घातांक और करणी

अगर किसी बैक्टीरिया की संख्या हर घंटे दुगुनी हो जाए तो 10 घंटे बाद वह $2^{10}$ गुना होगी — यही घातांक है: बार-बार गुणा को छोटा लिखने का तरीका। दूसरी तरफ़ $2$ जैसी संख्याएँ हैं जिनका सटीक मान दशमलव में कभी ख़त्म नहीं होता; इन्हें करणी (surd) कहते हैं, और परीक्षा में इन्हें बिना कैलकुलेटर के सरल करना, जोड़ना, तुलना करना और हर में से हटाना (परिमेयकरण) आना चाहिए।

अध्याय के दो हिस्से हैं: घातांक (नियम, भिन्न-ऋण घात, समीकरण) और करणी (पहचान, संचालन, तुलना, परिमेयकरण, वर्ग-मूल के भीतर वर्गमूल)।

1

घातांक

नियम · भिन्न-ऋण घात · समीकरण

घातांक के सात नियम, कठिन दिखने वाले व्यंजकों को सरल बनाने की तरकीब और घात वाले समीकरण।

घातांक के नियम

आधार वही तो घातों पर काम

$a^{n}$ का अर्थ और सातों नियम।

$a^{n}$ में $a$ आधार (base) है और $n$ घातांक (index) — $a$ को $n$ बार गुणा करना: $2^{4} = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16$ ।

नियम	उदाहरण
$a^{m} \times a^{n} = a^{m + n}$	$2^{3} \times 2^{4} = 2^{7}$
$a^{m} \div a^{n} = a^{m - n}$	$5^{7} \div 5^{4} = 5^{3}$
$(a^{m})^{n} = a^{mn}$	$(3^{2})^{4} = 3^{8}$
$(ab)^{n} = a^{n} b^{n}$	$(2 \times 5)^{3} = 8 \times 125$
$(\frac{a}{b})^{n} = \frac{a ^{n}}{b ^{n}}$	$(\frac{2}{3})^{2} = \frac{4}{9}$
$a^{0} = 1 (a \neq = 0)$	$7^{0} = 1$
$a^{- n} = \frac{1}{a ^{n}}$	$2^{- 3} = \frac{1}{8}$

सावधानीजोड़ और घात में अंतर:

a^{m} + a^{n} \neq = a^{m + n}

और

(a + b)^{n} \neq = a^{n} + b^{n}

। नियम केवल गुणा / भाग पर चलते हैं।

उदाहरण 1 · आसान

\frac{2 ^{5} \times 2 ^{3}}{2 ^{4}}

का मान निकालिए।

हल, कदम-दर-कदम

1गुणा में घातें जोड़ें: $2^{5 + 3} = 2^{8}$ ।
2भाग में घटाएँ: $2^{8 - 4} = 2^{4} = 16$ ।

उत्तर 16

उदाहरण 2 · मध्यम

\frac{4 ^{3} \times 8 ^{2}}{1 6 ^{2}}

का मान निकालिए।

हल, कदम-दर-कदम

1सबको 2 की घात में लिखें: $4 = 2^{2}$ , $8 = 2^{3}$ , $16 = 2^{4}$ ।
2 $\frac{2 ^{6} \times 2 ^{6}}{2 ^{8}} = 2^{12 - 8} = 2^{4} = 16$

उत्तर 16

आसानपहले खुद करके देखें

\frac{3 ^{5} \times 3 ^{2}}{3 ^{4}}

का मान क्या है?

आसानपहले खुद करके देखें

\frac{5 ^{6} \times 5 ^{3}}{5 ^{7}}

का मान क्या है?

मध्यमपहले खुद करके देखें

\frac{2 ^{7} \times 2 ^{9}}{2 ^{12}}

का मान क्या है?

मध्यमपहले खुद करके देखें

\frac{7 ^{4} \times 7 ^{3}}{7 ^{8}}

का मान क्या है?

मध्यमपहले खुद करके देखें

\frac{4 ^{4} \times 8 ^{2}}{1 6 ^{3}}

का मान क्या है?

मध्यमपहले खुद करके देखें

\frac{4 ^{5} \times 8 ^{3}}{1 6 ^{6}}

का मान क्या है?

कठिनपहले खुद करके देखें

\frac{4 ^{7} \times 8 ^{5}}{1 6 ^{9}}

का मान क्या है?

उदाहरण 3 · मध्यम

\frac{3 ^{n + 2} - 3 ^{n}}{3 ^{n - 1}}

का मान निकालिए।

हल, कदम-दर-कदम

1अंश में $3^{n}$ साझा निकालें: $3^{n} (3^{2} - 1) = 3^{n} \times 8$ ।
2हर $3^{n - 1} = 3^{n} \div 3$ है, इसलिए मान $= 8 \times 3 = 24$ ।

उत्तर 24

उत्तर

n

पर निर्भर नहीं करता।

मध्यमपहले खुद करके देखें

\frac{2 ^{n + 3} - 2 ^{n}}{2 ^{n - 2}}

का मान क्या है?

मध्यमपहले खुद करके देखें

\frac{5 ^{n + 2} - 5 ^{n}}{5 ^{n - 1}}

का मान क्या है?

कठिनपहले खुद करके देखें

\frac{3 ^{n + 4} - 3 ^{n}}{3 ^{n - 3}}

का मान क्या है?

भिन्नात्मक और ऋणात्मक घात

जड़ों से जुड़ाव

$a^{1/ n}$ मतलब $n$ -वाँ मूल; $a^{m / n}$ और $a^{- n}$ को कैसे पढ़ें।

a^{1/ n} = n a, a^{m / n} = (n a)^{m}, a^{- m / n} = \frac{1}{a ^{m / n}}

भिन्नात्मक घात की परिभाषा

$8^{2/3}$ पढ़िए: “8 का घनमूल, फिर उसका वर्ग” = $2^{2} = 4$ । पहले जड़, फिर घात — इस क्रम से संख्या छोटी रहती है और हिसाब आसान।

उदाहरण 4 · आसान

2 7^{2/3}

और

1 6^{- 3/4}

का मान निकालिए।

हल, कदम-दर-कदम

1 $2 7^{2/3} = (327)^{2} = 3^{2} = 9$ ।
2 $1 6^{- 3/4} = \frac{1}{( 4 16 ) ^{3}} = \frac{1}{2 ^{3}} = \frac{1}{8}$ ।

उत्तर $9$ और $\frac{1}{8}$

उदाहरण 5 · मध्यम

(\frac{8}{27})^{- 2/3}

का मान निकालिए।

हल, कदम-दर-कदम

1ऋणात्मक घात = उलटना: $(\frac{27}{8})^{2/3}$ ।
2घनमूल: $\frac{3}{2}$ ; फिर वर्ग: $\frac{9}{4}$ ।

उत्तर $\frac{9}{4}$

आसानपहले खुद करके देखें

6 4^{\frac{1}{3}}

का मान ज्ञात कीजिए।

आसानपहले खुद करके देखें

2 5^{\frac{3}{2}}

का मान ज्ञात कीजिए।

मध्यमपहले खुद करके देखें

3 2^{\frac{3}{5}}

का मान ज्ञात कीजिए।

मध्यमपहले खुद करके देखें

8 1^{- \frac{3}{4}}

का मान ज्ञात कीजिए।

मध्यमपहले खुद करके देखें

12 5^{- \frac{2}{3}}

का मान ज्ञात कीजिए।

कठिनपहले खुद करके देखें

24 3^{\frac{4}{5}}

का मान ज्ञात कीजिए।

कठिनपहले खुद करके देखें

102 4^{- \frac{3}{10}}

का मान ज्ञात कीजिए।

घात वाले समीकरण

आधार बराबर करो

जब $x$ घात में हो — दोनों ओर एक ही आधार बनाइए और घातें बराबर कीजिए।

a^{x} = a^{y} ⟹ x = y (a > 0, a \neq = 1)

समीकरण का मूल नियम

दोनों ओर को एक ही आधार की घात में लिखिए (संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों में तोड़िए)।
आधार बराबर हों तो घातें बराबर कीजिए।
अब साधारण रैखिक समीकरण हल कीजिए।

उदाहरण 6 · आसान

3^{x + 2} = 243

में

x

ज्ञात कीजिए।

हल, कदम-दर-कदम

1 $243 = 3^{5}$ , इसलिए $3^{x + 2} = 3^{5}$ ।
2 $x + 2 = 5$ ⟹ $x = 3$

उत्तर 3

उदाहरण 7 · मध्यम

5^{x} + 5^{x + 1} = 750

में

x

ज्ञात कीजिए।

हल, कदम-दर-कदम

1 $5^{x} (1 + 5) = 750$ ⟹ $5^{x} = 125$ ।
2 $125 = 5^{3}$ ⟹ $x = 3$

उत्तर 3

उदाहरण 8 · कठिन

2^{x} \times 4^{x + 1} = 128

में

x

ज्ञात कीजिए।

हल, कदम-दर-कदम

1 $4^{x + 1} = 2^{2 x + 2}$ , इसलिए बायाँ पक्ष $2^{x + 2 x + 2} = 2^{3 x + 2}$ ।
2 $128 = 2^{7}$ ⟹ $3 x + 2 = 7$ ⟹ $x = \frac{5}{3}$

उत्तर $\frac{5}{3}$

आसानपहले खुद करके देखें

यदि

2^{x + 3} = 128

हो, तो

x

का मान क्या है?

आसानपहले खुद करके देखें

यदि

5^{x - 1} = 25

हो, तो

x

का मान क्या है?

मध्यमपहले खुद करके देखें

यदि

3^{2 x + 1} = 243

हो, तो

x

का मान क्या है?

मध्यमपहले खुद करके देखें

यदि

7^{3 x - 2} = 7

हो, तो

x

का मान क्या है?

मध्यमपहले खुद करके देखें

यदि

2^{2 x - 3} = 128

हो, तो

x

का मान क्या है?

कठिनपहले खुद करके देखें

यदि

4^{3 x + 2} = 65, 536

हो, तो

x

का मान क्या है?

कठिनपहले खुद करके देखें

यदि

3^{4 x - 5} = 27

हो, तो

x

का मान क्या है?

मध्यमपहले खुद करके देखें

यदि

3^{x} + 3^{x + 1} = 108

हो, तो

x

क्या है?

मध्यमपहले खुद करके देखें

यदि

2^{x} + 2^{x + 1} = 96

हो, तो

x

क्या है?

कठिनपहले खुद करके देखें

यदि

6^{x} + 6^{x + 1} = 1, 512

हो, तो

x

क्या है?

मध्यमपहले खुद करके देखें

यदि

2^{a} = 3^{b} = 6^{c}

हो और

a, b, c \neq = 0

, तो

\frac{1}{a} + \frac{1}{b}

बराबर है:

2

करणी (Surds)

पहचान · संचालन · तुलना · परिमेयकरण

करणी क्या है, उनका सरल रूप, जोड़-गुणा, क्रम में रखना, हर से हटाना और $a \pm 2 b$ का सरलीकरण।

करणी क्या है

मूल जो पूरा नहीं खुलता

करणी की परिभाषा, कोटि, शुद्ध और मिश्र करणी, सजातीय और विजातीय करणी।

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जोड़, घटाव, गुणा, भाग

सजातीय पद ही जुड़ते हैं

पहले हर करणी को सरल कीजिए; फिर सजातीय पदों के गुणांक जोड़िए-घटाइए।

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करणियों की तुलना

कोटियों का LCM

अलग-अलग कोटि की करणियों को बड़े-छोटे क्रम में रखना।

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परिमेयकरण

हर से करणी हटाना

हर में करणी हो तो उसे संयुग्मी से गुणा करके परिमेय बनाइए।

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मूल के भीतर मूल

a \pm 2 b

का सरलीकरण ·

x + \frac{1}{x}

दो पद जिनके वर्गों का योग $a$ और गुणनफल $b$ हो; और $x = p + q$ से $x + \frac{1}{x}$ निकालना।

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3

जाल और तेज़ चालें

गलतियाँ · तेज़ तरीके

आम गलतियाँ और कुछ चालें जो समय बचाती हैं।

सबसे आम गलतियाँ

छह जाल

जिन गलतियों पर अंक कटते हैं।

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तेज़ चालें

आधार एक करो · जोड़ी पहचानो

कुछ पहचानें जो लंबे हिसाब को छोटा कर देती हैं।

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4

अभ्यास की सीढ़ी

आसान → मध्यम → कठिन

हर प्रकार के नए प्रश्न, तीन स्तरों में।

स्तर 1 — आसान

सीधे नियम

एक नियम वाले प्रश्न।

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स्तर 2 — मध्यम

दो विचारों का मेल

परीक्षा-स्तर के प्रश्न।

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स्तर 3 — कठिन

कई कदम और चालाक सोच

प्रतियोगी परीक्षाओं के कठिन स्तर के प्रश्न।

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5

दोहराव — सूत्र कार्ड

पलटिए और खुद से पूछिए

हर कार्ड का प्रश्न पढ़कर पहले खुद सोचिए, फिर पलटिए।

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घातांक

घातांक के नियम

भिन्नात्मक और ऋणात्मक घात

घात वाले समीकरण

करणी (Surds)

करणी क्या है

जोड़, घटाव, गुणा, भाग

करणियों की तुलना

परिमेयकरण

मूल के भीतर मूल

जाल और तेज़ चालें

सबसे आम गलतियाँ

तेज़ चालें

अभ्यास की सीढ़ी

स्तर 1 — आसान

स्तर 2 — मध्यम

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