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आयु पर आधारित प्रश्न

तर्कशक्ति · शाब्दिक तर्क

8 भाग2 हल किए उदाहरण11 अभ्यास प्रश्न

आयु (उम्र) का मतलब है जन्म से अब तक बीता हुआ समय। परीक्षा में इसके प्रश्न एक छोटी-सी कहानी की तरह आते हैं: “पिता की आयु पुत्र की आयु की चौगुनी है, पाँच वर्ष बाद…”। आपको इस कहानी को गणित की भाषा में बदलना है और फिर हल निकालना है।

यह अध्याय किसी रटी हुई तरकीब पर नहीं, तीन सरल बातों पर खड़ा है: (1) हर आदमी हर साल बराबर बढ़ता है, इसलिए दो लोगों की आयु का अंतर कभी नहीं बदलता; (2) अनुपात को इकाइयों में बाँटकर सोचा जा सकता है; (3) जो न पता हो उसे x मानकर समीकरण बनाया जा सकता है। इन तीनों से हर प्रकार का प्रश्न हल हो जाता है।

गणित में कमज़ोर हैं तो घबराइए नहीं — हम सबसे आसान बातों से शुरू करते हैं और हर कदम पर कारण बताते हैं।

इस अध्याय को कैसे पढ़ें

  1. पढ़ें — पहले विचार, फिर विधि।
  2. हल किया उदाहरण देखें — ‘उदाहरण’ वाले डिब्बे में पूरा हल खुला है। हर कदम पर पूछिए: यह क्यों किया?
  3. खुद करें — ‘पहले खुद करके देखें’ वाले प्रश्न कॉपी पर हल कीजिए, फिर विकल्प चुनिए। अटकें तो संकेत लीजिए, हल सबसे अंत में खोलिए।
  4. स्तर पहचानें — हर प्रश्न आसान, मध्यम या कठिन चिह्नित है।
ध्यान देंआपके सही किए प्रश्न इसी ब्राउज़र में सुरक्षित रहते हैं। दाईं ओर (फ़ोन पर ‘अनुक्रम’ बटन में) प्रगति देखिए।
1

बुनियाद — आयु का गणित

समय के साथ आयु कैसे बदलती है

पहले-बाद की गिनती, अंतर का स्थिर रहना, और शब्दों को गणित में बदलने की तीन विधियाँ।

समय के साथ आयु — तीन पक्के नियम

बाद में जोड़ो, पहले में घटाओ, अंतर स्थिर

n वर्ष बाद/पहले की गिनती, आयु का अंतर कभी नहीं बदलता, अनुपात बदलता है, और समूह के योग का बदलाव।

आयु के हर प्रश्न की जड़ तीन छोटी बातों में है। इन्हें समझ लेने पर आगे की सारी तरकीबें अपने आप समझ आ जाएँगी।

नियम 1 — “बाद” में जोड़ो, “पहले” में घटाओ

अगर आज किसी की आयु 25 वर्ष है तो 6 वर्ष बाद वह 25 + 6 = 31 वर्ष का होगा और 6 वर्ष पहले 25 − 6 = 19 वर्ष का था। यह इतना सीधा है कि अक्सर हम इसे हल्के में लेते हैं — पर प्रश्नों की ज़्यादातर गलतियाँ यहीं होती हैं: “पहले” में जोड़ देना या “बाद” में घटा देना।

नियम 2 — आयु का अंतर कभी नहीं बदलता

पिता 32 वर्ष का है और पुत्र 6 वर्ष का। पिता पुत्र से 26 वर्ष बड़ा है। एक साल बाद दोनों एक-एक साल बड़े हो जाएँगे, इसलिए अंतर फिर 26 ही रहेगा। नीचे की तालिका देखिए — अंतर वाली पंक्ति हर स्तंभ में एक जैसी है।

अभी4 वर्ष बाद10 वर्ष बाद5 वर्ष पहले
पिता32364227
पुत्र610161
अंतर26262626
अनुपात16 : 318 : 521 : 827 : 1

अंतर कभी नहीं बदलता, पर अनुपात बदलता रहता है (तालिका की आख़िरी पंक्ति देखिए)। यही आयु के प्रश्नों का सबसे बड़ा रहस्य है: जब अनुपात बदले तब अंतर को पकड़ लीजिए।

नियम 3 — समूह का योग

एक व्यक्ति की आयु n वर्ष में n बढ़ती है। अगर m लोग हों तो उन सबकी आयु का योग m × n बढ़ता है। जैसे 4 लोगों की आयु का योग आज 100 है तो 5 वर्ष बाद 100 + 4 × 5 = 120 होगा।

बातबदलती है?उदाहरण (पिता 32, पुत्र 6)
हर एक की आयुहाँ, बराबर-बराबर10 वर्ष बाद 42 और 16
दो लोगों का अंतरनहीं26 → 26
दो लोगों का अनुपातहाँ16 : 3 → 21 : 8
दो लोगों का योगहाँ, 2 × n38 → 58
याद रखेंजन्म के समय आयु 0 होती है। इसलिए “जब बच्चे का जन्म हुआ तब माँ 25 वर्ष की थीं” का मतलब है कि माँ-बच्चे की आयु का अंतर 25 वर्ष है।
उदाहरण 1 · आसान
नितिन की आयु चेतन से 30 वर्ष अधिक है। जब चेतन 23 वर्ष का होगा, तब नितिन की आयु कितनी होगी?
हल, कदम-दर-कदम
  1. 1दोनों की आयु का अंतर 30 वर्ष हमेशा वही रहता है।
  2. 2तब नितिन = 23 + 30 = 53 वर्ष।
उत्तर 53 वर्ष
अंतर स्थिर है, इसलिए यहाँ किसी समीकरण की ज़रूरत नहीं।
आसानपहले खुद करके देखें
माँ की आयु अभी 36 वर्ष है। 11 वर्ष बाद माँ की आयु कितनी होगी?
आसानपहले खुद करके देखें
बिंदु की आयु अभी 41 वर्ष और विकास की 10 वर्ष है। 12 वर्ष बाद दोनों की आयु का योग कितना होगा?
आसानपहले खुद करके देखें
पिता की आयु अभी 44 वर्ष है और पुत्र की 13। 3 वर्ष पहले दोनों की आयु का योग कितना था?
आसानपहले खुद करके देखें
बिंदु की आयु राजेश से 31 वर्ष अधिक है। जब राजेश 17 वर्ष का होगा, तब बिंदु की आयु कितनी होगी?
आसानपहले खुद करके देखें
4 सदस्यों (बिंदु, महेश, सीमा, इंदु) की आयु का योग अभी 70 वर्ष है। 5 वर्ष बाद उनकी आयु का योग कितना होगा?
आसानपहले खुद करके देखें
जब पुत्री का जन्म हुआ तब माँ 21 वर्ष की थीं। पुत्री आज 6 वर्ष की है। माँ की आयु आज कितनी है?

शब्द से समीकरण — तीन विधियाँ

इकाई-विधि, x-विधि और तालिका-विधि

शब्दों के गणितीय अनुवाद की सूची, और तीन विधियों में से सही विधि चुनना।

आयु के प्रश्न शब्दों में आते हैं। पहला काम है उनका अनुवाद। नीचे की तालिका आपका शब्दकोश है।

प्रश्न में लिखा हैगणित मेंउदाहरण
अनुपात p : qp इकाई और q इकाई (या px और qx)3 : 2 → 3x, 2x
A, B की k गुनी हैB = x, A = kxतिगुनी → x, 3x
n वर्ष बादहर आयु में + nx + 5
n वर्ष पहलेहर आयु में − nx − 5
A, B से d वर्ष बड़ाA = B + dA = B + 7
योग SA + B = Sx + 3x = 48
औसत a, m लोगकुल = a × m4 × 30 = 120

विधि 1 — इकाई-विधि (अनुपात वाले प्रश्नों के लिए)

अनुपात 5 : 3 का मतलब है कि एक की आयु 5 बराबर टुकड़े और दूसरे की 3 बराबर टुकड़े है। हर टुकड़े को 1 इकाई कहिए। आपको जो भी राशि दी गई हो (योग या अंतर), उसे इकाइयों के योग या अंतर से मिलाइए और 1 इकाई का मान निकालिए।

इकाई-विधि के कदम
अनुपात → इकाइयाँयोग/अंतर → इकाइयों का योग/अंतर1 इकाई = राशि ÷ इकाइयाँइकाई × अपना अनुपात

विधि 2 — x-विधि (समीकरण)

जब शर्तें “n वर्ष पहले/बाद” वाली हों तो अज्ञात आयु को x मानिए, बाकी सब आयु x के रूप में लिखिए, फिर शर्त को समीकरण बनाइए और हल कीजिए। अंत में मूल प्रश्न पढ़कर देखिए कि x क्या था और उत्तर क्या माँगा गया है — कई बार x आयु नहीं, आयु का हिस्सा होता है।

विधि 3 — तालिका-विधि

जब दो लोग और दो समय (अभी और n वर्ष बाद) हों तो एक छोटी तालिका बनाइए जिसमें पंक्तियाँ लोग हों और स्तंभ समय। इससे कोई आयु छूटती नहीं।

अभी6 वर्ष बाद
पिता4x4x + 6
पुत्रxx + 6

अब शर्त (जैसे “6 वर्ष बाद पिता, पुत्र की 3 गुना होगा”) को दाईं ओर के स्तंभ से लिखिए: 4x + 6 = 3(x + 6)। फिर हल: 4x + 6 = 3x + 18, x = 12।

स्थितिसबसे अच्छी विधि
अनुपात + योग या अंतरइकाई-विधि
अनुपात अभी और अनुपात बाद मेंतालिका + x-विधि
“कितने वर्ष बाद/पहले”अंतर-विधि (आगे ‘कब’ वाले भाग में)
औसतकुल = औसत × संख्या
पहेली जैसा वाक्यसीधा समीकरण
उदाहरण 2 · मध्यम
लोकेश की आयु अभी ज़ोया की आयु की 6 गुनी है। 8 वर्ष बाद लोकेश की आयु ज़ोया की आयु की चौगुनी हो जाएगी। लोकेश की वर्तमान आयु कितनी है?
हल, कदम-दर-कदम
  1. 1ज़ोया की आयु अभी x मानिए; तब लोकेश की 6x।
  2. 28 वर्ष बाद: लोकेश = 6x + 8, ज़ोया = x + 8। शर्त: 6x + 8 = 4(x + 8)।
  3. 36x + 8 = 4x + 32, इसलिए 2x = 24, x = 12।
  4. 4ज़ोया = 12 वर्ष, लोकेश = 6 × 12 = 72 वर्ष।
उत्तर 72 वर्ष
जहाँ दो समय आएँ, वहाँ तालिका बनाना सबसे सुरक्षित है।
मध्यमपहले खुद करके देखें
उमा की आयु अभी राजेश की आयु की 5 गुनी है। 3 वर्ष बाद उमा की आयु राजेश की आयु की चौगुनी हो जाएगी। उमा की वर्तमान आयु कितनी है?
आसानपहले खुद करके देखें
दीपा और इंदु की आयु का योग 28 वर्ष है और उनकी आयु का अनुपात 4 : 3 है। इंदु की वर्तमान आयु कितनी है?
आसानपहले खुद करके देखें
नेहा की आयु अनिल से 8 वर्ष अधिक है और दोनों की आयु का अनुपात 3 : 2 है। अनिल की वर्तमान आयु कितनी है?
आसानपहले खुद करके देखें
पूजा की आयु लोकेश की आयु की तिगुनी है। दोनों की आयु का योग 36 वर्ष है। लोकेश की वर्तमान आयु कितनी है?
मध्यमपहले खुद करके देखें
एक व्यक्ति से उसकी आयु पूछी गई। उसने कहा, “4 वर्ष पहले मेरी आयु, 4 वर्ष बाद की मेरी आयु की आधी थी।” उसकी वर्तमान आयु कितनी है?
2

अनुपात वाले प्रश्न

सबसे ज़्यादा पूछे जाने वाले प्रश्न

योग या अंतर के साथ अनुपात, तीन व्यक्ति, और अनुपात का n वर्ष पहले/बाद में बदलना।

योग / अंतर और अनुपात

इकाई-विधि का सीधा प्रयोग

आयु का योग या अंतर और अनुपात (या “k गुनी”, या “भाग के बराबर”) से दोनों आयु निकालना।

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तीन व्यक्ति और अंतर की कड़ी

तीन अनुपात, औसत, और “A, B से d बड़ा”

तीन लोगों की आयु का अनुपात, औसत से कुल, और अंतरों की कड़ी से सबसे छोटे की आयु।

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अनुपात जो n वर्ष बाद / पहले बदल जाए

आयु का सबसे लोकप्रिय प्रश्न

वर्तमान अनुपात और n वर्ष बाद/पहले का अनुपात देकर वर्तमान आयु निकालना; आयु का एक मान दिया हो तो दूसरा।

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“n वर्ष पहले / बाद” की शर्तें

गुनी होने की शर्त, कब होगा/था, और समूह का योग

n वर्ष पहले/बाद आयु k गुनी होना, “कितने वर्ष बाद/पहले” वाले प्रश्न और कई लोगों की आयु के योग का बदलाव।

n वर्ष पहले / बाद आयु k गुनी

एक समीकरण, एक अज्ञात

“n वर्ष पहले पिता पुत्र का k गुना था” जैसी शर्त को योग या वर्तमान गुनी-शर्त के साथ हल करना।

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कितने वर्ष बाद / पहले?

अंतर-विधि: सबसे तेज़ रास्ता

जब अंतर तय हो और पूछा जाए कि कब आयु k गुनी होगी/थी, तो अंतर ÷ (k − 1) से सीधा उत्तर।

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समूह की आयु का योग

हर साल योग m बढ़ता है

m सदस्यों की आयु का योग समय के साथ कैसे बदलता है, और कितने वर्ष बाद/पहले कोई योग मिलेगा।

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औसत आयु

कुल = औसत × संख्या

औसत से कुल आयु, सदस्य जुड़ने-जाने, शिक्षक, शिशु का जन्म और खिलाड़ी की अदला-बदली।

औसत से कुल और कुल से औसत

सदस्य जुड़ें या जाएँ

औसत और सदस्य-संख्या से कुल निकालना; एक सदस्य के जुड़ने या जाने से औसत और आयु का हिसाब।

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शिक्षक, शिशु और अदला-बदली

औसत के तीन क्लासिक प्रश्न

अध्यापक जोड़ने पर औसत का बढ़ना, परिवार में शिशु के जन्म पर औसत का वही रहना, और खिलाड़ी की जगह नया आना।

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पहेली, जन्म और अंक

हटकर पूछे जाने वाले प्रकार

आयु की पहेलियाँ, जन्म के समय की आयु और जन्म-वर्ष, और अंक उलटने वाली आयु।

आयु की पहेलियाँ

वाक्य को सीधा समीकरण बनाइए

“n वर्ष पहले की मेरी आयु…” जैसे वाक्य जिनमें एक ही व्यक्ति की आयु दो समयों पर तुलना होती है।

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जन्म के समय की आयु और जन्म-वर्ष

जन्म-वर्ष और अंतर का रिश्ता

माँ/पिता की आयु पुत्र-पुत्री के जन्म के समय, और किसी वर्ष में आयु = वर्ष − जन्म-वर्ष।

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अंक उलटने पर दूसरी आयु

10a + b और 10b + a

दो अंकों की आयु के अंक उलटने से दूसरी आयु; योग 11 का गुणज और अंतर 9 का गुणज होता है।

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6

हल करने की रणनीति

विधि चुनना और आम जाल

प्रश्न देखकर सही विधि चुनने का क्रम, आम गलतियाँ और जाँचने के तरीके।

पहचानिए और विधि चुनिए

प्रश्न की शक्ल से विधि

प्रश्न में क्या दिया है, इससे तय कीजिए कि इकाई, समीकरण, अंतर या औसत वाली विधि लगेगी।

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आम जाल

जो गलतियाँ बार-बार होती हैं

आयु के प्रश्नों में अंक गँवाने की सबसे आम वजहें।

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मिश्रित अभ्यास

सारे प्रकार मिलाकर — पहले प्रकार पहचानिए

अलग-अलग प्रकार के आयु-प्रश्न तीन स्तरों में।

आसान अभ्यास

एक विधि, एक-दो कदम

सीधी गिनती, योग/अंतर के साथ अनुपात, गुनी-शर्त, सरल औसत।

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मध्यम अभ्यास

समीकरण, “कब”, और औसत के क्लासिक

बदलता अनुपात, n वर्ष पहले/बाद की गुनी-शर्त, “कितने वर्ष बाद”, अंतर की कड़ी, औसत और जन्म-वर्ष।

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कठिन अभ्यास

दो शर्तें, उलटी पूछताछ, पहेलियाँ

“पहले” वाले अनुपात, पहेलियाँ, शिशु का औसत, अंक उलटना और लंबे समीकरण।

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दोहराव — कार्ड

पलटिए और खुद से पूछिए

हर कार्ड पर पहले खुद उत्तर सोचिए, फिर पलटिए।

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