त्रिकोणमिति

प्रतियोगी गणित · ज्यामिति

8 भाग2 हल किए उदाहरण28 अभ्यास प्रश्न

कोई सीढ़ी दीवार से टिकी है। सीढ़ी की लंबाई और ज़मीन से बने कोण को जानकर हम दीवार पर उसकी ऊँचाई बता सकते हैं — बिना नापे। त्रिकोणमिति यही करती है: समकोण त्रिभुज में कोण और भुजाओं के अनुपात को जोड़ती है। इसके छह अनुपात — $sin, cos, tan, cot, sec, cosec$ — और उनके बीच के संबंध पूरे अध्याय की नींव हैं।

sin θ = \frac{लंब}{कर्ण}, cos θ = \frac{आधार}{कर्ण}, tan θ = \frac{लंब}{आधार}; sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1

मूल अनुपात और मूल सर्वसमिका

कोणों का माप

अंश, मिनट और रेडियन

अंश-मिनट-सेकंड पद्धति, रेडियन माप और दोनों के बीच रूपांतरण।

अंश और रेडियन

π

रेडियन

= 18 0^{\circ}

रूपांतरण के नियम और चाप-कोण संबंध।

षष्ठिक पद्धति: $1^{\circ} = 6 0^{'}$ (मिनट), $1^{'} = 6 0^{''}$ (सेकंड)।
रेडियन: वह कोण जो 1 इकाई त्रिज्या के वृत्त की 1 इकाई चाप केंद्र पर बनाती है। $2 π$ रेडियन $= 36 0^{\circ}$ , इसलिए $π$ रेडियन $= 18 0^{\circ}$ और $1$ रेडियन $\approx 5 7^{\circ} 1 6^{'} 2 2^{''}$ ।
अंश → रेडियन: $\times \frac{π}{180}$ ; रेडियन → अंश: $\times \frac{180}{π}$ (या $π$ की जगह $18 0^{\circ}$ )।
चाप और कोण: $θ (रेडियन) = \frac{चाप s}{त्रिज्या r}$ , यानी $s = r θ$ ।

उदाहरण 1 · आसान

105° को रेडियन में बदलिए।

हल, कदम-दर-कदम

1 $105 \times \frac{π}{180} = \frac{105 π}{180}$ ।
215 से भाग: $\frac{7 π}{12}$ रेडियन

उत्तर $\frac{7 π}{12}$

उदाहरण 2 · मध्यम

7 सेमी त्रिज्या के वृत्त की 11 सेमी लंबी चाप केंद्र पर कितना कोण (अंशों में) बनाएगी? (

π = \frac{22}{7}

)

हल, कदम-दर-कदम

1 $θ = \frac{11}{7}$ रेडियन।
2अंशों में: $\frac{11}{7} \times \frac{180 \times 7}{22} = 9 0^{\circ}$

उत्तर 90°

आसानपहले खुद करके देखें

36° को रेडियन में बदलिए।

आसानपहले खुद करके देखें

45° को रेडियन में बदलिए।

मध्यमपहले खुद करके देखें

72° को रेडियन में बदलिए।

मध्यमपहले खुद करके देखें

150° को रेडियन में बदलिए।

मध्यमपहले खुद करके देखें

210° को रेडियन में बदलिए।

कठिनपहले खुद करके देखें

225° को रेडियन में बदलिए।

कठिनपहले खुद करके देखें

18° को रेडियन में बदलिए।

आसानपहले खुद करके देखें

\frac{π}{2}

रेडियन को अंशों में बदलिए।

मध्यमपहले खुद करके देखें

\frac{3 π}{4}

रेडियन को अंशों में बदलिए।

मध्यमपहले खुद करके देखें

\frac{2 π}{3}

रेडियन को अंशों में बदलिए।

मध्यमपहले खुद करके देखें

\frac{5 π}{6}

रेडियन को अंशों में बदलिए।

कठिनपहले खुद करके देखें

\frac{7 π}{9}

रेडियन को अंशों में बदलिए।

कठिनपहले खुद करके देखें

\frac{11 π}{12}

रेडियन को अंशों में बदलिए।

आसानपहले खुद करके देखें

36° 30′ को दशमलव अंशों में बदलिए।

मध्यमपहले खुद करके देखें

25° 15′ को दशमलव अंशों में बदलिए।

मध्यमपहले खुद करके देखें

42° 45′ को दशमलव अंशों में बदलिए।

कठिनपहले खुद करके देखें

18° 24′ को दशमलव अंशों में बदलिए।

मध्यमपहले खुद करके देखें

25.5° को अंश-मिनट रूप में लिखिए।

मध्यमपहले खुद करके देखें

12.25° को अंश-मिनट रूप में लिखिए।

कठिनपहले खुद करके देखें

40.75° को अंश-मिनट रूप में लिखिए।

कठिनपहले खुद करके देखें

33.2° को अंश-मिनट रूप में लिखिए।

मध्यमपहले खुद करके देखें

14 सेमी त्रिज्या के वृत्त की 22 सेमी लंबी चाप केंद्र पर कितने अंश का कोण बनाएगी? (

π = \frac{22}{7}

)

मध्यमपहले खुद करके देखें

14 सेमी त्रिज्या के वृत्त की 11 सेमी लंबी चाप केंद्र पर कितने अंश का कोण बनाएगी? (

π = \frac{22}{7}

)

मध्यमपहले खुद करके देखें

21 सेमी त्रिज्या के वृत्त की 44 सेमी लंबी चाप केंद्र पर कितने अंश का कोण बनाएगी? (

π = \frac{22}{7}

)

कठिनपहले खुद करके देखें

14 सेमी त्रिज्या के वृत्त की 33 सेमी लंबी चाप केंद्र पर कितने अंश का कोण बनाएगी? (

π = \frac{22}{7}

)

कठिनपहले खुद करके देखें

21 सेमी त्रिज्या के वृत्त की 66 सेमी लंबी चाप केंद्र पर कितने अंश का कोण बनाएगी? (

π = \frac{22}{7}

)

कठिनपहले खुद करके देखें

21 सेमी त्रिज्या के वृत्त की 22 सेमी लंबी चाप केंद्र पर कितने अंश का कोण बनाएगी? (

π = \frac{22}{7}

)

कठिनपहले खुद करके देखें

42 सेमी त्रिज्या के वृत्त की 77 सेमी लंबी चाप केंद्र पर कितने अंश का कोण बनाएगी? (

π = \frac{22}{7}

)

अनुपात और सर्वसमिकाएँ

छह अनुपात, तीन सर्वसमिकाएँ

समकोण त्रिभुज के छह अनुपात, उनके पारस्परिक संबंध और तीन मूल सर्वसमिकाएँ।

छह अनुपात

सामने, आसन्न, कर्ण

कोण $θ$ के सापेक्ष भुजाओं के नाम और अनुपात; एक अनुपात से बाकी निकालना।

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सर्वसमिकाएँ

sin^{2} + cos^{2} = 1

और उसके साथी

तीन मूल सर्वसमिकाएँ और उन पर आधारित प्रश्न।

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मानक कोणों के मान

0^{\circ}, 3 0^{\circ}, 4 5^{\circ}, 6 0^{\circ}, 9 0^{\circ}

तालिका, चतुर्थांश के चिह्न, बड़े और ऋणात्मक कोणों का संदर्भ कोण में रूपांतरण, पूरक कोण।

मानक कोणों की तालिका

एक बार रटिए, हमेशा काम आएगी

पाँच कोणों के $sin, cos, tan$ और उनसे बने व्यंजक।

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बड़े कोण, ऋणात्मक कोण और चिह्न

संदर्भ कोण + चतुर्थांश का चिह्न

किसी भी कोण को $0^{\circ}$ – $9 0^{\circ}$ के संदर्भ कोण में लाकर मान निकालना।

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योग-अंतर और द्विकोण सूत्र

दो कोणों को मिलाने के सूत्र

$sin (A \pm B)$ , $cos (A \pm B)$ , $tan (A \pm B)$ , द्विकोण सूत्र और $1 5^{\circ}$ , $7 5^{\circ}$ के मान।

सूत्र और उनका उपयोग

सूत्र पहचानिए, फिर तालिका लगाइए

योग-अंतर, द्विकोण और गुणनफल-से-योग सूत्र।

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अधिकतम-न्यूनतम और विशेष परिणाम

सीमाएँ और शृंखला-गुणनफल

$sin, cos$ की सीमाएँ, $a sin θ + b cos θ$ का अधिकतम-न्यूनतम और शृंखला-गुणनफल के परिणाम।

सीमाएँ और शृंखला-गुणनफल

- 1 \leq sin θ \leq 1

मानों की सीमा और विशेष परिणाम।

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जाल और तेज़ चालें

गलतियाँ · तरकीबें

त्रिकोणमिति में अंक कहाँ कटते हैं।

सबसे आम गलतियाँ

सात जाल

जिन गलतियों पर अंक कटते हैं।

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तेज़ चालें

पहचानिए और सूत्र लगाइए

जल्दी हल करने की आदतें।

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अभ्यास की सीढ़ी

आसान → मध्यम → कठिन

हर प्रकार के नए प्रश्न, तीन स्तरों में।

स्तर 1 — आसान

सीधे नियम

एक नियम वाले प्रश्न।

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स्तर 2 — मध्यम

दो विचारों का मेल

परीक्षा-स्तर के प्रश्न।

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स्तर 3 — कठिन

कई कदम और चालाक सोच

प्रतियोगी परीक्षाओं के कठिन स्तर के प्रश्न।

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दोहराव — सूत्र कार्ड

पलटिए और खुद से पूछिए

हर कार्ड का प्रश्न पढ़कर पहले खुद सोचिए, फिर पलटिए।

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सर्वसमिकाएँ

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