प्रायिकता

प्रतियोगी गणित · बीजगणित

7 भाग2 हल किए उदाहरण24 अभ्यास प्रश्न

सिक्का उछालने पर चित आएगा या पट — यह पहले से नहीं पता, पर हम इतना कह सकते हैं कि दोनों के आने के बराबर मौके हैं। इस "मौके" को हम एक संख्या में कहते हैं: प्रायिकता। यदि सब परिणाम बराबर संभावना वाले हों, तो प्रायिकता = अनुकूल परिणाम ÷ कुल परिणाम। इसलिए प्रायिकता हमेशा 0 से 1 के बीच होती है: 0 का अर्थ है घटना असंभव, 1 का अर्थ है घटना निश्चित। पूरा अध्याय इसी भिन्न को अलग-अलग परिस्थितियों में सही गिनने का अभ्यास है — सिक्के, पासे, पत्ते, कंचे — और फिर घटनाओं को जोड़ने-गुणा करने के नियम।

P (E) = \frac{n ( E )}{n ( S )}, 0 \leq P (E) \leq 1, P (\overset{ˉ}{E}) = 1 - P (E)

तीन मूल बातें

मूल अवधारणाएँ

प्रतिदर्श समष्टि, घटना, पूरक

सभी संभव परिणाम, अनुकूल परिणाम, निश्चित-असंभव घटना और पूरक घटना।

शब्दावली और सरल प्रश्न

अनुकूल ÷ कुल

प्रयोग, प्रतिदर्श समष्टि $S$ , घटना $E$ और पूरक $\overset{ˉ}{E}$ ।

शब्द	अर्थ
प्रयोग	ऐसी क्रिया जिसके सब संभव परिणाम पता हों पर परिणाम पहले से नहीं (सिक्का उछालना)
प्रतिदर्श समष्टि $S$	सब संभव परिणामों का समुच्चय; पासे के लिए ${1, 2, 3, 4, 5, 6}$
घटना $E$	$S$ का कोई अंश — जैसे "सम संख्या आना"
निश्चित / असंभव	$P (S) = 1$ / $P (\emptyset) = 0$
पूरक $\overset{ˉ}{E}$	$E$ के न घटने की घटना; $P (\overset{ˉ}{E}) = 1 - P (E)$

उदाहरण 1 · आसान

एक थैले में 3 लाल और 2 नीले कंचे हैं। यादृच्छिक रूप से एक कंचा निकालने पर वह नीला होने की प्रायिकता?

हल, कदम-दर-कदम

1कुल कंचे $= 5$ ; अनुकूल (नीले) $= 2$ ।
2प्रायिकता $= \frac{2}{5}$

उत्तर $\frac{2}{5}$

उदाहरण 2 · आसान

52 पत्तों में से एक पत्ता यादृच्छिक चुना गया। वह राजा नहीं है — इसकी प्रायिकता?

हल, कदम-दर-कदम

1राजा होने की प्रायिकता $= \frac{4}{52} = \frac{1}{13}$ ।
2राजा नहीं $= 1 - \frac{1}{13} = \frac{12}{13}$

उत्तर $\frac{12}{13}$

आसानपहले खुद करके देखें

एक थैले में 4 काले, 6 सफ़ेद कंचे हैं। यादृच्छिक रूप से एक कंचा निकाला गया। उसके काले होने की प्रायिकता?

आसानपहले खुद करके देखें

एक थैले में 7 काले, 5 सफ़ेद कंचे हैं। यादृच्छिक रूप से एक कंचा निकाला गया। उसके सफ़ेद होने की प्रायिकता?

मध्यमपहले खुद करके देखें

एक थैले में 5 लाल, 3 हरे, 4 नीले, 8 पीले कंचे हैं। यादृच्छिक रूप से एक कंचा निकाला गया। उसके पीले या हरे होने की प्रायिकता?

मध्यमपहले खुद करके देखें

एक थैले में 2 लाल, 6 हरे, 5 नीले, 7 पीले कंचे हैं। यादृच्छिक रूप से एक कंचा निकाला गया। उसके लाल या नीले होने की प्रायिकता?

कठिनपहले खुद करके देखें

एक थैले में 9 लाल, 4 हरे, 6 नीले, 11 पीले कंचे हैं। यादृच्छिक रूप से एक कंचा निकाला गया। उसके हरे या पीले होने की प्रायिकता?

कठिनपहले खुद करके देखें

एक थैले में 8 लाल, 5 नीले, 7 हरे कंचे हैं। यादृच्छिक रूप से एक कंचा निकाला गया। उसके नीले या हरे होने की प्रायिकता?

आसानपहले खुद करके देखें

52 पत्तों की गड्डी से एक पत्ता यादृच्छिक चुना गया। वह राजा (बादशाह) नहीं है — इसकी प्रायिकता?

आसानपहले खुद करके देखें

52 पत्तों की गड्डी से एक पत्ता यादृच्छिक चुना गया। वह लाल पत्ता नहीं है — इसकी प्रायिकता?

मध्यमपहले खुद करके देखें

52 पत्तों की गड्डी से एक पत्ता यादृच्छिक चुना गया। वह तस्वीर वाला पत्ता नहीं है — इसकी प्रायिकता?

मध्यमपहले खुद करके देखें

52 पत्तों की गड्डी से एक पत्ता यादृच्छिक चुना गया। वह हुकुम नहीं है — इसकी प्रायिकता?

मध्यमपहले खुद करके देखें

52 पत्तों की गड्डी से एक पत्ता यादृच्छिक चुना गया। वह इक्का नहीं है — इसकी प्रायिकता?

आसानपहले खुद करके देखें

शब्द 'EDUCATION' से एक अक्षर यादृच्छिक चुना गया। वह स्वर है — प्रायिकता?

मध्यमपहले खुद करके देखें

शब्द 'MATHEMATICS' से एक अक्षर यादृच्छिक चुना गया। वह स्वर है — प्रायिकता?

मध्यमपहले खुद करके देखें

शब्द 'ELEPHANT' से एक अक्षर यादृच्छिक चुना गया। वह व्यंजन है — प्रायिकता?

कठिनपहले खुद करके देखें

शब्द 'MOUNTAIN' से एक अक्षर यादृच्छिक चुना गया। वह स्वर है — प्रायिकता?

कठिनपहले खुद करके देखें

शब्द 'CHEMISTRY' से एक अक्षर यादृच्छिक चुना गया। वह व्यंजन है — प्रायिकता?

मध्यमपहले खुद करके देखें

यादृच्छिक रूप से चुने गए अधिवर्ष (लीप वर्ष) में 53 रविवार होने की प्रायिकता?

मध्यमपहले खुद करके देखें

यादृच्छिक रूप से चुने गए सामान्य वर्ष में 53 रविवार होने की प्रायिकता?

कठिनपहले खुद करके देखें

यादृच्छिक रूप से चुने गए अधिवर्ष (लीप वर्ष) में 53 रविवार होने की प्रायिकता?

मध्यमपहले खुद करके देखें

1, 2, ..., 40 में से एक संख्या यादृच्छिक चुनी गई। उसके अभाज्य होने की प्रायिकता?

मध्यमपहले खुद करके देखें

1, 2, ..., 30 में से एक संख्या यादृच्छिक चुनी गई। उसके 4 का गुणज होने की प्रायिकता?

मध्यमपहले खुद करके देखें

1, 2, ..., 60 में से एक संख्या यादृच्छिक चुनी गई। उसके पूर्ण वर्ग होने की प्रायिकता?

कठिनपहले खुद करके देखें

2, 3, ..., 50 में से एक संख्या यादृच्छिक चुनी गई। उसके ऐसी संख्या जिसका इकाई अंक 7 हो होने की प्रायिकता?

कठिनपहले खुद करके देखें

1, 2, ..., 100 में से एक संख्या यादृच्छिक चुनी गई। उसके 2 और 3 दोनों से विभाज्य होने की प्रायिकता?

सिक्के, पासे, पत्ते और कंचे

चार जाने-पहचाने प्रयोग

हर प्रयोग का प्रतिदर्श समष्टि और बहु-चयन के लिए संचय।

सिक्के

2^{n}

परिणाम

$n$ सिक्कों के कुल $2^{n}$ परिणाम; ठीक $k$ चित के $^{n} C_{k}$ ।

🔒

यह भाग All Access में शामिल है।

पास लेने पर इस अध्याय के सारे उदाहरण, अभ्यास प्रश्न और हल खुल जाएँगे।

पास देखें · ₹100.00 पहले से पास है? लॉग इन करें

इन पास में भी शामिल: RAS Pre 2026 — 40 Day Study Plan + Complete Notes (₹300.00) · Competitive Maths (Hindi Medium) (₹90.00) · RRB NTPC Graduation Level 2026 (₹300.00) · RRB NTPC Under Graduate Level 2026 (₹300.00)

पासे

6 या 36 परिणाम

एक पासे के 6 और दो पासों के 36 परिणाम।

🔒

यह भाग All Access में शामिल है।

पास लेने पर इस अध्याय के सारे उदाहरण, अभ्यास प्रश्न और हल खुल जाएँगे।

पास देखें · ₹100.00 पहले से पास है? लॉग इन करें

ताश के पत्ते

52 पत्तों की गड्डी

4 रंग-समूह (हुकुम, पान, ईंट, चिड़ी) $\times$ 13 पत्ते; 26 लाल, 26 काले; 12 तस्वीर वाले।

🔒

यह भाग All Access में शामिल है।

पास लेने पर इस अध्याय के सारे उदाहरण, अभ्यास प्रश्न और हल खुल जाएँगे।

पास देखें · ₹100.00 पहले से पास है? लॉग इन करें

कंचे और गेंदें

संचय से गिनिए

एक साथ कई कंचे निकालने पर अनुकूल और कुल तरीके $^{n} C_{r}$ से।

🔒

यह भाग All Access में शामिल है।

पास लेने पर इस अध्याय के सारे उदाहरण, अभ्यास प्रश्न और हल खुल जाएँगे।

पास देखें · ₹100.00 पहले से पास है? लॉग इन करें

जोड़ और गुणन के नियम

"या" और "और"

$P (A \cup B)$ , स्वतंत्र घटनाएँ $P (A) P (B)$ , सशर्त प्रायिकता और बायेस-जैसे कुल प्रायिकता।

जोड़ का नियम

P (A \cup B)

"A या B" की प्रायिकता; परस्पर अपवर्जी घटनाओं में साझा भाग शून्य।

🔒

यह भाग All Access में शामिल है।

पास लेने पर इस अध्याय के सारे उदाहरण, अभ्यास प्रश्न और हल खुल जाएँगे।

पास देखें · ₹100.00 पहले से पास है? लॉग इन करें

गुणन का नियम और स्वतंत्र घटनाएँ

P (A \cap B) = P (A) P (B)

स्वतंत्र घटनाएँ, कम से कम एक का नियम, द्विपद और प्रतिस्थापन के बिना चयन।

🔒

यह भाग All Access में शामिल है।

पास लेने पर इस अध्याय के सारे उदाहरण, अभ्यास प्रश्न और हल खुल जाएँगे।

पास देखें · ₹100.00 पहले से पास है? लॉग इन करें

सशर्त प्रायिकता

P (B / A) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( A )}

यह जानते हुए कि $A$ घट चुका है, $B$ की प्रायिकता।

🔒

यह भाग All Access में शामिल है।

पास लेने पर इस अध्याय के सारे उदाहरण, अभ्यास प्रश्न और हल खुल जाएँगे।

पास देखें · ₹100.00 पहले से पास है? लॉग इन करें

चयन, पंक्ति और कबूतरखाना

विशेष मामले

दो विशेष व्यक्तियों का चयन, पंक्ति में पास-पास बैठना और मोज़ों जैसे निश्चित घटना के प्रश्न।

विशेष प्रश्न

गिनती के सूत्र प्रायिकता में

क्रमचय-संचय का सूत्र अनुकूल और कुल में लगाइए।

🔒

यह भाग All Access में शामिल है।

पास लेने पर इस अध्याय के सारे उदाहरण, अभ्यास प्रश्न और हल खुल जाएँगे।

पास देखें · ₹100.00 पहले से पास है? लॉग इन करें

जाल और तेज़ चालें

गलतियाँ · तरकीबें

प्रायिकता में अंक कहाँ कटते हैं।

सबसे आम गलतियाँ

छह जाल

जिन गलतियों पर अंक कटते हैं।

🔒

यह भाग All Access में शामिल है।

पास लेने पर इस अध्याय के सारे उदाहरण, अभ्यास प्रश्न और हल खुल जाएँगे।

पास देखें · ₹100.00 पहले से पास है? लॉग इन करें

तेज़ चालें

पूरक और सूची

जल्दी हल करने की आदतें।

🔒

यह भाग All Access में शामिल है।

पास लेने पर इस अध्याय के सारे उदाहरण, अभ्यास प्रश्न और हल खुल जाएँगे।

पास देखें · ₹100.00 पहले से पास है? लॉग इन करें

अभ्यास की सीढ़ी

आसान → मध्यम → कठिन

हर प्रकार के नए प्रश्न, तीन स्तरों में।

स्तर 1 — आसान

सीधे नियम

एक नियम वाले प्रश्न।

🔒

यह भाग All Access में शामिल है।

पास लेने पर इस अध्याय के सारे उदाहरण, अभ्यास प्रश्न और हल खुल जाएँगे।

पास देखें · ₹100.00 पहले से पास है? लॉग इन करें

स्तर 2 — मध्यम

दो विचारों का मेल

परीक्षा-स्तर के प्रश्न।

🔒

यह भाग All Access में शामिल है।

पास लेने पर इस अध्याय के सारे उदाहरण, अभ्यास प्रश्न और हल खुल जाएँगे।

पास देखें · ₹100.00 पहले से पास है? लॉग इन करें

स्तर 3 — कठिन

कई कदम और चालाक सोच

प्रतियोगी परीक्षाओं के कठिन स्तर के प्रश्न।

🔒

यह भाग All Access में शामिल है।

पास लेने पर इस अध्याय के सारे उदाहरण, अभ्यास प्रश्न और हल खुल जाएँगे।

पास देखें · ₹100.00 पहले से पास है? लॉग इन करें

दोहराव — सूत्र कार्ड

पलटिए और खुद से पूछिए

हर कार्ड का प्रश्न पढ़कर पहले खुद सोचिए, फिर पलटिए।

🔒

यह भाग All Access में शामिल है।

पास लेने पर इस अध्याय के सारे उदाहरण, अभ्यास प्रश्न और हल खुल जाएँगे।

पास देखें · ₹100.00 पहले से पास है? लॉग इन करें

प्रायिकता

मूल अवधारणाएँ

शब्दावली और सरल प्रश्न

सिक्के, पासे, पत्ते और कंचे

सिक्के

पासे

ताश के पत्ते

कंचे और गेंदें

जोड़ और गुणन के नियम

जोड़ का नियम

गुणन का नियम और स्वतंत्र घटनाएँ

सशर्त प्रायिकता

चयन, पंक्ति और कबूतरखाना

विशेष प्रश्न

जाल और तेज़ चालें

सबसे आम गलतियाँ

तेज़ चालें

अभ्यास की सीढ़ी

स्तर 1 — आसान

स्तर 2 — मध्यम

स्तर 3 — कठिन

दोहराव — सूत्र कार्ड

Free All Access Passevery mind map · Hindi + English · 12 months

How is it going?