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छिपी हुई आकृतियाँ

तर्कशक्ति · अशाब्दिक तर्क

5 भाग2 हल किए उदाहरण10 अभ्यास प्रश्न

परीक्षा में पहले एक सरल आकृति X दी जाती है — मान लीजिए एक त्रिभुज, एक सीढ़ी या एक तीर। फिर चार जटिल आकृतियाँ दी जाती हैं, जिनमें से एक के भीतर X पूरी तरह छिपी बैठी है — बाकी रेखाएँ ऊपर से जोड़कर उसे छुपा दिया गया है। आपको वही विकल्प चुनना है।

यह अंदाज़े का खेल नहीं है। हर बार आप X की रेखाओं की एक सूची बनाते हैं और देखते हैं कि वह सूची किस विकल्प में पूरी मिलती है। इस अध्याय में हम यही सूची बनाना और जाँचना सीखेंगे।

प्रश्न का प्रकारक्या पूछता हैमुख्य नियम
कौन-सी आकृति में X छिपी हैएक विकल्प चुनोX की हर रेखा उसी माप और दिशा में मिले
किसमें X नहीं हैउलटा प्रश्नतीन में खोजकर निकालो
घुमाकर देखोX घुमा हुआ भी चलेगाघुमाओ, पर पलटो नहीं
कितनी जगहX कितनी बार मिलता हैअलग-अलग जगहें गिनो

इस अध्याय को कैसे पढ़ें

  1. भाग 1 में नियम और ढूँढने की विधि समझिए।
  2. भाग 2 में चारों प्रकार के प्रश्न एक-एक करके कीजिए।
  3. हर प्रश्न में ऊपर नारंगी चौखट में X है और नीचे विकल्प A, B, C, D हैं। आकृति पर उंगली या पेंसिल से X की रेखाएँ खोजिए, फिर नीचे से विकल्प का नाम चुनिए।
भरोसाहर प्रश्न की आकृतियाँ और उत्तर अलग-अलग क्रम में हैं और हर विकल्प कंप्यूटर से जाँचा गया है — सही विकल्प में X सचमुच है, और बाकी तीन में X सचमुच नहीं है।
1

बुनियाद — नियम और ढूँढने की विधि

X की रेखाओं की सूची बनाइए और जाँचिए

छिपी आकृति के नियम, X को इकाई-रेखाओं में पढ़ना और विकल्प काटने की जाँचें।

“छिपी है” का अर्थ — चार नियम

वही माप, वही दिशा, पूरी रेखाएँ, फ़ालतू रेखाएँ चलेंगी

जब कहा जाए कि X किसी आकृति में छिपी है, तब किन बातों का पालन होना चाहिए।

X किसी आकृति Y में तब छिपी मानी जाती है जब Y की रेखाओं में से कुछ को छाँटने पर बिल्कुल X बन जाए। इसके चार नियम हैं:

  1. वही माप — X की हर रेखा Y की किसी रेखा पर उतनी ही लंबाई में बैठनी चाहिए। (बड़ी रेखा के एक हिस्से पर बैठ सकती है, पर छोटी रेखा पर बड़ी नहीं बैठेगी।)
  2. वही दिशा — X को घुमाना या पलटना नहीं है (जब तक प्रश्न साफ़ न कहे)। खड़ी रेखा खड़ी ही रहेगी, तिरछी रेखा उसी ढलान की रहेगी।
  3. सारी रेखाएँ — X की एक भी रेखा कम हो तो वह छिपी नहीं है, चाहे बाकी सब मिल जाए।
  4. फ़ालतू रेखाएँ चलेंगी — Y में X के अलावा और भी रेखाएँ हो सकती हैं, वे X के भीतर से भी गुज़र सकती हैं।
जालसबसे आम जाल: विकल्प में X का लगभग-पूरा रूप दिखता है, बस एक रेखा छोटी या गायब है। उसी एक रेखा के कारण वह विकल्प गलत है। परीक्षा में दो विकल्प अक्सर ऐसे “लगभग” होते हैं।
(A)(B)(C)(D)
प्रश्न-आकृति और विकल्प
उदाहरण 1 · आसान
ऊपर नारंगी चौखट में आकृति X है। X चार विकल्पों में से एक में छिपी है — उसी माप में और उसी दिशा में (घुमाई-पलटी नहीं)। किसमें?
हल, कदम-दर-कदम
  1. 1आकृति X में इकाई-रेखाएँ हैं: आड़ी, खड़ी और तिरछी।
  2. 2पहले X का सबसे अलग दिखने वाला हिस्सा चुनिए (सबसे लंबी रेखा या तिरछा कोना) और उसे हर विकल्प में खोजिए।
  3. 3विकल्प (C) में X पूरा मिलता है — हर रेखा उसी माप और दिशा में मौजूद है।
  4. 4(A): सबसे अच्छी बैठक में भी X की 1 रेखा(एँ) कम पड़ती हैं — अधूरा।
  5. 5(B): सबसे अच्छी बैठक में भी X की 1 रेखा(एँ) कम पड़ती हैं — अधूरा।
  6. 6(D): सबसे अच्छी बैठक में भी X की 1 रेखा(एँ) कम पड़ती हैं — अधूरा।
उत्तर आकृति C
X की हर रेखा विकल्प में खोजिए; एक भी रेखा कम हो तो विकल्प रद्द।
X✔
X (बाएँ) और उसकी जगह — नारंगी रेखाएँ
(A)(B)(C)(D)
प्रश्न-आकृति और विकल्प
आसानपहले खुद करके देखें
ऊपर नारंगी चौखट में आकृति X है। X चार विकल्पों में से एक में छिपी है — उसी माप में और उसी दिशा में (घुमाई-पलटी नहीं)। किसमें?
(A)(B)(C)(D)
प्रश्न-आकृति और विकल्प
आसानपहले खुद करके देखें
ऊपर नारंगी चौखट में आकृति X है। X चार विकल्पों में से एक में छिपी है — उसी माप में और उसी दिशा में (घुमाई-पलटी नहीं)। किसमें?
(A)(B)(C)(D)
प्रश्न-आकृति और विकल्प
आसानपहले खुद करके देखें
ऊपर नारंगी चौखट में आकृति X है। X चार विकल्पों में से एक में छिपी है — उसी माप में और उसी दिशा में (घुमाई-पलटी नहीं)। किसमें?

ढूँढने की चार-कदम विधि

सूची → लंगर → पीछा → विकल्प काटो

X को रेखाओं की सूची में बदलना, “लंगर” चुनना और उसे हर विकल्प में खोजना।

अब तरीका। चार कदम हर प्रश्न में एक जैसे हैं:

छिपी आकृति खोजने के चार कदम
1. X की सूची: कितनी रेखाएँ — आड़ी, खड़ी, तिरछी?2. लंगर: X का सबसे अनोखा हिस्सा चुनो (तिरछी रेखा, नुकीला कोना, सबसे लंबी रेखा)3. पीछा: हर विकल्प में लंगर खोजो और वहाँ से बाकी रेखाएँ जाँचो4. काटो: एक रेखा भी कम हो तो विकल्प रद्द

जल्दी काटने की जाँचें — विकल्प को पूरा खंगालने से पहले गिनती से कुछ विकल्प हटाइए:

जाँचअगर ऐसा होतो
X में तिरछी रेखाएँ हैं?विकल्प में तिरछी रेखाएँ कम / नहींविकल्प रद्द
X की सबसे लंबी रेखा कितनी लंबी है?विकल्प की कोई रेखा उतनी लंबी नहींविकल्प रद्द
X बंद आकृति (घेरा) है?विकल्प में कोई घेरा नहींविकल्प रद्द
ट्रिकलंगर के बिना खोजने पर आँखें भटकती हैं। लंगर वही चुनिए जो विकल्पों में सबसे कम बार मिले — जैसे X की अकेली तिरछी रेखा।
(A)(B)(C)(D)
प्रश्न-आकृति और विकल्प
उदाहरण 2 · मध्यम
ऊपर नारंगी चौखट में आकृति X है। X चार विकल्पों में से एक में छिपी है — उसी माप में और उसी दिशा में (घुमाई-पलटी नहीं)। किसमें?
हल, कदम-दर-कदम
  1. 1आकृति X में इकाई-रेखाएँ हैं: आड़ी, खड़ी और तिरछी।
  2. 2पहले X का सबसे अलग दिखने वाला हिस्सा चुनिए (सबसे लंबी रेखा या तिरछा कोना) और उसे हर विकल्प में खोजिए।
  3. 3विकल्प (B) में X पूरा मिलता है — हर रेखा उसी माप और दिशा में मौजूद है।
  4. 4(A): सबसे अच्छी बैठक में भी X की 1 रेखा(एँ) कम पड़ती हैं — अधूरा।
  5. 5(C): सबसे अच्छी बैठक में भी X की 1 रेखा(एँ) कम पड़ती हैं — अधूरा।
  6. 6(D): सबसे अच्छी बैठक में भी X की 1 रेखा(एँ) कम पड़ती हैं — अधूरा।
उत्तर आकृति B
X की हर रेखा विकल्प में खोजिए; एक भी रेखा कम हो तो विकल्प रद्द।
X✔
X (बाएँ) और उसकी जगह — नारंगी रेखाएँ
(A)(B)(C)(D)
प्रश्न-आकृति और विकल्प
आसानपहले खुद करके देखें
ऊपर नारंगी चौखट में आकृति X है। X चार विकल्पों में से एक में छिपी है — उसी माप में और उसी दिशा में (घुमाई-पलटी नहीं)। किसमें?
(A)(B)(C)(D)
प्रश्न-आकृति और विकल्प
मध्यमपहले खुद करके देखें
ऊपर नारंगी चौखट में आकृति X है। X चार विकल्पों में से एक में छिपी है — उसी माप में और उसी दिशा में (घुमाई-पलटी नहीं)। किसमें?
(A)(B)(C)(D)
प्रश्न-आकृति और विकल्प
मध्यमपहले खुद करके देखें
ऊपर नारंगी चौखट में आकृति X है। X चार विकल्पों में से एक में छिपी है — उसी माप में और उसी दिशा में (घुमाई-पलटी नहीं)। किसमें?
(A)(B)(C)(D)
प्रश्न-आकृति और विकल्प
मध्यमपहले खुद करके देखें
ऊपर नारंगी चौखट में आकृति X है। X चार विकल्पों में से एक में छिपी है — उसी माप में और उसी दिशा में (घुमाई-पलटी नहीं)। किसमें?

इकाई-रेखाएँ गिनना और लंबाई की जाँच

लंबी रेखा के भीतर छोटी रेखा बैठ सकती है

आकृतियों को छोटी-छोटी इकाइयों के रूप में देखना और लंबाई का मिलान।

हर चित्र को ग्राफ़ पेपर पर बना मानिए। दो बिंदुओं के बीच की सबसे छोटी दूरी एक इकाई है। तब X की हर रेखा कुछ इकाइयों की बनी है, और विकल्प की हर रेखा भी। X की रेखा विकल्प की रेखा पर तभी बैठ सकती है जब विकल्प की रेखा उसके बराबर या उससे लंबी हो और दिशा वही हो।

आड़ी / खड़ी रेखा
1 इकाई = एक खाने की भुजा
तिरछी रेखा
1 इकाई = एक खाने का विकर्ण
मिलान
लंबाई ≥ और दिशा =
X✔
X की खड़ी रेखा और आड़ी रेखा बड़ी रेखाओं के हिस्से पर बैठी है (नारंगी)
  • X की लंबी रेखा विकल्प में दो छोटी-छोटी रेखाओं से जुड़कर बनी हो, तब भी चलेगी — बशर्ते बीच में खाली जगह न हो।
  • X की रेखा के सिरे विकल्प की रेखा के सिरे पर होने ज़रूरी नहीं; वह उसके बीच में भी बैठ सकती है।
  • पर X के कोने विकल्प में सच-मुच कोने (मिलन-बिंदु) बनें, इसका ध्यान रखिए। X का वर्ग तभी माना जाएगा जब चारों रेखाएँ सही जगह मिलें।
(A)(B)(C)(D)
प्रश्न-आकृति और विकल्प
आसानपहले खुद करके देखें
ऊपर नारंगी चौखट में आकृति X है। X चार विकल्पों में से एक में छिपी है — उसी माप में और उसी दिशा में (घुमाई-पलटी नहीं)। किसमें?
(A)(B)(C)(D)
प्रश्न-आकृति और विकल्प
मध्यमपहले खुद करके देखें
ऊपर नारंगी चौखट में आकृति X है। X चार विकल्पों में से एक में छिपी है — उसी माप में और उसी दिशा में (घुमाई-पलटी नहीं)। किसमें?
(A)(B)(C)(D)
प्रश्न-आकृति और विकल्प
मध्यमपहले खुद करके देखें
ऊपर नारंगी चौखट में आकृति X है। X चार विकल्पों में से एक में छिपी है — उसी माप में और उसी दिशा में (घुमाई-पलटी नहीं)। किसमें?
2

चार प्रकार के प्रश्न

ढूँढो · उलटा · घुमाकर · गिनो

सीधा प्रश्न, उलटा प्रश्न, घुमाने की छूट वाला प्रश्न और गिनती वाला प्रश्न।

कौन-सी आकृति में X छिपी है

सबसे आम प्रकार — ऊपर से नीचे पूरा अभ्यास

एक सही विकल्प चुनना: सूची, लंगर, पीछा, काटो।

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किसमें X नहीं है

उलटा प्रश्न: तीन में खोजो, चौथा उत्तर

जब पूछा जाए कि X कहाँ नहीं है, तब कैसे जाँचें।

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घुमाकर देखने की छूट और दर्पण का जाल

चार घुमाव आज़माइए; पलटिए कभी नहीं

जब X घुमाकर भी चले, तब दर्पण-प्रतिबिंब और असली घुमाव का अंतर।

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X कितनी जगह मिलती है

लंगर से हर जगह की पूरी जाँच

गिनती वाले प्रश्न में पुनरावृत्त और अधखुली जगहों को सँभालना।

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3

हल करने की रणनीति

जाँच का क्रम और बचने की गलतियाँ

किसी भी छिपी-आकृति प्रश्न में जाँच का क्रम, आम जाल और समय बचाने के तरीके।

जाँच का क्रम

सूची → लंगर → गिनती-जाँच → पीछा

प्रश्न पढ़ते ही क्या देखें और विकल्प कैसे कटें।

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आम जाल और समय बचाने के तरीके

जो गलतियाँ बार-बार होती हैं

छिपी आकृति में अंक गँवाने की सबसे आम वजहें।

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4

मिश्रित अभ्यास

सारे प्रकार मिलाकर — पहले प्रश्न का प्रकार पहचानिए

चारों प्रकार के प्रश्न तीन स्तरों में।

आसान अभ्यास

छोटी आकृतियाँ, थोड़ी फ़ालतू रेखाएँ

सीधे, उलटे और गिनती वाले आसान प्रश्न।

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मध्यम अभ्यास

ज़्यादा रेखाएँ, तिरछी रेखाएँ

पाँच-छह रेखाओं वाली X और अधिक फ़ालतू रेखाओं वाले विकल्प।

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कठिन अभ्यास

जटिल X, सघन विकल्प

सात-आठ रेखाओं वाली X, ज़्यादा घने विकल्प, घुमाव और गिनती।

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5

दोहराव — कार्ड

पलटिए और खुद से पूछिए

हर कार्ड पर पहले खुद उत्तर सोचिए, फिर पलटिए।

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