नाव और धारा

प्रतियोगी गणित · समय, कार्य और दूरी

6 भाग3 हल किए उदाहरण33 अभ्यास प्रश्न

आप तैरना जानते हैं और शांत तालाब में 4 किमी/घंटा से तैर सकते हैं। अब मान लीजिए आप एक नदी में हैं जो 1 किमी/घंटा से बह रही है। बहाव के साथ तैरेंगे तो नदी आपको धक्का देगी — आपकी असल चाल $4 + 1 = 5$ किमी/घंटा। बहाव के विरुद्ध तैरेंगे तो नदी आपको पीछे खींचेगी — $4 - 1 = 3$ किमी/घंटा। इसी में इस अध्याय का सारा रहस्य है: शांत जल की चाल $x$ और धारा की चाल $y$ से दो चालें बनती हैं, और बाक़ी सब वही चाल-समय-दूरी है।

साथ : x + y, विरुद्ध : x - y, x = \frac{d + u}{2}, y = \frac{d - u}{2}

चार मूल बातें

दो चालें और उनसे चलने का समय

साथ = जोड़, विरुद्ध = घटाव

धारा के साथ / विरुद्ध चाल, उनसे शांत जल की चाल और धारा की चाल, और समय।

शब्दावली और सीधी गणना

शांत जल, धारा, साथ, विरुद्ध

नाव की चाल से अर्थ हमेशा शांत जल की चाल है, जब तक कुछ और न कहा जाए।

शांत जल: जिस पानी में बहाव नहीं (धारा की चाल शून्य)। धारा: बहता पानी, चाल $y$ ।
धारा के साथ (डाउनस्ट्रीम): चाल $d = x + y$ । धारा के विरुद्ध (अपस्ट्रीम): चाल $u = x - y$ ।
उलटकर: शांत जल की चाल $x = \frac{d + u}{2}$ और धारा $y = \frac{d - u}{2}$ ।
समय $= \frac{दूरी}{संबंधित चाल}$ — साथ जाते समय $d$ से, विरुद्ध जाते समय $u$ से भाग दीजिए।
जाँच: धारा नाव से तेज़ नहीं हो सकती, इसलिए $x > y$ और $u > 0$ ।

उदाहरण 1 · आसान

एक नाविक धारा के साथ 14 किमी/घंटा और धारा के विरुद्ध 8 किमी/घंटा की चाल से नाव खे सकता है। शांत जल में उसकी चाल और धारा की चाल?

हल, कदम-दर-कदम

1 $x = \frac{14 + 8}{2} = 11$ किमी/घंटा।
2 $y = \frac{14 - 8}{2} = 3$ किमी/घंटा (जाँच: $11 + 3 = 14$ , $11 - 3 = 8$ ✓)

उत्तर 11 और 3 किमी/घंटा

उदाहरण 2 · आसान

शांत जल में 15 किमी/घंटा की चाल वाली नाव 2 किमी/घंटा की धारा के विरुद्ध 104 किमी जाने में कितना समय लेगी?

हल, कदम-दर-कदम

1विरुद्ध चाल $= 15 - 2 = 13$ किमी/घंटा।
2समय $= \frac{104}{13} = 8$ घंटे

उत्तर 8 घंटे

उदाहरण 3 · मध्यम

एक नाव 72 किमी धारा के साथ 6 घंटे में और उतना ही धारा के विरुद्ध 9 घंटे में जाती है। शांत जल में नाव की चाल और धारा की चाल?

हल, कदम-दर-कदम

1साथ चाल $= \frac{72}{6} = 12$ ; विरुद्ध चाल $= \frac{72}{9} = 8$ किमी/घंटा।
2 $x = 10$ , $y = 2$ किमी/घंटा

उत्तर 10 और 2 किमी/घंटा

आसानपहले खुद करके देखें

एक नाव की शांत जल में चाल 6 किमी/घंटा और धारा की चाल 2 किमी/घंटा है। धारा के अनुकूल (बहाव की दिशा में) नाव की चाल?

आसानपहले खुद करके देखें

एक नाव की शांत जल में चाल 9 किमी/घंटा और धारा की चाल 4 किमी/घंटा है। धारा के अनुकूल (बहाव की दिशा में) नाव की चाल?

मध्यमपहले खुद करके देखें

एक नाव की शांत जल में चाल 14 किमी/घंटा और धारा की चाल 3 किमी/घंटा है। धारा के अनुकूल (बहाव की दिशा में) नाव की चाल?

आसानपहले खुद करके देखें

एक नाव की शांत जल में चाल 8 किमी/घंटा और धारा की चाल 3 किमी/घंटा है। धारा के विरुद्ध नाव की चाल?

आसानपहले खुद करके देखें

एक नाव की शांत जल में चाल 12 किमी/घंटा और धारा की चाल 5 किमी/घंटा है। धारा के विरुद्ध नाव की चाल?

मध्यमपहले खुद करके देखें

एक नाव की शांत जल में चाल 18 किमी/घंटा और धारा की चाल 7 किमी/घंटा है। धारा के विरुद्ध नाव की चाल?

आसानपहले खुद करके देखें

एक नाविक धारा के साथ 14 किमी/घंटा और धारा के विरुद्ध 8 किमी/घंटा की चाल से नाव खे सकता है। शांत जल में उसकी चाल?

आसानपहले खुद करके देखें

एक नाविक धारा के साथ 15 किमी/घंटा और धारा के विरुद्ध 9 किमी/घंटा की चाल से नाव खे सकता है। शांत जल में उसकी चाल?

मध्यमपहले खुद करके देखें

एक नाविक धारा के साथ 20 किमी/घंटा और धारा के विरुद्ध 12 किमी/घंटा की चाल से नाव खे सकता है। शांत जल में उसकी चाल?

मध्यमपहले खुद करके देखें

एक नाविक धारा के साथ 13 किमी/घंटा और धारा के विरुद्ध 7 किमी/घंटा की चाल से नाव खे सकता है। शांत जल में उसकी चाल?

कठिनपहले खुद करके देखें

एक नाविक धारा के साथ 22 किमी/घंटा और धारा के विरुद्ध 10 किमी/घंटा की चाल से नाव खे सकता है। शांत जल में उसकी चाल?

आसानपहले खुद करके देखें

एक नाविक धारा के साथ 16 किमी/घंटा और धारा के विरुद्ध 10 किमी/घंटा की चाल से नाव खे सकता है। धारा की चाल?

आसानपहले खुद करके देखें

एक नाविक धारा के साथ 18 किमी/घंटा और धारा के विरुद्ध 12 किमी/घंटा की चाल से नाव खे सकता है। धारा की चाल?

मध्यमपहले खुद करके देखें

एक नाविक धारा के साथ 19 किमी/घंटा और धारा के विरुद्ध 9 किमी/घंटा की चाल से नाव खे सकता है। धारा की चाल?

मध्यमपहले खुद करके देखें

एक नाविक धारा के साथ 21 किमी/घंटा और धारा के विरुद्ध 13 किमी/घंटा की चाल से नाव खे सकता है। धारा की चाल?

कठिनपहले खुद करके देखें

एक नाविक धारा के साथ 25 किमी/घंटा और धारा के विरुद्ध 15 किमी/घंटा की चाल से नाव खे सकता है। धारा की चाल?

आसानपहले खुद करके देखें

शांत जल में 12 किमी/घंटा की चाल वाली नाव 3 किमी/घंटा की धारा के साथ 90 किमी जाती है। उसे कितने घंटे लगेंगे?

आसानपहले खुद करके देखें

शांत जल में 18 किमी/घंटा की चाल वाली नाव 2 किमी/घंटा की धारा के साथ 120 किमी जाती है। उसे कितने घंटे लगेंगे?

मध्यमपहले खुद करके देखें

शांत जल में 15 किमी/घंटा की चाल वाली नाव 6 किमी/घंटा की धारा के विरुद्ध 81 किमी जाती है। उसे कितने घंटे लगेंगे?

मध्यमपहले खुद करके देखें

शांत जल में 14 किमी/घंटा की चाल वाली नाव 2 किमी/घंटा की धारा के विरुद्ध 96 किमी जाती है। उसे कितने घंटे लगेंगे?

कठिनपहले खुद करके देखें

शांत जल में 20 किमी/घंटा की चाल वाली नाव 5 किमी/घंटा की धारा के साथ 150 किमी जाती है। उसे कितने घंटे लगेंगे?

कठिनपहले खुद करके देखें

शांत जल में 17 किमी/घंटा की चाल वाली नाव 2 किमी/घंटा की धारा के विरुद्ध 105 किमी जाती है। उसे कितने घंटे लगेंगे?

आसानपहले खुद करके देखें

एक नाव 96 किमी धारा के साथ 6 घंटे में और उतना ही धारा के विरुद्ध 12 घंटे में चलती है। शांत जल में नाव की चाल?

मध्यमपहले खुद करके देखें

एक नाव 90 किमी धारा के साथ 5 घंटे में और उतना ही धारा के विरुद्ध 9 घंटे में चलती है। धारा की चाल?

मध्यमपहले खुद करके देखें

एक नाव 84 किमी धारा के साथ 6 घंटे में और उतना ही धारा के विरुद्ध 12 घंटे में चलती है। शांत जल में नाव की चाल?

कठिनपहले खुद करके देखें

एक नाव 120 किमी धारा के साथ 8 घंटे में और उतना ही धारा के विरुद्ध 15 घंटे में चलती है। धारा की चाल?

कठिनपहले खुद करके देखें

एक नाव 54 किमी धारा के साथ 3 घंटे में और उतना ही धारा के विरुद्ध 6 घंटे में चलती है। शांत जल में नाव की चाल?

कठिनपहले खुद करके देखें

एक नाव 100 किमी धारा के साथ 5 घंटे में और उतना ही धारा के विरुद्ध 10 घंटे में चलती है। धारा की चाल?

मध्यमपहले खुद करके देखें

एक नाव धारा के साथ 18 किमी 36 मिनट में और धारा के विरुद्ध 18 किमी 45 मिनट में चलती है। शांत जल में चाल?

मध्यमपहले खुद करके देखें

एक नाव धारा के साथ 10 किमी 30 मिनट में और धारा के विरुद्ध 10 किमी 40 मिनट में चलती है। धारा की चाल?

कठिनपहले खुद करके देखें

एक नाव धारा के साथ 3 किमी 10 मिनट में और धारा के विरुद्ध 8 किमी 60 मिनट में चलती है। धारा की चाल?

कठिनपहले खुद करके देखें

एक नाव धारा के साथ 9 किमी 18 मिनट में और धारा के विरुद्ध 6 किमी 30 मिनट में चलती है। शांत जल में चाल?

कठिनपहले खुद करके देखें

एक नाव धारा के साथ 5 किमी 12 मिनट में और धारा के विरुद्ध 5 किमी 20 मिनट में चलती है। धारा की चाल?

समय और चाल के अनुपात

दूरी समान ⟹ चाल उलटे समय की

जब "कितने गुना समय" या समय का अनुपात दिया हो, तो साथ और विरुद्ध चालों का अनुपात मिलता है।

$n$ गुना समय और अनुपात

x = a \frac{n + 1}{n - 1}

अनुपात से दो चालें $nk$ और $k$ मानिए; उनके योग/अंतर से $x$ और $y$ ।

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जाना-लौटना और दो समीकरण

कुल समय, अंतर और

x^{2} - y^{2}

किसी स्थान तक जाने और लौटने का कुल समय, उसकी औसत चाल, और दो स्थितियों से दो अज्ञात।

जाना-लौटना

\frac{D}{x + y} + \frac{D}{x - y} = T

जाने में साथ की और लौटने में विरुद्ध की चाल (या उलटा); दोनों के समय जोड़िए।

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जाल और तेज़ चालें

गलतियाँ · तरकीबें

नाव-धारा में अंक कहाँ कटते हैं।

सबसे आम गलतियाँ

छह जाल

जिन गलतियों पर अंक कटते हैं।

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तेज़ चालें

योग-अंतर और अनुपात

जल्दी हल करने की आदतें।

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अभ्यास की सीढ़ी

आसान → मध्यम → कठिन

हर प्रकार के नए प्रश्न, तीन स्तरों में।

स्तर 1 — आसान

सीधे नियम

एक नियम वाले प्रश्न।

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स्तर 2 — मध्यम

दो विचारों का मेल

परीक्षा-स्तर के प्रश्न।

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स्तर 3 — कठिन

कई कदम और चालाक सोच

प्रतियोगी परीक्षाओं के कठिन स्तर के प्रश्न।

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दोहराव — सूत्र कार्ड

पलटिए और खुद से पूछिए

हर कार्ड का प्रश्न पढ़कर पहले खुद सोचिए, फिर पलटिए।

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नाव और धारा

दो चालें और उनसे चलने का समय

शब्दावली और सीधी गणना

समय और चाल के अनुपात

$n$ गुना समय और अनुपात

जाना-लौटना और दो समीकरण

जाना-लौटना

जाल और तेज़ चालें

सबसे आम गलतियाँ

तेज़ चालें

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