ज्यामिति — रेखाएँ, त्रिभुज, चतुर्भुज और वृत्त

प्रतियोगी गणित · ज्यामिति

7 भाग3 हल किए उदाहरण52 अभ्यास प्रश्न

ज्यामिति में हम आकृतियों की बनावट (कौन-सी भुजा किसके बराबर या समांतर है) देखकर कोण और लंबाइयाँ निकालते हैं। प्रश्न चाहे कठिन लगे, वह अक्सर कुछ गिने-चुने नियमों — त्रिभुज के कोणों का योग $18 0^{\circ}$ , समांतर रेखाओं के कोण, पाइथागोरस, समरूपता और वृत्त के प्रमेय — का मेल होता है। इस अध्याय में हम ये नियम क्रम से सीखते हैं और हर नियम पर अपने नए प्रश्न हल करते हैं।

त्रिभुज : ∠ A + ∠ B + ∠ C = 18 0^{\circ}; चतुर्भुज : 36 0^{\circ}; n - भुज : (n - 2) 18 0^{\circ}

कोणों के योग के तीन नियम

एक आदत जो हर प्रश्न में काम आती है: दी हुई आकृति पर हर कोण का मान लिखते जाइए — जो भी कोण आप निकाल सकें, उसे तुरंत आकृति में भर दीजिए। अगला कोण अपने आप दिखने लगता है।

रेखाएँ और कोण

पूरक, सम्पूरक और समांतर रेखाओं के कोण

कोणों के प्रकार, सरल रेखा पर कोण, शीर्षाभिमुख कोण और तिर्यक रेखा से बने कोण।

कोणों के प्रकार और संबंध

9 0^{\circ}

और

18 0^{\circ}

के जोड़े

न्यून, समकोण, अधिक कोण, ऋजु और प्रतिवर्ती कोण; पूरक और सम्पूरक कोण; शीर्षाभिमुख कोण।

नाम	माप
न्यूनकोण	$0^{\circ} < θ < 9 0^{\circ}$
समकोण	$θ = 9 0^{\circ}$
अधिक कोण	$9 0^{\circ} < θ < 18 0^{\circ}$
ऋजु कोण	$θ = 18 0^{\circ}$
प्रतिवर्ती कोण	$18 0^{\circ} < θ < 36 0^{\circ}$
पूरक कोण (जोड़ा)	योग $9 0^{\circ}$
सम्पूरक कोण (जोड़ा)	योग $18 0^{\circ}$

**सरल रेखा पर बने कोणों का योग $18 0^{\circ}$ ;** एक बिंदु के चारों ओर के कोणों का योग $36 0^{\circ}$ ।
दो रेखाएँ कटें तो आमने-सामने के (शीर्षाभिमुख) कोण बराबर होते हैं; आसन्न कोण सम्पूरक।
कोण-समद्विभाजक कोण को दो बराबर भागों में बाँटता है। किसी रैखिक युग्म के दोनों समद्विभाजक सदा $9 0^{\circ}$ पर मिलते हैं।
"अनुपात" वाले प्रश्न: कुल योग (90, 180 या 360) को अनुपात के भागों के योग से बाँटिए, फिर इच्छित भाग से गुणा कीजिए।

उदाहरण 1 · आसान

एक कोण अपने पूरक कोण से 24° अधिक है। वह कोण और उसका पूरक कोण?

हल, कदम-दर-कदम

1मान लें कोण $θ$ ; पूरक $= 90 - θ$ । $θ - (90 - θ) = 24$ ।
2 $2 θ = 114$ ⟹ $θ = 5 7^{\circ}$ ; पूरक $= 3 3^{\circ}$

उत्तर 57° और 33°

उदाहरण 2 · मध्यम

एक सरल रेखा पर तीन क्रमागत कोण

(2 x - 10)^{\circ}

(x + 30)^{\circ}

और

(3 x + 10)^{\circ}

हैं। सबसे बड़ा कोण?

हल, कदम-दर-कदम

1 $6 x + 30 = 180$ ⟹ $x = 25$ ।
2कोण: $4 0^{\circ}, 5 5^{\circ}, 8 5^{\circ}$ — योग $18 0^{\circ}$ ✓; सबसे बड़ा $8 5^{\circ}$

उत्तर 85°

आसानपहले खुद करके देखें

35° का पूरक कोण (complement) कितने अंश का होगा?

आसानपहले खुद करके देखें

65° का सम्पूरक कोण (supplement) कितने अंश का होगा?

मध्यमपहले खुद करके देखें

72° का पूरक कोण (complement) कितने अंश का होगा?

मध्यमपहले खुद करके देखें

118° का सम्पूरक कोण (supplement) कितने अंश का होगा?

आसानपहले खुद करके देखें

एक कोण अपने सम्पूरक कोण का

\frac{2}{3}

गुना है। उस कोण का मान?

मध्यमपहले खुद करके देखें

एक कोण अपने सम्पूरक कोण का

\frac{1}{5}

गुना है। उस कोण का मान?

मध्यमपहले खुद करके देखें

एक कोण अपने सम्पूरक कोण का

\frac{3}{2}

गुना है। उस कोण का मान?

कठिनपहले खुद करके देखें

एक कोण अपने सम्पूरक कोण का

\frac{4}{5}

गुना है। उस कोण का मान?

आसानपहले खुद करके देखें

एक कोण अपने पूरक कोण का

\frac{1}{2}

गुना है। उस कोण का मान?

मध्यमपहले खुद करके देखें

एक कोण अपने पूरक कोण का

\frac{2}{3}

गुना है। उस कोण का मान?

कठिनपहले खुद करके देखें

एक कोण अपने पूरक कोण का

\frac{3}{2}

गुना है। उस कोण का मान?

आसानपहले खुद करके देखें

दो पूरक कोणों का अनुपात 4 : 5 है। बड़ा कोण?

मध्यमपहले खुद करके देखें

दो पूरक कोणों का अनुपात 2 : 7 है। बड़ा कोण?

कठिनपहले खुद करके देखें

दो पूरक कोणों का अनुपात 7 : 11 है। बड़ा कोण?

आसानपहले खुद करके देखें

दो सम्पूरक कोणों का अनुपात 4 : 5 है। छोटा कोण?

मध्यमपहले खुद करके देखें

दो सम्पूरक कोणों का अनुपात 3 : 7 है। छोटा कोण?

कठिनपहले खुद करके देखें

दो सम्पूरक कोणों का अनुपात 5 : 13 है। छोटा कोण?

आसानपहले खुद करके देखें

दो सम्पूरक कोणों का अंतर 20° है। बड़ा कोण?

मध्यमपहले खुद करके देखें

दो पूरक कोणों का अंतर 40° है। बड़ा कोण?

मध्यमपहले खुद करके देखें

दो सम्पूरक कोणों का अंतर 36° है। बड़ा कोण?

कठिनपहले खुद करके देखें

दो पूरक कोणों का अंतर 66° है। बड़ा कोण?

कठिनपहले खुद करके देखें

दो सम्पूरक कोणों का अंतर 24° है। बड़ा कोण?

मध्यमपहले खुद करके देखें

एक सरल रेखा के एक ओर तीन क्रमागत कोण

(x + 20)^{\circ}

(2 x)^{\circ}

और

(x - 20)^{\circ}

हैं।

x

का मान?

मध्यमपहले खुद करके देखें

एक सरल रेखा के एक ओर तीन क्रमागत कोण

(x + 10)^{\circ}

(3 x)^{\circ}

और

(2 x + 20)^{\circ}

हैं।

x

का मान?

कठिनपहले खुद करके देखें

एक सरल रेखा के एक ओर तीन क्रमागत कोण

(x + 30)^{\circ}

(2 x + 10)^{\circ}

और

(x - 20)^{\circ}

हैं।

x

का मान?

कठिनपहले खुद करके देखें

एक सरल रेखा के एक ओर तीन क्रमागत कोण

(2 x - 10)^{\circ}

(3 x + 5)^{\circ}

और

(x + 35)^{\circ}

हैं।

x

का मान?

कठिनपहले खुद करके देखें

एक सरल रेखा के एक ओर तीन क्रमागत कोण

(5 x - 10)^{\circ}

(3 x + 20)^{\circ}

और

(2 x)^{\circ}

हैं।

x

का मान?

मध्यमपहले खुद करके देखें

दो सरल रेखाएँ एक-दूसरे को काटती हैं। शीर्षाभिमुख कोण

(3 x + 10)^{\circ}

और

(5 x - 20)^{\circ}

हैं। इनमें से प्रत्येक कोण का मान?

मध्यमपहले खुद करके देखें

दो सरल रेखाएँ एक-दूसरे को काटती हैं। शीर्षाभिमुख कोण

(2 x + 30)^{\circ}

और

(4 x - 10)^{\circ}

हैं। इनमें से प्रत्येक कोण का मान?

कठिनपहले खुद करके देखें

दो सरल रेखाएँ एक-दूसरे को काटती हैं। शीर्षाभिमुख कोण

(5 x - 15)^{\circ}

और

(3 x + 25)^{\circ}

हैं। इनमें से प्रत्येक कोण का मान?

कठिनपहले खुद करके देखें

दो सरल रेखाएँ एक-दूसरे को काटती हैं। शीर्षाभिमुख कोण

(6 x - 30)^{\circ}

और

(4 x + 10)^{\circ}

हैं। इनमें से प्रत्येक कोण का मान?

कठिनपहले खुद करके देखें

दो सरल रेखाएँ एक-दूसरे को काटती हैं। शीर्षाभिमुख कोण

(7 x + 5)^{\circ}

और

(9 x - 25)^{\circ}

हैं। इनमें से प्रत्येक कोण का मान?

मध्यमपहले खुद करके देखें

AOB एक सरल रेखा है। किरण OC इस पर इस प्रकार है कि

∠ A OC = 5 0^{\circ}

। OP,

∠ A OC

को और OQ,

∠ COB

को समद्विभाजित करती है।

∠ POQ

का मान?

कठिनपहले खुद करके देखें

AOB एक सरल रेखा है। किरण OC इस पर इस प्रकार है कि

∠ A OC = 6 4^{\circ}

। OP,

∠ A OC

को और OQ,

∠ COB

को समद्विभाजित करती है।

∠ POQ

का मान?

समांतर रेखाएँ और तिर्यक रेखा

एक रेखा, आठ कोण, सिर्फ दो मान

संगत, एकांतर, एक ही ओर के अंतःकोण और बाह्य कोण।

∥

CD, तिर्यक रेखा EF

दो समांतर रेखाओं को कोई तिर्यक रेखा काटे तो बने आठों कोण सिर्फ दो मानों में से एक होते हैं: कोई $α$ , या उसका सम्पूरक $18 0^{\circ} - α$ । बस यह तय करना है कि किस कोण का मान कौन-सा है।

जोड़ा	संबंध
संगत कोण (corresponding)	बराबर
एकांतर कोण (alternate)	बराबर
शीर्षाभिमुख कोण	बराबर
एक ही ओर के अंतःकोण (co-interior)	योग $18 0^{\circ}$
रैखिक युग्म	योग $18 0^{\circ}$

"Z" आकार में एकांतर कोण बराबर; "F" आकार में संगत कोण बराबर; "C/U" आकार में एक ही ओर के अंतःकोण सम्पूरक।
एक ही ओर के अंतःकोणों के समद्विभाजक परस्पर लंब होते हैं (दोनों आधे जोड़ने पर $\frac{180}{2} = 9 0^{\circ}$ )।
समांतर रेखाओं के बीच बिंदु से "मुड़ी" रेखा हो तो बीच में समांतर रेखा खींचकर दो हिस्सों में सोचिए।

उदाहरण 3 · मध्यम

दो समांतर रेखाओं को एक तिर्यक रेखा काटती है। एक ही ओर के अंतःकोणों का अनुपात 7 : 2 है। दोनों कोण?

हल, कदम-दर-कदम

1योग $18 0^{\circ}$ , भाग $7 + 2 = 9$ , एक भाग $= 2 0^{\circ}$ ।
2कोण: $7 \times 20 = 14 0^{\circ}$ और $2 \times 20 = 4 0^{\circ}$

उत्तर 140° और 40°

आसानपहले खुद करके देखें

∥

CD है और तिर्यक रेखा EF, AB को G पर और CD को H पर काटती है (E ऊपर, F नीचे; B और D दाईं ओर)। यदि

∠ BG H = 6 5^{\circ}

हो, तो वैकल्पिक (alternate) कोण

∠ G H C

का मान?

आसानपहले खुद करके देखें

∥

CD है और तिर्यक रेखा EF, AB को G पर और CD को H पर काटती है (E ऊपर, F नीचे; B और D दाईं ओर)। यदि

∠ BG H = 6 5^{\circ}

हो, तो एक ही ओर का अंतःकोण (co-interior)

∠ G HD

का मान?

आसानपहले खुद करके देखें

∥

CD है और तिर्यक रेखा EF, AB को G पर और CD को H पर काटती है (E ऊपर, F नीचे; B और D दाईं ओर)। यदि

∠ BG H = 7 2^{\circ}

हो, तो संगत कोण (corresponding)

∠ DH F

का मान?

आसानपहले खुद करके देखें

∥

CD है और तिर्यक रेखा EF, AB को G पर और CD को H पर काटती है (E ऊपर, F नीचे; B और D दाईं ओर)। यदि

∠ BG H = 5 8^{\circ}

हो, तो शीर्षाभिमुख कोण

∠ A GE

का मान?

मध्यमपहले खुद करके देखें

∥

CD है और तिर्यक रेखा EF, AB को G पर और CD को H पर काटती है (E ऊपर, F नीचे; B और D दाईं ओर)। यदि

∠ BG H = 11 0^{\circ}

हो, तो रैखिक युग्म (linear pair)

∠ EGB

का मान?

मध्यमपहले खुद करके देखें

∥

CD है और तिर्यक रेखा EF, AB को G पर और CD को H पर काटती है (E ऊपर, F नीचे; B और D दाईं ओर)। यदि

∠ BG H = 12 3^{\circ}

हो, तो वैकल्पिक (alternate) कोण

∠ G H C

का मान?

मध्यमपहले खुद करके देखें

∥

CD है और तिर्यक रेखा EF, AB को G पर और CD को H पर काटती है (E ऊपर, F नीचे; B और D दाईं ओर)। यदि

∠ BG H = 13 4^{\circ}

हो, तो एक ही ओर का अंतःकोण (co-interior)

∠ G HD

का मान?

मध्यमपहले खुद करके देखें

∥

CD है और तिर्यक रेखा EF, AB को G पर और CD को H पर काटती है (E ऊपर, F नीचे; B और D दाईं ओर)। यदि

∠ BG H = 4 7^{\circ}

हो, तो संगत कोण (corresponding)

∠ DH F

का मान?

कठिनपहले खुद करके देखें

∥

CD है और तिर्यक रेखा EF, AB को G पर और CD को H पर काटती है (E ऊपर, F नीचे; B और D दाईं ओर)। यदि

∠ BG H = 9 8^{\circ}

हो, तो शीर्षाभिमुख कोण

∠ A GE

का मान?

कठिनपहले खुद करके देखें

∥

CD है और तिर्यक रेखा EF, AB को G पर और CD को H पर काटती है (E ऊपर, F नीचे; B और D दाईं ओर)। यदि

∠ BG H = 7 6^{\circ}

हो, तो रैखिक युग्म (linear pair)

∠ EGB

का मान?

कठिनपहले खुद करके देखें

∥

CD है और तिर्यक रेखा EF, AB को G पर और CD को H पर काटती है (E ऊपर, F नीचे; B और D दाईं ओर)। यदि

∠ BG H = 8 9^{\circ}

हो, तो एक ही ओर का अंतःकोण (co-interior)

∠ G HD

का मान?

कठिनपहले खुद करके देखें

∥

CD है और तिर्यक रेखा EF, AB को G पर और CD को H पर काटती है (E ऊपर, F नीचे; B और D दाईं ओर)। यदि

∠ BG H = 3 7^{\circ}

हो, तो वैकल्पिक (alternate) कोण

∠ G H C

का मान?

आसानपहले खुद करके देखें

दो समांतर रेखाओं को एक तिर्यक रेखा काटती है। एक ही ओर के दो अंतःकोणों का अनुपात 2 : 3 है। बड़ा कोण?

मध्यमपहले खुद करके देखें

दो समांतर रेखाओं को एक तिर्यक रेखा काटती है। एक ही ओर के दो अंतःकोणों का अनुपात 4 : 5 है। बड़ा कोण?

मध्यमपहले खुद करके देखें

दो समांतर रेखाओं को एक तिर्यक रेखा काटती है। एक ही ओर के दो अंतःकोणों का अनुपात 1 : 5 है। बड़ा कोण?

कठिनपहले खुद करके देखें

दो समांतर रेखाओं को एक तिर्यक रेखा काटती है। एक ही ओर के दो अंतःकोणों का अनुपात 7 : 11 है। बड़ा कोण?

कठिनपहले खुद करके देखें

दो समांतर रेखाओं को एक तिर्यक रेखा काटती है। एक ही ओर के दो अंतःकोणों का अनुपात 5 : 13 है। बड़ा कोण?

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दो समांतर रेखाओं को एक तिर्यक रेखा काटती है। एक ही ओर के दो अंतःकोणों का अनुपात 7 : 5 है। बड़ा कोण?

त्रिभुज

सबसे ज़्यादा पूछा जाने वाला भाग

कोण, भुजाएँ, सर्वांगसमता, समरूपता, चार केंद्र और प्रमुख प्रमेय।

कोण और भुजाएँ

योग

18 0^{\circ}

, बाह्य कोण, भुजा-कोण संबंध

त्रिभुज के प्रकार, कोणों का योग, बाह्य कोण, भुजाओं की असमिका और पाइथागोरस का उपयोग।

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प्रमुख प्रमेय

समानुपात, मध्य-बिंदु, माध्यिका और समरूपता

कोण-समद्विभाजक प्रमेय, आधारभूत समानुपातिकता, मध्य-बिंदु प्रमेय, अपोलोनियस और समरूप त्रिभुज।

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त्रिभुज के चार केंद्र

केंद्रक, अंतःकेंद्र, परिकेंद्र, लंबकेंद्र

हर केंद्र किस रेखा के कटान से बनता है, और उनसे जुड़े कोण-सूत्र।

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चतुर्भुज और बहुभुज

चार भुजाएँ और उससे अधिक

चतुर्भुजों के गुण, चक्रीय चतुर्भुज, मध्य-बिंदु वाली आकृतियाँ और बहुभुज के कोण।

चतुर्भुजों के गुण

विकर्ण बताते हैं कि आकृति क्या है

समांतर चतुर्भुज, आयत, समचतुर्भुज, वर्ग, समलंब और चक्रीय चतुर्भुज।

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बहुभुज के कोण

(n - 2) \times 18 0^{\circ}

और

36 0^{\circ}

आंतरिक और बाह्य कोणों का योग; सम बहुभुज में प्रत्येक कोण और भुजाओं की संख्या ढूँढना।

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वृत्त

कोण, जीवाएँ और स्पर्श-रेखाएँ

केंद्रीय और परिधि कोण, जीवा के गुण, स्पर्श-रेखा, छेदक और उभयनिष्ठ स्पर्श-रेखाएँ।

वृत्त में कोण और जीवा

केंद्र पर कोण दोगुना

केंद्रीय कोण, अर्धवृत्त का कोण, एकांतर वृत्तखंड और जीवा की दूरी।

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स्पर्श-रेखा और छेदक

बाहरी बिंदु से वृत्त तक

स्पर्श-रेखा की लंबाई, स्पर्श-छेदक प्रमेय, प्रतिच्छेदी जीवाएँ, उभयनिष्ठ स्पर्श-रेखा और परिगत आकृतियाँ।

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जाल और तेज़ चालें

गलतियाँ · तरकीबें

ज्यामिति में अंक कहाँ कटते हैं।

सबसे आम गलतियाँ

सात जाल

जिन गलतियों पर अंक कटते हैं।

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तेज़ चालें

पहचानिए और सूत्र लगाइए

जल्दी हल करने की आदतें।

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अभ्यास की सीढ़ी

आसान → मध्यम → कठिन

हर प्रकार के नए प्रश्न, तीन स्तरों में।

स्तर 1 — आसान

सीधे नियम

एक नियम वाले प्रश्न।

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स्तर 2 — मध्यम

दो विचारों का मेल

परीक्षा-स्तर के प्रश्न।

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स्तर 3 — कठिन

कई कदम और चालाक सोच

प्रतियोगी परीक्षाओं के कठिन स्तर के प्रश्न।

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दोहराव — सूत्र कार्ड

पलटिए और खुद से पूछिए

हर कार्ड का प्रश्न पढ़कर पहले खुद सोचिए, फिर पलटिए।

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ज्यामिति — रेखाएँ, त्रिभुज, चतुर्भुज और वृत्त

रेखाएँ और कोण

कोणों के प्रकार और संबंध

समांतर रेखाएँ और तिर्यक रेखा

त्रिभुज

कोण और भुजाएँ

प्रमुख प्रमेय

त्रिभुज के चार केंद्र

चतुर्भुज और बहुभुज

चतुर्भुजों के गुण

बहुभुज के कोण

वृत्त

वृत्त में कोण और जीवा

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