बाइनरी लॉजिक: सत्य और असत्य कथन
तर्कशक्ति · तार्किक तर्क
“बाइनरी” का अर्थ है दो। बाइनरी लॉजिक में हर कथन के केवल दो ही मान हो सकते हैं — सत्य (True, 1) या असत्य (False, 0)। कोई तीसरा मान नहीं, और एक साथ दोनों भी नहीं। यही सरल-सा नियम सच-झूठ की पहेलियों, “ठीक इतने कथन सत्य हैं” वाले प्रश्नों, AND / OR / IF-THEN की तालिकाओं, कंप्यूटर के 0/1 और लॉजिक गेट तक — सब कुछ चलाता है।
कई राज्य-स्तरीय भर्ती परीक्षाओं के पाठ्यक्रम में तार्किक क्षमता के अंतर्गत “Binary Logic, Syllogism, Clocks & Calendars, Assumptions, Blood Relations, Family Tree, Logic-based puzzles” लिखा होता है। SSC CGL/CHSL, RRB, बैंक और राज्य परीक्षाओं में इसी से सच-झूठ बोलने वालों, कथनों की सत्यता, शर्त वाले वाक्यों और कोड के प्रश्न आते हैं। यह अध्याय उस पूरे हिस्से को शुरू से अंत तक कवर करता है।
| भाग | क्या सीखेंगे | मुख्य औज़ार |
|---|---|---|
| A. बुनियाद | कथन क्या है; सत्य = 1, असत्य = 0 | हर वाक्य को परखिए: दावा है या नहीं? |
| B. सच-झूठ वाले | एक से पाँच वक्ता, श्रृंखला, “हममें से इतने झूठे” | मान्यता लो, टकराव पर काटो |
| C. ठीक इतने कथन सत्य | किसने किया, कौन-सा बक्सा, संख्या वाली पहेलियाँ, विरोध की जाँच | हर संभावना पर सत्य कथन गिनिए |
| D. संयोजक और तालिकाएँ | NOT, AND, OR, XOR, IF-THEN, IFF; निषेध; प्रतिपरिवर्त | सत्यता-तालिका — सब पंक्तियाँ |
| E. शर्त वाले वाक्य | क्या निकलता है, क्या नहीं; आवश्यक/पर्याप्त | “यदि P तो Q” के चार रूप |
| F. 0/1 और गेट | बिट, लॉजिक गेट, सर्किट, स्विच-बल्ब | गेट की तालिका, श्रेणी = AND, समांतर = OR |
| G. हाँ/नहीं और दिन | अजनबी से प्रश्न, उत्तर-शब्द, झूठ वाले दिन | सब परिकल्पनाएँ लिखिए |
| H. जाल और परीक्षा | सबसे आम गलतियाँ, मिले-जुले प्रश्न | पहले प्रकार पहचानिए |
इस अध्याय को कैसे पढ़ें
- पढ़ें — हर भाग पहले शब्दों को समझाता है, फिर तरीका क़दम-दर-क़दम देता है।
- हल किया उदाहरण देखें — हर क़दम में क्या और क्यों लिखा है।
- खुद करें — पहले अपने से हल कीजिए, फिर “हल देखें”।
- जाँच — हर उत्तर हमारे प्रोग्राम ने सारे सत्य/असत्य संयोजनों को आज़माकर निकाला है; हर प्रश्न का ठीक एक ही उत्तर है।
A. बुनियाद: सत्य या असत्य
कथन किसे कहते हैं, कौन-से वाक्य कथन नहीं हैं, और सत्य/असत्य को 1/0 में लिखना।
कथन किसे कहते हैं
कथन की परिभाषा, “न बीच का, न दोनों” का नियम, और वे वाक्य जो कथन नहीं हैं।
कथन (statement) वह वाक्य है जो कोई दावा करता है और जिसके बारे में पक्का कहा जा सकता है कि वह सत्य है या असत्य। “जयपुर राजस्थान की राजधानी है” — दावा है और सही है: सत्य कथन। “एक वर्ष में 13 महीने होते हैं” — दावा है पर गलत है: असत्य कथन। असत्य कथन भी कथन ही होता है; वह बस गलत दावा है।
इसमें दो पक्के नियम छिपे हैं। (1) बीच का कुछ नहीं — कथन सत्य न हो तो असत्य होगा; तीसरा मान “आधा सच” या “पता नहीं” नहीं है। (2) दोनों एक साथ नहीं — कोई कथन एक ही समय में सत्य और असत्य नहीं हो सकता। इन्हें तर्कशास्त्र में अपवर्जित मध्य का नियम (law of excluded middle) और अविरोध का नियम (law of non-contradiction) कहते हैं।
| वाक्य का प्रकार | कथन है? | कारण |
|---|---|---|
| सही तथ्य — “सूर्य पूर्व में उगता है।” | हाँ (सत्य) | दावा है और सही है |
| गलत दावा — “चंद्रमा पृथ्वी से बड़ा है।” | हाँ (असत्य) | दावा है पर गलत है |
| भविष्य की बात — “कल बारिश होगी।” | हाँ | आज पता नहीं, फिर भी कल यह सत्य या असत्य होगा ही |
| प्रश्न — “राजस्थान की राजधानी क्या है?” | नहीं | पूछता है, दावा नहीं करता |
| आदेश/निवेदन — “खिड़की बंद कीजिए।” | नहीं | कहता है, दावा नहीं करता |
| उद्गार — “वाह, कितनी सुंदर सुबह!” | नहीं | भाव है, दावा नहीं |
| खुला वाक्य — “x + 4 = 9” या “n सम है” | नहीं (अभी) | अज्ञात x या n का मान दिए बिना सत्य/असत्य तय नहीं; मान मिलते ही कथन बन जाता है |
| स्वयं को असत्य कहने वाला — “यह वाक्य असत्य है।” | नहीं (विरोधाभास) | सत्य मानें तो असत्य निकलता है, असत्य मानें तो सत्य — कोई मान टिकता नहीं |
- 1पूछिए: क्या यह कोई दावा करता है जिसे पक्का सत्य या असत्य कहा जा सके?
- 2यह दावा करता है पर दावा गलत है — असत्य कथन (फिर भी कथन ही है)।
- 1पूछिए: क्या यह कोई दावा करता है जिसे पक्का सत्य या असत्य कहा जा सके?
- 2इसमें अज्ञात अक्षर (x, y, n, z) है; मान मिलने पर ही यह सत्य या असत्य बनेगा — अभी नहीं। इसे खुला वाक्य कहते हैं।
सत्य = 1, असत्य = 0
कथन का सत्यता-मान, सत्य/असत्य को 1/0 कोड में बदलना, सत्य कथन गिनना और जुड़े कथन परखना।
कथन का सत्यता-मान (truth value) उसका सत्य या असत्य होना है। कंप्यूटर की तरह इन्हें अंक में लिखते हैं: सत्य = 1, असत्य = 0। इसीलिए इसे बाइनरी (0/1) लॉजिक कहते हैं। जब कई कथन दिए हों, तो पहले हर कथन अलग से जाँचिए और उसका 1 या 0 लिखिए; फिर प्रश्न जो माँगे — गिनती, कोड या जोड़ा हुआ कथन — वही निकालिए।
- संख्या वाले कथन: सम/विषम, गुणज, अभाज्य, पूर्ण वर्ग, अंकों का योग — इन्हें हमेशा गणना से परखिए, अंदाज़े से नहीं। (1 अभाज्य नहीं है; 2 अकेली सम अभाज्य संख्या है।)
- कोड: चार कथनों के मान 1, 0, 0, 1 हों तो कोड 1001 (क्रम वही जो कथनों का है)।
- जुड़े कथन: “A और B” केवल तब सत्य जब दोनों सत्य; “A या B” तब सत्य जब कम-से-कम एक सत्य; “यदि A तो B” केवल तब असत्य जब A सत्य और B असत्य। पूरी तालिकाएँ भाग D में हैं।
- 1(1) 85 एक विषम संख्या है → सत्य → 1
- 2(2) 38 के अंकों का योग 3 है → असत्य → 0
- 3(3) 63 एक विषम संख्या है → सत्य → 1
- 4(4) 13 के अंकों का योग 11 है → असत्य → 0
- 5क्रम से लिखने पर कोड 1010 बनता है।
- 1हर भाग को पहले जाँचिए (T = सत्य, F = असत्य), फिर जोड़ने वाले शब्द का नियम लगाइए:
- 2(1) और: F, T → F
- 3(2) या: T, F → T
- 4(3) यदि-तो: T, F → F
- 5(4) या तो-या (XOR): T, T → F
B. सच बोलने वाले और झूठे
एक से पाँच वक्ताओं की पहेलियाँ, “A कहता है B झूठा है” की श्रृंखला और “हममें से इतने झूठे” वाले कथन।
नियम और एक वक्ता
सच्चे और झूठे की परिभाषा, झूठे के कथन का सही अर्थ, एक वक्ता से तथ्य निकालना और “मैं झूठा हूँ” का विरोधाभास।
यह भाग All Access में शामिल है।
पास लेने पर इस अध्याय के सारे उदाहरण, अभ्यास प्रश्न और हल खुल जाएँगे।
दो वक्ता
दो व्यक्तियों के चारों संभव बँटवारे, एक कथन से क्या तय होता है और पूरे हल की विधि।
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तीन वक्ता
तीन व्यक्तियों के आठ बँटवारे, एक को मानकर बाकियों का तय होना और टकराव पर मान्यता काटना।
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चार और पाँच वक्ता
चार-पाँच व्यक्तियों की पहेलियाँ: सारे बँटवारे न लिखकर टकराव पर जल्दी काटना।
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“A कहता है B झूठा है” — श्रृंखला
श्रृंखला और घेरे वाली पहेलियाँ: “झूठा है” कथन प्रकार पलटता है, “सच्चा है” वही रखता है।
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“हममें से इतने झूठे हैं”
गिनती वाले कथन: झूठों की संख्या L मानकर सत्य कथनों की संख्या से मिलान।
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C. ठीक इतने कथन सत्य
वे पहेलियाँ जिनमें कथन किसी छिपी बात के बारे में हैं और बताया जाता है कि उनमें से कितने सत्य हैं।
दो विधियाँ: मान्यता और काट
“ठीक इतने कथन सत्य” वाली पहेलियों की दोनों विधियाँ, कथनों में विरोध की पहचान और कहाँ से शुरू करें।
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किसने किया? कौन-सा बक्सा?
चोरी-शरारत और इनाम-बक्से की पहेलियाँ: सच्चे बयानों की गिनती से दोषी या बक्सा खोजना।
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कथन जो कथनों की गिनती बताएँ
सूची के कथन स्वयं सूची के सत्य/असत्य कथनों की संख्या बताते हैं; असत्य कथनों की संख्या F मानकर हल।
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संख्या के संकेत और विरोध की जाँच
सोची गई संख्या के बारे में कथन: ठीक k कथन सत्य, कौन-से दो कथन साथ सत्य नहीं हो सकते, अधिकतम कितने साथ सत्य।
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D. संयोजक और सत्यता-तालिकाएँ
कथनों को जोड़ने वाले शब्दों के नियम (सत्यता-तालिका), व्यंजक का मान, निषेध और प्रतिपरिवर्त।
छह संयोजक: NOT से IFF तक
NOT, AND, OR (समावेशी), XOR, IF-THEN और IFF की सत्यता-तालिकाएँ, और “झूठी शर्त पर वाक्य सत्य क्यों”।
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व्यंजक का मान, पुनरुक्ति और समतुल्यता
बड़े व्यंजक की सत्यता-तालिका, पंक्तियों की गिनती, सदा सत्य/सदा असत्य और समतुल्य व्यंजक।
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निषेध: सही विलोम बनाना
कथन का सही निषेध: और/या का बदलना, शर्त का निषेध, “सभी/कुछ/कोई नहीं” का निषेध और संख्या वाले कथनों का निषेध।
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विपरीत, प्रतिलोम, प्रतिपरिवर्त
शर्त वाले कथन के विपरीत (converse), प्रतिलोम (inverse) और प्रतिपरिवर्त (contrapositive) तथा कौन-से समतुल्य हैं।
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E. शर्त वाले वाक्य
“यदि … तो …” वाले वाक्यों से निश्चित निष्कर्ष, “केवल यदि”, “जब तक नहीं”, आवश्यक-पर्याप्त और कड़ियाँ।
शर्त और एक तथ्य: क्या निकलता है
“यदि P तो Q” के साथ P या Q का मान मिलने पर क्या पक्का निकलता है और कड़ी वाले निष्कर्ष।
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केवल यदि · जब तक नहीं · आवश्यक-पर्याप्त
“केवल यदि”, “जब तक नहीं”, “आवश्यक” और “पर्याप्त” वाले वाक्यों को शर्त के रूप में पहचानना।
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F. 0/1 कोड और लॉजिक गेट
कंप्यूटर की भाषा के 0/1, लॉजिक गेट की तालिकाएँ, छोटे सर्किट और स्विच-बल्ब की पहेलियाँ।
बिट और लॉजिक गेट
बिट (0/1), बिट-स्ट्रिंग पर अंक-दर-अंक क्रिया, बाइनरी संख्या और सातों गेट की तालिका।
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छोटा सर्किट: भीतर से बाहर
दो-तीन गेट वाले सर्किट का आउटपुट निकालना, इनपुट के संयोजन गिनना और सर्किट को एक गेट में बदलना।
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स्विच और बल्ब
श्रेणी और समांतर स्विच वाले परिपथ में बल्ब कब जलेगा, और हर बार दबाने पर पलटने वाले स्विच की पहेलियाँ।
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G. हाँ/नहीं और दिनों की पहेलियाँ
सच्चे-झूठे से हाँ/नहीं सवाल, सही सवाल चुनना, उत्तर-शब्द का अर्थ अज्ञात होना और सप्ताह के कुछ दिन झूठ बोलने वाले।
हाँ/नहीं और सही सवाल
सच्चे और झूठे के “हाँ/नहीं” का अर्थ, अपने बारे में पूछे सवाल, “यदि मैं पूछूँ तो क्या आप हाँ कहेंगे” वाला सवाल।
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दो अजनबी और अनजाने उत्तर-शब्द
दो व्यक्तियों से एक-दूसरे के बारे में हाँ/नहीं पूछना और ऐसा द्वीप जहाँ “हाँ/नहीं” के शब्द पता नहीं।
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सप्ताह के कुछ दिन झूठ बोलने वाले
जो प्राणी कुछ दिन झूठ और बाकी दिन सच बोलता है: कथन कब कहा जा सकता है।
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H. जाल और परीक्षा की गलतियाँ
बाइनरी लॉजिक के सबसे आम जाल: झूठे का “सब कुछ उलटा”, “मैं झूठा हूँ”, समावेशी बनाम अपवर्जी OR, गलत उलटे निष्कर्ष।
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सार-सारणी और रणनीति
हर प्रश्न-प्रकार, उसका पहला क़दम और मुख्य तथ्य एक जगह; साथ में सबके लिए एक सामान्य क्रम।
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मिश्रित अभ्यास
सभी भागों के प्रश्न तीन स्तरों में — परीक्षा की तरह बिना बताए प्रकार।
आसान अभ्यास
कथन की पहचान, दो-तीन वक्ता, सत्यता-तालिका, प्रतिपरिवर्त, गेट और हाँ/नहीं।
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मध्यम अभ्यास
गिनती वाली पहेलियाँ, किसने किया, निषेध, “केवल यदि”, सर्किट, स्विच और हाँ/नहीं।
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कठिन अभ्यास
घेरे वाली श्रृंखला, ठीक-एक-सत्य की काट, कथनों की गिनती, तीन-चर वाले व्यंजक, कड़ी और दिनों की पहेली।
यह भाग All Access में शामिल है।
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दोहराव — कार्ड
हर कार्ड पर पहले खुद उत्तर सोचिए, फिर पलटिए।
यह भाग All Access में शामिल है।
पास लेने पर इस अध्याय के सारे उदाहरण, अभ्यास प्रश्न और हल खुल जाएँगे।