क्रमचय और संचय

प्रतियोगी गणित · बीजगणित

7 भाग2 हल किए उदाहरण16 अभ्यास प्रश्न

आपके पास 3 कमीज़ें और 4 पतलूनें हैं। आप कितने भिन्न पहनावे बना सकते हैं? कमीज़ 3 तरीकों से चुनी जा सकती है और हर कमीज़ के साथ पतलून 4 तरीकों से — कुल $3 \times 4 = 12$ पहनावे। इसी "गुणा" वाले विचार से पूरा अध्याय बना है। जब क्रम मायने रखता है (जैसे फ़ोन नंबर, या कतार में बैठना) तो हम क्रमचय गिनते हैं; जब केवल समूह चुनना हो और क्रम से फ़र्क़ न पड़े (जैसे समिति) तो संचय। इसलिए हर प्रश्न में पहले यह पूछिए: "क्या क्रम बदलने से नया तरीका बनता है?"

^{n} P_{r} = \frac{n !}{( n - r )!},^{n} C_{r} = \frac{n !}{r ! ( n - r )!} =^{n} P_{r} \div r!

दो मूल सूत्र

गणना के मूल नियम

गुणन और जोड़ का नियम

चरण-दर-चरण काम में गुणा; "या" वाले विकल्पों में जोड़; और भाज्य (factorial)।

गुणन, जोड़ और भाज्य

"और" = गुणा, "या" = जोड़

जब कई चरण एक के बाद एक हों तो विकल्प गुणा होते हैं; जब या तो-या-तो हो तो जोड़ते हैं।

गुणन नियम: एक काम $m$ तरीकों से और उसके बाद दूसरा $n$ तरीकों से हो सके तो दोनों $m \times n$ तरीकों से।
जोड़ नियम: यदि काम या तो पहली रीति से ( $m$ तरीके) या दूसरी रीति से ( $n$ तरीके) हो और दोनों साथ न हों तो कुल $m + n$ ।
भाज्य: $n! = n \times (n - 1) \times \dots \times 1$ ; $0! = 1$ ; $n! = n \times (n - 1)!$ । $n$ वस्तुओं को पंक्ति में $n!$ तरीकों से सजाया जाता है।
पुनरावृत्ति की छूट हो (हर बार वही विकल्प): $n^{r}$ तरीके। पुनरावृत्ति न हो: $^{n} P_{r}$ ।

उदाहरण 1 · आसान

एक हॉल में 9 दरवाज़े हैं। कोई व्यक्ति एक दरवाज़े से अंदर जाकर दूसरे दरवाज़े से बाहर कितने तरीकों से निकल सकता है?

हल, कदम-दर-कदम

1प्रवेश के $9$ तरीके; निकास के $8$ (अलग दरवाज़ा)।
2गुणन नियम: $9 \times 8 = 72$

उत्तर 72

उदाहरण 2 · आसान

4 जेबों वाला एक बच्चा 3 कंचे जेबों में कितने तरीकों से रख सकता है?

हल, कदम-दर-कदम

1हर कंचे के लिए 4 जेबें (पुनरावृत्ति मान्य)।
2 $4^{3} = 64$

उत्तर 64

आसानपहले खुद करके देखें

एक हॉल में 12 दरवाज़े हैं। कोई व्यक्ति एक दरवाज़े से अंदर जाकर दूसरे दरवाज़े से बाहर कितने तरीकों से निकल सकता है?

आसानपहले खुद करके देखें

शहर A से B तक 6 रास्ते और B से C तक 7 रास्ते हैं। A से B होकर C तक जाने के कितने तरीके हैं?

मध्यमपहले खुद करके देखें

एक कक्षा में 18 लड़के और 12 लड़कियाँ हैं। मॉनिटर कोई लड़का या कोई लड़की चुना जाना है। कितने तरीके?

आसानपहले खुद करके देखें

एक बच्चे की 5 जेबें हैं और 3 कंचे हैं। वह कंचे जेबों में कितने तरीकों से रख सकता है?

आसानपहले खुद करके देखें

4 किताबें 6 लड़कों को इस प्रकार दी जानी हैं कि हर लड़का किसी भी किताब का पात्र हो। कितने तरीके?

मध्यमपहले खुद करके देखें

एक व्यक्ति के 5 मित्र हैं और उसके पास 4 नौकर हैं। हर निमंत्रण-पत्र किसी भी नौकर से भेजा जा सकता है। कितने तरीके?

आसानपहले खुद करके देखें

एक परीक्षा में 8 सही/ग़लत प्रश्न हैं। सभी का उत्तर देने के कितने तरीके हैं?

मध्यमपहले खुद करके देखें

एक क्रिकेट श्रृंखला में 6 मैच खेले गए (कोई टाई/रद्द नहीं)। परिणाम घोषित करने के कितने तरीके हो सकते हैं?

मध्यमपहले खुद करके देखें

एक रेल लाइन पर 12 स्टेशन हैं। अलग-अलग यात्राओं के लिए कितने प्रकार के टिकट छापने पड़ेंगे (A से B और B से A अलग माने जाएँ)?

मध्यमपहले खुद करके देखें

6 अंकों के फ़ोन नंबर में सभी अंक भिन्न हैं। यदि बाएँ और दाएँ छोर के अंक क्रमशः 4 और 9 निश्चित हों तो ऐसे कितने नंबर संभव हैं?

कठिनपहले खुद करके देखें

8 अंकों के फ़ोन नंबर में सभी अंक भिन्न हैं। यदि बाएँ और दाएँ छोर के अंक क्रमशः 4 और 9 निश्चित हों तो ऐसे कितने नंबर संभव हैं?

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5 रंगों (पीला, हरा, नीला, ...) का प्रयोग करके 4 खड़ी पट्टियों वाला झंडा बनाना है ताकि पास-पास की कोई दो पट्टियाँ एक रंग की न हों। कितने तरीके?

मध्यमपहले खुद करके देखें

3 रंगों (पीला, हरा, नीला, ...) का प्रयोग करके 5 खड़ी पट्टियों वाला झंडा बनाना है ताकि पास-पास की कोई दो पट्टियाँ एक रंग की न हों। कितने तरीके?

कठिनपहले खुद करके देखें

6 रंगों (पीला, हरा, नीला, ...) का प्रयोग करके 4 खड़ी पट्टियों वाला झंडा बनाना है ताकि पास-पास की कोई दो पट्टियाँ एक रंग की न हों। कितने तरीके?

कठिनपहले खुद करके देखें

4 रंगों (पीला, हरा, नीला, ...) का प्रयोग करके 5 खड़ी पट्टियों वाला झंडा बनाना है ताकि पास-पास की कोई दो पट्टियाँ एक रंग की न हों। कितने तरीके?

कठिनपहले खुद करके देखें

7 रंगों (पीला, हरा, नीला, ...) का प्रयोग करके 3 खड़ी पट्टियों वाला झंडा बनाना है ताकि पास-पास की कोई दो पट्टियाँ एक रंग की न हों। कितने तरीके?

क्रमचय

जब क्रम मायने रखे

$^{n} P_{r}$ , शब्दों के अक्षर, अंकों से संख्याएँ, पंक्ति और गोल मेज़ पर बैठना।

$^{n} P_{r}$ और सूत्र

r

घटते गुणनखंड

$n$ में से $r$ वस्तुएँ क्रम से चुनने के तरीके।

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शब्दों के अक्षर और संख्याएँ

दोहराव का भाग और प्रतिबंध

अक्षर दोहराए हों तो उनके भाज्य से भाग; और स्वर साथ/अलग, सिरों पर, विषम स्थानों पर जैसी शर्तें।

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पंक्ति, गोल मेज़ और हार

एक को स्थिर कीजिए

पंक्ति में $n!$ ; गोल मेज़ पर $(n - 1)!$ ; हार में $\frac{( n - 1 )!}{2}$ ।

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संचय

जब केवल चुनना हो

$^{n} C_{r}$ , समितियाँ, प्रश्न-पत्र, हाथ मिलाना, रेखाएँ और त्रिभुज।

$^{n} C_{r}$ और समितियाँ

क्रम नहीं, समूह

$^{n} C_{r}$ का मान, $^{n} C_{x} =^{n} C_{y}$ और समिति / प्रश्न चुनने के प्रश्न।

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हाथ मिलाना, रेखाएँ और त्रिभुज

जोड़ियाँ और तिकड़ियाँ

हर जोड़ी का एक हाथ मिलाना $^{n} C_{2}$ ; $n$ बिंदुओं से रेखाएँ, त्रिभुज, चतुर्भुज और विकर्ण।

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मिले-जुले और चतुर प्रश्न

रास्ते, पैटर्न और समरूपता

जाल पर रास्ते, "दो पास-पास नहीं" जैसे पैटर्न और समरूपता का तर्क।

जाल, पैटर्न और समरूपता

चुनिए कि किस चरण में विकल्प

हर चाल दो में से एक: कुल चालों में से उत्तर वाली चालों की जगह चुनिए।

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जाल और तेज़ चालें

गलतियाँ · तरकीबें

क्रमचय-संचय में अंक कहाँ कटते हैं।

सबसे आम गलतियाँ

छह जाल

जिन गलतियों पर अंक कटते हैं।

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तेज़ चालें

नियम और जाँच

जल्दी हल करने की आदतें।

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अभ्यास की सीढ़ी

आसान → मध्यम → कठिन

हर प्रकार के नए प्रश्न, तीन स्तरों में।

स्तर 1 — आसान

सीधे नियम

एक नियम वाले प्रश्न।

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स्तर 2 — मध्यम

दो विचारों का मेल

परीक्षा-स्तर के प्रश्न।

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स्तर 3 — कठिन

कई कदम और चालाक सोच

प्रतियोगी परीक्षाओं के कठिन स्तर के प्रश्न।

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दोहराव — सूत्र कार्ड

पलटिए और खुद से पूछिए

हर कार्ड का प्रश्न पढ़कर पहले खुद सोचिए, फिर पलटिए।

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क्रमचय और संचय

गणना के मूल नियम

गुणन, जोड़ और भाज्य

क्रमचय

$^{n} P_{r}$ और सूत्र

शब्दों के अक्षर और संख्याएँ

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संचय

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हाथ मिलाना, रेखाएँ और त्रिभुज

मिले-जुले और चतुर प्रश्न

जाल, पैटर्न और समरूपता

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