संख्या श्रृंखला

संख्या श्रृंखला में संख्याओं की एक कतार दी जाती है जो किसी नियम से बनी होती है। सवाल पूछता है: अगला पद क्या होगा, बीच का कौन-सा पद छूट गया है, या कौन-सा पद नियम से बाहर है। यह अध्याय हर प्रकार का नियम पहचानना सिखाता है — सीधे जोड़ने-गुणा करने से लेकर वर्ग, घन, अभाज्य संख्याओं और गुँथी हुई श्रृंखलाओं तक।

हर विचार पहले साधारण भाषा में, फिर हल किए उदाहरण, फिर आपके अपने प्रश्न (आसान से कठिन तक)। सारी संख्याएँ हमारी अपनी हैं, किताब से नहीं।

1

श्रृंखला को पढ़ना

अंतर और अनुपात से शुरुआत

किसी भी श्रृंखला को खोलने का पहला तरीका और सबसे आम नियम — जोड़ना-घटाना (AP) और गुणा-भाग (GP)।

पैटर्न ढूँढने का क्रम

पाँच कदम, हर बार वही

हर श्रृंखला पर एक ही क्रम से जाँचें; अधिकतर सवाल पहले दो कदमों में खुल जाते हैं।

श्रृंखला देखते ही घबराइए नहीं। एक निश्चित क्रम से जाँच कीजिए; पैटर्न हमेशा पाँच-छह तरह के ही होते हैं। जो पैटर्न पहले दो-तीन पदों पर बैठ जाए, उसे आख़िरी पदों पर जाँचकर पक्का कर लीजिए।

जाँच का क्रम

1. आस-पास का अंतर लिखिए2. अंतर बराबर? → जोड़-श्रेणी (AP)3. अनुपात देखिए → गुणा-श्रेणी (GP)4. अंतरों का अंतर, या वर्ग-घन से तुलना5. अभाज्य, गुँथी हुई या मिश्रित

जो दिखे	संभावित पैटर्न	उदाहरण
अंतर बराबर	जोड़ / घटाव श्रेणी	4, 11, 18, 25, 32
अनुपात बराबर	गुणा / भाग श्रेणी	3, 9, 27, 81, 243
अंतर खुद एक नियम में	अंतरों का अंतर बराबर	2, 5, 10, 17, 26
संख्याएँ पूर्ण वर्ग के आसपास	$n^{2} \pm c$	11, 18, 27, 38, 51
संख्याएँ पूर्ण घन के आसपास	$n^{3} \pm c$	7, 26, 63, 124, 215
बहुत अनियमित पर सारी अभाज्य	अभाज्य श्रृंखला	7, 11, 13, 17, 19
एक के बाद एक बारी-बारी का व्यवहार	गुँथी हुई दो श्रृंखलाएँ	5, 20, 9, 30, 13, 40

उदाहरण 1 · आसान

अगला पद ज्ञात कीजिए: 7, 13, 19, 25, 31, ?

हल, कदम-दर-कदम

1आस-पास के पदों का अंतर: 6, 6, 6, 6।
2अंतरों के अंतर: 0, 0, 0।
3पैटर्न: हर पद में पिछले पद में 6 जोड़ा गया है।
4अगला पद = 37।

उत्तर 37

उदाहरण 2 · आसान

अगला पद ज्ञात कीजिए: 5, 10, 20, 40, 80, ?

हल, कदम-दर-कदम

1आस-पास के पदों का अंतर: 5, 10, 20, 40।
2अनुपात: 2, 2, 2, 2 — सब बराबर।
3पैटर्न: हर पद पिछले पद का 2 गुना है।
4अगला पद = 160।

उत्तर 160

आसानपहले खुद करके देखें

श्रृंखला का अगला पद ज्ञात कीजिए: 12, 21, 30, 39, 48, ?

आसानपहले खुद करके देखें

श्रृंखला का अगला पद ज्ञात कीजिए: 95, 88, 81, 74, 67, 60, ?

आसानपहले खुद करके देखें

श्रृंखला का अगला पद ज्ञात कीजिए: 2, 6, 18, 54, 162, ?

आसानपहले खुद करके देखें

श्रृंखला का अगला पद ज्ञात कीजिए: 7,776, 1,296, 216, 36, 6, ?

जोड़-श्रेणी, गुणा-श्रेणी और ×a+b

तीन सबसे आम नियम

बराबर अंतर (AP), बराबर अनुपात (GP) और “गुणा करो, फिर जोड़ो / घटाओ”।

जोड़-श्रेणी (AP): हर पद में वही संख्या जुड़ती (या घटती) है। अंतर $d$ हो तो $n$ -वाँ पद $a + (n - 1) d$ होता है। गुणा-श्रेणी (GP): हर पद पिछले पद का एक निश्चित गुना है; अनुपात $r$ हो तो $n$ -वाँ पद $a r^{n - 1}$ । ×a+b: पिछले पद को $a$ से गुणा करके $b$ जोड़ा या घटाया जाता है — अंतर बराबर नहीं होता, अनुपात भी नहीं, पर अंतर खुद GP बन जाते हैं।

a_{n} = a + (n - 1) d a_{n} = a r^{n - 1}

पहला सूत्र AP का, दूसरा GP का।

$a$: पहला पद
$d$: सामान्य अंतर
$r$: सामान्य अनुपात

उदाहरण 3 · मध्यम

अगला पद ज्ञात कीजिए: 3, 7, 15, 31, 63, ?

हल, कदम-दर-कदम

1आस-पास के पदों का अंतर: 4, 8, 16, 32।
2अंतरों के अंतर: 4, 8, 16।
3पैटर्न: हर पद = पिछला पद × 2 + 1।
4अंतर 4, 8, 16, 32 हर बार दोगुने हो रहे हैं — इसलिए पैटर्न ×2 + 1 है।
5अगला पद = 127।

उत्तर 127

उदाहरण 4 · मध्यम

अगला पद ज्ञात कीजिए: 4, 10, 28, 82, 244, ?

हल, कदम-दर-कदम

1आस-पास के पदों का अंतर: 6, 18, 54, 162।
2अंतरों के अंतर: 12, 36, 108।
3पैटर्न: हर पद = पिछला पद × 3 − 2।
4अगला पद = 730।

उत्तर 730

मध्यमपहले खुद करके देखें

श्रृंखला का अगला पद ज्ञात कीजिए: 2, 7, 22, 67, 202, ?

मध्यमपहले खुद करके देखें

श्रृंखला का अगला पद ज्ञात कीजिए: 5, 7, 11, 19, 35, ?

आसानपहले खुद करके देखें

श्रृंखला का अगला पद ज्ञात कीजिए: −8, 3, 14, 25, 36, ?

आसानपहले खुद करके देखें

श्रृंखला का अगला पद ज्ञात कीजिए: 1, 5, 25, 125, 625, ?

कठिनपहले खुद करके देखें

श्रृंखला का अगला पद ज्ञात कीजिए: 9, −18, 36, −72, 144, ?

आसानपहले खुद करके देखें

लुप्त पद ज्ञात कीजिए: 14, 27, 40, ?, 66, 79, 92

मध्यमपहले खुद करके देखें

लुप्त पद ज्ञात कीजिए: 4, 12, 36, 108, ?, 972, 2,916

मध्यमपहले खुद करके देखें

लुप्त पद ज्ञात कीजिए: 6, 15, 33, 69, ?, 285, 573

2

वर्ग, घन और अंतरों के अंतर

पूर्ण वर्ग-घन के आसपास की श्रृंखलाएँ

जब संख्याएँ तेज़ी से बढ़ें पर अनुपात बराबर न हो, तो वर्ग-घन या अंतरों के अंतर देखिए।

वर्ग और घन श्रृंखलाएँ

n^{2}

,

n^{2} \pm c

,

n^{3} \pm c

,

n (n + 1)

पूर्ण वर्गों और घनों को पहचानना और उनसे थोड़ी दूर की संख्याओं को भी।

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अंतरों का अंतर

जब अंतर खुद एक श्रृंखला हों

अगर पहले अंतर बराबर न हों तो अंतरों के अंतर देखिए, या देखिए कि अंतर वर्ग हैं या अभाज्य।

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3

विशेष पैटर्न

अभाज्य · गुँथी हुई · मिश्रित

जब सीधे अंतर या अनुपात काम न करें तो अभाज्य संख्याएँ, दो गुँथी श्रृंखलाएँ और मिश्रित क्रियाएँ आज़माइए।

अभाज्य श्रृंखलाएँ

क्रमागत और बीच-बीच में छूटे हुए

जब संख्याएँ अनियमित हों पर सब अभाज्य हों।

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गुँथी हुई श्रृंखलाएँ

विषम और सम स्थान अलग-अलग चलते हैं

श्रृंखला में दो नियम बारी-बारी से चलें तो विषम और सम स्थानों के पदों को अलग-अलग देखिए।

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जोड़-सहित और बढ़ते गुणक वाली श्रृंखलाएँ

पिछले पदों से बनने वाले पद

जिस श्रृंखला का हर पद पिछले दो पदों का योग हो, या जिसका गुणक हर बार बढ़ता हो।

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4

प्रश्न के प्रकार

लुप्त पद और गलत पद

परीक्षा में श्रृंखला के दो मुख्य प्रश्न — बीच का पद ढूँढना और गलत पद ढूँढना — और उनकी चालें।

लुप्त पद

? बीच में हो तब

पड़ोसी पदों से पैटर्न पक्का करके लुप्त पद भरना।

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गलत पद

जो पद नियम तोड़े

पहचानिए कि कौन-सा पद श्रृंखला के पैटर्न से मेल नहीं खाता।

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5

तरीका चुनना और जाल

संकेत · जाल

श्रृंखला देखकर पैटर्न तक पहुँचने की सारणी और सबसे आम गलतियाँ।

संकेत से पैटर्न

जो दिखे, वही बताता है

हर श्रृंखला पर इसी सारणी से जाँच कीजिए।

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सबसे आम गलतियाँ

पाँच जाल

श्रृंखला में अंक अक्सर जल्दबाज़ी से कटते हैं।

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6

अभ्यास की सीढ़ी

आसान → मध्यम → कठिन

हर प्रकार की श्रृंखला के नए प्रश्न, तीन स्तरों में।

स्तर 1 — आसान

सीधे पैटर्न

एक नियम वाली श्रृंखलाएँ।

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स्तर 2 — मध्यम

दो-स्तरीय पैटर्न

अंतरों के अंतर, ×a+b, वर्ग±c जैसे पैटर्न।

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स्तर 3 — कठिन

मिश्रित और गुँथे पैटर्न

प्रतियोगी परीक्षाओं के कठिन स्तर के प्रश्न।

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7

दोहराव — पैटर्न कार्ड

पलटिए और खुद से पूछिए

हर कार्ड का प्रश्न पढ़कर खुद उत्तर सोचिए, फिर पलटिए।

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श्रृंखला को पढ़ना

पैटर्न ढूँढने का क्रम

जोड़-श्रेणी, गुणा-श्रेणी और ×a+b

वर्ग, घन और अंतरों के अंतर

वर्ग और घन श्रृंखलाएँ

अंतरों का अंतर

विशेष पैटर्न

अभाज्य श्रृंखलाएँ

गुँथी हुई श्रृंखलाएँ

जोड़-सहित और बढ़ते गुणक वाली श्रृंखलाएँ

प्रश्न के प्रकार

लुप्त पद

गलत पद

तरीका चुनना और जाल

संकेत से पैटर्न

सबसे आम गलतियाँ

अभ्यास की सीढ़ी

स्तर 1 — आसान

स्तर 2 — मध्यम

स्तर 3 — कठिन

दोहराव — पैटर्न कार्ड

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