प्रतिशत

प्रतियोगी गणित · अंकगणित

8 भाग29 हल किए उदाहरण103 अभ्यास प्रश्न

प्रतिशत अंकगणित का सबसे ज़्यादा काम आने वाला अध्याय है। लाभ-हानि, छूट, ब्याज, जनसंख्या, मिश्रण, चुनाव, औसत — इन सबके सवाल भीतर से प्रतिशत के ही सवाल होते हैं। जिसने प्रतिशत पक्का कर लिया, उसके लिए आगे के आधे अध्याय आसान हो जाते हैं।

यहाँ हम बिल्कुल शुरू से चलेंगे। अगर आपको गणित से डर लगता है तो चिंता न करें — हर विचार पहले साधारण भाषा में समझाया गया है, फिर उससे सूत्र बनाया गया है, फिर हल किए हुए उदाहरण हैं, और आख़िर में आपके अपने करने के प्रश्न।

इस अध्याय को कैसे पढ़ें

पढ़ें — हर भाग का पहला हिस्सा विचार समझाता है। सूत्र रटने की जल्दी न करें; पहले देखें कि सूत्र बना कैसे।
हल किया उदाहरण देखें — ‘उदाहरण’ वाले डिब्बों में पूरा हल कदम-दर-कदम खुला है। हर कदम पर खुद से पूछिए: यह कदम क्यों उठाया?
खुद करें — ‘पहले खुद करके देखें’ वाले प्रश्नों में हल छिपा है। पहले कॉपी पर हल करें, फिर विकल्प चुनें। गलत चुन लें तो घबराएँ नहीं, दोबारा चुन सकते हैं। अटक जाएँ तो ‘संकेत’ लें, और सबसे अंत में ‘हल देखें’।
स्तर पहचानें — हर प्रश्न पर आसान, मध्यम या कठिन लिखा है। पहले आसान प्रश्न पक्के करें, फिर आगे बढ़ें।

ध्यान देंआपके सही किए हुए प्रश्न इसी ब्राउज़र में सुरक्षित रहते हैं। दाईं ओर (फ़ोन पर ‘अनुक्रम’ बटन में) देखिए कि कितने प्रश्न सही हो चुके हैं।

प्रतिशत का मतलब

सौ में से कितने

प्रतिशत क्या है, उसे भिन्न और दशमलव में कैसे बदलें, और किसी संख्या का कुछ प्रतिशत कैसे निकालें।

प्रतिशत का विचार

हर सौ में कितने

प्रतिशत का मतलब सिर्फ़ इतना है: अगर कुल को सौ हिस्सों में बाँट दें तो उसमें से कितने हिस्से हमारे पास हैं।

‘प्रतिशत’ शब्द दो टुकड़ों से बना है — प्रति (हर) और शत (सौ)। यानी हर सौ में कितने। जब हम कहते हैं “40 प्रतिशत”, तो इसका मतलब है: मान लो पूरी चीज़ के सौ बराबर हिस्से हैं, उनमें से 40 हिस्से हमारे हैं।

40%100 खानों में से 40 रंगीन हैं — यानी 40%

इसे लिखने का चिह्न % है। “40%” और “ $\frac{40}{100}$ ” एक ही बात हैं: प्रतिशत असल में ऐसी भिन्न है जिसका हर (नीचे वाली संख्या) हमेशा 100 होता है।

x % = \frac{x}{100}

जहाँ भी % दिखे, उसकी जगह “÷ 100” समझिए।

$x$: जितने प्रतिशत की बात हो रही है

प्रतिशत की ज़रूरत क्यों पड़ी?

क्योंकि अलग-अलग कुल वाली चीज़ों की सीधी तुलना नहीं हो पाती। 45 में से 36 अंक और 60 में से 42 अंक — किसने बेहतर किया? दोनों को “सौ में से” बना दें तो फ़ैसला तुरंत हो जाता है। प्रतिशत एक साझा पैमाना है।

उदाहरण 1 · आसान

अमन ने 45 में से 36 अंक पाए और भावना ने 60 में से 42 अंक। किसका प्रदर्शन बेहतर है?

हल, कदम-दर-कदम

1दोनों को “सौ में से” बनाते हैं। अमन: $\frac{36}{45}$ । ऊपर-नीचे को 9 से भाग देने पर $\frac{4}{5}$ मिलता है।
2 $\frac{4}{5}$ के नीचे 5 है; 100 बनाने के लिए 20 से गुणा करें: $\frac{4 \times 20}{5 \times 20} = \frac{80}{100}$ । अमन के 80% आए।
3भावना: $\frac{42}{60} = \frac{7}{10}$ (6 से भाग देने पर)। नीचे 10 है, 10 से गुणा करें: $\frac{70}{100}$ । भावना के 70% आए।
480% > 70%, इसलिए अमन का प्रदर्शन बेहतर है। भावना के अंक (42) ज़्यादा दिखते हैं, पर उसका कुल भी बड़ा था — इसलिए कच्चे अंक देखकर फ़ैसला करना गलत होता।

उत्तर अमन (80% बनाम 70%)

कच्चे अंकों से धोखा न खाएँ; तुलना हमेशा प्रतिशत बनाकर करें।

आसानपहले खुद करके देखें

एक थैले में 25 कंचे हैं, जिनमें 7 लाल हैं। लाल कंचों का प्रतिशत कितना है?

मध्यमपहले खुद करके देखें

अंजलि ने 20 में से 17 अंक पाए और गौरव ने 25 में से 21। इनमें कौन आगे है?

भिन्न, दशमलव और प्रतिशत

एक ही हिस्सा, तीन लिखावटें

हर प्रतिशत को भिन्न और दशमलव में, और उल्टा बदलना — और वे भिन्नें जिन्हें याद कर लेना आपके सैकड़ों सेकंड बचाएगा।

आधा, 0.5 और 50% — ये तीन अलग चीज़ें नहीं, एक ही हिस्से को लिखने के तीन तरीके हैं। सवाल में जो रूप दिया हो, उसे उस रूप में बदल लीजिए जिसमें हिसाब सबसे आसान हो। बदलने के तीन नियम ही याद रखने हैं:

जो दिया है	क्या करें	उदाहरण
भिन्न → प्रतिशत	100 से गुणा करें	$\frac{3}{8} \times 100 = 37.5%$
दशमलव → प्रतिशत	दशमलव बिंदु को दो अंक दाईं ओर खिसकाएँ	$0.45 \to 45%$
प्रतिशत → दशमलव	दशमलव बिंदु को दो अंक बाईं ओर खिसकाएँ	$8% \to 0.08$
प्रतिशत → भिन्न	100 पर रखें और सरल करें	$35% = \frac{35}{100} = \frac{7}{20}$

याद रखेंदशमलव को खिसकाते समय जगह खाली रह जाए तो शून्य भर दीजिए: 8% = 0.08 (8 को 8.0 मानकर बिंदु दो अंक बाएँ ले जाने पर 0.08 बनता है), और 0.6 = 60%।

वे भिन्नें जो याद कर लेनी चाहिए

परीक्षा में समय की कमी रहती है। अगर आपको पता है कि $\frac{3}{8}$ यानी 37.5%, तो हर बार 3 ÷ 8 करने में समय नहीं जाएगा। नीचे की सारणी को एक बार ध्यान से देखिए; इसमें पैटर्न हैं।

भिन्न	दशमलव	प्रतिशत
$\frac{1}{2}$	0.5	50%
$\frac{1}{3}$	0.333…	$33 \frac{1}{3} %$
$\frac{2}{3}$	0.666…	$66 \frac{2}{3} %$
$\frac{1}{4}$	0.25	25%
$\frac{3}{4}$	0.75	75%
$\frac{1}{5}$	0.2	20%
$\frac{2}{5}$	0.4	40%
$\frac{3}{5}$	0.6	60%
$\frac{4}{5}$	0.8	80%
$\frac{1}{6}$	0.1666…	$16 \frac{2}{3} %$
$\frac{5}{6}$	0.8333…	$83 \frac{1}{3} %$
$\frac{1}{8}$	0.125	12.5%
$\frac{3}{8}$	0.375	37.5%
$\frac{5}{8}$	0.625	62.5%
$\frac{7}{8}$	0.875	87.5%
$\frac{1}{10}$	0.1	10%
$\frac{1}{12}$	0.0833…	$8 \frac{1}{3} %$
$\frac{1}{16}$	0.0625	6.25%
$\frac{1}{20}$	0.05	5%
$\frac{1}{25}$	0.04	4%

ट्रिकपूरी सारणी रटने की ज़रूरत नहीं। सिर्फ़ “एक बटा …” वाली भिन्नें याद कीजिए —

\frac{1}{2} = 50%

\frac{1}{3} = 33 \frac{1}{3} %

\frac{1}{4} = 25%

\frac{1}{5} = 20%

\frac{1}{6} = 16 \frac{2}{3} %

\frac{1}{8} = 12.5%

— बाकी इनके गुणज हैं:

\frac{3}{8}

मतलब 3 × 12.5% = 37.5%,

\frac{5}{6}

मतलब 5 ×

16 \frac{2}{3} %

83 \frac{1}{3} %

।

कम काम आने वाली, पर पूछी जाने वाली भिन्नें

आसानपहले खुद करके देखें

24% को सबसे सरल भिन्न के रूप में लिखिए।

मध्यमपहले खुद करके देखें

0.045 को प्रतिशत में बदलिए।

कठिनपहले खुद करके देखें

\frac{5}{8}

, 0.6 और 62% में सबसे बड़ा कौन-सा है?

किसी संख्या का x%

“का” का मतलब गुणा

सबसे बुनियादी काम — किसी संख्या का कुछ प्रतिशत निकालना, तीन आसान तरीकों से।

प्रतिशत के सवालों में शब्द “का” (अंग्रेज़ी में “of”) का मतलब हमेशा गुणा होता है। “480 का 35%” का अर्थ है: 35% को 480 से गुणा करना। और 35% का मतलब $\frac{35}{100}$ है।

x % of y = \frac{x}{100} \times y

पहले y को 100 से भाग दीजिए (यानी 1% निकालिए), फिर x से गुणा कीजिए।

$x$: प्रतिशत की संख्या
$y$: वह संख्या जिसका प्रतिशत निकालना है

हिसाब को हल्का करने के दो तरीके

1% पहले निकालें। 1% = संख्या ÷ 100 (बिंदु दो अंक बाएँ)। फिर जितने % चाहिए उतने से गुणा।
10% और 5% के टुकड़े बनाएँ। 10% पाने के लिए बिंदु एक अंक बाएँ; 5% इसका आधा; 20% इसका दुगुना; 1% इसका दसवाँ भाग।

उदाहरण 2 · आसान

480 का 35% निकालिए।

हल, कदम-दर-कदम

1तरीका 1 (1% से): 1% = 480 ÷ 100 = 4.8।
235% = 35 × 4.8 = 168।
3तरीका 2 (टुकड़ों से): 35% = 10% + 10% + 10% + 5%। यहाँ 10% = 48।
4तीन बार 10% = 144, और 5% = 24। जोड़ने पर 144 + 24 = 168।
5दोनों तरीकों से एक ही उत्तर आया — यही जाँच भी है।

उत्तर 168

उदाहरण 3 · मध्यम

75 का 16% निकालिए।

हल, कदम-दर-कदम

1सीधे हिसाब में 16 × 75 ÷ 100 करना पड़ेगा — थोड़ा भारी।
2एक चमत्कारी नियम है: $x %$ of $y$ = $y %$ of $x$ , क्योंकि दोनों का मान $\frac{x \times y}{100}$ ही है।
3इसलिए 75 का 16% = 16 का 75%।
475% = $\frac{3}{4}$ , और 16 का $\frac{3}{4}$ = 12। उत्तर 12।

उत्तर 12

जब दोनों संख्याओं में से एक आसान प्रतिशत जैसी (25, 50, 75, 20…) हो, तो अदला-बदली कर लें।

आसानपहले खुद करके देखें

₹ 1,250 का 18% कितना होगा?

मध्यमपहले खुद करके देखें

800 के 25% का 72% कितना होगा?

कठिनपहले खुद करके देखें

80 का 45% + 45 का 80% का मान क्या है?

हिस्से से पूरा निकालना

उल्टा सवाल

जब हिस्सा और उसका प्रतिशत मालूम हो, तब पूरी राशि कैसे निकालें।

अब तक हमने पूरा देकर हिस्सा पूछा था। कई सवाल उल्टे होते हैं: “किसी संख्या का 15% 63 है, तो संख्या क्या है?” यहाँ पूरा अज्ञात है। तरीका सीधा है — पहले जानिए कि 1% कितना होता है, फिर उसे सौ से गुणा कर दीजिए।

सोचने का क्रम

x% का मान दिया है1% = P ÷ x100% = (P ÷ x) × 100

पूरा = \frac{P \times 100}{x}

हिस्से को 100 से गुणा कीजिए और प्रतिशत से भाग दीजिए।

$P$: जो हिस्सा दिया है
$x$: उस हिस्से का प्रतिशत

उदाहरण 4 · आसान

एक दुकानदार ने 72 कॉपियाँ बेचीं, जो उसके पूरे स्टॉक का 36% हैं। स्टॉक में कुल कितनी कॉपियाँ थीं?

हल, कदम-दर-कदम

136% का मान 72 है। पहले 1% निकालें: 72 ÷ 36 = 2।
2पूरा स्टॉक 100% होता है, इसलिए 2 × 100 = 200।
3जाँच: 200 का 36% = 72 ✓

उत्तर 200 कॉपियाँ

आसानपहले खुद करके देखें

किसी संख्या का 15% 63 है। संख्या ज्ञात कीजिए।

मध्यमपहले खुद करके देखें

एक टंकी 35% भरी हुई है और उसमें 840 लीटर पानी है। टंकी की पूरी क्षमता कितनी है?

दो संख्याओं की तुलना

कौन-सी संख्या “आधार” है?

एक संख्या दूसरी का कितने प्रतिशत है, और “से ज़्यादा” तथा “से कम” में जवाब अलग क्यों आते हैं।

एक संख्या दूसरी का कितने प्रतिशत?

आधार पहचानना सबसे ज़रूरी

“A, B का कितने प्रतिशत है” का हल और उसमें की जाने वाली सबसे आम गलती से बचने का तरीका।

पिछले भाग में हमने पूरा देकर हिस्सा पूछा था। अब उल्टा: हिस्सा और पूरा दोनों देकर पूछा जाता है कि “हिस्सा, पूरे का कितना प्रतिशत है?” जिस संख्या से तुलना की जा रही है उसे आधार (base) कहते हैं — वही “सौ” के बराबर माना जाता है।

\frac{a}{b} \times 100%

जिसका प्रतिशत पूछा है उसे ऊपर रखिए, आधार को नीचे।

$a$: जिसका प्रतिशत निकालना है
$b$: आधार — जिससे तुलना है

आधार कैसे पहचानें?

एक आसान पहचान है: आधार वह संख्या है जो “का”, “से” या “की तुलना में” के ठीक बाद आती है। अंग्रेज़ी में “of”, “than” और “from” के बाद।

सवाल का वाक्य	आधार
A, B का कितने प्रतिशत है?	B
B का कितना प्रतिशत A है?	B
A, B से कितने प्रतिशत ज़्यादा है?	B
A, B से कितने प्रतिशत कम है?	B
A से बढ़कर B हुआ — कितने % की वृद्धि?	A (शुरुआती मान)

जालदोनों संख्याएँ एक ही इकाई में होनी चाहिए। मीटर और सेंटीमीटर, या घंटे और मिनट का सीधा भाग न दें — पहले एक इकाई में बदल लें।

उदाहरण 5 · मध्यम

45 मिनट, 3 घंटे का कितना प्रतिशत है?

हल, कदम-दर-कदम

1इकाई अलग हैं (मिनट और घंटे), इसलिए पहले 3 घंटे को मिनट में बदलें: 3 × 60 = 180 मिनट।
2आधार “3 घंटे” है (क्योंकि “का” के बाद वही आया), यानी 180।
3प्रतिशत = $\frac{45}{180} \times 100 = \frac{1}{4} \times 100 =$ 25%।

उत्तर 25%

आसानपहले खुद करके देखें

₹ 36, ₹ 240 का कितना प्रतिशत है?

मध्यमपहले खुद करके देखें

2 मीटर 40 सेंटीमीटर, 6 मीटर का कितना प्रतिशत है?

कठिनपहले खुद करके देखें

270 मीटर, 1.5 किलोमीटर का कितना प्रतिशत है?

“से ज़्यादा” और “से कम”

दो जवाब कभी बराबर नहीं होते

A, B से 25% ज़्यादा है तो B, A से 25% कम क्यों नहीं होता — आधार बदलते ही प्रतिशत बदल जाता है।

मान लीजिए नेहा का वेतन ₹ 30,000 और रिया का ₹ 24,000 है। फ़र्क ₹ 6,000 का है। पर “नेहा रिया से कितने % ज़्यादा कमाती है” और “रिया नेहा से कितने % कम कमाती है” — दोनों में फ़र्क वही है, फिर भी प्रतिशत अलग निकलेगा। वजह: हर बार आधार बदल जाता है।

ज़्यादा % = \frac{फ़र्क}{छोटी संख्या} \times 100

“…से ज़्यादा” में आधार छोटी संख्या होती है (जिससे तुलना की जा रही है)।

कम % = \frac{फ़र्क}{बड़ी संख्या} \times 100

“…से कम” में आधार बड़ी संख्या होती है।

उदाहरण 6 · आसान

नेहा का वेतन ₹ 30,000 और रिया का ₹ 24,000 है। (क) नेहा रिया से कितने % ज़्यादा कमाती है? (ख) रिया नेहा से कितने % कम कमाती है?

हल, कदम-दर-कदम

1फ़र्क = 30,000 − 24,000 = ₹ 6,000।
2(क) “रिया से” के बाद आधार रिया है: $\frac{6000}{24000} \times 100 =$ 25%।
3(ख) “नेहा से” के बाद आधार नेहा है: $\frac{6000}{30000} \times 100 =$ 20%।

उत्तर (क) 25% (ख) 20%

पक्की बात: “ज़्यादा” का प्रतिशत हमेशा “कम” के प्रतिशत से बड़ा आता है, क्योंकि छोटी संख्या पर भाग देना पड़ता है।

आसानपहले खुद करके देखें

60, 50 से कितने प्रतिशत ज़्यादा है?

मध्यमपहले खुद करके देखें

A की ऊँचाई B से 20% कम है। B की ऊँचाई A से कितने प्रतिशत ज़्यादा है?

कठिनपहले खुद करके देखें

A, B से 40% ज़्यादा है। B, A से कितने प्रतिशत कम है?

बढ़ना और घटना

गुणक विधि · क्रमागत परिवर्तन

कीमत, वेतन या जनसंख्या का कुछ प्रतिशत बढ़ना-घटना — सबसे तेज़ तरीका (गुणक) और उससे बनने वाले सारे नियम।

गुणक विधि

एक ही कदम में बढ़ोतरी या कमी

“नया = पुराना × गुणक” — बढ़ने और घटने के सारे सवालों की चाबी।

मान लीजिए किसी चीज़ की कीमत ₹ 100 है और वह 20% बढ़ती है। नई कीमत = 100 + 20 = ₹ 120। यानी पुराने का 120%, या पुराने का 1.2 गुना। अगर वह 20% घटती तो नई कीमत 100 − 20 = ₹ 80 होती — पुराने का 80%, यानी 0.8 गुना।

नया = पुराना \times (1 \pm \frac{r}{100})

बढ़ोतरी में “+”, कमी में “−” लगाइए। कोष्ठक के भीतर की संख्या ही गुणक है।

$r$: प्रतिशत में परिवर्तन

इसका फ़ायदा यह है कि दो कदम (पहले % निकालो, फिर जोड़ो/घटाओ) की जगह सिर्फ़ एक गुणा करना पड़ता है। नीचे अक्सर आने वाले गुणक हैं।

परिवर्तन	गुणक	भिन्न रूप
10% वृद्धि	1.1	$\frac{11}{10}$
20% वृद्धि	1.2	$\frac{6}{5}$
25% वृद्धि	1.25	$\frac{5}{4}$
$33 \frac{1}{3} %$ वृद्धि	1.333…	$\frac{4}{3}$
50% वृद्धि	1.5	$\frac{3}{2}$
12.5% वृद्धि	1.125	$\frac{9}{8}$
10% कमी	0.9	$\frac{9}{10}$
20% कमी	0.8	$\frac{4}{5}$
25% कमी	0.75	$\frac{3}{4}$
$33 \frac{1}{3} %$ कमी	0.666…	$\frac{2}{3}$
50% कमी	0.5	$\frac{1}{2}$
12.5% कमी	0.875	$\frac{7}{8}$

ट्रिक“20% छूट” का मतलब है कि ग्राहक कीमत का 80% चुकाता है। हमेशा सीधे 0.8 से गुणा कीजिए — छूट की रकम निकालकर घटाने से बचिए।

उदाहरण 7 · आसान

एक फ़ोन की कीमत ₹ 24,000 है। (क) कीमत 15% बढ़ने पर नई कीमत क्या होगी? (ख) कीमत 12% घटने पर?

हल, कदम-दर-कदम

1(क) बढ़ोतरी 15% है, इसलिए गुणक = 1 + 0.15 = 1.15।
2नई कीमत = 24,000 × 1.15 = ₹ 27,600।
3(ख) कमी 12% है, इसलिए गुणक = 1 − 0.12 = 0.88।
4नई कीमत = 24,000 × 0.88 = ₹ 21,120।

उत्तर (क) ₹ 27,600 (ख) ₹ 21,120

जाँच: 24,000 का 10% = 2,400 और 5% = 1,200, इसलिए 15% = 3,600; 24,000 + 3,600 = 27,600 ✓

आसानपहले खुद करके देखें

₹ 850 की एक कमीज़ पर 20% की छूट मिल रही है। ग्राहक कितना चुकाएगा?

मध्यमपहले खुद करके देखें

₹ 2,40,000 वार्षिक वेतन में 12.5% की बढ़ोतरी होती है। नया वेतन कितना होगा?

परिवर्तन कितने प्रतिशत? और मूल राशि

आगे से पीछे और पीछे से आगे

पुराना और नया मान देकर % परिवर्तन पूछना, और नया मान तथा % देकर मूल राशि पूछना।

परिवर्तन का प्रतिशत हमेशा मूल (पुराने) मान के सापेक्ष निकलता है, नए के नहीं।

परिवर्तन % = \frac{नया - पुराना}{पुराना} \times 100

उत्तर धनात्मक आए तो वृद्धि, ऋणात्मक आए तो कमी।

पुराना = \frac{नया}{गुणक}

नया मान और % परिवर्तन ज्ञात हो तो नए को गुणक से भाग दीजिए।

उदाहरण 8 · आसान

एक वस्तु की कीमत ₹ 80 से बढ़कर ₹ 92 हो गई। कीमत में कितने प्रतिशत वृद्धि हुई?

हल, कदम-दर-कदम

1परिवर्तन = 92 − 80 = 12।
2आधार पुरानी कीमत 80 है: $\frac{12}{80} \times 100 = 15$ ।

उत्तर 15%

उदाहरण 9 · मध्यम

20% की वृद्धि के बाद किसी वस्तु की कीमत ₹ 1,260 हो गई। मूल कीमत क्या थी?

हल, कदम-दर-कदम

120% वृद्धि का गुणक 1.2 है, यानी नया = पुराना × 1.2।
2इसलिए पुराना = 1,260 ÷ 1.2 = 1,050।
3जाँच: 1,050 का 20% = 210; 1,050 + 210 = 1,260 ✓

उत्तर ₹1,050

आम गलती: 1,260 का 20% घटा देना। 20% पुराने मान का था, नए का नहीं।

आसानपहले खुद करके देखें

किसी संख्या को 250 से बढ़ाकर 300 कर दिया गया। प्रतिशत वृद्धि कितनी हुई?

मध्यमपहले खुद करके देखें

15% की कमी के बाद एक साइकिल की कीमत ₹ 1,360 रह गई। उसकी मूल कीमत क्या थी?

एक के बाद एक परिवर्तन

% जोड़ना सीधा नहीं

जब दो या तीन परिवर्तन क्रम से हों — जैसे दो क्रमागत छूट या दो साल की वृद्धि — तो कुल परिवर्तन कैसे निकले।

पहले 20% बढ़ना और फिर 10% बढ़ना, कुल 30% बढ़ना नहीं होता। कारण: दूसरी बार का 10% नए (बढ़े हुए) मान पर लगता है, पुराने पर नहीं। देखिए, मूल मान 100 लें: 100 → 20% बढ़कर 120 → उस 120 का 10% = 12, इसलिए 132। कुल वृद्धि 32% हुई, 30% नहीं।

कुल = a + b + \frac{a \times b}{100}

दोनों परिवर्तन चिह्न सहित रखिए: वृद्धि के लिए +, कमी के लिए −।

$a$: पहला परिवर्तन (%)
$b$: दूसरा परिवर्तन (%)

यह सूत्र ऊपर के गुणक का ही छोटा रूप है: $(1 + \frac{a}{100}) (1 + \frac{b}{100}) - 1$ को खोलने पर $a + b + \frac{ab}{100}$ मिलता है। अगर सूत्र भूल जाएँ तो गुणक आपके पास हमेशा है।

उदाहरण 10 · आसान

किसी वस्तु की कीमत पहले 20% और फिर 10% बढ़ी। कुल वृद्धि कितने प्रतिशत हुई?

हल, कदम-दर-कदम

1यहाँ $a = + 20$ और $b = + 10$ ।
2कुल $= 20 + 10 + \frac{20 \times 10}{100} = 30 + 2 = 32$ ।
3जाँच, गुणक से: 1.2 × 1.1 = 1.32, यानी 32% वृद्धि ✓

उत्तर 32%

उदाहरण 11 · मध्यम

एक दुकानदार किसी वस्तु की कीमत 25% बढ़ाता है, फिर बिक्री बढ़ाने के लिए नई कीमत में 25% घटा देता है। मूल कीमत की तुलना में अंतिम कीमत कितने प्रतिशत बदली?

हल, कदम-दर-कदम

1 $a = + 25, b = - 25$ ।
2कुल $= 25 - 25 + \frac{25 \times ( - 25 )}{100} = 0 - 6.25 = - 6.25$ ।
3जाँच: 100 → 125 → 125 का 75% = 93.75। यानी 6.25 की कमी ✓

उत्तर 6.25% की कमी

बराबर प्रतिशत बढ़ाकर घटाने पर कीमत मूल पर नहीं लौटती — हमेशा थोड़ी घट जाती है (कमी =

\frac{a ^{2}}{100}

%)।

उदाहरण 12 · कठिन

एक संख्या पर लगातार तीन परिवर्तन हुए: 20% की वृद्धि, फिर 10% की कमी, फिर 25% की वृद्धि। कुल प्रभाव क्या रहा?

हल, कदम-दर-कदम

1तीन परिवर्तन हों तो सीधे गुणक गुणा करना सबसे आसान है।
2गुणक: 1.2, 0.9 और 1.25।
3कुल गुणक = 1.2 × 0.9 × 1.25 = 1.08 × 1.25 = 1.35।
41.35 का मतलब है पुराने मान का 135%, यानी कुल वृद्धि 35%।

उत्तर 35% की वृद्धि

आसानपहले खुद करके देखें

किसी वस्तु पर पहले 10% और फिर 20% की छूट दी गई। इसके बराबर एक छूट कितने प्रतिशत की होगी?

मध्यमपहले खुद करके देखें

एक कस्बे की जनसंख्या 5,000 है। वह एक साल 10% बढ़ती है और अगले साल 10% घटती है। अब जनसंख्या कितनी है?

कठिनपहले खुद करके देखें

एक राशि पर क्रम से 20% की कमी, 25% की वृद्धि और फिर 20% की कमी होती है। कुल परिवर्तन क्या है?

मूल स्थिति वापस पाना

कितना % बढ़ाएँ या घटाएँ?

कमी या वृद्धि के बाद मूल मान पाने के लिए, या खर्च स्थिर रखने के लिए, कितना प्रतिशत बदलाव चाहिए।

कीमत 20% घटी हो तो उसे वापस लाने के लिए 20% बढ़ाना काफ़ी नहीं है। कारण वही: अब आधार छोटा हो चुका है। कीमत 100 से घटकर 80 हुई; 80 को फिर 100 बनाने के लिए 20 बढ़ाना है, और 20 आधार 80 का $\frac{20}{80} = 25%$ है।

\frac{r}{100 - r} \times 100%

r% घटने के बाद मूल मान लौटाने के लिए चाहिए वृद्धि।

$r$: जितने % घटा था

\frac{r}{100 + r} \times 100%

r% बढ़ने के बाद मूल मान लौटाने के लिए चाहिए कमी।

$r$: जितने % बढ़ा था

दोनों सूत्र एक ही विचार से निकलते हैं: बदलाव की मात्रा ÷ बदलाव के बाद का मान।

उदाहरण 13 · आसान

चीनी की कीमत 25% बढ़ गई। एक परिवार का चीनी पर खर्च पहले जितना ही रखने के लिए उसे अपनी खपत कितने प्रतिशत घटानी होगी?

हल, कदम-दर-कदम

1कीमत 100 से 125 हुई। खर्च = कीमत × मात्रा, इसलिए खर्च स्थिर रखने के लिए मात्रा को $\frac{100}{125}$ गुना करना होगा।
2 $\frac{100}{125} = 0.8$ । यानी मात्रा पहले की 80% रह जाए — 20% की कमी।
3सूत्र से: $\frac{25}{100 + 25} \times 100 = 20$ ✓

उत्तर 20%

उदाहरण 14 · आसान

किसी कर्मचारी का वेतन 20% घटा दिया गया। पुराना वेतन लौटाने के लिए नए वेतन में कितने प्रतिशत की वृद्धि करनी होगी?

हल, कदम-दर-कदम

1पुराना वेतन 100 मानें; कटौती के बाद 80।
280 को 100 बनाने के लिए 20 की वृद्धि चाहिए, और आधार अब 80 है।
3 $\frac{20}{80} \times 100 = 25$ । सूत्र से: $\frac{20}{100 - 20} \times 100 = 25$ ✓

उत्तर 25%

मध्यमपहले खुद करके देखें

वेतन में 30% की कटौती हुई। पहले जितना वेतन पाने के लिए नए वेतन में कितने प्रतिशत की वृद्धि होनी चाहिए?

कठिनपहले खुद करके देखें

चावल की कीमत 12.5% बढ़ गई। परिवार चावल की खपत इतनी घटाता है कि खर्च सिर्फ़ 5% बढ़े। खपत कितने प्रतिशत घटी?

दो चीज़ों का गुणनफल

खर्च · क्षेत्रफल · दूरी

जब कोई राशि दो चीज़ों के गुणनफल से बने — जैसे कीमत × मात्रा या लंबाई × चौड़ाई — तो दोनों के परिवर्तन साथ-साथ कैसे चलते हैं।

कई राशियाँ दो चीज़ों का गुणनफल होती हैं। ऐसे में एक चीज़ का बदलना सामने वाली चीज़ के साथ मिलकर असर डालता है। नियम वही है: गुणक आपस में गुणा करें।

राशि	दो घटक
खर्च	कीमत × मात्रा
आयत का क्षेत्रफल	लंबाई × चौड़ाई
दूरी	चाल × समय
मज़दूरी	दैनिक दर × दिन
वृत्त का क्षेत्रफल	$π \times r \times r$ — त्रिज्या दो बार

उदाहरण 15 · मध्यम

एक आयताकार खेत की लंबाई 50% बढ़ाई जाती है और चौड़ाई 20% घटाई जाती है। क्षेत्रफल में कितना परिवर्तन होगा?

हल, कदम-दर-कदम

1क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई, इसलिए गुणक गुणा होंगे।
2लंबाई का गुणक 1.5 और चौड़ाई का 0.8।
31.5 × 0.8 = 1.2। यानी क्षेत्रफल पहले का 120% हो गया।

उत्तर 20% की वृद्धि

सूत्र से: 50 − 20 +

\frac{50 \times ( - 20 )}{100}

= 30 − 10 = 20 ✓

उदाहरण 16 · मध्यम

एक गोल तालाब की त्रिज्या 20% बढ़ाकर उसे बड़ा किया जाता है। उसके क्षेत्रफल में कितने प्रतिशत की वृद्धि होगी?

हल, कदम-दर-कदम

1क्षेत्रफल में त्रिज्या दो बार गुणा होती है ( $π r \times r$ ), इसलिए त्रिज्या का गुणक दो बार लगेगा।
2गुणक = 1.2 × 1.2 = 1.44।
3इसलिए क्षेत्रफल 44% बढ़ेगा।

उत्तर 44%

उदाहरण 17 · मध्यम

पेट्रोल की कीमत 10% बढ़ गई और राकेश ने यात्रा 5% कम कर दी। उसके पेट्रोल पर खर्च में कितना परिवर्तन हुआ?

हल, कदम-दर-कदम

1खर्च = कीमत × खपत। कीमत का गुणक 1.1, खपत का गुणक 0.95।
2कुल गुणक = 1.1 × 0.95 = 1.04।
3खर्च 4.5% बढ़ा।

उत्तर 4.5% की वृद्धि

आसानपहले खुद करके देखें

एक आयत की लंबाई और चौड़ाई दोनों 10% बढ़ा दी जाएँ तो क्षेत्रफल कितने प्रतिशत बढ़ेगा?

मध्यमपहले खुद करके देखें

एक वर्ग की भुजा 30% बढ़ा दी जाए तो उसके क्षेत्रफल में कितने प्रतिशत की वृद्धि होगी?

कठिनपहले खुद करके देखें

एक गोल पिज़्ज़ा का व्यास 20% छोटा हो जाता है। उसका क्षेत्रफल कितने प्रतिशत घट जाएगा?

कठिनपहले खुद करके देखें

एक आयताकार भूखंड की लंबाई 20% बढ़ाई जाती है। क्षेत्रफल 8% बढ़ाना हो तो चौड़ाई में कितना परिवर्तन करना होगा?

रोज़मर्रा के प्रयोग

परीक्षा, जनसंख्या, चुनाव, वेतन, मिश्रण

प्रतिशत के वे सवाल जो परीक्षाओं में बार-बार आते हैं — हर प्रकार का तरीका और उसके हल किए नमूने।

उत्तीर्ण अंक और परीक्षा के सवाल

“इतने अंक से फ़ेल”

उत्तीर्ण होने के न्यूनतम अंकों का प्रतिशत, और “इतने अंक से अनुत्तीर्ण / उत्तीर्ण” वाले सवाल।

परीक्षा के सवालों की सबसे बड़ी बात यह है कि उत्तीर्ण अंक एक तय संख्या हैं, भले ही उन्हें प्रतिशत में बताया गया हो। अगर कोई विद्यार्थी “कुछ अंकों से अनुत्तीर्ण” है, तो वह उत्तीर्ण अंक से उतना पीछे है; और अगर “कुछ अंकों से उत्तीर्ण” है तो उतना आगे।

उत्तीर्ण अंक = प्राप्त अंक + कमी

अनुत्तीर्ण विद्यार्थी के लिए। उत्तीर्ण होने पर “कमी” की जगह “अधिक” को घटाइए।

उदाहरण 18 · मध्यम

उत्तीर्ण होने के लिए 35% अंक चाहिए। एक विद्यार्थी को 168 अंक मिले और वह 42 अंक से अनुत्तीर्ण रहा। पूर्णांक (अधिकतम अंक) कितने हैं?

हल, कदम-दर-कदम

1उत्तीर्ण अंक = प्राप्त अंक + कमी = 168 + 42 = 210।
2ये 210 अंक कुल अंकों का 35% हैं। इसलिए 1% = 210 ÷ 35 = 6।
3कुल अंक = 100% = 6 × 100 = 600।

उत्तर 600 अंक

आसानपहले खुद करके देखें

उत्तीर्ण होने के लिए 500 में से 40% अंक चाहिए। किरण को 172 अंक मिले। वह कितने अंक से अनुत्तीर्ण रहा?

कठिनपहले खुद करके देखें

एक परीक्षा में एक विद्यार्थी को 30% अंक मिले और वह 42 अंक से अनुत्तीर्ण रहा। दूसरे को 40% अंक मिले और वह 28 अंक से उत्तीर्ण हुआ। अधिकतम अंक कितने हैं?

जनसंख्या और वार्षिक वृद्धि

हर साल नए मान पर नया प्रतिशत

जनसंख्या, उत्पादन या कीमत जब हर साल एक निश्चित प्रतिशत से बढ़े-घटे, तो कुछ वर्ष बाद उसका मान कैसे निकालें।

जनसंख्या हर साल 10% बढ़ती है, इसका मतलब यह नहीं कि 3 साल में 30% बढ़ेगी। हर साल की वृद्धि उस साल की शुरुआती संख्या पर लगती है, जो पिछले साल की वृद्धि से पहले ही बढ़ चुकी है। इसलिए हर साल गुणक एक बार और लगता है — यह वही “एक के बाद एक परिवर्तन” है, बस हर बार एक-सा।

P_{n} = P (1 \pm \frac{r}{100})^{n}

बढ़ती हुई राशि में “+”, घटती हुई में “−”।

$P$: आज की जनसंख्या (या शुरुआती मान)
$r$: सालाना दर (%)
$n$: वर्षों की संख्या
$P_{n}$: n वर्ष बाद का मान

उदाहरण 19 · मध्यम

एक नगर की जनसंख्या 12,500 है और वह हर साल 8% की दर से बढ़ती है। दो साल बाद जनसंख्या कितनी होगी?

हल, कदम-दर-कदम

1वार्षिक गुणक = 1 + 8/100 = 1.08।
2पहले साल के अंत में: 12,500 × 1.08 = 13,500।
3दूसरे साल के अंत में: 13,500 × 1.08 = 14,580।
4सूत्र से भी: 12,500 × (1.08)² = 12,500 × 1.1664 = 14,580 ✓

उत्तर 14,580 लोग

सरल जोड़ से 16% (= 8 + 8) की वृद्धि मिलती, यानी 14,500 — वह गलत होता। असली वृद्धि 16.64% है।

उदाहरण 20 · मध्यम

एक गाँव की जनसंख्या 80,000 है और वह हर साल 5% घटती है। दो साल बाद कितनी रह जाएगी?

हल, कदम-दर-कदम

1घटने के लिए गुणक = 1 − 0.05 = 0.95।
2पहले साल: 80,000 × 0.95 = 76,000।
3दूसरे साल: 76,000 × 0.95 = 72,200।

उत्तर 72,200 लोग

आसानपहले खुद करके देखें

एक गाँव की जनसंख्या 4,000 है। एक साल में 10% वृद्धि के बाद अगले साल की शुरुआत में कितनी होगी?

मध्यमपहले खुद करके देखें

किसी शहर की जनसंख्या 5,000 है और वह हर साल 20% बढ़ती है। दो साल बाद जनसंख्या कितनी होगी?

कठिनपहले खुद करके देखें

एक कस्बे की आज की जनसंख्या 9,801 है। पिछले दो वर्षों में वह हर साल 10% घटी है। दो साल पहले जनसंख्या कितनी थी?

चुनाव के सवाल

कुल मत · वैध मत · जीत का अंतर

मत-पत्रों की कतार — कुल मतदाता से वैध मतों तक, फिर विजेता और उसके जीत के अंतर तक।

चुनाव के सवाल कई परतों में होते हैं, और हर परत का प्रतिशत उसकी ऊपर वाली परत पर लगता है। जब तक आप तय नहीं कर लेते कि कौन-सा प्रतिशत किस पर लग रहा है, गुणा-भाग शुरू न करें।

मतों की कतार

कुल मतदातामतदान करने वालेवैध मतविजेता के मत

अवैध मत (रद्द मत) गिनती में नहीं आते; प्रत्याशियों के मत केवल वैध मतों में बँटते हैं।
दो ही प्रत्याशी हों तो एक को $w %$ मिलें तो दूसरे को $(100 - w) %$ मिलते हैं।
जीत का अंतर = विजेता के मत − हारने वाले के मत = वैध मतों का $(2 w - 100) %$ ।

उदाहरण 21 · मध्यम

एक चुनाव में कुल 8,000 मत डाले गए, जिनमें 12.5% अवैध थे। विजयी प्रत्याशी को वैध मतों का 56% मिला (केवल दो प्रत्याशी थे)। जीत का अंतर कितना रहा?

हल, कदम-दर-कदम

1अवैध मत = 8,000 का 12.5% = 1,000। वैध मत = 8,000 − 1,000 = 7,000।
2विजेता के मत = 7,000 का 56% = 3,920।
3हारने वाले को 44% मिले = 3,080।
4अंतर = 3,920 − 3,080 = 840।
5सूत्र से: (2 × 56 − 100)% = 12% और 7,000 का 12% = 840 ✓

उत्तर 840 मत

आसानपहले खुद करके देखें

एक क्षेत्र में 20,000 मतदाता हैं। उनमें से 65% ने मतदान किया और जीतने वाले को डाले गए मतों का 55% मिला। विजेता को कितने मत मिले? (कोई मत अवैध नहीं)

मध्यमपहले खुद करके देखें

दो प्रत्याशियों के चुनाव में विजेता को वैध मतों का 62% मिला और वह 2,160 मतों से जीता। यदि कुल डाले गए मतों में 10% अवैध थे, तो कुल कितने मत डाले गए?

आय, खर्च और बचत

“बाकी” का प्रतिशत किस पर?

वेतन के हिस्से करके खर्च करना, “शेष का” प्रतिशत, और आय-खर्च बदलने पर बचत का हाल।

वेतन के सवालों में दो तरह के वाक्य आते हैं: “वेतन का 25%” और “शेष का 40%”। पहले में आधार पूरा वेतन है; दूसरे में आधार वह रकम है जो पहला खर्च करने के बाद बची है। यही फ़र्क पहचानना पूरा सवाल है।

उदाहरण 22 · आसान

नीलू का वेतन ₹ 48,000 है। वह उसका 25% किराये पर खर्च करती है, और फिर शेष का 40% खाने पर। अब उसके पास कितना बचा?

हल, कदम-दर-कदम

1किराया = 48,000 का 25% = ₹ 12,000। शेष = 48,000 − 12,000 = ₹ 36,000।
2खाने पर खर्च = शेष ₹ 36,000 का 40% = ₹ 14,400।
3अब बचा = 36,000 − 14,400 = ₹ 21,600।
4तेज़ रास्ता: बचा = वेतन × 0.75 × 0.60 = 48,000 × 0.45 = 21,600 ✓

उत्तर ₹21,600

उदाहरण 23 · कठिन

अनिल की आय ₹ 50,000 है और वह आय का 20% बचाता है। आय 20% और खर्च 10% बढ़ जाए तो उसकी बचत कितने प्रतिशत बदलेगी?

हल, कदम-दर-कदम

1बचत = आय − खर्च। खर्च = 50,000 का 80% = ₹ 40,000, बचत = ₹ 10,000।
2नई आय = 50,000 × 1.2 = ₹ 60,000। नया खर्च = 40,000 × 1.1 = ₹ 44,000।
3नई बचत = 60,000 − 44,000 = ₹ 16,000।
4बचत में परिवर्तन = $\frac{16000 - 10000}{10000} \times 100 = 60$ ।

उत्तर 60% की वृद्धि

आय में 20% और खर्च में 10% की वृद्धि मामूली लगती है, पर बचत 60% बढ़ गई — क्योंकि बचत “आय − खर्च” है, कोई स्वतंत्र राशि नहीं।

आसानपहले खुद करके देखें

मोहन ₹ 40,000 कमाता है। वह उसका 35% भोजन पर और 15% यात्रा पर खर्च करता है। उसके पास कितना बचता है?

मध्यमपहले खुद करके देखें

रमेश अपनी आय का 20% बचाता है। आय वही रहे पर खर्च 12% बढ़ जाए, तो उसकी बचत कितने प्रतिशत घट जाएगी?

दो समूह और उनका मेल

कुछ दोनों में, कुछ एक में

जब कुछ लोग दो गुणों में आते हों — जैसे दोनों विषयों में उत्तीर्ण — तब कुल प्रतिशत कैसे गिनें।

मान लीजिए 70% विद्यार्थी गणित में उत्तीर्ण हुए और 65% अंग्रेज़ी में। इन्हें जोड़ने पर 135% आता है — जो असंभव है! कारण: जो दोनों में उत्तीर्ण हुए, उन्हें हमने दो बार गिन लिया। इसीलिए एक बार घटाना पड़ता है।

कम से कम एक = A + B - दोनों

“कम से कम एक में” = दोनों के योग में से “दोनों” को एक बार घटाओ।

$A$: पहले समूह का %
$B$: दूसरे समूह का %

और: कम से कम एक + दोनों में नहीं = 100%। सारी गुत्थी इन्हीं दो पंक्तियों से सुलझती है।

100 विद्यार्थियों का बँटवारा (गणित 70, अंग्रेज़ी 65, दोनों में असफल 10)

25452010

केवल गणित — 25 दोनों — 45 केवल अंग्रेज़ी — 20 दोनों में असफल — 10

उदाहरण 24 · मध्यम

एक परीक्षा में 70% विद्यार्थी गणित में और 65% अंग्रेज़ी में उत्तीर्ण हुए, जबकि 10% दोनों में अनुत्तीर्ण रहे। कितने प्रतिशत दोनों में उत्तीर्ण हुए?

हल, कदम-दर-कदम

1दोनों में अनुत्तीर्ण = 10%, इसलिए कम से कम एक में उत्तीर्ण = 100 − 10 = 90%।
2कम से कम एक = A + B − दोनों ⇒ 90 = 70 + 65 − दोनों।
3दोनों = 135 − 90 = 45।
4जाँच: केवल गणित 70 − 45 = 25, केवल अंग्रेज़ी 65 − 45 = 20; 25 + 45 + 20 + 10 = 100 ✓

उत्तर 45%

मध्यमपहले खुद करके देखें

किसी कार्यालय के 60% कर्मचारी चाय पसंद करते हैं, 50% कॉफ़ी, और 20% दोनों में से कुछ भी नहीं। कितने प्रतिशत दोनों पसंद करते हैं?

कठिनपहले खुद करके देखें

एक कक्षा में 45% विद्यार्थी क्रिकेट खेलते हैं, 38% फ़ुटबॉल, और 12% दोनों। कितने प्रतिशत विद्यार्थी इनमें से कोई खेल नहीं खेलते?

घोल और प्रतिशत सांद्रता

पानी मिलाने पर क्या बदलता है?

घोल में किसी पदार्थ का प्रतिशत, और पानी मिलाने या उड़ाने पर वह कैसे बदलता है।

“25% नमक का घोल” का मतलब है: घोल के हर 100 भाग में 25 भाग नमक है। इस तरह के सवालों की चाबी एक अवलोकन है — पानी मिलाने या उड़ाने पर नमक की मात्रा नहीं बदलती, सिर्फ़ कुल घोल की मात्रा बदलती है। इसलिए नमक की मात्रा निकाल कर रख लीजिए, फिर नए कुल पर प्रतिशत निकालिए।

सांद्रता = \frac{शुद्ध पदार्थ}{पूरा घोल} \times 100%

घटते-बढ़ते पानी में भी ऊपर वाली संख्या (शुद्ध पदार्थ) वही रहती है।

उदाहरण 25 · मध्यम

60 लीटर के घोल में 25% नमक है। उसमें 20 लीटर पानी मिलाने पर नमक का प्रतिशत क्या रह जाएगा?

हल, कदम-दर-कदम

1नमक की मात्रा = 60 का 25% = 15 लीटर। यह मात्रा पानी मिलाने से नहीं बदलेगी।
2नया कुल घोल = 60 + 20 = 80 लीटर।
3नया प्रतिशत = $\frac{15}{80} \times 100 =$ 18.75%।

उत्तर 18.75%

उदाहरण 26 · कठिन

40 किलो चीनी की चाशनी में 15% चीनी है। पानी उड़ाकर उसे 20% चीनी वाली बनाना है। कितना पानी उड़ाना होगा?

हल, कदम-दर-कदम

1चीनी की मात्रा = 40 का 15% = 6 किलो। यह नहीं बदलेगी।
2अंत में चीनी 20% होनी चाहिए, यानी 6 = कुल का 20%। इसलिए नया कुल = 6 ÷ 0.2 = 30 किलो।
3उड़ा हुआ पानी = 40 − 30 = 10 किलो।

उत्तर 10 किलो

आसानपहले खुद करके देखें

12% वाले 250 ग्राम घोल में शुद्ध पदार्थ कितना है?

मध्यमपहले खुद करके देखें

40% रस वाले 30 लीटर मिश्रण में कितना पानी मिलाने पर रस 25% रह जाएगा?

कठिनपहले खुद करके देखें

20 लीटर के मिश्रण में 20% अल्कोहल है। उसे 25% अल्कोहल वाला बनाने के लिए कितना शुद्ध अल्कोहल मिलाना होगा?

गहराई में — कठिन सवाल

अनुपात · प्रतिशत अंक · मान लेने की कला

परीक्षा के कठिन सवाल सोच के कुछ पैटर्न दोहराते हैं। यहाँ वे पैटर्न सीखिए ताकि हर नया सवाल पुराना लगे।

“x% of A = y% of B”

प्रतिशत से अनुपात

जब दो संख्याओं के अलग-अलग प्रतिशत आपस में बराबर हों, तो उन संख्याओं का अनुपात सीधे मिल जाता है।

कहा गया है: A का x%, B के y% के बराबर है। इसका अर्थ $\frac{x}{100} \times A = \frac{y}{100} \times B$ है। दोनों तरफ़ से 100 कट जाता है और बचता है $x \times A = y \times B$ । अब A और B को आमने-सामने कीजिए:

\frac{A}{B} = \frac{y}{x}

ध्यान दीजिए: x और y उल्टे हो जाते हैं — जिसका प्रतिशत बड़ा है उसकी संख्या छोटी है।

$A, B$: दोनों संख्याएँ
$x, y$: उनके प्रतिशत

उदाहरण 27 · मध्यम

A का 20%, B के 30% के बराबर है। A : B ज्ञात कीजिए। साथ ही बताइए कि A, B का कितने प्रतिशत है।

हल, कदम-दर-कदम

1 $20 \times A = 30 \times B$ ⇒ $\frac{A}{B} = \frac{30}{20} = \frac{3}{2}$ ।
2इसलिए A : B = 3 : 2।
3A, B का $\frac{3}{2} \times 100 = 150%$ है।
4जाँच: A = 30, B = 20 लें → 30 का 20% = 6 और 20 का 30% = 6 ✓

उत्तर A : B = 3 : 2, और A = B का 150%

मध्यमपहले खुद करके देखें

P का 15%, Q के 25% के बराबर है। Q, P का कितने प्रतिशत है?

कठिनपहले खुद करके देखें

A, B से 20% ज़्यादा है और B, C से 25% कम है। A, C का कितना प्रतिशत है?

प्रतिशत और प्रतिशत-अंक

दो अलग बातें

जब कोई दर (जैसे ब्याज दर) खुद प्रतिशत में हो और उसमें बदलाव हो, तो “कितने अंक” और “कितने प्रतिशत” का फ़र्क।

मान लीजिए बैंक की ब्याज दर 8% से बढ़कर 10% हो गई। इसे दो तरह से कहा जा सकता है:

कथन	गणना	अर्थ
2 प्रतिशत-अंक बढ़ी	10 − 8 = 2	दोनों दरों का सीधा घटाव
25% बढ़ी	$\frac{2}{8} \times 100 = 25$	पुरानी दर 8 के सापेक्ष वृद्धि

याद रखेंसवाल जब “प्रतिशत-अंक” या “अंक” कहे, तो सीधा घटाइए। जब “प्रतिशत बढ़ी / घटी” कहे, तो पुरानी दर पर भाग दीजिए।

आसानपहले खुद करके देखें

किसी परीक्षा का उत्तीर्ण प्रतिशत 60% से बढ़कर 75% हो गया। उत्तीर्ण प्रतिशत में कितने प्रतिशत-अंकों की वृद्धि हुई?

मध्यमपहले खुद करके देखें

बेरोज़गारी दर 6% से घटकर 5% हो गई। बेरोज़गारी दर में प्रतिशत कमी कितनी है?

“मान लें 100” और मिश्रित प्रतिशत

जब कोई संख्या दी ही नहीं गई

सिर्फ़ प्रतिशत दिए हों तो एक सुविधाजनक संख्या (जैसे 100) मान लेने की कला, और प्रतिशतों के मिश्रण वाले सवाल।

कई सवालों में कोई असली संख्या नहीं दी जाती, सिर्फ़ प्रतिशत दिए जाते हैं। ऐसे में कोई सुविधाजनक कुल मान लीजिए — अक्सर 100, पर अगर प्रतिशत 25 या 20 जैसे हों तो 200 या 400 भी चलेगा। उत्तर प्रतिशत में पूछा हो, तो मान लेने से उत्तर नहीं बदलता, क्योंकि प्रतिशत किसी भी कुल पर वही रहता है।

उदाहरण 28 · मध्यम

एक विद्यालय में 60% विद्यार्थी लड़के हैं। 25% लड़के और 40% लड़कियाँ चश्मा पहनते हैं। कुल विद्यार्थियों में कितने प्रतिशत चश्मा पहनते हैं?

हल, कदम-दर-कदम

1कुल विद्यार्थी 100 मान लें। तब लड़के 60 और लड़कियाँ 40।
2चश्मे वाले लड़के = 60 का 25% = 15।
3चश्मे वाली लड़कियाँ = 40 का 40% = 16।
4कुल चश्मे वाले = 15 + 16 = 31 में से 100, यानी 31%।

उत्तर 31%

याद रखें: दोनों समूहों के प्रतिशतों का औसत (32.5%) गलत है क्योंकि समूह बराबर नहीं हैं — भार (60 और 40) लगाना पड़ता है।

उदाहरण 29 · कठिन

एक दुकानदार पहले दिन अपने स्टॉक का 30% बेचता है और दूसरे दिन बचे हुए का 40%। अब उसके पास 252 वस्तुएँ बची हैं। शुरू में स्टॉक कितना था?

हल, कदम-दर-कदम

1पहले दिन के बाद बचा = 100 − 30 = 70%।
2दूसरे दिन बचे हुए का 40% बिका, यानी बचा हुआ 60% रह गया: 70% का 60% = 42%।
342% = 252 ⇒ 1% = 6 ⇒ शुरुआती स्टॉक = 6 × 100 = 600।
4जाँच: 600 का 30% = 180 → बचा 420; 420 का 40% = 168 → बचा 252 ✓

उत्तर 600 वस्तुएँ

मध्यमपहले खुद करके देखें

एक थैले में 40% लाल, 35% नीले और बाकी हरी गेंदें हैं। लाल में से 25%, नीली में से 20% और हरी में से 10% ख़राब हैं। कुल गेंदों में कितने प्रतिशत ख़राब हैं?

कठिनपहले खुद करके देखें

सीता अपने वेतन का 20% किराये पर, शेष का 30% भोजन पर और उसके बाद बचे हुए का 25% यात्रा पर खर्च करती है। अंत में उसके पास ₹ 8,400 बचते हैं। उसका वेतन कितना है?

सवाल देखकर तरीका चुनना

संकेत · जाल · जाँच

सवाल पढ़ते ही पहचानिए कि वह किस प्रकार का है, कौन-सी गलतियाँ सबसे ज़्यादा होती हैं, और उत्तर की जाँच कैसे करें।

संकेत से तरीका

हर सवाल के शब्द उसका तरीका बताते हैं

परीक्षा में समय कम होता है। नीचे की सारणी सवाल के शब्दों से सीधे तरीके तक पहुँचाती है।

सवाल हल करने से पहले अपने आप से एक ही प्रश्न पूछिए: “मुझे क्या दिया है, क्या पूछा गया है, और आधार कौन-सा है?” फिर नीचे से पंक्ति चुनिए।

सवाल में क्या दिखा	तरीका	सूत्र / विचार
“x% of y”	गुणा	$\frac{x}{100} \times y$
“a, b का कितना %”	b को आधार बनाकर भाग	$\frac{a}{b} \times 100$
“r% बढ़ा / घटा”	गुणक	$1 \pm \frac{r}{100}$
“r% बदलाव के बाद V है, मूल?”	गुणक से भाग	मूल $= V \div$ गुणक
“पहले a% फिर b%”	क्रमागत परिवर्तन	$a + b + \frac{ab}{100}$
“कीमत बढ़ी, खर्च वही रखना है”	खपत में कमी	$\frac{r}{100 + r} \times 100$
“A, B से ज़्यादा / कम”	“से” के बाद वाला आधार	फ़र्क ÷ आधार
“इतने अंक से अनुत्तीर्ण / उत्तीर्ण”	उत्तीर्ण अंक स्थिर	प्राप्त ± अंतर = उत्तीर्ण अंक
“n वर्ष, हर साल r%”	गुणक n बार	$P (1 \pm \frac{r}{100})^{n}$
दो समूह, “दोनों”, “कोई नहीं”	दोहराव घटाओ	$A + B - both$
पानी मिला / उड़ा	शुद्ध पदार्थ स्थिर	शुद्ध ÷ नया कुल
सिर्फ़ प्रतिशत, कोई संख्या नहीं	कुल 100 मान लें	फिर सब प्रतिशत सीधे संख्याएँ

ट्रिकएक अच्छी आदत: उत्तर लिखने से पहले एक बार सवाल का आख़िरी वाक्य दोबारा पढ़ लीजिए — क्या पूछा है: मान, कमी, बचा हुआ, या प्रतिशत?

सबसे आम गलतियाँ

सात जाल

प्रतिशत के सवालों में अंक अक्सर गलत गणित से नहीं, गलत आधार या गलत जोड़ से कटते हैं। इन सात जालों को पहचान लीजिए।

जाल 1प्रतिशत सीधे जोड़ देना। 20% की वृद्धि के बाद 10% की वृद्धि = 30% नहीं, 32% है। दूसरा प्रतिशत बढ़े हुए मान पर लगता है।

जाल 2गलत आधार। “A, B से 25% ज़्यादा” में आधार B है। B, A से कितना कम है — यह पूछो तो आधार A हो जाता है और उत्तर 20% आता है, 25% नहीं।

जाल 3इकाई न मिलाना। 45 मिनट और 3 घंटे का अनुपात 45/3 नहीं, 45/180 है। भाग देने से पहले दोनों एक इकाई में लाइए।

जाल 4“शेष का” को “कुल का” समझ लेना। “वेतन का 25% किराया, फिर शेष का 40% भोजन” में दूसरा प्रतिशत शेष पर लगता है, पूरे वेतन पर नहीं।

जाल 5बराबर प्रतिशत बढ़ाना और घटाना वापस नहीं पहुँचाता। 25% बढ़ाकर 25% घटाने पर 6.25% की कमी रह जाती है। मूल पर लौटने के लिए अलग प्रतिशत चाहिए।

जाल 6प्रतिशत और प्रतिशत-अंक में गड़बड़ी। 8% से 10% पर दर 2 अंक बढ़ी, पर 25% बढ़ी। सवाल का शब्द ही बताता है कि क्या चाहिए।

जाल 7जो पूछा है उसका उल्टा बता देना। “बचा हुआ” पूछा हो और आपने खर्च बताया, या “कमी” पूछी हो और आपने नया मान लिखा — उत्तर सही गणित के बाद भी गलत हो जाता है।

उत्तर की जाँच

दस सेकंड में

नकारात्मक अंकन वाली परीक्षा में एक गलत उत्तर दो सही उत्तरों का नुकसान कर देता है — इसलिए जाँच की आदत डालिए।

आकार देखिए। वृद्धि के बाद संख्या बड़ी होनी चाहिए, कमी के बाद छोटी। हिस्से का मान पूरे से बड़ा नहीं हो सकता।
मोटा अंदाज़ा लगाइए। 18% of 1,250 निकालना हो तो 20% of 1,250 = 250 से थोड़ा कम होना चाहिए। 225 इसी के आसपास है, इसलिए ठीक लगता है।
उत्तर को सवाल में वापस रखिए। मूल राशि निकाली है तो उस पर दिया गया प्रतिशत लगाकर देखिए कि क्या वही संख्या मिलती है।
सीमा देखिए। 100% से ज़्यादा हिस्सा या 100% से ज़्यादा कमी संभव नहीं (जब तक सवाल वृद्धि न कहे)।

ट्रिकअगर दो तरीकों से हल करने का समय हो, तो एक गुणक से और एक 1% वाले तरीके से कीजिए। दोनों का मिलना सबसे पक्की जाँच है।

अभ्यास की सीढ़ी

आसान → मध्यम → कठिन

ऊपर सीखे सब तरीकों के नए प्रश्न, तीन स्तरों में। पहले आसान स्तर पक्का कीजिए।

स्तर 1 — आसान

सीधे प्रयोग

एक-एक कदम वाले प्रश्न।

इन प्रश्नों में एक ही विचार लगता है। इन्हें 30–40 सेकंड में कर पाना लक्ष्य है।

आसानपहले खुद करके देखें

एक कक्षा में 40 विद्यार्थी हैं। एक दिन 15% विद्यार्थी अनुपस्थित रहे। उस दिन कितने विद्यार्थी उपस्थित थे?

आसानपहले खुद करके देखें

₹ 600 की एक टी-शर्ट की कीमत 5% बढ़ा दी गई। नई कीमत क्या है?

आसानपहले खुद करके देखें

12, 80 का कितना प्रतिशत है?

आसानपहले खुद करके देखें

इनमें से कौन-सी भिन्न 62.5% के बराबर है?

रूप बदलना

आसानपहले खुद करके देखें

0.8 को प्रतिशत में लिखिए।

आसानपहले खुद करके देखें

\frac{7}{20}

को प्रतिशत में बदलिए।

आसानपहले खुद करके देखें

12.5% को भिन्न के रूप में लिखिए।

किसी संख्या का प्रतिशत

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240 टॉफ़ियों का 35% कितना होगा?

आसानपहले खुद करके देखें

एक बस में 60 सीटें हैं और 45% सीटें भरी हैं। कितनी सीटें खाली हैं?

आसानपहले खुद करके देखें

30% of 200 और 45% of 200 का योग क्या है?

कितना प्रतिशत?

आसानपहले खुद करके देखें

टोकरी में 24 आमों में से 18 पके हुए हैं। पके आम कितने प्रतिशत हैं?

आसानपहले खुद करके देखें

45 ग्राम, 600 ग्राम का कितना प्रतिशत है?

आसानपहले खुद करके देखें

एक कक्षा के 30 विद्यार्थियों में 18 लड़के हैं। लड़के कितने प्रतिशत हैं?

बढ़ना, घटना और पूरा

आसानपहले खुद करके देखें

₹ 1,800 की ख़रीद पर 5% बिक्री-कर लगता है। कुल बिल कितना होगा?

आसानपहले खुद करके देखें

किसी संख्या का 20% 14 है। संख्या क्या है?

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एक कमरे का किराया ₹ 8,000 है और वह 10% बढ़ जाता है। नया किराया क्या होगा?

आसानपहले खुद करके देखें

एक वस्तु की कीमत ₹ 50 से घटकर ₹ 40 हो गई। कीमत में कितने प्रतिशत की कमी हुई?

आसानपहले खुद करके देखें

₹ 40 में 25% की वृद्धि करने पर कितना होगा?

स्तर 2 — मध्यम

दो विचारों का मेल

दो कदम वाले, परीक्षा-स्तर के प्रश्न।

इनमें दो विचार साथ चलते हैं। हर प्रश्न पर पहले लिखिए कि आधार क्या है।

मध्यमपहले खुद करके देखें

किसी संख्या में 25% जोड़ने पर 400 मिलता है। वह संख्या क्या है?

मध्यमपहले खुद करके देखें

एक वस्तु की कीमत ₹ 2,000 है। उसे पहले 10% बढ़ाया गया और फिर 10% घटाया गया। अंतिम कीमत क्या है?

मध्यमपहले खुद करके देखें

80 लीटर के मिश्रण में 35% दूध है। दूध का अनुपात 50% करने के लिए कितना शुद्ध दूध और मिलाना होगा?

मध्यमपहले खुद करके देखें

एक विद्यार्थी को 45% अंक मिले और वह 15 अंक से अनुत्तीर्ण रहा। अधिकतम अंक 400 हैं। उत्तीर्ण होने के लिए कितने प्रतिशत अंक चाहिए?

बदलाव और मूल राशि

मध्यमपहले खुद करके देखें

₹ 1,000 की कीमत पहले 20% बढ़ी और फिर 10% घटी। अंतिम कीमत क्या है?

मध्यमपहले खुद करके देखें

25% छूट के बाद एक जैकेट ₹ 1,200 की मिली। उसकी अंकित कीमत क्या थी?

मध्यमपहले खुद करके देखें

18% बिक्री-कर समेत एक सामान का बिल ₹ 2,360 आया। कर से पहले उसकी कीमत क्या थी?

मध्यमपहले खुद करके देखें

एक संख्या को पहले 20% बढ़ाया और फिर 20% घटाया, तो 480 मिला। मूल संख्या क्या थी?

मध्यमपहले खुद करके देखें

40,000 की जनसंख्या वाला एक कस्बा हर साल 5% की दर से बढ़ता है। दो साल बाद जनसंख्या कितनी होगी?

मध्यमपहले खुद करके देखें

किसी संस्थान की फ़ीस ₹ 12,000 से बढ़कर ₹ 13,800 हुई। अगली बार भी उतने ही प्रतिशत की वृद्धि हो तो फ़ीस कितनी होगी?

अनुपात और श्रृंखला

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A, B का 30% है और B, C का 40% है। A, C का कितना प्रतिशत है?

मध्यमपहले खुद करके देखें

एक कक्षा में 80 विद्यार्थी हैं, जिनमें 35% लड़कियाँ हैं। लड़कों में से 25% एक दिन अनुपस्थित रहे। उस दिन कितने लड़के उपस्थित थे?

मध्यमपहले खुद करके देखें

तीन पर्चों में अंक: 90 में से 72, 75 में से 63 और 60 में से 54। कुल मिलाकर कितने प्रतिशत अंक मिले?

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एक चुनाव में प्रत्याशी A को वैध मतों का 48% मिला और बाकी B को। B 1,600 मतों से जीता। वैध मत कितने थे?

समूह और मिश्रण

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एक छात्रावास में 55% विद्यार्थी हिंदी पढ़ते हैं, 40% अंग्रेज़ी, और 15% दोनों। कितने प्रतिशत इनमें से कोई भी विषय नहीं पढ़ते?

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एक टंकी 60% भरी है। उसमें से मौजूदा पानी का 25% निकाल लिया गया। अब टंकी कितने प्रतिशत भरी है?

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48 किलो के 25% नमक वाले घोल में 12 किलो शुद्ध नमक और मिलाया गया। अब नमक कितने प्रतिशत है?

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अंकित कीमत लागत से 20% ऊपर रखी गई और फिर 10% छूट दी गई। लागत पर कितने प्रतिशत लाभ हुआ?

स्तर 3 — कठिन

कई कदम और चालाक सोच

प्रतियोगी परीक्षाओं के कठिन स्तर के प्रश्न।

ये प्रश्न सोचने में समय माँगते हैं। जल्दी न करें: पहले मान लीजिए 100, फिर कदम-दर-कदम चलिए।

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X का वेतन Y से 30% ज़्यादा है और Y का वेतन Z से 20% कम है। Z का वेतन ₹ 25,000 हो तो X का वेतन कितना है?

कठिनपहले खुद करके देखें

किसी वस्तु की कीमत 25% बढ़ गई। एक परिवार अपनी खपत इस तरह घटाता है कि उसका खर्च सिर्फ़ 10% बढ़े। खपत में कितने प्रतिशत की कमी की गई?

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एक वस्तु पर दो क्रमागत छूटें दी गईं — पहली 20%, दूसरी

x

%। दोनों मिलकर 28% की एक छूट के बराबर हैं।

x

क्या है?

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किसी शहर की जनसंख्या पहले साल 20% बढ़ी, दूसरे साल 10% घटी और तीसरे साल 25% बढ़ी। अब वह 13,500 है। शुरू में कितनी थी?

कई कदमों वाले परिवर्तन

कठिनपहले खुद करके देखें

एक आयताकार टंकी की लंबाई 10% बढ़ी, चौड़ाई 20% बढ़ी और ऊँचाई 25% घटी। आयतन में कितना परिवर्तन हुआ?

कठिनपहले खुद करके देखें

एक वस्तु की कीमत पहले 20% बढ़ी, फिर 20% घटी, फिर 20% बढ़ी। कुल प्रतिशत परिवर्तन क्या है?

कठिनपहले खुद करके देखें

एक वस्तु पर क्रम से 20%, 15% और 10% की छूट दी गई। अंकित कीमत ₹ 2,500 हो तो ग्राहक कितना चुकाएगा?

कठिनपहले खुद करके देखें

किसी माप में भुजा 5% अधिक नापी गई। वर्ग के क्षेत्रफल में प्रतिशत त्रुटि कितनी होगी?

उलटी दिशा में सोचना

कठिनपहले खुद करके देखें

एक कस्बे की जनसंख्या हर साल 10% बढ़ती है। आज वह 26,620 है। तीन साल पहले कितनी थी?

कठिनपहले खुद करके देखें

एक व्यापारी माल को लागत से 30% ऊपर अंकित करता है और 20% छूट देकर ₹ 1,040 में बेचता है। लागत क्या थी?

कठिनपहले खुद करके देखें

A का 20% = B का 30% = C का 40%। A : B : C क्या है?

अनुपात, मिश्रण और सीमाएँ

कठिनपहले खुद करके देखें

पहली संख्या दूसरी से 40% ज़्यादा है और दोनों का योग 360 है। छोटी संख्या क्या है?

कठिनपहले खुद करके देखें

प्रिया का वेतन राज से 20% कम है और दोनों का कुल वेतन ₹ 9,000 है। प्रिया का वेतन क्या है?

कठिनपहले खुद करके देखें

एक परीक्षा में 60% परीक्षार्थी उत्तीर्ण हुए और उत्तीर्णों में से 80% को प्रथम श्रेणी मिली। प्रथम श्रेणी वाले 288 थे। कुल परीक्षार्थी कितने थे?

कठिनपहले खुद करके देखें

40 लीटर के मिश्रण में 25% अल्कोहल है। उसमें से 10 लीटर मिश्रण निकालकर उतना ही पानी डाल दिया गया। अब अल्कोहल कितने प्रतिशत है?

कठिनपहले खुद करके देखें

60 किलो ताज़े आलू में 85% पानी है। उन्हें सुखाकर पानी 40% रह जाए तो उनका वज़न कितना होगा?

कठिनपहले खुद करके देखें

70% लोग चाय पसंद करते हैं और 80% कॉफ़ी। दोनों पसंद करने वाले कम से कम कितने प्रतिशत होंगे?

कठिनपहले खुद करके देखें

तीन व्यक्तियों के वेतन: A का वेतन B से 20% ज़्यादा है और B का वेतन C से 10% ज़्यादा है। C का वेतन ₹ 5,000 हो तो तीनों का कुल वेतन कितना है?

दोहराव — सूत्र कार्ड

पलटिए और खुद से पूछिए

हर कार्ड पर प्रश्न पढ़कर पहले अपने आप उत्तर सोचिए, फिर पलटिए।

सूत्र रटने से ज़्यादा काम की चीज़ है यह जानना कि कौन-सा सूत्र कब लगेगा। इसलिए हर कार्ड पर स्थिति पूछी गई है, सूत्र उसके पीछे है।

तीन आदतें जो हर सवाल बचाती हैं

1. आधार पहचानो2. गुणक लगाओ3. उत्तर की जाँच करो