चक्रवृद्धि ब्याज

प्रतियोगी गणित · अंकगणित

6 भाग5 हल किए उदाहरण24 अभ्यास प्रश्न

मान लीजिए आपने बैंक में ₹10,000 रखे जो साल में 10% देता है। साधारण ब्याज में हर साल ₹1,000 मिलेंगे। चक्रवृद्धि ब्याज में पहले साल बाद ब्याज ₹1,000 हो गया और अब आपका पैसा ₹11,000 है; दूसरे साल का ब्याज इन ₹11,000 पर लगेगा, यानी ₹1,100 — यानी ब्याज भी कमाने लगा। यही “ब्याज पर ब्याज” है, और यह समय के साथ तेज़ी से बढ़ता है।

A = P (1 + \frac{R}{100})^{n}, C I = A - P

वार्षिक संयोजन का मूल सूत्र

सूत्र और उसके प्रयोग

A

P

R

n

में से कोई एक निकालना

मिश्रधन, चक्रवृद्धि ब्याज, मूलधन, दर और समय निकालना।

वार्षिक चक्रवृद्धि

हर वर्ष का एक गुणक

गुणक $1 + \frac{R}{100}$ को $n$ बार गुणा करना और उलटे प्रश्न।

गुणक	दर $R$	2 वर्ष का गुणक	3 वर्ष का गुणक
1.05	5%	1.1025	1.157625
1.10	10%	1.21	1.331
1.20	20%	1.44	1.728
1.25	25%	1.5625	1.953125
1.04	4%	1.0816	1.124864

यादइन गुणकों को याद कर लीजिए:

1. 1^{2} = 1.21

1. 1^{3} = 1.331

1. 2^{2} = 1.44

1. 2^{3} = 1.728

1.0 5^{2} = 1.1025

। परीक्षा के अधिकांश प्रश्न इन्हीं पर टिके होते हैं।

उदाहरण 1 · आसान

₹10,000 पर 10% वार्षिक चक्रवृद्धि की दर से 3 वर्षों का मिश्रधन और चक्रवृद्धि ब्याज ज्ञात कीजिए।

हल, कदम-दर-कदम

1 $A = 10000 \times (1.1)^{3} = 10000 \times 1.331 = 13310$ ।
2 $C I = 13310 - 10000 = 3310$

उत्तर ₹13,310 और ₹3,310

उदाहरण 2 · मध्यम

कोई राशि 4% वार्षिक चक्रवृद्धि पर 2 वर्षों में ₹6,760 हो जाती है। राशि क्या थी?

हल, कदम-दर-कदम

1 $P = \frac{6760}{( 1.04 ) ^{2}} = \frac{6760}{1.0816}$ ।
2 $= 6250$

उत्तर ₹6,250

उदाहरण 3 · मध्यम

₹2,500 चक्रवृद्धि ब्याज पर 2 वर्षों में ₹2,809 हो जाते हैं। वार्षिक दर क्या है?

हल, कदम-दर-कदम

1 $(1 + \frac{R}{100})^{2} = \frac{2809}{2500} = 1.1236$ ।
2 $1.1236 = 1.06$ ⟹ $R = 6%$

उत्तर 6%

आसानपहले खुद करके देखें

₹8,000 पर 5% वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज की दर से 2 वर्ष बाद मिश्रधन क्या होगा?

आसानपहले खुद करके देखें

₹5,000 पर 10% वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज की दर से 2 वर्ष बाद मिश्रधन क्या होगा?

मध्यमपहले खुद करके देखें

₹12,500 पर 4% वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज की दर से 3 वर्ष बाद मिश्रधन क्या होगा?

आसानपहले खुद करके देखें

₹4,000 पर 10% वार्षिक की दर से 2 वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज (वार्षिक संयोजन) क्या होगा?

मध्यमपहले खुद करके देखें

₹25,000 पर 12% वार्षिक की दर से 2 वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज (वार्षिक संयोजन) क्या होगा?

मध्यमपहले खुद करके देखें

₹16,000 पर 5% वार्षिक की दर से 3 वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज (वार्षिक संयोजन) क्या होगा?

कठिनपहले खुद करके देखें

₹50,000 पर 20% वार्षिक की दर से 3 वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज (वार्षिक संयोजन) क्या होगा?

आसानपहले खुद करके देखें

कोई राशि 10% वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज पर 2 वर्ष में ₹6,050 हो जाती है। राशि क्या थी?

मध्यमपहले खुद करके देखें

कोई राशि 5% वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज पर 2 वर्ष में ₹8,820 हो जाती है। राशि क्या थी?

कठिनपहले खुद करके देखें

कोई राशि 4% वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज पर 3 वर्ष में ₹14,060.8 हो जाती है। राशि क्या थी?

आसानपहले खुद करके देखें

₹2,500 चक्रवृद्धि ब्याज पर 2 वर्ष में ₹2,704 हो जाते हैं। वार्षिक दर क्या है?

मध्यमपहले खुद करके देखें

₹4,000 चक्रवृद्धि ब्याज पर 2 वर्ष में ₹4,840 हो जाते हैं। वार्षिक दर क्या है?

कठिनपहले खुद करके देखें

₹8,000 चक्रवृद्धि ब्याज पर 3 वर्ष में ₹9,261 हो जाते हैं। वार्षिक दर क्या है?

मध्यमपहले खुद करके देखें

₹5,000 को 10% वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज पर कितने वर्षों में ₹6,655 हो जाएँगे?

कठिनपहले खुद करके देखें

₹2,000 को 20% वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज पर कितने वर्षों में ₹3,456 हो जाएँगे?

छमाही, तिमाही और अलग-अलग दरें

दर आधी, अवधियाँ दुगुनी

संयोजन साल में एक से अधिक बार हो, भिन्न वर्ष हो, या हर साल दर अलग हो।

संयोजन	दर प्रति अवधि	अवधियाँ ( $n$ वर्ष में)
वार्षिक	$R$	$n$
छमाही	$\frac{R}{2}$	$2 n$
तिमाही	$\frac{R}{4}$	$4 n$

भिन्न वर्ष (जैसे 2 वर्ष 4 माह): पूरे वर्षों पर चक्रवृद्धि, बचे हुए महीनों पर उस मिश्रधन पर साधारण ब्याज।
हर वर्ष अलग दर: हर वर्ष का अपना गुणक, सबको गुणा कीजिए: $A = P (1 + \frac{R _{1}}{100}) (1 + \frac{R _{2}}{100}) \dots$ ।

उदाहरण 4 · मध्यम

₹8,000 पर 20% वार्षिक की दर से 9 माह का तिमाही चक्रवृद्धि ब्याज ज्ञात कीजिए।

हल, कदम-दर-कदम

1दर प्रति तिमाही $= 5%$ , अवधियाँ $= 3$ ।
2 $A = 8000 \times 1.0 5^{3} = 9261$ ⟹ $C I = 1261$

उत्तर ₹1,261

उदाहरण 5 · मध्यम

₹6,000 पर क्रमशः 5%, 10% और 20% की वार्षिक दरों से 3 वर्षों में कितना मिश्रधन होगा?

हल, कदम-दर-कदम

1गुणक $1.05 \times 1.10 \times 1.20 = 1.386$ ।
2 $A = 6000 \times 1.386 = 8316$

उत्तर ₹8,316

आसानपहले खुद करके देखें

₹10,000 पर 20% वार्षिक दर से 1 वर्ष का छमाही चक्रवृद्धि ब्याज क्या होगा?

मध्यमपहले खुद करके देखें

₹16,000 पर 20% वार्षिक दर से 1.5 वर्ष का छमाही चक्रवृद्धि ब्याज क्या होगा?

मध्यमपहले खुद करके देखें

₹16,000 पर 10% वार्षिक दर से 2 वर्ष का छमाही चक्रवृद्धि ब्याज क्या होगा?

कठिनपहले खुद करके देखें

₹32,000 पर 20% वार्षिक दर से 0.75 वर्ष का तिमाही चक्रवृद्धि ब्याज क्या होगा?

मध्यमपहले खुद करके देखें

₹5,000 पर 10% वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज (वार्षिक संयोजन) से 2 वर्ष 6 माह का ब्याज क्या होगा? (भिन्न अवधि पर साधारण ब्याज)

कठिनपहले खुद करके देखें

₹8,000 पर 10% वार्षिक चक्रवृद्धि ब्याज (वार्षिक संयोजन) से 1 वर्ष 9 माह का ब्याज क्या होगा? (भिन्न अवधि पर साधारण ब्याज)

आसानपहले खुद करके देखें

₹5,000 को पहले, दूसरे वर्ष में क्रमशः 10%, 20% ब्याज की दर से चक्रवृद्धि पर लगाया गया। अंत में मिश्रधन क्या होगा?

मध्यमपहले खुद करके देखें

₹10,000 को पहले, दूसरे और तीसरे वर्ष में क्रमशः 5%, 10%, 20% ब्याज की दर से चक्रवृद्धि पर लगाया गया। अंत में मिश्रधन क्या होगा?

कठिनपहले खुद करके देखें

₹8,000 को पहले, दूसरे और तीसरे वर्ष में क्रमशः 25%, 10%, 20% ब्याज की दर से चक्रवृद्धि पर लगाया गया। अंत में मिश्रधन क्या होगा?

चक्रवृद्धि बनाम साधारण

अंतर, संबंध और गुणा-समय

दोनों ब्याजों का अंतर, एक से दूसरा निकालना, और “कितने गुना कब” प्रश्न।

CI और SI का अंतर

ब्याज पर ब्याज = अंतर

एक वर्ष में CI = SI; 2 और 3 वर्ष के अंतर के सूत्र।

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कितना गुना और कब

गुणा एक बार, बार-बार

यदि राशि $T$ वर्षों में $x$ गुनी हो तो $k T$ वर्षों में $x^{k}$ गुनी होगी।

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किस्तें, जनसंख्या और ह्रास

वही गुणक, नई कहानी

बराबर वार्षिक किस्तों में कर्ज़ चुकाना, और जनसंख्या / कीमत का बढ़ना-घटना।

बराबर वार्षिक किस्तें

हर किस्त का वर्तमान मूल्य

कर्ज़ = हर किस्त को उसके वर्ष की घात से भाग देकर जोड़ना।

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जनसंख्या और ह्रास

चक्रवृद्धि का वही सूत्र

बढ़ती और घटती राशियाँ — घटाव में दर का चिह्न ऋणात्मक।

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जाल और तेज़ चालें

गलतियाँ · तरकीबें

चक्रवृद्धि में अंक कहाँ कटते हैं।

सबसे आम गलतियाँ

छह जाल

जिन गलतियों पर अंक कटते हैं।

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तेज़ चालें

गुणक याद, अंतर के सूत्र

हिसाब छोटा करने वाली आदतें।

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अभ्यास की सीढ़ी

आसान → मध्यम → कठिन

हर प्रकार के नए प्रश्न, तीन स्तरों में।

स्तर 1 — आसान

सीधे नियम

एक नियम वाले प्रश्न।

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स्तर 2 — मध्यम

दो विचारों का मेल

परीक्षा-स्तर के प्रश्न।

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स्तर 3 — कठिन

कई कदम और चालाक सोच

प्रतियोगी परीक्षाओं के कठिन स्तर के प्रश्न।

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दोहराव — सूत्र कार्ड

पलटिए और खुद से पूछिए

हर कार्ड का प्रश्न पढ़कर पहले खुद सोचिए, फिर पलटिए।

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चक्रवृद्धि ब्याज

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वार्षिक चक्रवृद्धि

छमाही, तिमाही और अलग-अलग दरें

चक्रवृद्धि बनाम साधारण

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