अनुपात और समानुपात

प्रतियोगी गणित · अंकगणित

6 भाग4 हल किए उदाहरण27 अभ्यास प्रश्न

चाय बनाते समय दूध और पानी का अनुपात 2 : 1 रखें तो हर 2 कप दूध पर 1 कप पानी जाता है — चाहे 6 कप चाय बनानी हो या 600। अनुपात दो एक-जैसी चीज़ों की तुलना है कि एक, दूसरी की कितनी गुनी (या कितना हिस्सा) है। अनुपात $a : b$ को भिन्न $\frac{a}{b}$ की तरह भी लिखा जाता है; $a$ को पूर्वपद (antecedent) और $b$ को उत्तरपद (consequent) कहते हैं। अनुपात बनाने के लिए दोनों राशियाँ एक ही इकाई की होनी चाहिए — ₹100 और 500 सेब का अनुपात नहीं बनता।

समानुपात (proportion) का अर्थ है दो अनुपात बराबर होना: $a : b :: c : d$ यानी $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ । इस अध्याय के सारे प्रश्न दो औज़ार माँगते हैं: भाग-इकाई (“एक भाग का मान”) और आड़ा गुणा ( $a d = b c$ )।

अनुपात

प्रकार · तुलना · बँटवारा

अनुपात के प्रकार, दो अनुपातों की तुलना और राशि को अनुपात में बाँटना।

अनुपात के प्रकार और तुलना

द्विगुणित · त्रिगुणित · संयुक्त

हर प्रकार का नियम और दो अनुपातों में बड़ा कौन।

प्रकार	$a : b$ का	उदाहरण $3 : 4$
द्विगुणित (Duplicate)	$a^{2} : b^{2}$	9 : 16
उप-द्विगुणित (Sub-duplicate)	$a : b$	$4 : 9 \to 2 : 3$
त्रिगुणित (Triplicate)	$a^{3} : b^{3}$	27 : 64
उप-त्रिगुणित (Sub-triplicate)	$3 a : 3 b$	$8 : 27 \to 2 : 3$
व्युत्क्रम (Inverse)	$b : a$	4 : 3
संयुक्त (Compound)	$a ce : b df$	$(2 : 3), (4 : 5) \to 8 : 15$

तुलना: $a : b > c : d$ तब जब $a d > b c$ (आड़ा गुणा)। या दोनों को भिन्न बनाकर समान हर पर लाइए। जैसे $2 : 3$ और $4 : 5$ : $2 \times 5 = 10 < 3 \times 4 = 12$ ⟹ $2 : 3 < 4 : 5$ ।

उदाहरण 1 · आसान

5 : 7

और

8 : 11

में कौन-सा अनुपात बड़ा है?

हल, कदम-दर-कदम

1आड़ा गुणा: $5 \times 11 = 55$ और $7 \times 8 = 56$ ।
2 $55 < 56$ ⟹ $5 : 7 < 8 : 11$

उत्तर 8 : 11

उदाहरण 2 · मध्यम

2 : 3

5 : 4

और

3 : 7

का संयुक्त अनुपात और

4 : 9

का उप-द्विगुणित अनुपात ज्ञात कीजिए।

हल, कदम-दर-कदम

1संयुक्त: $\frac{2 \times 5 \times 3}{3 \times 4 \times 7} = \frac{30}{84} = 5 : 14$ ।
2उप-द्विगुणित: $4 : 9 = 2 : 3$

उत्तर 5 : 14 और 2 : 3

आसानपहले खुद करके देखें

अनुपात 36 : 60 को सरलतम रूप में लिखिए।

आसानपहले खुद करके देखें

अनुपात 56 : 72 को सरलतम रूप में लिखिए।

आसानपहले खुद करके देखें

3 : 5 और 5 : 8 में कौन-सा अनुपात बड़ा है?

मध्यमपहले खुद करके देखें

7 : 9 और 11 : 14 में कौन-सा अनुपात बड़ा है?

कठिनपहले खुद करके देखें

13 : 17 और 19 : 25 में कौन-सा अनुपात बड़ा है?

आसानपहले खुद करके देखें

3 : 5 का द्विगुणित अनुपात (duplicate) क्या है?

आसानपहले खुद करके देखें

2 : 7 का त्रिगुणित अनुपात (triplicate) क्या है?

आसानपहले खुद करके देखें

4 : 9 का उप-द्विगुणित अनुपात (sub-duplicate) क्या है?

मध्यमपहले खुद करके देखें

8 : 27 का उप-त्रिगुणित अनुपात (sub-triplicate) क्या है?

मध्यमपहले खुद करके देखें

5 : 8 का व्युत्क्रम अनुपात (inverse) क्या है?

मध्यमपहले खुद करके देखें

2 : 3, 4 : 5 और 3 : 7 का संयुक्त (compound) अनुपात क्या है?

मध्यमपहले खुद करके देखें

3 : 5, 10 : 11 और 7 : 9 का संयुक्त (compound) अनुपात क्या है?

कठिनपहले खुद करके देखें

5 : 6, 8 : 15 और 9 : 14 का संयुक्त (compound) अनुपात क्या है?

राशि का बँटवारा और तीन पदों का अनुपात

कुल भाग · एक भाग

राशि को अनुपात में बाँटना, भागों के अंतर से मान निकालना और $A : B$ , $B : C$ से $A : B : C$ ।

कुल भाग जोड़िए। अनुपात $a : b : c$ हो तो कुल $a + b + c$ भाग।
एक भाग $= \frac{कुल राशि}{कुल भाग}$ ।
वांछित हिस्सा $=$ उसके भाग $\times$ एक भाग।

चाल**

A : B

और

B : C

से

A : B : C

:** बीच वाले पद

B

को बराबर कीजिए —

B

के दोनों मानों का LCM लेकर

A

और

C

को उसी हिसाब से गुणा। जैसे

A : B = 2 : 3

और

B : C = 4 : 5

B

का LCM 12 ⟹

A : B = 8 : 12

B : C = 12 : 15

⟹

A : B : C = 8 : 12 : 15

।

उदाहरण 3 · आसान

₹9,000 को 2 : 3 : 4 के अनुपात में बाँटिए।

हल, कदम-दर-कदम

1कुल भाग $= 9$ ; एक भाग $= \frac{9000}{9} = 1000$ ।
2हिस्से: ₹2,000, ₹3,000, ₹4,000

उत्तर ₹2,000, ₹3,000, ₹4,000

उदाहरण 4 · मध्यम

तीन संख्याओं का योग 195 है। पहली और दूसरी का अनुपात 3 : 4 तथा दूसरी और तीसरी का 2 : 3 है। तीसरी संख्या क्या है?

हल, कदम-दर-कदम

1 $B$ का LCM $(4, 2) = 4$ ⟹ $A : B = 3 : 4$ और $B : C = 4 : 6$ ⟹ $A : B : C = 3 : 4 : 6$ ।
2कुल भाग 13; एक भाग $= 15$ ⟹ तीसरी $= 6 \times 15 = 90$ ।

उत्तर 90

आसानपहले खुद करके देखें

₹7,200 को A : B = 3 : 5 में बाँटा गया। B का हिस्सा क्या है?

आसानपहले खुद करके देखें

₹4,500 को A : B : C = 1 : 2 : 3 में बाँटा गया। C का हिस्सा क्या है?

मध्यमपहले खुद करके देखें

₹12,600 को A : B : C = 2 : 3 : 4 में बाँटा गया। B का हिस्सा क्या है?

मध्यमपहले खुद करके देखें

₹8,400 को A : B = 5 : 7 में बाँटा गया। A का हिस्सा क्या है?

कठिनपहले खुद करके देखें

₹20,100 को A : B : C : D = 3 : 5 : 7 : 5 में बाँटा गया। D का हिस्सा क्या है?

आसानपहले खुद करके देखें

दो व्यक्तियों में रक़म 5 : 3 में बँटी और उनके हिस्सों का अंतर ₹1,200 है। बड़ा हिस्सा कितना है?

मध्यमपहले खुद करके देखें

दो व्यक्तियों में रक़म 7 : 4 में बँटी और उनके हिस्सों का अंतर ₹2,700 है। बड़ा हिस्सा कितना है?

कठिनपहले खुद करके देखें

दो व्यक्तियों में रक़म 11 : 7 में बँटी और उनके हिस्सों का अंतर ₹3,600 है। बड़ा हिस्सा कितना है?

आसानपहले खुद करके देखें

A : B = 2 : 3 और B : C = 4 : 5 हो तो A : B : C क्या होगा?

मध्यमपहले खुद करके देखें

A : B = 3 : 4 और B : C = 6 : 7 हो तो A : B : C क्या होगा?

कठिनपहले खुद करके देखें

A : B = 5 : 6 और B : C = 8 : 9 हो तो A : B : C क्या होगा?

मध्यमपहले खुद करके देखें

तीन संख्याओं का योग 140 है। पहली और दूसरी का अनुपात 2 : 3 तथा दूसरी और तीसरी का 4 : 5 है। दूसरी संख्या क्या है?

मध्यमपहले खुद करके देखें

तीन संख्याओं का योग 345 है। पहली और दूसरी का अनुपात 3 : 5 तथा दूसरी और तीसरी का 10 : 7 है। तीसरी संख्या क्या है?

कठिनपहले खुद करके देखें

तीन संख्याओं का योग 330 है। पहली और दूसरी का अनुपात 4 : 7 तथा दूसरी और तीसरी का 14 : 11 है। पहली संख्या क्या है?

समानुपात

मध्य पद · अंत्य पद · तीन अनुपाती

$a : b :: c : d$ के नियम, तृतीय, चतुर्थ और माध्य अनुपाती, तथा योजक-वियोजक नियम।

तृतीय, चतुर्थ और माध्य अनुपाती

मध्य पदों का गुणनफल = अंत्य पदों का गुणनफल

$a : b :: c : d$ में $a, d$ अंत्य पद और $b, c$ मध्य पद हैं; $a d = b c$ ।

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योजक-वियोजक (componendo, dividendo)

चार तरीके से अनुपात बदलना

यदि $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ तो उससे जुड़े चार नियम।

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अनुपात के व्यावहारिक प्रश्न

बदलाव, बचत और सिक्के

संख्याएँ जोड़ने-घटाने पर अनुपात बदलना, आय-व्यय-बचत और सिक्कों के प्रश्न।

संख्याओं में बदलाव

k

मानकर आड़ा गुणा

दो संख्याओं में कुछ जोड़ने-घटाने या उन्हें प्रतिशत से बदलने पर नया अनुपात।

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आय-व्यय-बचत और सिक्के

अलग-अलग इकाइयाँ, एक ही

k

दो अनुपात, बराबर बचत, और मिश्रित मूल्य वाले सिक्के।

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जाल और तेज़ चालें

गलतियाँ · तरकीबें

अनुपात में अंक कहाँ कटते हैं।

सबसे आम गलतियाँ

छह जाल

जिन गलतियों पर अंक कटते हैं।

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तेज़ चालें

k

मानना · LCM · योग

हिसाब छोटा करने वाली आदतें।

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अभ्यास की सीढ़ी

आसान → मध्यम → कठिन

हर प्रकार के नए प्रश्न, तीन स्तरों में।

स्तर 1 — आसान

सीधे नियम

एक नियम वाले प्रश्न।

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स्तर 2 — मध्यम

दो विचारों का मेल

परीक्षा-स्तर के प्रश्न।

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स्तर 3 — कठिन

कई कदम और चालाक सोच

प्रतियोगी परीक्षाओं के कठिन स्तर के प्रश्न।

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दोहराव — सूत्र कार्ड

पलटिए और खुद से पूछिए

हर कार्ड का प्रश्न पढ़कर पहले खुद सोचिए, फिर पलटिए।

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अनुपात और समानुपात

अनुपात

अनुपात के प्रकार और तुलना

राशि का बँटवारा और तीन पदों का अनुपात

समानुपात

तृतीय, चतुर्थ और माध्य अनुपाती

योजक-वियोजक (componendo, dividendo)

अनुपात के व्यावहारिक प्रश्न

संख्याओं में बदलाव

आय-व्यय-बचत और सिक्के

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