें तो नियम मिल गया।
आसानपहले खुद करके देखें
श्रेणी का अगला पद ज्ञात कीजिए: 29, 37, 45, 53, 61, ?
आसानपहले खुद करके देखें
श्रेणी में लुप्त पद ज्ञात कीजिए: 58, 52, ?, 40, 34, 28

जो सूचियाँ पहचान तेज़ करती हैं

वर्ग, घन, अभाज्य, 2 की घात, फ़िबोनाची

श्रेणी-प्रश्नों में सबसे ज़्यादा काम आने वाली संख्याओं की सूचियाँ और उन्हें याद रखने के सहारे।

जब कोई पद 49, 64, 125 या 343 जैसा लगे, तो चौंकिए मत — वे वर्ग-घन हैं। नीचे की सूचियाँ पूरे अध्याय में आपके काम आएँगी। इन्हें एक बार ध्यान से पढ़ लीजिए और बाद में कभी-कभी बिना देखे लिखकर जाँचिए।

संख्या nn²n³
111
248
3927
41664
525125
636216
749343
864512
981729
101001000
111211331
121441728
131692197
141962744
152253375
सूचीपद
अभाज्य संख्याएँ2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71 …
2 की घातें1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024
3 की घातें1, 3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187
क्रमगुणित (n!)1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040
फ़िबोनाची (हर पद = पिछले दो का योग)1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144
त्रिभुजाकार (1, 1+2, 1+2+3 …)1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78
अभाज्य संख्याओं के वर्ग4, 9, 25, 49, 121, 169, 289, 361
ट्रिकअगर कोई पद किसी वर्ग या घन से 1 या 2 ऊपर-नीचे हो (जैसे 50 = 49 + 1, 63 = 64 − 1, 126 = 125 + 1), तो नियम लगभग निश्चित रूप से “वर्ग / घन ± छोटी संख्या” है।
आसानपहले खुद करके देखें
श्रेणी में लुप्त पद ज्ञात कीजिए: 22, 26, ?, 34, 38, 42
2

जोड़ने-घटाने वाले नियम

अंतर बराबर, अंतर बदलता, अंतर विशेष संख्याएँ

वे श्रेणियाँ जिनमें हर कदम पर कोई संख्या जुड़ती या घटती है — और जुड़ने वाली संख्या स्थिर हो, नियम से बदलती हो या वर्ग, घन या अभाज्य हो।

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बराबर अंतर

हर बार वही संख्या जुड़े या घटे

समान अंतर वाली श्रेणी, उसे पहचानना और बढ़ती-घटती श्रेणी में अगला या लुप्त पद निकालना।

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बदलता अंतर — अंतरों का भी अंतर

+1, +2, +3 … या लगातार विषम / सम संख्याएँ

जब अंतर बराबर न हों पर खुद एक बराबर मात्रा से बढ़ें या घटें; लगातार विषम और सम संख्याओं का जुड़ना।

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जुड़ने वाली संख्याएँ विशेष हों

अभाज्य, वर्ग, घन और दुगुने होते अंतर

अंतर जब क्रमागत अभाज्य संख्याएँ, प्राकृत संख्याओं के वर्ग या घन, या हर बार दुगुने-तिगुने हों।

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3

गुणा और भाग वाले नियम

×k, ÷k, ×k ± c और बढ़ते गुणक

वे श्रेणियाँ जिनमें पद तेज़ी से बढ़ते या घटते हैं क्योंकि हर कदम पर गुणा या भाग हो रहा है, कभी साथ में जोड़-घटाव के साथ।

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हर बार वही गुणक (या भाजक)

2, 6, 18, 54 … और 1296, 648, 216 …

गुणोत्तर श्रेणी: अनुपात निकालना, बढ़ती-घटती श्रेणी में अगला या लुप्त पद निकालना।

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गुणा और फिर जोड़ना / घटाना

हर पद = पिछला × k ± c

जब अनुपात लगभग बराबर हो पर ठीक न हो: गुणक k और स्थिर संख्या c को पहले दो अंतरालों से निकालना।

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बढ़ता गुणक और बढ़ता जोड़

×1 + 1, ×2 + 2, ×3 + 3 … और ×k + 1, ×k + 2 …

जब हर कदम पर गुणक या जोड़ने वाली संख्या 1-1 बढ़ती जाए।

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4

वर्ग, घन, अभाज्य और घातें

जब पद खुद जानी-पहचानी सूची के पास हों

वे श्रेणियाँ जिनके पद सीधे वर्ग, घन, अभाज्य संख्या या 2 की घात (कभी ±1, ±2 के साथ) हों।

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वर्ग, घन और संख्या × अगली संख्या

n², n² ± c, n³ ± c, n(n + 1)

क्रमागत वर्ग-घन में छोटी संख्या जोड़ने-घटाने वाली श्रेणियाँ और दो क्रमागत संख्याओं के गुणनफल वाली श्रेणियाँ।

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अभाज्य संख्याएँ और 2 की घात

2, 3, 5, 7 … ; अभाज्य ± c ; अभाज्य के वर्ग ; 2ⁿ ± c

जब पद क्रमागत अभाज्य संख्याएँ हों (कभी ±1, ±2), अभाज्य संख्याओं के वर्ग हों, या 2 की क्रमागत घात (कभी ±1, ±2) हों।

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5

बारी-बारी और जोड़ वाले नियम

दो श्रेणियाँ मिली हुई, दो क्रियाएँ बारी-बारी, पिछले दो का योग

वे श्रेणियाँ जो एक सीधी रेखा में नहीं चलतीं: पद ऊपर-नीचे होते हैं, या हर पद पिछले दो पदों पर निर्भर है।

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दो श्रेणियाँ एक में मिली

1ला, 3रा, 5वाँ … एक श्रेणी और 2रा, 4था, 6ठा … दूसरी

पदों को स्थान के अनुसार दो टोलियों में बाँटकर हर टोली का अलग नियम खोजना।

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दो क्रियाएँ बारी-बारी से

+4, ×2, +4, ×2 … या ×3, −2, ×3, −2 …

जब एक कदम पर एक क्रिया और अगले कदम पर दूसरी क्रिया लगे और यही क्रम दोहराए।

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पिछले दो पदों का योग

फ़िबोनाची और उसके रूप

जब हर पद पिछले दो पदों के योग (कभी ± एक छोटी संख्या) से बने।

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6

गलत पद ढूँढना

एक पद नियम से बाहर है — कौन-सा?

सात-आठ पदों की श्रेणी में एक पद गलत है; बाकी पदों से नियम खोजकर उस पद को पकड़ना।

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गलत पद पकड़ने की विधि

अंतर / अनुपात की पंक्ति में “अटकता” पद

अंतरों की पंक्ति में गड़बड़ी खोजना, गलत पद की जगह सही संख्या निकालना और पुष्टि करना।

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7

हल करने की रणनीति

जाँच का क्रम, आम जाल और समय बचाना

किसी भी श्रेणी पर चलने वाला जाँच-क्रम, पहचान की तालिका और बचने की गलतियाँ।

जाँच का क्रम

क्या देखकर क्या सोचें

पदों की चाल देखकर नियम का अंदाज़ा लगाने की तालिका।

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आम जाल और समय बचाने के तरीके

जो गलतियाँ बार-बार होती हैं

श्रेणी-प्रश्नों में अंक गँवाने के आम कारण और उनसे बचाव।

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8

मिश्रित अभ्यास

सारे नियम मिलाकर — पहले नियम पहचानिए, फिर हल कीजिए

अगला पद, लुप्त पद और गलत पद, तीन स्तरों में।

आसान अभ्यास

एक नियम, एक कदम

बराबर अंतर, बदलता अंतर, सीधा गुणा और सरल वर्ग-श्रेणियाँ।

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मध्यम अभ्यास

विशेष अंतर, गुणा-और-जोड़, अभाज्य, बारी-बारी

अभाज्य और वर्ग के अंतर, ×k ± c, पद-सूचियाँ, दो श्रेणियाँ, दो क्रियाएँ और फ़िबोनाची।

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कठिन अभ्यास

घन-वाले अंतर, बढ़ते गुणक, दो श्रेणियाँ, लंबी गलत-पद श्रेणियाँ

सात पदों वाली कठिन श्रेणियाँ और आठ पदों में गलत पद, जहाँ कई संभावित नियम एक साथ दिखते हैं।

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9

दोहराव — कार्ड

पलटिए और खुद से पूछिए

हर कार्ड पर पहले खुद उत्तर सोचिए, फिर पलटिए।

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