एक गेंद को ऊपर फेंकने पर वह ऊपर जाती है, रुकती है और फिर नीचे आती है — इसकी ऊँचाई का हिसाब एक द्विघात समीकरण से लगता है। किसी वर्गाकार बगीचे का क्षेत्रफल दिया हो और भुजा पूछी जाए, तो भी बनता है। द्विघात का अर्थ है कि अज्ञात की उच्चतम घात 2 है। ऐसे समीकरण के दो मूल (हल) होते हैं — कभी दो अलग, कभी दोनों बराबर, और कभी वास्तविक संख्याओं में कोई नहीं। इस अध्याय का एक ही सूत्र सब हल कर देता है, पर गुणनखंड अक्सर उससे भी तेज़ होता है।
मानक रूप
पहचानिए कि समीकरण द्विघात है या नहीं, और मानक रूप में ।
द्विघात की पहचान
बाहर से द्विघात दिखने वाला समीकरण सरल करने पर रैखिक हो सकता है, और उलटा भी।
- मानक रूप: ; शून्य नहीं हो सकता (नहीं तो वह रैखिक हो जाएगा)।
- कोष्ठक खोलिए, पद एक ओर लाइए — जब दोनों पक्षों में कट जाए तो समीकरण रैखिक रह जाता है।
- मूल: वह मान जो रखने पर समीकरण सही हो जाए। द्विघात के ठीक दो मूल होते हैं (समान हो सकते हैं)।
- यदि मूल है तो एक गुणनखंड है।
- 1बाईं ओर ; पर दोनों कट जाते हैं।
- 2बचा ⟹ : रैखिक है
हल करने की विधियाँ
बीच का पद तोड़कर गुणनखंड; या सूत्र से अपरिमेय मूल भी।
गुणनखंड विधि
दो संख्याएँ ढूँढिए जिनका गुणनफल और योग हो।
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पास लेने पर इस अध्याय के सारे उदाहरण, अभ्यास प्रश्न और हल खुल जाएँगे।
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श्रीधराचार्य (द्विघात) सूत्र
पहचानकर , फिर ।
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मूलों की प्रकृति
का चिह्न बताता है कि मूल वास्तविक हैं या नहीं, और कब बराबर होते हैं।
से निर्णय
मूल निकाले बिना ही प्रकृति जानिए; और वाले प्रश्न।
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मूलों के संबंध
मूलों का योग और गुणनफल ; इनसे व्यंजक, समीकरण बनाना और मूल बदलना।
योग और गुणनफल से व्यंजक
मूल निकाले बिना , जैसे मान।
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समीकरण बनाना और मूल बदलना
मूल दिए हों तो समीकरण; और मूल बदल जाएँ तो नया समीकरण।
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शब्द-समस्याएँ
संख्याएँ, आयत, चाल-समय और व्युत्क्रम संख्याएँ; तथा दो समीकरणों वाले तुलना-प्रश्न।
संख्याएँ और आकृतियाँ
क्रमागत संख्याएँ, अनुपात और गुणनफल, योग और गुणनफल, तथा आयत।
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चाल, व्युत्क्रम और तुलना
चाल-समय से द्विघात, संख्या + व्युत्क्रम और दो समीकरणों से की तुलना।
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जाल और तेज़ चालें
द्विघात समीकरणों में अंक कहाँ कटते हैं।
सबसे आम गलतियाँ
जिन गलतियों पर अंक कटते हैं।
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तेज़ चालें
जल्दी हल करने की आदतें।
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अभ्यास की सीढ़ी
हर प्रकार के नए प्रश्न, तीन स्तरों में।
स्तर 1 — आसान
एक नियम वाले प्रश्न।
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स्तर 2 — मध्यम
परीक्षा-स्तर के प्रश्न।
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स्तर 3 — कठिन
प्रतियोगी परीक्षाओं के कठिन स्तर के प्रश्न।
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दोहराव — सूत्र कार्ड
हर कार्ड का प्रश्न पढ़कर पहले खुद सोचिए, फिर पलटिए।
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