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लुप्त पद ज्ञात करना

तर्कशक्ति · शाब्दिक तर्क

6 भाग2 हल किए उदाहरण12 अभ्यास प्रश्न

इस अध्याय के प्रश्नों में एक आकृति दी होती है — संख्याओं का जाल, त्रिभुज, वृत्त या जोड़ियों की पंक्ति — और उसमें एक जगह ‘?’ है। आपको वह संख्या (या अक्षर) बतानी है जो ‘?’ की जगह आएगी।

हर आकृति में एक छिपा नियम है जो सभी हिस्सों में एक जैसा चलता है। जो हिस्से पूरे दिए हैं, वे आपके सबूत हैं: उन पर नियम खोजिए, जाँचिए, और फिर अधूरे हिस्से पर लगाइए। यह अध्याय सिखाता है कि नियम खोजने का क्रम क्या हो और कौन-से नियम बार-बार आते हैं।

अगर गणित में आप कमज़ोर महसूस करते हैं तो चिंता मत कीजिए: हम वर्ग और घन की सारणी से शुरू करेंगे, हर नियम को पूरी जाँच के साथ दिखाएँगे और हर प्रश्न का पूरा हल देंगे।

इस अध्याय को कैसे पढ़ें

  1. पढ़ें — पहले विचार, फिर विधि।
  2. हल किया उदाहरण देखें — आकृति के ठीक नीचे ‘उदाहरण’ में पूरा हल खुला है।
  3. खुद करें — आकृति देखकर कॉपी पर नियम खोजिए, फिर विकल्प चुनिए। अटकें तो संकेत लीजिए; हल अंत में खोलिए।
  4. स्तर पहचानें — हर प्रश्न आसान, मध्यम या कठिन चिह्नित है।
ध्यान देंहर प्रश्न की आकृति उसी के ठीक ऊपर दी गई है। आपके सही किए प्रश्न इसी ब्राउज़र में सुरक्षित रहते हैं।
1

बुनियाद — नियम खोजने की विधि

सबूत, परीक्षण, जाँच, प्रयोग

पूरे हिस्सों से नियम खोजने की विधि, वर्ग-घन की सारणी और संख्या-जोड़ियों का नियम।

नियम खोजने की चार कदम की विधि

पूरे हिस्से देखो → परखो → जाँचो → अधूरे पर लगाओ

हर आकृति के लिए एक जैसी विधि, परखने के सामान्य नियमों की सूची और वर्ग-घन की सारणी।

आकृति कैसी भी हो, चार कदम वही रहते हैं:

चार कदम
1. पूरे हिस्से चुनो (जिनमें ‘?’ नहीं)2. आसान नियम परखो: जोड़, घटाव, गुणा3. जो नियम बैठे, सभी पूरे हिस्सों पर जाँचो4. अधूरे हिस्से पर लगाओ

कदम 3 सबसे ज़रूरी है। कोई नियम एक पंक्ति पर बैठ जाए तो भी वह सही हो, यह ज़रूरी नहीं — सारे पूरे हिस्सों पर बैठना ही उसे नियम बनाता है।

परखने के नियमों की सूची (इसी क्रम में आज़माइए)

क्रमनियमकब सूझे
1जोड़ना, घटानापरिणाम पास की संख्याओं से थोड़ा बड़ा/छोटा
2गुणापरिणाम काफ़ी बड़ा
3किसी का दुगुना/तिगुना, फिर जोड़/घटावदो संख्याओं का असमान प्रभाव
4वर्ग या घनपरिणाम 4, 9, 16, 25, 36 … या 8, 27, 64 के पास
5जोड़/अंतर का गुणा, वर्गपरिणाम बहुत बड़ा

वर्ग और घन की सारणी — याद रखिए

संख्या12345678910
वर्ग149162536496481100
घन1827641252163435127291000
संख्या11121314151617181920
वर्ग121144169196225256289324361400
ट्रिकपरिणाम को देखकर अंदाज़ा लगाइए: अगर सभी परिणाम पूर्ण वर्ग (36, 49, 64…) हैं तो वर्ग का नियम है; अगर वे दिए हुए अंकों से बहुत बड़े हैं तो गुणा; और अगर वे अंकों के जोड़ के आसपास हैं तो जोड़-घटाव।

नीचे पहला हल किया हुआ उदाहरण है। आकृति में हर पंक्ति के तीसरे अंक का पहले दो से रिश्ता खोजना है।

13619861426?
आकृति: हर पंक्ति में एक ही नियम है।
उदाहरण 1 · आसान
आकृति में ? की जगह कौन-सी संख्या आएगी?
हल, कदम-दर-कदम
  1. 1जो पंक्तियाँ पूरी हैं, उनमें नियम खोजिए। पंक्ति 1: 13, 6 → 19; पंक्ति 2: 8, 6 → 14। (a, b = पहली, दूसरी संख्या; c = तीसरी)
  2. 2सीधे प्रयास: a − b = 7 ≠ 19; a × b = 78 ≠ 19 — नहीं बैठे। फिर कसकर देखने पर नियम मिलता है: c = a + b।
  3. 3जाँच: पंक्ति 1 में 13 + 6 = 19 ✔; पंक्ति 2 में 8 + 6 = 14 ✔।
  4. 4अब अधूरी पंक्ति पर वही नियम: 2 + 6 = 8।
उत्तर 8
जोड़ना सबसे पहले आज़माने वाला नियम है।
14112691424614?
आकृति: हर पंक्ति में एक ही नियम है।
आसानपहले खुद करके देखें
आकृति में ? की जगह कौन-सी संख्या आएगी?
639811531?
आकृति: हर पंक्ति में एक ही नियम है।
आसानपहले खुद करके देखें
आकृति में ? की जगह कौन-सी संख्या आएगी?
11491213?342119
आकृति: हर स्तंभ में एक ही नियम है।
आसानपहले खुद करके देखें
आकृति में ? की जगह कौन-सी संख्या आएगी?

जोड़ियों का नियम (x → f(x))

बाईं संख्या से दाईं संख्या कैसे बनी

दो संख्याओं की जोड़ियों की पंक्ति में बाईं से दाईं बनाने का नियम: गुणज, वर्ग, घन और उनमें ± एक संख्या।

सबसे सरल आकृति जोड़ियों की पंक्ति है: 3 → 10, 4 → 17 … जहाँ हर जोड़ी में दाईं संख्या बाईं संख्या (जिसे हम x कहेंगे) से एक ही नियम से बनी है। प्रश्न में कभी दाईं संख्या ‘?’ होती है, कभी बाईं।

नियम का प्रकारउदाहरणपहचान
गुणज ± संख्या3 → 10, 4 → 13, 5 → 16 (3x + 1)दाईं संख्या बराबर कदम से बढ़ती है
वर्ग ± संख्या3 → 10, 4 → 17, 5 → 26 (x² + 1)कदम 7, 9, … खुद बढ़ते हैं (अंतर 2 से)
घन2 → 8, 3 → 27, 4 → 64 (x³)परिणाम 8, 27, 64…
x × (x + 1)2 → 6, 3 → 12, 4 → 20अंतर 6, 8 — हर बार 2 बढ़ता

दाईं संख्याओं के अंतर देखकर पहला अंदाज़ा लगाइए: अंतर बराबर हों तो x का गुणज (अंतर ही गुणक है); अंतर खुद बराबर कदम से बढ़ें तो वर्ग जैसा नियम; और परिणाम 8, 27, 64 जैसे हों तो घन।

ट्रिक‘?’ बाईं ओर हो (यानी दाईं संख्या दी है) तो नियम खोजकर उसे उलटा चलाइए, या विकल्पों को बारी-बारी से नियम में रखकर देखिए कि कौन-सा दाईं संख्या बनाता है।
3 → 136 → 258 → 33? → 37
आकृति: हर जोड़ी में दाईं संख्या बाईं संख्या से एक ही नियम से बनी है।
उदाहरण 2 · आसान
आकृति में ? की जगह कौन-सी संख्या आएगी?
हल, कदम-दर-कदम
  1. 1हर पूरी जोड़ी में बाईं संख्या (x) से दाईं संख्या बनाने का नियम खोजिए: 3 → 13, 6 → 25, 8 → 33।
  2. 2पहचान के लिए देखिए कि उत्तर बाईं संख्या के वर्ग, घन या गुणज के पास है या नहीं। यहाँ नियम है: 4x + 1।
  3. 3जाँच: 4 × 3 + 1 = 13 ✔; 4 × 6 + 1 = 25 ✔।
  4. 4अब दाईं संख्या 37 है और x अज्ञात है: नियम 4x + 1 = 37 को पूरा करने वाली संख्या खोजिए। x = 9 पर 4 × 9 + 1 = 37 ✔ → 9।
उत्तर 9
पहले दाईं संख्याओं के अंतर देखे, फिर नियम की जाँच की।
2 → 53 → 105 → 26? → 50
आकृति: हर जोड़ी में दाईं संख्या बाईं संख्या से एक ही नियम से बनी है।
आसानपहले खुद करके देखें
आकृति में ? की जगह कौन-सी संख्या आएगी?
3 → 75 → 116 → 13? → 17
आकृति: हर जोड़ी में दाईं संख्या बाईं संख्या से एक ही नियम से बनी है।
आसानपहले खुद करके देखें
आकृति में ? की जगह कौन-सी संख्या आएगी?
4 → 95 → 118 → 17? → 19
आकृति: हर जोड़ी में दाईं संख्या बाईं संख्या से एक ही नियम से बनी है।
आसानपहले खुद करके देखें
आकृति में ? की जगह कौन-सी संख्या आएगी?
2 → 65 → 306 → 42? → 56
आकृति: हर जोड़ी में दाईं संख्या बाईं संख्या से एक ही नियम से बनी है।
मध्यमपहले खुद करके देखें
आकृति में ? की जगह कौन-सी संख्या आएगी?
2 → 95 → 517 → 999 → ?
आकृति: हर जोड़ी में दाईं संख्या बाईं संख्या से एक ही नियम से बनी है।
मध्यमपहले खुद करके देखें
आकृति में ? की जगह कौन-सी संख्या आएगी?
4 → 125 → 208 → 56? → 72
आकृति: हर जोड़ी में दाईं संख्या बाईं संख्या से एक ही नियम से बनी है।
मध्यमपहले खुद करके देखें
आकृति में ? की जगह कौन-सी संख्या आएगी?
4 → 645 → 1257 → 3438 → ?
आकृति: हर जोड़ी में दाईं संख्या बाईं संख्या से एक ही नियम से बनी है।
मध्यमपहले खुद करके देखें
आकृति में ? की जगह कौन-सी संख्या आएगी?
6 → 647 → 1288 → 2569 → ?
आकृति: हर जोड़ी में दाईं संख्या बाईं संख्या से एक ही नियम से बनी है।
कठिनपहले खुद करके देखें
आकृति में ? की जगह कौन-सी संख्या आएगी?
2 → 97 → 648 → 81? → 100
आकृति: हर जोड़ी में दाईं संख्या बाईं संख्या से एक ही नियम से बनी है।
कठिनपहले खुद करके देखें
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2

जाल और तालिकाएँ

पंक्ति/स्तंभ का नियम, स्थिर योग, अक्षरों का जाल

संख्याओं के जाल जिनमें पंक्ति या स्तंभ का तीसरा अंक पहले दो से बनता है, स्थिर योग वाले जाल और अक्षरों के जाल।

पंक्ति या स्तंभ में तीसरा अंक = पहले दो का नियम

c = f(a, b)

3 × 3 (या 4 × 3) जाल जिसकी हर पंक्ति (या स्तंभ) में तीसरी संख्या पहली दो से एक ही नियम से बनती है।

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स्थिर योग वाला जाल

हर पंक्ति और हर स्तंभ का योग बराबर

जब जाल की हर पंक्ति, हर स्तंभ (और कभी विकर्ण) का योग एक ही हो; खाली जगह का मान कुल योग − बाकी संख्याएँ।

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अक्षरों का जाल

हर पंक्ति में एक कदम, हर स्तंभ में दूसरा

अक्षरों के जाल में हर पंक्ति और हर स्तंभ अपने-अपने स्थिर अंतर से चलता है; अक्षरों को संख्याओं (A = 1 … Z = 26) में बदलकर पढ़ना।

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3

त्रिभुज और वृत्त

कोनों या खंडों से बीच की संख्या

त्रिभुजों के तीन कोनों की संख्या से बीच की संख्या और वृत्त के चार खंडों से बीच की संख्या का नियम।

त्रिभुज — कोनों से बीच की संख्या

बीच = f(ऊपर, बाएँ, दाएँ)

कई त्रिभुजों में एक ही नियम से तीन कोनों से बीच की संख्या बनती है; अंतिम त्रिभुज में एक संख्या ‘?’ है।

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वृत्त — चार खंडों से बीच की संख्या

आमने-सामने की जोड़ियाँ

चार भाग में बँटे वृत्तों में खंडों की संख्याओं से बीच की संख्या का नियम: आमने-सामने के खंडों की जोड़ियाँ।

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4

हल करने की रणनीति

कहाँ से शुरू करें और आम जाल

किसी भी आकृति में नियम खोजने का क्रम, आम जाल और जाँच के तरीके।

जाँच का क्रम

आकृति देखकर शुरुआत

हर तरह की आकृति के लिए पहले क्या देखें और कौन-से नियम पहले आज़माएँ।

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आम जाल

जो गलतियाँ बार-बार होती हैं

लुप्त पद के प्रश्नों में अंक गँवाने की सबसे आम वजहें।

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5

मिश्रित अभ्यास

सारे प्रकार मिलाकर — पहले आकृति पहचानिए

जोड़ियाँ, जाल, त्रिभुज, वृत्त और अक्षर-जाल तीन स्तरों में।

आसान अभ्यास

जोड़-घटाव-गुणा के नियम

सरल जाल, जोड़ियाँ, स्थिर योग, त्रिभुज और वृत्त।

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मध्यम अभ्यास

दुगुना-तिगुना, वर्ग और जोड़ियों वाले नियम

2a + 3b जैसे नियम, वर्ग वाले नियम, ‘?’ किसी भी जगह, और त्रिभुज-वृत्त के जोड़ी नियम।

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कठिन अभ्यास

वर्ग-वाले नियम, तीन चर और उलटा हल

जटिल नियम वाले जाल, घन और वर्ग की जोड़ियाँ, ऐसे त्रिभुज-वृत्त जिनमें कोई कोना/खंड अज्ञात है।

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6

दोहराव — कार्ड

पलटिए और खुद से पूछिए

हर कार्ड पर पहले खुद उत्तर सोचिए, फिर पलटिए।

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