मिश्रण और एलिगेशन

चाय की दुकान पर ₹300 किलो वाली और ₹500 किलो वाली पत्ती मिलाई जाती है ताकि मिश्रण ₹400 किलो का बने। प्रश्न है: किस अनुपात में? यहाँ जवाब सहज है — दोनों बराबर। पर ₹420 बनाना हो तो? यहीं एलिगेशन (alligation, “जोड़ना”) काम आता है: एक छोटी-सी आड़ी-घटाव की तालिका जो बिना समीकरण लिखे अनुपात दे देती है। इसका जादू यह है कि यह केवल दाम पर नहीं, किसी भी “प्रति इकाई” चीज़ पर चलता है — प्रतिशत, चाल, औसत, लाभ।

\frac{सस्ते की मात्रा}{महँगे की मात्रा} = \frac{d - m}{m - c}

एलिगेशन का सूत्र (

c

सस्ता,

d

महँगा,

m

औसत)

1

औसत मूल्य और एलिगेशन

आड़ा घटाव

मिश्रण का औसत मूल्य और सस्ते-महँगे को मिलाने का अनुपात।

औसत मूल्य (Mean Price)

हमेशा दोनों दामों के बीच

मिश्रण की प्रति इकाई लागत — कुल लागत ÷ कुल मात्रा।

मिश्रण का औसत मूल्य सस्ती चीज़ से महँगा और महँगी चीज़ से सस्ता होता है। यह वही भारित औसत है जो औसत अध्याय में देखा: $औसत मूल्य = \frac{q _{1} p _{1} + q _{2} p _{2}}{q _{1} + q _{2}}$ । जितनी ज़्यादा मात्रा जिस चीज़ की हो, औसत उसके दाम के उतने पास।

उदाहरण 1 · आसान

20 किग्रा चाय ₹300 प्रति किग्रा और 30 किग्रा चाय ₹400 प्रति किग्रा मिलाई गई। मिश्रण का औसत मूल्य क्या है?

हल, कदम-दर-कदम

1कुल लागत $= 6000 + 12000 = 18000$ ; कुल मात्रा $= 50$ ।
2औसत $= \frac{18000}{50} = 360$

उत्तर ₹360

आसानपहले खुद करके देखें

10 किग्रा ₹40/किग्रा, 30 किग्रा ₹60/किग्रा वाली चाय मिलाई गई। मिश्रण का औसत मूल्य (प्रति किग्रा) क्या है?

मध्यमपहले खुद करके देखें

24 किग्रा ₹35/किग्रा, 16 किग्रा ₹55/किग्रा, 20 किग्रा ₹60/किग्रा वाली चाय मिलाई गई। मिश्रण का औसत मूल्य (प्रति किग्रा) क्या है?

कठिनपहले खुद करके देखें

35 किग्रा ₹48/किग्रा, 25 किग्रा ₹72/किग्रा, 40 किग्रा ₹60/किग्रा वाली चाय मिलाई गई। मिश्रण का औसत मूल्य (प्रति किग्रा) क्या है?

मध्यमपहले खुद करके देखें

20 किग्रा चीनी ₹24 प्रति किग्रा और 30 किग्रा चीनी ₹32 प्रति किग्रा पर ख़रीदकर मिलाई गई और पूरा मिश्रण ₹33 प्रति किग्रा बेचा गया। लाभ या हानि कितने % हुई?

कठिनपहले खुद करके देखें

40 किग्रा चीनी ₹36 प्रति किग्रा और 60 किग्रा चीनी ₹46 प्रति किग्रा पर ख़रीदकर मिलाई गई और पूरा मिश्रण ₹48 प्रति किग्रा बेचा गया। लाभ या हानि कितने % हुई?

एलिगेशन की विधि

सस्ता : महँगा

= (d - m) : (m - c)

तीन दाम, एक अनुपात — और मात्रा जब कुल दी हो।

विधि: सस्ता दाम $c$ और महँगा दाम $d$ अलग लिखिए, बीच में लक्ष्य औसत $m$ । अब आड़े घटाइए: $d - m$ सस्ते की मात्रा बताता है और $m - c$ महँगे की। अनुपात हमेशा बड़े अंतर वाली चीज़ कम मात्रा में — यानी औसत जिसके पास हो उसकी मात्रा ज़्यादा।

जाँचजाँच: औसत ₹440 बनाना हो तो ₹400 और ₹500 के बीच 440 पास है ₹400 के — इसलिए ₹400 वाली चीज़ ज़्यादा लगेगी। अनुपात

(500 - 440) : (440 - 400) = 60 : 40 = 3 : 2

यही दिखाता है।

उदाहरण 2 · आसान

किस अनुपात में ₹45 और ₹60 प्रति किग्रा वाले चावल मिलाएँ कि मिश्रण ₹48 प्रति किग्रा का बने?

हल, कदम-दर-कदम

1सस्ता का भाग $= 60 - 48 = 12$ ; महँगे का $= 48 - 45 = 3$ ।
2अनुपात $12 : 3 = 4 : 1$

उत्तर 4 : 1

उदाहरण 3 · मध्यम

₹36 और ₹52 प्रति किग्रा वाली दो किस्मों के चावल मिलाकर 80 किग्रा का मिश्रण ₹46 प्रति किग्रा का बनाया गया। हर किस्म कितने किग्रा है?

हल, कदम-दर-कदम

1अनुपात $= (52 - 46) : (46 - 36) = 6 : 10 = 3 : 5$ ।
2सस्ता $= 80 \times \frac{3}{8} = 30$ किग्रा; महँगा $= 50$ किग्रा

उत्तर 30 किग्रा और 50 किग्रा

उदाहरण 4 · कठिन

₹50 और ₹80 प्रति किलो की दो किस्मों को मिलाकर ₹68.40 प्रति किलो पर बेचने से 14% लाभ होता है। किस अनुपात में मिलाई गईं?

हल, कदम-दर-कदम

1मिश्रण का लागत मूल्य $= \frac{68.4 \times 100}{114} = 60$ प्रति किलो।
2सस्ता : महँगा $= (80 - 60) : (60 - 50) = 20 : 10 = 2 : 1$ ।

उत्तर 2 : 1

पहले बिक्री मूल्य से लागत निकालिए, फिर एलिगेशन।

उदाहरण 5 · मध्यम

₹70 प्रति किलो की चाय में ₹95 प्रति किलो की चाय किस अनुपात में मिलाएँ कि मिश्रण ₹80 प्रति किलो का हो?

हल, कदम-दर-कदम

1सस्ता : महँगा $= (95 - 80) : (80 - 70) = 15 : 10$ ।
2 $= 3 : 2$

उत्तर 3 : 2

आसानपहले खुद करके देखें

किस अनुपात में ₹30 प्रति किग्रा और ₹50 प्रति किग्रा वाले चावल मिलाएँ कि मिश्रण ₹42 प्रति किग्रा का हो?

आसानपहले खुद करके देखें

किस अनुपात में ₹24 प्रति किग्रा और ₹40 प्रति किग्रा वाले चावल मिलाएँ कि मिश्रण ₹36 प्रति किग्रा का हो?

मध्यमपहले खुद करके देखें

किस अनुपात में ₹18.5 प्रति किग्रा और ₹24.5 प्रति किग्रा वाले चावल मिलाएँ कि मिश्रण ₹22 प्रति किग्रा का हो?

मध्यमपहले खुद करके देखें

किस अनुपात में ₹64 प्रति किग्रा और ₹96 प्रति किग्रा वाले चावल मिलाएँ कि मिश्रण ₹72 प्रति किग्रा का हो?

कठिनपहले खुद करके देखें

किस अनुपात में ₹275 प्रति किग्रा और ₹425 प्रति किग्रा वाले चावल मिलाएँ कि मिश्रण ₹335 प्रति किग्रा का हो?

आसानपहले खुद करके देखें

₹30 और ₹50 प्रति किग्रा वाली दो किस्मों के चावल मिलाकर 40 किग्रा का मिश्रण ₹42 प्रति किग्रा बनाया गया। सस्ती किस्म कितने किग्रा है?

मध्यमपहले खुद करके देखें

₹36 और ₹52 प्रति किग्रा वाली दो किस्मों के चावल मिलाकर 160 किग्रा का मिश्रण ₹46 प्रति किग्रा बनाया गया। सस्ती किस्म कितने किग्रा है?

कठिनपहले खुद करके देखें

₹120 और ₹180 प्रति किग्रा वाली दो किस्मों के चावल मिलाकर 300 किग्रा का मिश्रण ₹150 प्रति किग्रा बनाया गया। सस्ती किस्म कितने किग्रा है?

2

प्रतिशत, लाभ और संकेंद्रण पर एलिगेशन

“दाम” की जगह कोई भी प्रति-इकाई चीज़

एलिगेशन तब भी चलता है जब राशि दाम नहीं, प्रतिशत या लाभ हो।

घोलों का संकेंद्रण

% भी एक दाम है

दो घोलों का प्रतिशत और मिलाने का अनुपात; शुद्ध पदार्थ मिलाना (100%) और पानी (0%)।

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लाभ-प्रतिशत और औसत चाल

मिले-जुले लाभ पर बिक्री

माल का एक भाग एक लाभ पर और दूसरा भाग दूसरे लाभ पर बिकने पर कुल लाभ।

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3

निकालना-भरना, अनुपात बदलना और बर्तन

मिश्रण के बाद की कहानियाँ

बार-बार निकालकर पानी भरना, पानी मिलाने से अनुपात बदलना, दो बर्तनों को मिलाना और बेईमान दूधवाला।

बार-बार निकालकर भरना

हर बार अंश गुना

$a$ लीटर शुद्ध द्रव में से $b$ लीटर निकालकर पानी भरना और $k$ बार दोहराना।

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अनुपात बदलना और दो बर्तन

जो नहीं बदला, उसे स्थिर रखिए

पानी मिलाने पर दूध की मात्रा स्थिर रहती है; दो बर्तनों में असली मात्राएँ जोड़ी जाती हैं।

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4

जाल और तेज़ चालें

गलतियाँ · तरकीबें

मिश्रण में अंक कहाँ कटते हैं।

सबसे आम गलतियाँ

छह जाल

जिन गलतियों पर अंक कटते हैं।

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तेज़ चालें

जाँच और विपरीत गणना

जवाब पर भरोसा बढ़ाने वाली आदतें।

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5

अभ्यास की सीढ़ी

आसान → मध्यम → कठिन

हर प्रकार के नए प्रश्न, तीन स्तरों में।

स्तर 1 — आसान

सीधे नियम

एक नियम वाले प्रश्न।

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स्तर 2 — मध्यम

दो विचारों का मेल

परीक्षा-स्तर के प्रश्न।

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स्तर 3 — कठिन

कई कदम और चालाक सोच

प्रतियोगी परीक्षाओं के कठिन स्तर के प्रश्न।

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6

दोहराव — सूत्र कार्ड

पलटिए और खुद से पूछिए

हर कार्ड का प्रश्न पढ़कर पहले खुद सोचिए, फिर पलटिए।

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औसत मूल्य और एलिगेशन

औसत मूल्य (Mean Price)

एलिगेशन की विधि

प्रतिशत, लाभ और संकेंद्रण पर एलिगेशन

घोलों का संकेंद्रण

लाभ-प्रतिशत और औसत चाल

निकालना-भरना, अनुपात बदलना और बर्तन

बार-बार निकालकर भरना

अनुपात बदलना और दो बर्तन

जाल और तेज़ चालें

सबसे आम गलतियाँ

तेज़ चालें

अभ्यास की सीढ़ी

स्तर 1 — आसान

स्तर 2 — मध्यम

स्तर 3 — कठिन

दोहराव — सूत्र कार्ड

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