दौड़ और कौशल के खेल

प्रतियोगी गणित · समय, कार्य और दूरी

7 भाग3 हल किए उदाहरण18 अभ्यास प्रश्न

स्कूल की 100 मीटर दौड़ में अगर आप सबसे तेज़ हैं और आपका दोस्त धीमा, तो उसे बराबरी के लिए थोड़ा आगे से दौड़ने दिया जाता है — इसे स्टार्ट कहते हैं। अगर आप 100 मीटर दौड़ें और वह केवल 80 मीटर, तो मतलब आपने उसे 20 मीटर का स्टार्ट दिया। दौड़ के सारे प्रश्न इसी बात पर टिके हैं: एक ही समय में दो प्रतियोगी कितनी-कितनी दूरी तय करते हैं। उनकी चालों का अनुपात वही है जो उनकी तय की गई दूरियों का अनुपात — जब तक दोनों बराबर समय दौड़े हों।

\frac{v _{A}}{v _{B}} = \frac{d _{A}}{d _{B}} (बराबर समय में), A जीते \Rightarrow d_{A} = L, d_{B} = L - हार का अंतर

दौड़ का मूल सूत्र

स्टार्ट और दौड़ की लंबाई

कुल लंबाई − स्टार्ट

जिसे स्टार्ट मिला उसकी दौड़ की लंबाई घटती है; अंकों के खेल में हारने वाले के अंक।

शब्दावली और सीधे प्रश्न

स्टार्ट, हार का अंतर, डेड हीट

स्टार्ट, फिनिशिंग पॉइंट, विजेता, डेड हीट और अंकों का खेल।

**A, B को $x$ मी का स्टार्ट देता है:** A पूरी $L$ मी दौड़ता है, B केवल $(L - x)$ मी।
**A, B को $x$ मी से हराता है:** जब A फिनिश लाइन पर पहुँचता है, B उससे $x$ मी पीछे है — यानी B ने $(L - x)$ मी दौड़े।
डेड हीट: दोनों एक ही क्षण पर फिनिश करें; हार का अंतर शून्य।
** $N$ अंकों का खेल:** जो पहले $N$ अंक बना ले वह जीतता है। A ने $N$ और B ने $b$ बनाए तो A, B को $(N - b)$ अंक दे सकता है।

उदाहरण 1 · आसान

400 मी की दौड़ में A, B को 15 मी का स्टार्ट देता है। B को कितना दौड़ना होगा?

हल, कदम-दर-कदम

1B की दौड़ $= 400 - 15$ ।
2 $= 385$ मी

उत्तर 385 मी

उदाहरण 2 · आसान

एक दौड़ में P, Q को 40 मी का स्टार्ट देता है, जिससे Q के लिए दौड़ 260 मी रह जाती है। दौड़ की कुल लंबाई?

हल, कदम-दर-कदम

1Q की दौड़ $=$ कुल $-$ स्टार्ट।
2कुल $= 260 + 40 = 300$ मी

उत्तर 300 मी

उदाहरण 3 · आसान

120 अंकों के खेल में A, 120 अंक बनाता है जबकि B केवल 85। A, B को कितने अंक दे सकता है?

हल, कदम-दर-कदम

1A दे सकता है $120 - 85$ अंक।
2 $= 35$ अंक

उत्तर 35 अंक

आसानपहले खुद करके देखें

400 मी की दौड़ में A, B को 15 मी की बढ़त (स्टार्ट) देता है। B को कितनी दूरी दौड़नी होगी?

आसानपहले खुद करके देखें

200 मी की दौड़ में A, B को 30 मी की बढ़त (स्टार्ट) देता है। B को कितनी दूरी दौड़नी होगी?

मध्यमपहले खुद करके देखें

800 मी की दौड़ में A, B को 45 मी की बढ़त (स्टार्ट) देता है। B को कितनी दूरी दौड़नी होगी?

मध्यमपहले खुद करके देखें

1000 मी की दौड़ में A, B को 120 मी की बढ़त (स्टार्ट) देता है। B को कितनी दूरी दौड़नी होगी?

कठिनपहले खुद करके देखें

500 मी की दौड़ में A, B को 35 मी की बढ़त (स्टार्ट) देता है। B को कितनी दूरी दौड़नी होगी?

आसानपहले खुद करके देखें

एक दौड़ में P, Q को 40 मी का स्टार्ट देता है, जिससे Q के लिए दौड़ की लंबाई 260 मी रह जाती है। दौड़ की कुल लंबाई?

आसानपहले खुद करके देखें

एक दौड़ में P, Q को 15 मी का स्टार्ट देता है, जिससे Q के लिए दौड़ की लंबाई 185 मी रह जाती है। दौड़ की कुल लंबाई?

मध्यमपहले खुद करके देखें

एक दौड़ में P, Q को 60 मी का स्टार्ट देता है, जिससे Q के लिए दौड़ की लंबाई 440 मी रह जाती है। दौड़ की कुल लंबाई?

कठिनपहले खुद करके देखें

एक दौड़ में P, Q को 75 मी का स्टार्ट देता है, जिससे Q के लिए दौड़ की लंबाई 325 मी रह जाती है। दौड़ की कुल लंबाई?

आसानपहले खुद करके देखें

400 मी की दौड़ में M, N को कुछ स्टार्ट देता है और N के लिए दौड़ 360 मी की रह जाती है। N को कितना स्टार्ट मिला?

मध्यमपहले खुद करके देखें

500 मी की दौड़ में M, N को कुछ स्टार्ट देता है और N के लिए दौड़ 455 मी की रह जाती है। N को कितना स्टार्ट मिला?

मध्यमपहले खुद करके देखें

1000 मी की दौड़ में M, N को कुछ स्टार्ट देता है और N के लिए दौड़ 880 मी की रह जाती है। N को कितना स्टार्ट मिला?

कठिनपहले खुद करके देखें

600 मी की दौड़ में M, N को कुछ स्टार्ट देता है और N के लिए दौड़ 540 मी की रह जाती है। N को कितना स्टार्ट मिला?

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100 अंकों के खेल में A 100 अंक बनाता है जबकि B केवल 72 अंक बना पाता है। A, B को कितने अंक दे सकता है?

आसानपहले खुद करके देखें

120 अंकों के खेल में A 120 अंक बनाता है जबकि B केवल 85 अंक बना पाता है। A, B को कितने अंक दे सकता है?

मध्यमपहले खुद करके देखें

80 अंकों के खेल में A 80 अंक बनाता है जबकि B केवल 53 अंक बना पाता है। A, B को कितने अंक दे सकता है?

मध्यमपहले खुद करके देखें

150 अंकों के खेल में A 150 अंक बनाता है जबकि B केवल 98 अंक बना पाता है। A, B को कितने अंक दे सकता है?

कठिनपहले खुद करके देखें

60 अंकों के खेल में A 60 अंक बनाता है जबकि B केवल 41 अंक बना पाता है। A, B को कितने अंक दे सकता है?

हार का अंतर: दूरी और समय

हारने वाले की चाल से जोड़िए

"x मी या T सेकंड से हराया" से समय निकालना, चाल निकालना और स्टार्ट देकर भी जीतना।

हार का अंतर, डेड हीट और चाल का अनुपात

B को

x

मी चलने में

T

सेकंड

जीतने वाले के फिनिश पर हारने वाला जितना पीछे है, उसे तय करने का समय ही समय का अंतर है।

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तीन प्रतियोगी और अंकों के खेल

अनुपातों की श्रृंखला

A पहले दो को हराए तो उन दोनों की आपसी स्थिति; अलग-अलग लंबाई की दौड़ें और अंकों का खेल।

A, B, C की श्रृंखला

जब A दौड़ता है

L

एक ही समय बिंदु पर तीनों की दूरियाँ लिखकर आपसी अनुपात बनाइए।

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गोल रास्ता, ओवरटेक और विजय-स्तंभ

बढ़त और बराबरी की शर्त

गोल रास्ते पर पार करने की गिनती, घड़ी में पकड़ना और बराबरी पर पहुँचाने वाली दूरी।

मिले-जुले प्रश्न

चक्कर, घड़ी और विजय-स्तंभ

हर पूरे चक्कर की बढ़त पर एक ओवरटेक; दोनों साथ पहुँचें तो समय समान।

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जाल और तेज़ चालें

गलतियाँ · तरकीबें

दौड़ के प्रश्नों में अंक कहाँ कटते हैं।

सबसे आम गलतियाँ

छह जाल

जिन गलतियों पर अंक कटते हैं।

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तेज़ चालें

एक ही क्षण की तस्वीर

जल्दी हल करने की आदतें।

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अभ्यास की सीढ़ी

आसान → मध्यम → कठिन

हर प्रकार के नए प्रश्न, तीन स्तरों में।

स्तर 1 — आसान

सीधे नियम

एक नियम वाले प्रश्न।

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स्तर 2 — मध्यम

दो विचारों का मेल

परीक्षा-स्तर के प्रश्न।

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स्तर 3 — कठिन

कई कदम और चालाक सोच

प्रतियोगी परीक्षाओं के कठिन स्तर के प्रश्न।

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दोहराव — सूत्र कार्ड

पलटिए और खुद से पूछिए

हर कार्ड का प्रश्न पढ़कर पहले खुद सोचिए, फिर पलटिए।

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दौड़ और कौशल के खेल

स्टार्ट और दौड़ की लंबाई

शब्दावली और सीधे प्रश्न

हार का अंतर: दूरी और समय

हार का अंतर, डेड हीट और चाल का अनुपात

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