वर्ग, वर्गमूल, घन और घनमूल

आपके कमरे का फर्श 12 मीटर × 12 मीटर का वर्गाकार है तो उसका क्षेत्रफल $1 2^{2} = 144$ वर्ग मीटर है। अगर क्षेत्रफल 144 बताया जाए और भुजा पूछी जाए तो हमें वर्गमूल चाहिए। यही अध्याय का पूरा विचार है: एक संख्या को स्वयं से गुणा करना (वर्ग) और उसे वापस पलटना (वर्गमूल)। घन में तीन बार गुणा करते हैं — जैसे $4 \times 4 \times 4$ किसी घनाकार डिब्बे का आयतन।

इस अध्याय के प्रश्न चार काम माँगते हैं: (1) किसी संख्या का वर्ग / घन जल्दी निकालना, (2) वर्गमूल / घनमूल निकालना, (3) “कौन-सी न्यूनतम संख्या जोड़ें / घटाएँ / गुणा करें कि पूर्ण वर्ग बन जाए”, (4) अंकों, इकाई-अंक और दशमलव के नियम। चारों को क्रम से सीखेंगे।

1

वर्ग निकालना

तेज़ विधियाँ और नियम

वर्ग का अर्थ, तेज़ विधियाँ और वर्गों के गुण।

वर्ग क्या है

स्वयं से गुणा

वर्ग की परिभाषा और 1 से 30 तक के वर्ग।

किसी संख्या को स्वयं से गुणा करने पर जो मिले उसे उसका वर्ग कहते हैं। $6^{2} = 6 \times 6 = 36$ । जिस संख्या का वर्गमूल पूर्ण संख्या हो, उसे पूर्ण वर्ग (perfect square) कहते हैं — 36, 49, 144 पूर्ण वर्ग हैं; 40 नहीं है। 1 से 30 तक के वर्ग रट लीजिए; आगे हर तरकीब इन्हीं पर टिकी है।

संख्या	वर्ग	संख्या	वर्ग
1	1	16	256
2	4	17	289
3	9	18	324
4	16	19	361
5	25	20	400
6	36	21	441
7	49	22	484
8	64	23	529
9	81	24	576
10	100	25	625
11	121	26	676
12	144	27	729
13	169	28	784
14	196	29	841
15	225	30	900

उदाहरण 1 · आसान

क्या 1225 पूर्ण वर्ग है? यदि हाँ तो किसका?

हल, कदम-दर-कदम

1अंतिम अंक 5 है, इसलिए यदि यह वर्ग है तो जड़ भी 5 पर समाप्त होगी।
2 $3 0^{2} = 900$ और $4 0^{2} = 1600$ , इसलिए जड़ 30 और 40 के बीच है: 35 आज़माइए। $3 5^{2} = 1225$ ✓

उत्तर हाँ, $3 5^{2}$

आसानपहले खुद करके देखें

इनमें से कौन-सी संख्या पूर्ण वर्ग है?

वर्ग निकालने की तेज़ विधियाँ

चार तरीके

सूत्र से, 5 पर अंत होने वाली संख्या, 100 के पास की संख्या और दशमलव का वर्ग।

1) सूत्र से

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}, (a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

संख्या को आसान टुकड़ों में तोड़िए

$a, b$: संख्या के दो भाग (जैसे 30 और 4)

उदाहरण 2 · आसान

3 4^{2}

ज्ञात कीजिए।

हल, कदम-दर-कदम

1 $34 = 30 + 4$ , इसलिए $3 4^{2} = 3 0^{2} + 2 \times 30 \times 4 + 4^{2}$
2 $= 900 + 240 + 16 = 1156$

उत्तर 1156

उदाहरण 3 · मध्यम

9 7^{2}

ज्ञात कीजिए।

हल, कदम-दर-कदम

1 $97 = 100 - 3$ , इसलिए $9 7^{2} = 10 0^{2} - 2 \times 100 \times 3 + 3^{2}$
2 $= 10000 - 600 + 9 = 9409$

उत्तर 9409

जो संख्या 100 / 50 / 10 के पास हो, उसे घटाने वाला रूप सरल पड़ता है।

आसानपहले खुद करके देखें

(40 + 3)^{2}

का मान ज्ञात कीजिए।

मध्यमपहले खुद करके देखें

(60 + 7)^{2}

का मान ज्ञात कीजिए।

मध्यमपहले खुद करके देखें

(80 + 9)^{2}

का मान ज्ञात कीजिए।

2) 5 पर अंत होने वाली संख्या

$(10 k + 5)^{2} = 100 k (k + 1) + 25$ । यानी दहाई वाले अंक $k$ को उसके अगले अंक $k + 1$ से गुणा करो, और आगे दो अंक 25 लगा दो। $7 5^{2}$ : $7 \times 8 = 56$ → 5625। $12 5^{2}$ : $12 \times 13 = 156$ → 15625।

उदाहरण 4 · मध्यम

14 5^{2}

ज्ञात कीजिए।

हल, कदम-दर-कदम

15 से पहले की संख्या 14 है; $14 \times 15 = 210$ ।
2इसके आगे 25 लगाइए → 21025।

उत्तर 21025

आसानपहले खुद करके देखें

45² का मान ज्ञात कीजिए।

मध्यमपहले खुद करके देखें

95² का मान ज्ञात कीजिए।

मध्यमपहले खुद करके देखें

125² का मान ज्ञात कीजिए।

3) 100 के पास की संख्या

$(100 + d)^{2} = 10000 + 200 d + d^{2}$ । जैसे $10 4^{2}$ : $d = 4$ → $10000 + 800 + 16 = 10816$ । $9 6^{2}$ : $d = - 4$ → $10000 - 800 + 16 = 9216$ । यानी संख्या में 100 से अंतर का दुगुना जोड़ो / घटाओ, फिर अंतर का वर्ग जोड़ो।

उदाहरण 5 · मध्यम

10 8^{2}

ज्ञात कीजिए।

हल, कदम-दर-कदम

1 $d = 8$ : $10000 + 200 \times 8 + 8^{2}$
2 $= 10000 + 1600 + 64 = 11664$

उत्तर 11664

मध्यमपहले खुद करके देखें

103² का मान ज्ञात कीजिए।

मध्यमपहले खुद करके देखें

94² का मान ज्ञात कीजिए।

कठिनपहले खुद करके देखें

107² का मान ज्ञात कीजिए।

4) दशमलव का वर्ग

दशमलव हटाकर संख्या का वर्ग निकालिए, फिर उत्तर में दशमलव के स्थान दुगुने रखिए। $3. 5^{2}$ : $3 5^{2} = 1225$ ; मूल संख्या में 1 स्थान था, तो उत्तर में 2 → 12.25। $0.0 4^{2}$ : $4^{2} = 16$ , 2 स्थान ×2 = 4 स्थान → 0.0016।

उदाहरण 6 · आसान

1. 2^{2}

और

0.2 5^{2}

ज्ञात कीजिए।

हल, कदम-दर-कदम

1 $1 2^{2} = 144$ ; 1 स्थान → 2 स्थान: 1.44।
2 $2 5^{2} = 625$ ; 2 स्थान → 4 स्थान: 0.0625।

उत्तर 1.44, 0.0625

आसानपहले खुद करके देखें

0. 6^{2}

का मान क्या है?

मध्यमपहले खुद करके देखें

1. 5^{2}

का मान क्या है?

वर्गों के गुण

इकाई अंक, अंतर, अंकों की संख्या

जाँच के नियम जिनसे बिना हल किए विकल्प कट जाते हैं।

वर्ग का अंतिम अंक	जड़ का अंतिम अंक
1	1, 9
4	2, 8
9	3, 7
6	4, 6
5	5
0	0

कोई पूर्ण वर्ग 2, 3, 7, 8 पर समाप्त नहीं होता।
अंत में विषम संख्या में शून्य वाला कोई पूर्ण वर्ग नहीं होता (जैसे 4000)।
क्रमागत संख्याओं के वर्गों का अंतर = दोनों संख्याओं का योग: $(n + 1)^{2} - n^{2} = 2 n + 1$ । जैसे $1 2^{2} - 1 1^{2} = 23$ ।
पहली $n$ विषम संख्याओं का योग $n^{2}$ होता है: $1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 5^{2}$ ।
$n$ अंकों वाली पूर्ण वर्ग संख्या की जड़ में अंक: $n$ सम हो तो $\frac{n}{2}$ , विषम हो तो $\frac{n + 1}{2}$ ।

उदाहरण 7 · मध्यम

5 1^{2} - 4 9^{2}

का मान क्या है?

हल, कदम-दर-कदम

1 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ से: $(51 + 49) (51 - 49)$
2 $= 100 \times 2 = 200$

उत्तर 200

उदाहरण 8 · मध्यम

पहली 25 विषम संख्याओं का योग क्या है?

हल, कदम-दर-कदम

1पहली $n$ विषम संख्याओं का योग $n^{2}$ है।
2 $2 5^{2} = 625$

उत्तर 625

आसानपहले खुद करके देखें

4 अंकों की एक पूर्ण वर्ग संख्या के वर्गमूल में कितने अंक होंगे?

आसानपहले खुद करके देखें

6 अंकों की एक पूर्ण वर्ग संख्या के वर्गमूल में कितने अंक होंगे?

मध्यमपहले खुद करके देखें

7 अंकों की एक पूर्ण वर्ग संख्या के वर्गमूल में कितने अंक होंगे?

मध्यमपहले खुद करके देखें

9 अंकों की एक पूर्ण वर्ग संख्या के वर्गमूल में कितने अंक होंगे?

उदाहरण 9 · मध्यम

सबसे छोटी 4 अंकों की और सबसे बड़ी 5 अंकों की पूर्ण वर्ग संख्या ज्ञात कीजिए।

हल, कदम-दर-कदम

1सबसे छोटी 4 अंकों की संख्या 1000 है। $3 1^{2} = 961 < 1000$ , $3 2^{2} = 1024$ → 1024।
2सबसे बड़ी 5 अंकों की संख्या 99999 है। $31 6^{2} = 99856$ , $31 7^{2} = 100489 > 99999$ → 99856।

उत्तर 1024 और 99856

2

वर्गमूल निकालना

गुणनखंड · भाग विधि · दशमलव

वर्गमूल की दो मुख्य विधियाँ, दशमलव और भिन्न का वर्गमूल, और न्यूनतम जोड़ने / घटाने / गुणा करने वाले प्रश्न।

अभाज्य गुणनखंड विधि

जोड़े बनाइए

छोटी और मध्यम पूर्ण वर्ग संख्याओं के लिए सबसे साफ़ तरीका।

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भाग विधि

बड़ी संख्याओं के लिए

जब गुणनखंड कठिन हों: जोड़े बनाइए, उतारिए, भाजक दुगुना कीजिए।

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दशमलव और भिन्न का वर्गमूल

स्थान आधे, अंश-हर अलग-अलग

दशमलव में जोड़े बिंदु से दोनों ओर बनते हैं; भिन्न में अंश और हर का अलग-अलग मूल।

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“न्यूनतम संख्या” वाले प्रश्न

जोड़ो · घटाओ · गुणा करो · भाग दो

परीक्षा का सबसे प्रिय प्रश्न-प्रकार, चार रूपों में।

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3

घन और घनमूल

तीन बार गुणा

घन निकालने की विधियाँ, अभाज्य गुणनखंड और अंतिम अंक की तरकीब से घनमूल, और घनों के गुण।

घन निकालना

सूत्र और तालिका

घन की परिभाषा, 1 से 20 तक के घन, और बड़ी संख्या का घन सूत्र से।

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घनमूल निकालना

गुणनखंड और अंतिम अंक की तरकीब

घनमूल की दो विधियाँ; दूसरी बहुविकल्पीय प्रश्नों में सेकंडों में काम करती है।

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घनों के गुण और “न्यूनतम” प्रश्न

अंकों की संख्या · गुणा / भाग

घन-जड़ के अंक, ऋणात्मक घन और पूर्ण घन बनाने वाले प्रश्न।

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4

जाल और तेज़ चालें

गलतियाँ · विकल्प काटना

आम गलतियाँ और विकल्पों को सेकंडों में काटने के तरीके।

सबसे आम गलतियाँ

छह जाल

जिन गलतियों पर अंक कटते हैं।

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विकल्प काटने की चालें

इकाई अंक · अनुमान · अंतर

हल किए बिना आधे विकल्प हटाइए।

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5

अभ्यास की सीढ़ी

आसान → मध्यम → कठिन

हर प्रकार के नए प्रश्न, तीन स्तरों में।

स्तर 1 — आसान

सीधे नियम

एक नियम वाले प्रश्न।

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स्तर 2 — मध्यम

दो विचारों का मेल

परीक्षा-स्तर के प्रश्न।

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स्तर 3 — कठिन

कई कदम और चालाक सोच

प्रतियोगी परीक्षाओं के कठिन स्तर के प्रश्न।

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6

दोहराव — सूत्र कार्ड

पलटिए और खुद से पूछिए

हर कार्ड का प्रश्न पढ़कर पहले खुद सोचिए, फिर पलटिए।

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वर्ग निकालना

वर्ग क्या है

वर्ग निकालने की तेज़ विधियाँ

1) सूत्र से

2) 5 पर अंत होने वाली संख्या

3) 100 के पास की संख्या

4) दशमलव का वर्ग

वर्गों के गुण

वर्गमूल निकालना

अभाज्य गुणनखंड विधि

भाग विधि

दशमलव और भिन्न का वर्गमूल

“न्यूनतम संख्या” वाले प्रश्न

घन और घनमूल

घन निकालना

घनमूल निकालना

घनों के गुण और “न्यूनतम” प्रश्न

जाल और तेज़ चालें

सबसे आम गलतियाँ

विकल्प काटने की चालें

अभ्यास की सीढ़ी

स्तर 1 — आसान

स्तर 2 — मध्यम

स्तर 3 — कठिन

दोहराव — सूत्र कार्ड

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How is it going?

संख्या	वर्ग	संख्या	वर्ग
1	1	16	256
2	4	17	289
3	9	18	324
4	16	19	361
5	25	20	400
6	36	21	441
7	49	22	484
8	64	23	529
9	81	24	576
10	100	25	625
11	121	26	676
12	144	27	729
13	169	28	784
14	196	29	841
15	225	30	900

संख्या	वर्ग	संख्या	वर्ग
1	1	16	256
2	4	17	289
3	9	18	324
4	16	19	361
5	25	20	400
6	36	21	441
7	49	22	484
8	64	23	529
9	81	24	576
10	100	25	625
11	121	26	676
12	144	27	729
13	169	28	784
14	196	29	841
15	225	30	900

संख्या	वर्ग	संख्या	वर्ग
1	1	16	256
2	4	17	289
3	9	18	324
4	16	19	361
5	25	20	400
6	36	21	441
7	49	22	484
8	64	23	529
9	81	24	576
10	100	25	625
11	121	26	676
12	144	27	729
13	169	28	784
14	196	29	841
15	225	30	900