कोई व्यक्ति घर से निकलकर 5 किमी उत्तर की ओर चलता है, फिर दाएँ मुड़ता है और 3 किमी चलता है, फिर बाएँ मुड़ता है और 2 किमी चलता है। अब वह घर से कितनी दूर है और किस दिशा में? यही दिशा ज्ञान परीक्षण है। इसमें कोई अनजाना सूत्र नहीं — बस सही चित्र बनाना और सावधानी से गिनना है।
परीक्षा में इसके तीन रूप आते हैं: (1) अंतिम दिशा — वह शुरुआती बिंदु से किस दिशा में है या अब किस ओर मुँह किए है; (2) दूरी — शुरुआती बिंदु से सीधी दूरी कितनी है; (3) दिशा और दूरी दोनों। इनके साथ गाँवों की आपसी दिशाओं, सूर्य की छाया और घूमे हुए दिशा-सूचक खंभे के प्रश्न भी आते हैं।
हम बिल्कुल शुरू से चलेंगे: पहले आठ दिशाएँ और मुड़ने का गणित, फिर दूरी का तरीका (जिसमें पाइथागोरस की ज़रूरत भी पड़ती है), और फिर हर प्रकार के प्रश्न एक-एक करके। हर प्रश्न में अंतिम बिंदु दो संख्याओं — पूर्व-पश्चिम की दूरी और उत्तर-दक्षिण की दूरी — से तय होता है। यह अध्याय आपको वही दो संख्याएँ संभालना सिखाता है।
इस अध्याय को कैसे पढ़ें
- पढ़ें — हर भाग पहले विचार समझाता है, फिर विधि।
- हल किया उदाहरण देखें — हर कदम पर स्थिति (पूर्व-पश्चिम, उत्तर-दक्षिण) लिखी है और नीचे चलने का चित्र है।
- खुद करें — कॉपी पर रास्ता बनाइए: घर बीच में, उत्तर ऊपर, और हर चरण पर तीर। फिर विकल्प चुनिए। हल में हर चरण के निर्देशांक भी दिखते हैं।
- स्तर पहचानें — आसान, मध्यम, कठिन। आसान में सीधे मोड़ और छोटे रास्ते; कठिन में U-टर्न, तिरछी दिशाएँ और “निर्धारित नहीं” वाले प्रश्न।
बुनियाद — दिशाएँ, मुड़ना, दूरी
आठ दिशाएँ और उनके कोण, बाएँ-दाएँ और डिग्री में मुड़ना, और दूरी निकालने के लिए पाइथागोरस।
आठ दिशाएँ और उनके कोण
उत्तर, पूर्व, दक्षिण, पश्चिम और उनके बीच की चार दिशाएँ; हर दिशा का कोण और उसकी उलटी दिशा।
दिशाओं में चार मुख्य दिशाएँ हैं — उत्तर, पूर्व, दक्षिण, पश्चिम — और उनके बीच की चार मध्यवर्ती दिशाएँ: उत्तर-पूर्व, दक्षिण-पूर्व, दक्षिण-पश्चिम, उत्तर-पश्चिम। नक्शे में उत्तर ऊपर और पूर्व दाईं ओर होता है; इसलिए नीचे दक्षिण और बाईं ओर पश्चिम।
- क्रम याद करने की ट्रिक: घड़ी की दिशा में चार मुख्य दिशाएँ उ – पू – द – प (उत्तर, पूर्व, दक्षिण, पश्चिम) आती हैं।
- दो मुख्य दिशाओं के बीच की दिशा का नाम दोनों से बनता है, और उत्तर / दक्षिण पहले लिखा जाता है: उत्तर-पूर्व (पूर्व-उत्तर नहीं), दक्षिण-पश्चिम।
- पास-पास की दो मुख्य दिशाओं के बीच 90° और मुख्य व मध्यवर्ती दिशा के बीच 45° का कोण होता है।
- हर दिशा की उलटी दिशा 180° पर होती है: उत्तर ↔ दक्षिण, पूर्व ↔ पश्चिम, उत्तर-पूर्व ↔ दक्षिण-पश्चिम, दक्षिण-पूर्व ↔ उत्तर-पश्चिम।
| दिशा | कोण | उलटी दिशा |
|---|---|---|
| उत्तर | 0° | दक्षिण |
| उत्तर-पूर्व | 45° | दक्षिण-पश्चिम |
| पूर्व | 90° | पश्चिम |
| दक्षिण-पूर्व | 135° | उत्तर-पश्चिम |
| दक्षिण | 180° | उत्तर |
| दक्षिण-पश्चिम | 225° | उत्तर-पूर्व |
| पश्चिम | 270° | पूर्व |
| उत्तर-पश्चिम | 315° | दक्षिण-पूर्व |
- 1उत्तर-पश्चिम का कोण 315° है।
- 2उलटी दिशा के लिए 180° जोड़िए: 315° + 180° = 495°।
- 3495° एक चक्कर (360°) से ऊपर है, इसलिए 360° घटाइए: 135°। 135° की दिशा दक्षिण-पूर्व है।
मुड़ना — बाएँ, दाएँ और डिग्री में
हर मोड़ के बाद नया मुख, और घड़ी की दिशा / उलटी दिशा में कोण जोड़ने-घटाने की विधि।
मुड़ने का प्रश्न दो बातों पर टिका है: अभी मुख किधर है और किस ओर, कितना मुड़ा। चलते हुए व्यक्ति का “दाएँ” मतलब उसका अपना दायाँ हाथ है, यानी घड़ी की दिशा में चौथाई चक्कर (90°)। “बाएँ” उलटी दिशा में 90°; “पीछे घूमो” (U-टर्न) 180°।
| पहले मुख | दाएँ मुड़ने पर | बाएँ मुड़ने पर | U-टर्न पर |
|---|---|---|---|
| उत्तर | पूर्व | पश्चिम | दक्षिण |
| पूर्व | दक्षिण | उत्तर | पश्चिम |
| दक्षिण | पश्चिम | पूर्व | उत्तर |
| पश्चिम | उत्तर | दक्षिण | पूर्व |
डिग्री में घूमना
कई प्रश्नों में “घड़ी की दिशा में 135° घूमा” जैसी बात आती है। तब हर दिशा को उसके कोण से बदलिए (उत्तर 0°, पूर्व 90°, दक्षिण 180°, पश्चिम 270°, बीच की दिशाएँ 45°, 135°, 225°, 315°)। फिर घड़ी की दिशा के कोण जोड़िए और उलटी दिशा के कोण घटाइए। नतीजा 360° से बड़ा या 0° से छोटा आए तो 360° घटाइए या जोड़िए (चक्र फिर शुरू)।
- 1पश्चिम का कोण 270° है।
- 2घड़ी की दिशा में 135°: 270° + 135° = 405°, और 405° − 360° = 45° (उत्तर-पूर्व)।
- 3उलटी दिशा में 270°: 45° − 270° = −225°; इसमें 360° जोड़ें तो 135°।
- 4135° की दिशा दक्षिण-पूर्व है।
दूरी — चली हुई दूरी बनाम सीधी दूरी
चली हुई कुल दूरी और घर से सीधी दूरी का अंतर, निर्देशांक की बही और पाइथागोरस त्रिक।
दो अलग बातें हैं जिन्हें परीक्षा में अक्सर मिला दिया जाता है: चली हुई दूरी (सारे चरणों की लंबाई का जोड़) और शुरुआती बिंदु से सीधी दूरी (जिसे विस्थापन कहते हैं)। कोई व्यक्ति 3 किमी पूर्व और फिर 4 किमी उत्तर चले तो उसने 7 किमी चला है, पर घर से सीधी दूरी केवल 5 किमी है।
निर्देशांक की बही
हर चरण के बाद दो संख्याएँ लिखिए: घर से पूर्व की ओर कितना (पश्चिम को ऋण) और उत्तर की ओर कितना (दक्षिण को ऋण)। जैसे घर (0, 0); 3 किमी पूर्व → (3, 0); फिर 4 किमी उत्तर → (3, 4)। अंत में इन्हीं दो संख्याओं से सब कुछ निकलता है: संख्या का चिह्न दिशा बताता है और संख्या का मान दूरी।
सीधी दूरी: पाइथागोरस
अगर अंतिम बिंदु पूर्व-पश्चिम में a और उत्तर-दक्षिण में b की दूरी पर है, तो घर, मध्य-कोना और अंतिम बिंदु एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं, और सीधी दूरी उसका कर्ण है। (अगर a या b शून्य हो तो दूरी सीधे दूसरी संख्या है।)
- पूर्व-पश्चिम की कुल दूरी
- उत्तर-दक्षिण की कुल दूरी
परीक्षा के प्रश्नों में संख्याएँ अक्सर ऐसी होती हैं कि कर्ण पूर्ण संख्या निकले। इन जोड़ियों को पहचानना सीख लीजिए; इनके गुणज भी (दोगुने, तिगुने) उतने ही काम के हैं:
| भुजा | भुजा | कर्ण (सीधी दूरी) |
|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 |
| 6 | 8 | 10 |
| 9 | 12 | 15 |
| 12 | 16 | 20 |
| 5 | 12 | 13 |
| 8 | 15 | 17 |
| 7 | 24 | 25 |
| 20 | 21 | 29 |
- 1पूर्व को + और पश्चिम को −, उत्तर को + और दक्षिण को − लेकर घर को (0, 0) मानिए; हर चरण के बाद स्थिति (पूर्व-पश्चिम, उत्तर-दक्षिण) लिखिए।
- 21) दक्षिण की ओर 3 किमी → (0, -3); 2) दाएँ मुड़ने पर पश्चिम की ओर 4 किमी → (-4, -3)
- 3अंतिम स्थिति (-4, -3) है — यानी 4 किमी पूर्व-पश्चिम में और 3 किमी उत्तर-दक्षिण में।
- 4ये दोनों समकोण की दो भुजाएँ हैं, इसलिए सीधी दूरी = √(4² + 3²) = √25 = 5 किमी।
अंतिम दिशा (प्रकार 1)
मोड़ों वाले रास्ते से अंतिम दिशा और मुख, और गाँवों की आपसी दिशाओं के प्रश्न।
चलते-चलते मुड़ना — अंतिम दिशा और मुख
मोड़ों वाले रास्ते का चित्र, अंतिम बिंदु की दिशा, अंतिम मुख और लौटने की दिशा।
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गाँवों की आपसी दिशाएँ
“P, Q के पूर्व में है” जैसे कथनों की शृंखला से किसी जोड़ी की दिशा, और “निर्धारित नहीं” वाले प्रश्न।
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दूरी (प्रकार 2)
चली हुई दूरी से अलग सीधी दूरी, बराबर और उलटी तिरछी चालों का कटना, और एक ही स्थान से चले दो व्यक्ति।
सीधी दूरी — निर्देशांक और पाइथागोरस
मोड़ों वाले रास्ते में आगे-पीछे की दूरी का कटना और शेष दो संख्याओं से सीधी दूरी।
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तिरछी दिशाओं की चालें
उत्तर-पूर्व, दक्षिण-पश्चिम जैसी दिशाओं में चलने पर दूरी का हिसाब, जब दो तिरछी चालें उलटी और बराबर हों।
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एक ही स्थान से चले दो व्यक्ति
दो व्यक्तियों की आपसी दूरी और एक की दूसरे से दिशा।
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दिशा और दूरी साथ-साथ (प्रकार 3)
एक ही उत्तर में दूरी और दिशा दोनों माँगने वाले प्रश्न और घर लौटने की दिशा।
दूरी और दिशा एक साथ
अंतिम निर्देशांक से दूरी और दिशा दोनों, सामान्य गलतियाँ, और लौटने की दिशा।
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सूर्य, छाया और दिशा-सूचक खंभा
सुबह-शाम की छाया से व्यक्ति का मुख और हाथ की दिशा, और घूम गए दिशा-सूचक खंभे से वास्तविक दिशा।
सुबह-शाम की छाया
सुबह सूर्य पूर्व में तो छाया पश्चिम की ओर, शाम को उलटा; इससे मुख और बाएँ-दाएँ हाथ की दिशा।
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घूमा हुआ दिशा-सूचक खंभा
खंभे के घूमने की मात्रा एक भुजा से निकालकर किसी भी भुजा की वास्तविक दिशा बताना।
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हल करने की रणनीति
हर दिशा-प्रश्न में क्या पहले करें, प्रश्न के रूप के अनुसार क्या करें और कहाँ गलती होती है।
पहले क्या देखें
प्रश्न के रूप के अनुसार विधि की तालिका और हर प्रश्न का पक्का क्रम।
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आम जाल और समय बचाने के तरीके
दिशा-प्रश्नों में अंक गँवाने की सबसे आम वजहें और उनसे बचाव।
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मिश्रित अभ्यास
मुड़ना, अंतिम दिशा, दूरी, गाँवों की दिशाएँ, छाया और खंभे — तीन स्तरों में।
आसान अभ्यास
मोड़ों का अभ्यास, छोटे रास्तों की दिशा और दूरी, और सरल छाया-प्रश्न।
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मध्यम अभ्यास
पाँच चरणों तक के रास्ते, डिग्री वाले मोड़, दो व्यक्तियों की दूरी और दिशा, और तिरछी चालें।
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कठिन अभ्यास
लंबे रास्ते, स्पष्ट दिशा वाले मोड़, अनिश्चित संबंध, तिरछी चालें, खंभा और छाया।
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दोहराव — कार्ड
हर कार्ड पर पहले खुद उत्तर सोचिए, फिर पलटिए।
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