आयतन और पृष्ठीय क्षेत्रफल

प्रतियोगी गणित · ज्यामिति

8 भाग5 हल किए उदाहरण91 अभ्यास प्रश्न

एक पानी की टंकी में कितना पानी आएगा — यह उसका आयतन (या क्षमता) बताता है। उसे रंगने में कितना पेंट लगेगा — यह उसका पृष्ठीय क्षेत्रफल बताता है। यानी आयतन = ठोस के भीतर की जगह (इकाई: घन सेमी, घन मी), और पृष्ठीय क्षेत्रफल = उसकी बाहरी सतह की कुल जगह (इकाई: वर्ग सेमी, वर्ग मी)। इस अध्याय में हम घन, घनाभ, बेलन, शंकु, गोला, प्रिज़्म और पिरामिड — सबके लिए ये दोनों निकालना सीखते हैं।

घनाभ : V = l bh; बेलन : V = π r^{2} h; शंकु : V = \frac{1}{3} π r^{2} h; गोला : V = \frac{4}{3} π r^{3}

चार सबसे ज़रूरी आयतन सूत्र

याद रखने की एक बात: इकाई की घात। लंबाई की एक घात (सेमी), क्षेत्रफल की दो (वर्ग सेमी), आयतन की तीन (घन सेमी)। इसलिए सभी माप एक ही इकाई में लेकर चलिए — और $1 घन मी = 1000 लीटर$ ।

घन और घनाभ

डिब्बे, कमरे और टंकियाँ

सीधे सूत्र, कमरे-टंकी के प्रश्न और घनों को काटना-पिघलाना।

घन और घनाभ के सूत्र

छह फलक, तीन जोड़ी

आयतन, पार्श्व और संपूर्ण पृष्ठ, विकर्ण।

घन: सभी किनारे बराबर (

a

)

घनाभ: लंबाई

l

, चौड़ाई

b

, ऊँचाई

h

राशि	घन (भुजा $a$ )	घनाभ ( $l, b, h$ )
आयतन	$a^{3}$	$l bh$
पार्श्व पृष्ठ (4 दीवारें)	$4 a^{2}$	$2 (l + b) h$
संपूर्ण पृष्ठ	$6 a^{2}$	$2 (l b + bh + h l)$
विकर्ण	$a 3$	$l^{2} + b^{2} + h^{2}$

विकर्ण फलक के नहीं, पूरे ठोस के कोनों को जोड़ता है — यही कमरे में रखी जा सकने वाली सबसे लंबी छड़ है।
तीन आसन्न फलकों के क्षेत्रफल दिए हों तो उनका गुणनफल $(l bh)^{2}$ होता है, इसलिए आयतन उसका वर्गमूल।
अनुपात दिया हो तो किनारे $p x, q x, r x$ लीजिए और दी हुई राशि से $x$ निकालिए।

उदाहरण 1 · आसान

एक घन का विकर्ण

93

सेमी है। उसका आयतन और संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल?

हल, कदम-दर-कदम

1 $a 3 = 93$ ⟹ $a = 9$ सेमी।
2आयतन $= 9^{3} = 729$ घन सेमी; पृष्ठ $= 6 \times 81 = 486$ वर्ग सेमी

उत्तर 729 घन सेमी; 486 वर्ग सेमी

उदाहरण 2 · मध्यम

एक घनाभ की माप 24 सेमी

\times

18 सेमी

\times

10 सेमी है। उसका आयतन, संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल और विकर्ण?

हल, कदम-दर-कदम

1आयतन $= 24 \times 18 \times 10 = 4320$ घन सेमी।
2पृष्ठ $= 2 (432 + 180 + 240) = 1704$ वर्ग सेमी; विकर्ण $= 576 + 324 + 100 = 1000 = 1010$ सेमी

उत्तर 4320 घन सेमी; 1704 वर्ग सेमी; $1010$ सेमी

आसानपहले खुद करके देखें

एक घन की भुजा 5 सेमी है। उसका विकर्ण (सेमी)?

आसानपहले खुद करके देखें

एक घन की भुजा 6 मी है। उसका वक्र (पार्श्व) पृष्ठीय क्षेत्रफल, यानी चार दीवारों का क्षेत्रफल (वर्ग मी)?

आसानपहले खुद करके देखें

एक घन का आयतन 64 घन सेमी है। उसका संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल (वर्ग सेमी)?

आसानपहले खुद करके देखें

एक घन का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल 54 वर्ग सेमी है। उसका आयतन (घन सेमी)?

मध्यमपहले खुद करके देखें

एक घन की भुजा 12 सेमी है। उसका विकर्ण (सेमी)?

मध्यमपहले खुद करके देखें

एक घन का विकर्ण

73

सेमी है। उसका आयतन (घन सेमी)?

मध्यमपहले खुद करके देखें

एक घन का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल 726 वर्ग सेमी है। उसका आयतन (घन सेमी)?

मध्यमपहले खुद करके देखें

एक घन का आयतन 512 घन सेमी है। उसका संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल (वर्ग सेमी)?

मध्यमपहले खुद करके देखें

एक घन की भुजा 10 मी है। उसका वक्र (पार्श्व) पृष्ठीय क्षेत्रफल, यानी चार दीवारों का क्षेत्रफल (वर्ग मी)?

कठिनपहले खुद करके देखें

एक घन का विकर्ण

153

सेमी है। उसका आयतन (घन सेमी)?

कठिनपहले खुद करके देखें

एक घन का संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल 1176 वर्ग सेमी है। उसका आयतन (घन सेमी)?

कठिनपहले खुद करके देखें

एक घन का आयतन 2197 घन सेमी है। उसका संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल (वर्ग सेमी)?

कठिनपहले खुद करके देखें

एक घन की भुजा 16 मी है। उसका वक्र (पार्श्व) पृष्ठीय क्षेत्रफल, यानी चार दीवारों का क्षेत्रफल (वर्ग मी)?

कठिनपहले खुद करके देखें

एक घन की भुजा 17 सेमी है। उसका विकर्ण (सेमी)?

आसानपहले खुद करके देखें

एक घनाभ की लंबाई 8 सेमी, चौड़ाई 5 सेमी और ऊँचाई 3 सेमी है। उसका आयतन (घन सेमी)?

आसानपहले खुद करके देखें

एक घनाभ की लंबाई 10 सेमी, चौड़ाई 6 सेमी और ऊँचाई 4 सेमी है। उसका संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल (वर्ग सेमी)?

आसानपहले खुद करके देखें

एक घनाभ की लंबाई 12 सेमी, चौड़ाई 5 सेमी और ऊँचाई 3 सेमी है। उसका पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल (वर्ग सेमी)?

आसानपहले खुद करके देखें

एक घनाभ की लंबाई 2 सेमी, चौड़ाई 3 सेमी और ऊँचाई 6 सेमी है। उसका विकर्ण (सेमी)?

मध्यमपहले खुद करके देखें

एक घनाभ की लंबाई 15 सेमी, चौड़ाई 12 सेमी और ऊँचाई 8 सेमी है। उसका आयतन (घन सेमी)?

मध्यमपहले खुद करके देखें

एक घनाभ की लंबाई 14 सेमी, चौड़ाई 9 सेमी और ऊँचाई 6 सेमी है। उसका संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल (वर्ग सेमी)?

मध्यमपहले खुद करके देखें

एक घनाभ की लंबाई 18 सेमी, चौड़ाई 10 सेमी और ऊँचाई 7 सेमी है। उसका पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल (वर्ग सेमी)?

मध्यमपहले खुद करके देखें

एक घनाभ की लंबाई 4 सेमी, चौड़ाई 4 सेमी और ऊँचाई 7 सेमी है। उसका विकर्ण (सेमी)?

मध्यमपहले खुद करके देखें

एक घनाभ का आयतन 2640 घन सेमी है, उसकी लंबाई 16 सेमी और चौड़ाई 15 सेमी है। ऊँचाई (सेमी)?

कठिनपहले खुद करके देखें

एक घनाभ की लंबाई 25 सेमी, चौड़ाई 18 सेमी और ऊँचाई 16 सेमी है। उसका आयतन (घन सेमी)?

कठिनपहले खुद करके देखें

एक घनाभ की लंबाई 24 सेमी, चौड़ाई 15 सेमी और ऊँचाई 10 सेमी है। उसका संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल (वर्ग सेमी)?

कठिनपहले खुद करके देखें

एक घनाभ की लंबाई 30 सेमी, चौड़ाई 20 सेमी और ऊँचाई 12 सेमी है। उसका पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल (वर्ग सेमी)?

कठिनपहले खुद करके देखें

एक घनाभ की लंबाई 6 सेमी, चौड़ाई 6 सेमी और ऊँचाई 7 सेमी है। उसका विकर्ण (सेमी)?

कठिनपहले खुद करके देखें

एक घनाभ की लंबाई 12 सेमी, चौड़ाई 16 सेमी और ऊँचाई 21 सेमी है। उसका विकर्ण (सेमी)?

कठिनपहले खुद करके देखें

एक घनाभ का आयतन 5616 घन सेमी है, उसकी लंबाई 24 सेमी और चौड़ाई 18 सेमी है। ऊँचाई (सेमी)?

मध्यमपहले खुद करके देखें

एक घनाभ की लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई का अनुपात 3 : 2 : 1 है और उसका संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल 88 वर्ग सेमी है। उसका आयतन (घन सेमी)?

मध्यमपहले खुद करके देखें

एक घनाभ की लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई का अनुपात 4 : 3 : 2 है और उसका संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल 468 वर्ग सेमी है। उसका आयतन (घन सेमी)?

कठिनपहले खुद करके देखें

एक घनाभ की लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई का अनुपात 5 : 4 : 3 है और उसका संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल 376 वर्ग सेमी है। उसका आयतन (घन सेमी)?

कठिनपहले खुद करके देखें

एक घनाभ की लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई का अनुपात 7 : 4 : 3 है और उसका संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल 3,050 वर्ग सेमी है। उसका आयतन (घन सेमी)?

कठिनपहले खुद करके देखें

एक घनाभ की लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई का अनुपात 5 : 3 : 2 है और उसका संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल 992 वर्ग सेमी है। उसका आयतन (घन सेमी)?

मध्यमपहले खुद करके देखें

एक घनाभ के तीन आसन्न फलकों के क्षेत्रफल 30 वर्ग सेमी, 20 वर्ग सेमी और 24 वर्ग सेमी हैं। उसका आयतन (घन सेमी)?

मध्यमपहले खुद करके देखें

एक घनाभ के तीन आसन्न फलकों के क्षेत्रफल 72 वर्ग सेमी, 40 वर्ग सेमी और 45 वर्ग सेमी हैं। उसका आयतन (घन सेमी)?

कठिनपहले खुद करके देखें

एक घनाभ के तीन आसन्न फलकों के क्षेत्रफल 180 वर्ग सेमी, 120 वर्ग सेमी और 150 वर्ग सेमी हैं। उसका आयतन (घन सेमी)?

कठिनपहले खुद करके देखें

एक घनाभ के तीन आसन्न फलकों के क्षेत्रफल 154 वर्ग सेमी, 88 वर्ग सेमी और 112 वर्ग सेमी हैं। उसका आयतन (घन सेमी)?

कमरा, डिब्बा और टंकी

दीवारें, मोटाई और लीटर

चार दीवारों का क्षेत्रफल, खोखले डिब्बे की सामग्री, खुला डिब्बा और टंकी की क्षमता।

कमरा: चार दीवारें $= 2 (l + b) h$ ; फ़र्श या छत $= l b$ ; आयतन $= l bh$ । रंगाई में फ़र्श-छत शामिल नहीं।
खोखला डिब्बा (मोटाई $t$ ): भीतरी माप हर ओर से $2 t$ कम — $(l - 2 t) (b - 2 t) (h - 2 t)$ ; सामग्री $=$ बाहरी $-$ भीतरी आयतन।
खुला डिब्बा (कोनों से वर्ग काटकर): आयतन $= (L - 2 x) (B - 2 x) x$ ।
टंकी की क्षमता: आयतन (घन मी) $\times 1000$ = लीटर। भरने का समय $= \frac{क्षमता}{प्रवाह - दर}$ ।

उदाहरण 3 · मध्यम

एक कमरा 12 मी लंबा, 9 मी चौड़ा और 4 मी ऊँचा है। दो दरवाज़े (प्रत्येक 2 मी

\times

1 मी) और एक खिड़की (1.5 मी

\times

1 मी) छोड़कर चारों दीवारों पर ₹20 प्रति वर्ग मी से पुताई का खर्च?

हल, कदम-दर-कदम

1दीवारें $= 2 (12 + 9) \times 4 = 168$ वर्ग मी; दरवाज़े-खिड़की $= 2 \times 2 + 1.5 = 5.5$ ।
2पुताई $= 168 - 5.5 = 162.5$ वर्ग मी; खर्च $= 162.5 \times 20 = ₹3250$

उत्तर ₹3250

उदाहरण 4 · मध्यम

एक खाली टंकी 6 मी

\times

4 मी

\times

2.5 मी की है। उसे 1200 लीटर प्रति मिनट से भरने में कितना समय लगेगा?

हल, कदम-दर-कदम

1क्षमता $= 6 \times 4 \times 2.5 = 60$ घन मी $= 60000$ लीटर।
2समय $= \frac{60000}{1200} = 50$ मिनट

उत्तर 50 मिनट

आसानपहले खुद करके देखें

8 मी लंबे, 6 मी चौड़े और 3 मी ऊँचे कमरे की चारों दीवारों पर ₹25 प्रति वर्ग मी की दर से पुताई का खर्च (₹ में)?

मध्यमपहले खुद करके देखें

12 मी लंबे, 9 मी चौड़े और 4 मी ऊँचे कमरे की चारों दीवारों पर ₹30 प्रति वर्ग मी की दर से पुताई का खर्च (₹ में)?

मध्यमपहले खुद करके देखें

15 मी लंबे, 10 मी चौड़े और 5 मी ऊँचे कमरे की चारों दीवारों पर ₹18 प्रति वर्ग मी की दर से पुताई का खर्च (₹ में)?

कठिनपहले खुद करके देखें

20 मी लंबे, 14 मी चौड़े और 6 मी ऊँचे कमरे की चारों दीवारों पर ₹45 प्रति वर्ग मी की दर से पुताई का खर्च (₹ में)?

आसानपहले खुद करके देखें

एक कमरे की चारों दीवारों का क्षेत्रफल 192 वर्ग मी है; कमरे की लंबाई 14 मी और चौड़ाई 10 मी है। ऊँचाई (मी)?

मध्यमपहले खुद करके देखें

एक कमरे की चारों दीवारों का क्षेत्रफल 300 वर्ग मी है; कमरे की लंबाई 18 मी और चौड़ाई 12 मी है। ऊँचाई (मी)?

मध्यमपहले खुद करके देखें

एक कमरे की चारों दीवारों का क्षेत्रफल 640 वर्ग मी है; कमरे की लंबाई 25 मी और चौड़ाई 15 मी है। ऊँचाई (मी)?

कठिनपहले खुद करके देखें

एक कमरे की चारों दीवारों का क्षेत्रफल 480 वर्ग मी है; कमरे की लंबाई 22 मी और चौड़ाई 18 मी है। ऊँचाई (मी)?

मध्यमपहले खुद करके देखें

3 मी लंबे, 4 मी चौड़े और 12 मी ऊँचे कमरे में रखी जा सकने वाली सबसे लंबी छड़ की लंबाई (मी)?

मध्यमपहले खुद करके देखें

4 मी लंबे, 8 मी चौड़े और 8 मी ऊँचे कमरे में रखी जा सकने वाली सबसे लंबी छड़ की लंबाई (मी)?

कठिनपहले खुद करके देखें

8 मी लंबे, 9 मी चौड़े और 12 मी ऊँचे कमरे में रखी जा सकने वाली सबसे लंबी छड़ की लंबाई (मी)?

कठिनपहले खुद करके देखें

12 मी लंबे, 16 मी चौड़े और 21 मी ऊँचे कमरे में रखी जा सकने वाली सबसे लंबी छड़ की लंबाई (मी)?

मध्यमपहले खुद करके देखें

एक लकड़ी के बक्से का बाहरी माप 20 सेमी

\times

12 सेमी

\times

8 सेमी है और लकड़ी की मोटाई 1 सेमी है। बक्सा बनाने में कितनी लकड़ी (घन सेमी) लगी?

मध्यमपहले खुद करके देखें

एक लकड़ी के बक्से का बाहरी माप 24 सेमी

\times

16 सेमी

\times

10 सेमी है और लकड़ी की मोटाई 2 सेमी है। बक्सा बनाने में कितनी लकड़ी (घन सेमी) लगी?

कठिनपहले खुद करके देखें

एक लकड़ी के बक्से का बाहरी माप 40 सेमी

\times

30 सेमी

\times

20 सेमी है और लकड़ी की मोटाई 3 सेमी है। बक्सा बनाने में कितनी लकड़ी (घन सेमी) लगी?

कठिनपहले खुद करके देखें

एक लकड़ी के बक्से का बाहरी माप 36 सेमी

\times

24 सेमी

\times

18 सेमी है और लकड़ी की मोटाई 2 सेमी है। बक्सा बनाने में कितनी लकड़ी (घन सेमी) लगी?

मध्यमपहले खुद करके देखें

24 सेमी

\times

18 सेमी की एक आयताकार शीट के हर कोने से 4 सेमी भुजा का वर्ग काटकर किनारे मोड़ने पर बिना ढक्कन का डिब्बा बनता है। उसका आयतन (घन सेमी)?

मध्यमपहले खुद करके देखें

30 सेमी

\times

20 सेमी की एक आयताकार शीट के हर कोने से 5 सेमी भुजा का वर्ग काटकर किनारे मोड़ने पर बिना ढक्कन का डिब्बा बनता है। उसका आयतन (घन सेमी)?

कठिनपहले खुद करके देखें

40 सेमी

\times

30 सेमी की एक आयताकार शीट के हर कोने से 6 सेमी भुजा का वर्ग काटकर किनारे मोड़ने पर बिना ढक्कन का डिब्बा बनता है। उसका आयतन (घन सेमी)?

कठिनपहले खुद करके देखें

48 सेमी

\times

36 सेमी की एक आयताकार शीट के हर कोने से 8 सेमी भुजा का वर्ग काटकर किनारे मोड़ने पर बिना ढक्कन का डिब्बा बनता है। उसका आयतन (घन सेमी)?

आसानपहले खुद करके देखें

2 मी लंबी, 1.5 मी चौड़ी और 1 मी गहरी एक टंकी में कितने लीटर पानी आएगा?

मध्यमपहले खुद करके देखें

4 मी लंबी, 2.5 मी चौड़ी और 1.2 मी गहरी एक टंकी में कितने लीटर पानी आएगा?

मध्यमपहले खुद करके देखें

6 मी लंबी, 3.5 मी चौड़ी और 2 मी गहरी एक टंकी में कितने लीटर पानी आएगा?

कठिनपहले खुद करके देखें

5 मी लंबी, 4 मी चौड़ी और 1.5 मी गहरी एक टंकी में कितने लीटर पानी आएगा?

मध्यमपहले खुद करके देखें

3 मी

\times

2 मी

\times

1.5 मी की एक खाली टंकी को 50 लीटर प्रति मिनट की दर से भरा जा रहा है। पूरी भरने में कितने मिनट लगेंगे?

मध्यमपहले खुद करके देखें

5 मी

\times

4 मी

\times

2 मी की एक खाली टंकी को 200 लीटर प्रति मिनट की दर से भरा जा रहा है। पूरी भरने में कितने मिनट लगेंगे?

कठिनपहले खुद करके देखें

4 मी

\times

3 मी

\times

2 मी की एक खाली टंकी को 160 लीटर प्रति मिनट की दर से भरा जा रहा है। पूरी भरने में कितने मिनट लगेंगे?

कठिनपहले खुद करके देखें

10 मी

\times

6 मी

\times

3 मी की एक खाली टंकी को 500 लीटर प्रति मिनट की दर से भरा जा रहा है। पूरी भरने में कितने मिनट लगेंगे?

काटना, पिघलाना और रंगे हुए घन

आयतन बराबर रहता है

बड़े ठोस से छोटे घन काटना, कई घन पिघलाकर एक बनाना और रंगे घन की गिनती।

काटना: हर दिशा में $\frac{बड़ा माप}{छोटा माप}$ घन — तीनों दिशाओं की संख्याएँ गुणा कीजिए।
पिघलाना: आयतन नहीं बदलता। तीन घनों से एक घन: $A^{3} = a^{3} + b^{3} + c^{3}$ ।
रंगा हुआ घन ( $n$ छोटे घन प्रति किनारे): तीन फलक रंगे — $8$ (कोने); दो फलक — $12 (n - 2)$ ; एक फलक — $6 (n - 2)^{2}$ ; कोई नहीं — $(n - 2)^{3}$ ।

जाँच: चारों गिनतियों का योग $8 + 12 (n - 2) + 6 (n - 2)^{2} + (n - 2)^{3} = n^{3}$ होना चाहिए — $n = 4$ लेकर देखिए: $8 + 24 + 24 + 8 = 64 = 4^{3}$ ✓।

उदाहरण 5 · मध्यम

10 सेमी भुजा के एक घन के सब फलकों पर रंग किया गया और उसे 2 सेमी भुजा के छोटे घनों में काटा गया। ठीक एक फलक रंगे घन कितने हैं?

हल, कदम-दर-कदम

1हर किनारे पर $n = \frac{10}{2} = 5$ घन।
2एक फलक रंगे $= 6 (5 - 2)^{2} = 6 \times 9 = 54$

उत्तर 54

आसानपहले खुद करके देखें

12 सेमी भुजा वाले ठोस घन से 3 सेमी भुजा के कितने छोटे घन काटे जा सकते हैं?

मध्यमपहले खुद करके देखें

20 सेमी भुजा वाले ठोस घन से 4 सेमी भुजा के कितने छोटे घन काटे जा सकते हैं?

मध्यमपहले खुद करके देखें

30 सेमी भुजा वाले ठोस घन से 5 सेमी भुजा के कितने छोटे घन काटे जा सकते हैं?

कठिनपहले खुद करके देखें

24 सेमी भुजा वाले ठोस घन से 3 सेमी भुजा के कितने छोटे घन काटे जा सकते हैं?

कठिनपहले खुद करके देखें

36 सेमी भुजा वाले ठोस घन से 4 सेमी भुजा के कितने छोटे घन काटे जा सकते हैं?

आसानपहले खुद करके देखें

12 सेमी

\times

8 सेमी

\times

4 सेमी के एक ठोस धातु-खंड को पिघलाए बिना 2 सेमी भुजा के छोटे घनों में काटा गया। कितने घन मिले?

मध्यमपहले खुद करके देखें

24 सेमी

\times

18 सेमी

\times

12 सेमी के एक ठोस धातु-खंड को पिघलाए बिना 3 सेमी भुजा के छोटे घनों में काटा गया। कितने घन मिले?

मध्यमपहले खुद करके देखें

30 सेमी

\times

20 सेमी

\times

10 सेमी के एक ठोस धातु-खंड को पिघलाए बिना 5 सेमी भुजा के छोटे घनों में काटा गया। कितने घन मिले?

कठिनपहले खुद करके देखें

40 सेमी

\times

36 सेमी

\times

24 सेमी के एक ठोस धातु-खंड को पिघलाए बिना 4 सेमी भुजा के छोटे घनों में काटा गया। कितने घन मिले?

कठिनपहले खुद करके देखें

48 सेमी

\times

30 सेमी

\times

18 सेमी के एक ठोस धातु-खंड को पिघलाए बिना 6 सेमी भुजा के छोटे घनों में काटा गया। कितने घन मिले?

मध्यमपहले खुद करके देखें

3 सेमी, 4 सेमी और 5 सेमी भुजा वाले तीन धातु के घनों को पिघलाकर एक नया घन बनाया गया। नए घन की भुजा (सेमी)?

मध्यमपहले खुद करके देखें

6 सेमी, 8 सेमी और 10 सेमी भुजा वाले तीन धातु के घनों को पिघलाकर एक नया घन बनाया गया। नए घन की भुजा (सेमी)?

कठिनपहले खुद करके देखें

9 सेमी, 12 सेमी और 15 सेमी भुजा वाले तीन धातु के घनों को पिघलाकर एक नया घन बनाया गया। नए घन की भुजा (सेमी)?

कठिनपहले खुद करके देखें

12 सेमी, 16 सेमी और 20 सेमी भुजा वाले तीन धातु के घनों को पिघलाकर एक नया घन बनाया गया। नए घन की भुजा (सेमी)?

कठिनपहले खुद करके देखें

1 सेमी, 6 सेमी और 8 सेमी भुजा वाले तीन धातु के घनों को पिघलाकर एक नया घन बनाया गया। नए घन की भुजा (सेमी)?

मध्यमपहले खुद करके देखें

12 सेमी भुजा के एक घन के सभी फलकों पर रंग किया गया, फिर उसे 3 सेमी भुजा के छोटे घनों में काटा गया। ऐसे कितने छोटे घन हैं जिनके ठीक एक फलक रंगे हैं?

मध्यमपहले खुद करके देखें

15 सेमी भुजा के एक घन के सभी फलकों पर रंग किया गया, फिर उसे 3 सेमी भुजा के छोटे घनों में काटा गया। ऐसे कितने छोटे घन हैं जिनके ठीक दो फलक रंगे हैं?

मध्यमपहले खुद करके देखें

20 सेमी भुजा के एक घन के सभी फलकों पर रंग किया गया, फिर उसे 4 सेमी भुजा के छोटे घनों में काटा गया। ऐसे कितने छोटे घन हैं जिनके कोई भी फलक रंगे हैं (यानी बिना रंग के)?

मध्यमपहले खुद करके देखें

10 सेमी भुजा के एक घन के सभी फलकों पर रंग किया गया, फिर उसे 2 सेमी भुजा के छोटे घनों में काटा गया। ऐसे कितने छोटे घन हैं जिनके ठीक तीन फलक रंगे हैं?

कठिनपहले खुद करके देखें

24 सेमी भुजा के एक घन के सभी फलकों पर रंग किया गया, फिर उसे 4 सेमी भुजा के छोटे घनों में काटा गया। ऐसे कितने छोटे घन हैं जिनके ठीक एक फलक रंगे हैं?

कठिनपहले खुद करके देखें

30 सेमी भुजा के एक घन के सभी फलकों पर रंग किया गया, फिर उसे 5 सेमी भुजा के छोटे घनों में काटा गया। ऐसे कितने छोटे घन हैं जिनके ठीक दो फलक रंगे हैं?

कठिनपहले खुद करके देखें

18 सेमी भुजा के एक घन के सभी फलकों पर रंग किया गया, फिर उसे 3 सेमी भुजा के छोटे घनों में काटा गया। ऐसे कितने छोटे घन हैं जिनके कोई भी फलक रंगे हैं (यानी बिना रंग के)?

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21 सेमी भुजा के एक घन के सभी फलकों पर रंग किया गया, फिर उसे 3 सेमी भुजा के छोटे घनों में काटा गया। ऐसे कितने छोटे घन हैं जिनके ठीक एक फलक रंगे हैं?

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40 सेमी भुजा के एक घन के सभी फलकों पर रंग किया गया, फिर उसे 5 सेमी भुजा के छोटे घनों में काटा गया। ऐसे कितने छोटे घन हैं जिनके कोई भी फलक रंगे हैं (यानी बिना रंग के)?

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16 सेमी भुजा के एक घन के सभी फलकों पर रंग किया गया, फिर उसे 2 सेमी भुजा के छोटे घनों में काटा गया। ऐसे कितने छोटे घन हैं जिनके ठीक दो फलक रंगे हैं?

बेलन, शंकु और गोला

गोल आकार वाले ठोस

$π$ वाले ठोस: बेलन, शंकु, छिन्नक, गोला और अर्धगोला।

बेलन

वृत्त को ऊपर-ऊपर रखते जाइए

ठोस और खोखला बेलन, रोलर, तार और पाइप से पानी।

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इन पास में भी शामिल: RAS Pre 2026 — 40 Day Study Plan + Complete Notes (₹300.00) · Competitive Maths (Hindi Medium) (₹90.00) · RRB NTPC Graduation Level 2026 (₹300.00) · RRB NTPC Under Graduate Level 2026 (₹300.00)

शंकु और छिन्नक

नुकीला सिरा और कटा हुआ शंकु

तिर्यक ऊँचाई, आयतन, पृष्ठ और शंकु-छिन्नक।

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गोला और अर्धगोला

हर बिंदु केंद्र से बराबर दूरी पर

गोले का आयतन और पृष्ठ, अर्धगोला, पिघलाना और कंचे।

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प्रिज़्म और पिरामिड

आधार × ऊँचाई, और उसका एक-तिहाई

सीधा प्रिज़्म और सम पिरामिड — पार्श्व, संपूर्ण पृष्ठ और आयतन।

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बदलाव और अनुपात

माप बदले तो सतह और आयतन कैसे बदलें

प्रतिशत परिवर्तन के गुणक और आयतनों-क्षेत्रफलों के अनुपात।

गुणक से सोचिए

+ 20% \to \times 1.2

हर माप को गुणक में बदलिए, ज़रूरी घात लगाइए, गुणा कीजिए।

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मिले-जुले ठोस और जीवन के प्रश्न

तंबू, आइसक्रीम-कोन और तराशे हुए ठोस

दो ठोसों को जोड़कर या एक में से दूसरा काटकर बने ठोस।

जोड़ना और तराशना

हर हिस्सा अलग निकालिए

जोड़ने पर आयतन जुड़ते हैं, पर जुड़ी हुई सतहें बाहर नहीं दिखतीं।

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जाल और तेज़ चालें

गलतियाँ · तरकीबें

आयतन और पृष्ठीय क्षेत्रफल में अंक कहाँ कटते हैं।

सबसे आम गलतियाँ

सात जाल

जिन गलतियों पर अंक कटते हैं।

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तेज़ चालें

पहचानिए और सूत्र लगाइए

जल्दी हल करने की आदतें।

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अभ्यास की सीढ़ी

आसान → मध्यम → कठिन

हर प्रकार के नए प्रश्न, तीन स्तरों में।

स्तर 1 — आसान

सीधे सूत्र

एक सूत्र वाले प्रश्न।

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स्तर 2 — मध्यम

दो विचारों का मेल

परीक्षा-स्तर के प्रश्न।

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स्तर 3 — कठिन

कई कदम और चालाक सोच

प्रतियोगी परीक्षाओं के कठिन स्तर के प्रश्न।

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दोहराव — सूत्र कार्ड

पलटिए और खुद से पूछिए

हर कार्ड का प्रश्न पढ़कर पहले खुद सोचिए, फिर पलटिए।

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आयतन और पृष्ठीय क्षेत्रफल

घन और घनाभ

घन और घनाभ के सूत्र

कमरा, डिब्बा और टंकी

काटना, पिघलाना और रंगे हुए घन

बेलन, शंकु और गोला

बेलन

शंकु और छिन्नक

गोला और अर्धगोला

प्रिज़्म और पिरामिड

बदलाव और अनुपात

गुणक से सोचिए

मिले-जुले ठोस और जीवन के प्रश्न

जोड़ना और तराशना

जाल और तेज़ चालें

सबसे आम गलतियाँ

तेज़ चालें

अभ्यास की सीढ़ी

स्तर 1 — आसान

स्तर 2 — मध्यम

स्तर 3 — कठिन

दोहराव — सूत्र कार्ड

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