आकृतियों की गिनती

गिनने से पहले की कसौटी और बिंदुओं को नाम देने की आदत।

किसी जटिल आकृति में त्रिभुज वह है जिसके तीन कोने उस आकृति के जोड़-बिंदु (जहाँ रेखाएँ मिलती हैं) हों और जिसकी तीनों भुजाएँ पूरी तरह खिंची हुई रेखाओं पर पड़ती हों। बीच में खाली जगह वाली भुजा नहीं चलेगी। त्रिभुज के अंदर और रेखाएँ हो सकती हैं — वह तब भी त्रिभुज है।

सबसे पहला काम: नाम देना

एक पंखे (शीर्ष A से आधार तक जाती रेखाएँ) में आधार के बिंदुओं को बाएँ से दाएँ B, C, D, E… नाम दीजिए। अब हर त्रिभुज का नाम तीन अक्षर होगा: शीर्ष A और आधार के दो बिंदु। नाम लिखते जाइए, तो कोई त्रिभुज न छूटेगा, न दोहराया जाएगा।

सूत्र क्यों बनता है, और उसे पंखे पर कैसे लगाएँ।

पंखे में हर त्रिभुज का एक शीर्ष A होता है और बाकी दो कोने आधार के बिंदु होते हैं। इसलिए त्रिभुज की गिनती = आधार के बिंदुओं में से दो चुनने के तरीके। अगर आधार पर $n$ छोटे भाग हैं तो उस पर $n+1$ बिंदु हैं।

दूसरी तरह से भी सोच सकते हैं: एक खंड वाले $n$ त्रिभुज, दो खंड वाले $n-1$, तीन खंड वाले $n-2$ … और अंत में पूरे आधार वाला 1। ये जोड़ने पर वही सूत्र मिलता है।

जब आधार के समानांतर रेखाएँ भी हों तो गिनती कैसे गुणा होती है।

अब मान लीजिए पंखे में आधार के समानांतर रेखाएँ भी खिंची हैं। हर आड़ी रेखा (आधार को मिलाकर) शीर्ष A के नीचे एक अलग पंखा बना देती है, और हर पंखे के त्रिभुज उसी सूत्र से गिने जाते हैं। इसलिए सब कुछ गुणा हो जाता है।

जब सूत्र सीधे न लगे: दो शीर्षों से रेखाएँ, त्रिभुज को n बराबर भागों में बाँटने वाला जाल और छह नोक वाला तारा।

दो शीर्षों से रेखाएँ

अगर A और B दोनों से सामने की भुजा तक रेखाएँ खिंची हों, तो रेखाएँ आपस में कटती हैं और नए जोड़-बिंदु बनते हैं। अब सीधा सूत्र नहीं चलता। तब त्रिभुजों को कोने के आधार पर बाँटिए: (1) जिनमें कोना A है; (2) जिनमें B है पर A नहीं; (3) बाकी। हर वर्ग अलग गिनिए, कोई त्रिभुज दो वर्गों में नहीं आएगा।

त्रिभुज का जाल

एक त्रिभुज की हर भुजा को $n$ बराबर भागों में बाँटकर भुजाओं के समानांतर रेखाएँ खींचें तो छोटे-छोटे बराबर त्रिभुजों का जाल बनता है। इसमें सीधे (नोक ऊपर) और उलटे (नोक नीचे) दो तरह के त्रिभुज होते हैं। आकार $k$ वाले सीधे त्रिभुज $\frac{(n-k+1)(n-k+2)}{2}$ होते हैं, और उलटे त्रिभुज तभी बनते हैं जब $n\ge 2k$।

छह नोक वाला तारा

दो बराबर त्रिभुज एक के ऊपर एक उलटे रखने से तारा बनता है। इसमें छह छोटे त्रिभुज (हर नोक पर एक) और दो बड़े (दोनों मूल त्रिभुज) दिखते हैं। बीच का षट्भुज त्रिभुज नहीं है।

1×1, 2×2, 3×3… आकार के वर्ग अलग-अलग गिनना, और $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ का सूत्र।

आयतों का सूत्र $\frac{m(m+1)}{2}\times \frac{n(n+1)}{2}$, वर्ग भी आयत हैं, और एक निश्चित माप के आयत।

ग्रिड की कुछ रेखाएँ मिटी हों तो आयत और वर्ग कैसे गिनें।

जब विकर्ण या मध्य रेखाएँ हों तो त्रिभुज और वर्ग आकार-दर-आकार कैसे गिनें।

पंचभुज, षट्भुज और उनके विकर्णों में त्रिभुज गिनना।

सीधी रेखाएँ कितनी, रेखाखंड कितने ($\frac{k(k-1)}{2}$), और तिरछे ग्रिड में समांतर चतुर्भुज।

घनों के ढेर के चित्र को पढ़ना और स्तंभ-दर-स्तंभ ऊँचाई जोड़ना।

दिखने वाले और छिपे घन, और ठोस घनाभ का सूत्र $(a-1)(b-1)(c-1)$।

कितने और घन चाहिए, और $n\times n\times n$ घन में $1\times 1\times 1$ से $n\times n\times n$ तक सारे घन।

आकृति के प्रकार के हिसाब से गिनने का सीधा क्रम।

गिनती-प्रश्नों में अंक गँवाने की सबसे आम वजहें।

पंखे, छोटे ग्रिड, बिंदु और छोटे घन-ढेर।

परतें, दो शीर्षों की रेखाएँ, कटे ग्रिड, विकर्ण और छिपे घन।

सीमा के आसपास के प्रश्न: बड़े ग्रिड, जाल, विकर्ण और कटे-फटे ढेर।