घड़ी और कैलेंडर

प्रतियोगी गणित · समय, कार्य और दूरी

5 भाग8 हल किए उदाहरण69 अभ्यास प्रश्न

घड़ी असल में दो रेस लगाते धावक हैं। मिनट की सुई 60 मिनट में एक पूरा चक्कर लगाती है, जबकि घंटे की सुई 12 घंटे में एक चक्कर। इसलिए मिनट की सुई हर घंटे घंटे की सुई से 55 मिनट-खाने आगे निकल जाती है — और सुइयों से जुड़े लगभग हर प्रश्न का उत्तर इसी "बढ़त" से निकलता है। कैलेंडर में बात उलटी है: दिन हर 7 दिन बाद दोहराते हैं, इसलिए हमें बस यह देखना होता है कि 7 से भाग देने पर कितना शेष बचता है — उसे ही विषम दिन कहते हैं।

मिनट की सुई : 6^{\circ} / मिनट, घंटे की सुई : 0. 5^{\circ} / मिनट, विषम दिन = दिन mod 7

दोनों भागों की चाबी

घड़ी की सुइयाँ

कोण, मेल और बढ़त

सुइयों के बीच का कोण, कब मिलती / समकोण / विपरीत होती हैं, और तेज़-धीमी घड़ी।

कोण और गति

6^{\circ}

और

0. 5^{\circ}

प्रति मिनट

हर मिनट मिनट की सुई $6^{\circ}$ और घंटे की सुई $0. 5^{\circ}$ घूमती है; कोण = इनका अंतर।

θ = 30 h - \frac{11}{2} m (यदि > 18 0^{\circ}, 36 0^{\circ} - θ)

h

बजकर

m

मिनट पर सुइयों के बीच कोण

घड़ी के चेहरे में 12 घंटे के निशान और 60 मिनट के निशान। एक घंटे का निशान $3 0^{\circ}$ है और एक मिनट का निशान $6^{\circ}$ ।
घंटे की सुई 12 से: $30 h + 0.5 m$ अंश। मिनट की सुई 12 से: $6 m$ अंश।
दोनों का अंतर लीजिए; यदि $18 0^{\circ}$ से बड़ा हो तो $36 0^{\circ}$ में से घटाइए (हम छोटा कोण माँगते हैं)।
12 घंटे में सुइयाँ: 11 बार मिलती हैं, 22 बार समकोण पर और 11 बार विपरीत दिशा में; एक दिन में दोगुना।

उदाहरण 1 · आसान

घड़ी में 7:20 बजे सुइयों के बीच का कोण?

हल, कदम-दर-कदम

1घंटे की सुई $= 30 \times 7 + 0.5 \times 20 = 22 0^{\circ}$ ; मिनट की सुई $= 6 \times 20 = 12 0^{\circ}$ ।
2अंतर $= 10 0^{\circ}$

उत्तर 100°

उदाहरण 2 · मध्यम

घड़ी में 3:50 बजे सुइयों के बीच का (छोटा) कोण?

हल, कदम-दर-कदम

1घंटे की सुई $= 90 + 25 = 11 5^{\circ}$ ; मिनट की सुई $= 30 0^{\circ}$ ; अंतर $= 18 5^{\circ}$ ।
2 $185 > 180$ इसलिए $360 - 185 = 17 5^{\circ}$

उत्तर 175°

आसानपहले खुद करके देखें

घड़ी में 7:20 बजे घंटे की सुई और मिनट की सुई के बीच कितने अंश का कोण होगा?

आसानपहले खुद करके देखें

घड़ी में 2:40 बजे घंटे की सुई और मिनट की सुई के बीच कितने अंश का कोण होगा?

मध्यमपहले खुद करके देखें

घड़ी में 5:45 बजे घंटे की सुई और मिनट की सुई के बीच कितने अंश का कोण होगा?

मध्यमपहले खुद करके देखें

घड़ी में 10:10 बजे घंटे की सुई और मिनट की सुई के बीच कितने अंश का कोण होगा?

मध्यमपहले खुद करके देखें

घड़ी में 1:35 बजे घंटे की सुई और मिनट की सुई के बीच कितने अंश का कोण होगा?

कठिनपहले खुद करके देखें

घड़ी में 8:16 बजे घंटे की सुई और मिनट की सुई के बीच कितने अंश का कोण होगा?

कठिनपहले खुद करके देखें

घड़ी में 11:25 बजे घंटे की सुई और मिनट की सुई के बीच कितने अंश का कोण होगा?

कठिनपहले खुद करके देखें

घड़ी में 6:05 बजे घंटे की सुई और मिनट की सुई के बीच कितने अंश का कोण होगा?

कठिनपहले खुद करके देखें

घड़ी में 3:50 बजे घंटे की सुई और मिनट की सुई के बीच कितने अंश का कोण होगा?

आसानपहले खुद करके देखें

घड़ी की मिनट की सुई 10 मिनट में कितने अंश घूमती है?

आसानपहले खुद करके देखें

घड़ी की घंटे की सुई 40 मिनट में कितने अंश घूमती है?

मध्यमपहले खुद करके देखें

घड़ी की मिनट की सुई 25 मिनट में कितने अंश घूमती है?

मध्यमपहले खुद करके देखें

घड़ी की घंटे की सुई 90 मिनट में कितने अंश घूमती है?

कठिनपहले खुद करके देखें

घड़ी की घंटे की सुई 48 मिनट में कितने अंश घूमती है?

आसानपहले खुद करके देखें

एक ही दिन 7:25 am से 7:48 pm तक कितना समय बीतता है?

मध्यमपहले खुद करके देखें

एक ही दिन 5:50 am से 5:15 pm तक कितना समय बीतता है?

मध्यमपहले खुद करके देखें

एक ही दिन 9:08 am से 9:56 pm तक कितना समय बीतता है?

कठिनपहले खुद करके देखें

एक ही दिन 4:35 am से 1:10 pm तक कितना समय बीतता है?

कठिनपहले खुद करके देखें

एक ही दिन 10:05 am से 10:50 pm तक कितना समय बीतता है?

सुइयाँ कब मिलेंगी

n

और

n + 1

बजे के बीच

मेल, समकोण, विपरीत और $x$ खाने की दूरी — सब "बढ़त" से हल होते हैं।

मेल : \frac{60 n}{11} मिनट बाद, बढ़त = \frac{60}{55} \times (खाने)

n

बजे के बाद

$n$ बजे घंटे की सुई $5 n$ मिनट-खाने पर और मिनट की सुई 12 पर होती है — अंतर $5 n$ खाने।
जिस स्थिति के लिए दूरी चाहिए (साथ: 0, समकोण: 15, विपरीत: 30, $x$ खाने: $x$ ), उतनी दूरी बनाने के लिए मिनट की सुई को कितने खाने की बढ़त चाहिए — वह निकालिए।
मिनट की सुई 60 मिनट में 55 खाने बढ़त लेती है ⟹ $g$ खाने के लिए $\frac{60}{55} \times g = \frac{12 g}{11}$ मिनट।
उत्तर " $n$ बजकर ... मिनट" के रूप में लिखिए।

उदाहरण 3 · मध्यम

4 और 5 बजे के बीच किस समय घड़ी की दोनों सुइयाँ एक साथ होंगी?

हल, कदम-दर-कदम

14 बजे अंतर $= 20$ खाने। मिनट की सुई को $20$ खाने की बढ़त चाहिए।
2समय $= \frac{60}{55} \times 20 = \frac{240}{11} = 21 \frac{9}{11}$ मिनट ⟹ 4 बजकर $21 \frac{9}{11}$ मिनट

उत्तर 4 बजकर $21 \frac{9}{11}$ मिनट

उदाहरण 4 · मध्यम

2 और 3 बजे के बीच किस समय सुइयाँ विपरीत दिशाओं में होंगी?

हल, कदम-दर-कदम

12 बजे अंतर $= 10$ खाने; विपरीत के लिए मिनट की सुई को $30 + 10 = 40$ खाने की बढ़त चाहिए।
2समय $= \frac{60}{55} \times 40 = \frac{480}{11} = 43 \frac{7}{11}$ मिनट ⟹ 2 बजकर $43 \frac{7}{11}$ मिनट

उत्तर 2 बजकर $43 \frac{7}{11}$ मिनट

उदाहरण 5 · मध्यम

6 और 7 बजे के बीच कब सुइयाँ पहली बार समकोण पर होंगी?

हल, कदम-दर-कदम

16 बजे मिनट की सुई घंटे की सुई से $30$ खाने पीछे। समकोण के लिए $15$ खाने की दूरी चाहिए ⟹ बढ़त $= 30 - 15 = 15$ खाने।
2समय $= \frac{60}{55} \times 15 = 16 \frac{4}{11}$ मिनट ⟹ 6 बजकर $16 \frac{4}{11}$ मिनट

उत्तर 6 बजकर $16 \frac{4}{11}$ मिनट

आसानपहले खुद करके देखें

घड़ी में 2 और 3 बजे के बीच किस समय दोनों सुइयाँ एक साथ (एक ही जगह) होंगी?

आसानपहले खुद करके देखें

घड़ी में 5 और 6 बजे के बीच किस समय दोनों सुइयाँ एक साथ (एक ही जगह) होंगी?

मध्यमपहले खुद करके देखें

घड़ी में 6 और 7 बजे के बीच किस समय दोनों सुइयाँ एक साथ (एक ही जगह) होंगी?

मध्यमपहले खुद करके देखें

घड़ी में 7 और 8 बजे के बीच किस समय दोनों सुइयाँ एक साथ (एक ही जगह) होंगी?

मध्यमपहले खुद करके देखें

घड़ी में 8 और 9 बजे के बीच किस समय दोनों सुइयाँ एक साथ (एक ही जगह) होंगी?

कठिनपहले खुद करके देखें

घड़ी में 9 और 10 बजे के बीच किस समय दोनों सुइयाँ एक साथ (एक ही जगह) होंगी?

कठिनपहले खुद करके देखें

घड़ी में 10 और 11 बजे के बीच किस समय दोनों सुइयाँ एक साथ (एक ही जगह) होंगी?

आसानपहले खुद करके देखें

घड़ी में 1 और 2 बजे के बीच किस समय दोनों सुइयाँ ठीक विपरीत दिशाओं में (एक सीधी रेखा में, पर साथ नहीं) होंगी?

मध्यमपहले खुद करके देखें

घड़ी में 4 और 5 बजे के बीच किस समय दोनों सुइयाँ ठीक विपरीत दिशाओं में (एक सीधी रेखा में, पर साथ नहीं) होंगी?

मध्यमपहले खुद करके देखें

घड़ी में 7 और 8 बजे के बीच किस समय दोनों सुइयाँ ठीक विपरीत दिशाओं में (एक सीधी रेखा में, पर साथ नहीं) होंगी?

कठिनपहले खुद करके देखें

घड़ी में 8 और 9 बजे के बीच किस समय दोनों सुइयाँ ठीक विपरीत दिशाओं में (एक सीधी रेखा में, पर साथ नहीं) होंगी?

कठिनपहले खुद करके देखें

घड़ी में 9 और 10 बजे के बीच किस समय दोनों सुइयाँ ठीक विपरीत दिशाओं में (एक सीधी रेखा में, पर साथ नहीं) होंगी?

कठिनपहले खुद करके देखें

घड़ी में 10 और 11 बजे के बीच किस समय दोनों सुइयाँ ठीक विपरीत दिशाओं में (एक सीधी रेखा में, पर साथ नहीं) होंगी?

कठिनपहले खुद करके देखें

घड़ी में 11 और 12 बजे के बीच किस समय दोनों सुइयाँ ठीक विपरीत दिशाओं में (एक सीधी रेखा में, पर साथ नहीं) होंगी?

मध्यमपहले खुद करके देखें

घड़ी में 4 और 5 बजे के बीच पहली बार किस समय दोनों सुइयाँ समकोण (90°) पर होंगी?

मध्यमपहले खुद करके देखें

घड़ी में 4 और 5 बजे के बीच दूसरी बार किस समय दोनों सुइयाँ समकोण (90°) पर होंगी?

मध्यमपहले खुद करके देखें

घड़ी में 5 और 6 बजे के बीच पहली बार किस समय दोनों सुइयाँ समकोण (90°) पर होंगी?

कठिनपहले खुद करके देखें

घड़ी में 6 और 7 बजे के बीच दूसरी बार किस समय दोनों सुइयाँ समकोण (90°) पर होंगी?

कठिनपहले खुद करके देखें

घड़ी में 8 और 9 बजे के बीच पहली बार किस समय दोनों सुइयाँ समकोण (90°) पर होंगी?

कठिनपहले खुद करके देखें

घड़ी में 9 और 10 बजे के बीच पहली बार किस समय दोनों सुइयाँ समकोण (90°) पर होंगी?

कठिनपहले खुद करके देखें

घड़ी में 10 और 11 बजे के बीच पहली बार किस समय दोनों सुइयाँ समकोण (90°) पर होंगी?

मध्यमपहले खुद करके देखें

घड़ी में 2 और 3 बजे के बीच पहली बार किस समय दोनों सुइयाँ 3 मिनट-खाने की दूरी पर होंगी?

मध्यमपहले खुद करके देखें

घड़ी में 5 और 6 बजे के बीच पहली बार किस समय दोनों सुइयाँ 10 मिनट-खाने की दूरी पर होंगी?

मध्यमपहले खुद करके देखें

घड़ी में 6 और 7 बजे के बीच पहली बार किस समय दोनों सुइयाँ 5 मिनट-खाने की दूरी पर होंगी?

कठिनपहले खुद करके देखें

घड़ी में 8 और 9 बजे के बीच पहली बार किस समय दोनों सुइयाँ 12 मिनट-खाने की दूरी पर होंगी?

कठिनपहले खुद करके देखें

घड़ी में 9 और 10 बजे के बीच पहली बार किस समय दोनों सुइयाँ 8 मिनट-खाने की दूरी पर होंगी?

कठिनपहले खुद करके देखें

घड़ी में 10 और 11 बजे के बीच पहली बार किस समय दोनों सुइयाँ 20 मिनट-खाने की दूरी पर होंगी?

कठिनपहले खुद करके देखें

घड़ी में 4 और 5 बजे के बीच पहली बार किस समय दोनों सुइयाँ 6 मिनट-खाने की दूरी पर होंगी?

मध्यमपहले खुद करके देखें

2:00 am से 8:00 am के बीच (सिरों को छोड़कर) घड़ी की दोनों सुइयाँ कितनी बार एक साथ (मिलती) होती हैं?

मध्यमपहले खुद करके देखें

4:00 am से 10:00 am के बीच (सिरों को छोड़कर) घड़ी की दोनों सुइयाँ कितनी बार समकोण पर होती हैं?

कठिनपहले खुद करके देखें

1:00 am से 7:00 am के बीच (सिरों को छोड़कर) घड़ी की दोनों सुइयाँ कितनी बार विपरीत दिशा में होती हैं?

कठिनपहले खुद करके देखें

1:00 am से 11:00 am के बीच (सिरों को छोड़कर) घड़ी की दोनों सुइयाँ कितनी बार एक साथ (मिलती) होती हैं?

कठिनपहले खुद करके देखें

5:00 am से 11:00 am के बीच (सिरों को छोड़कर) घड़ी की दोनों सुइयाँ कितनी बार समकोण पर होती हैं?

तेज़ और धीमी घड़ी

घड़ी के मिनट बनाम सही मिनट

सही घड़ी में सुइयाँ हर $65 \frac{5}{11}$ मिनट में मिलती हैं; इसी से आगे/पीछे का अंदाज़ा।

सही घड़ी: सुइयाँ हर $\frac{720}{11} = 65 \frac{5}{11}$ मिनट में मिलती हैं। दूसरी घड़ी में यदि वे सही समय के हर $x$ मिनट में मिलें, तो एक दिन में बढ़त / कमी $= \frac{1440 ( 720/11 - x )}{x}$ मिनट; $x < 65 \frac{5}{11}$ ⟹ आगे, $x >$ ⟹ पीछे।
**घड़ी 24 घंटे में $g$ मिनट आगे हो तो:** घड़ी के $1440 + g$ मिनट = सही $1440$ मिनट। घड़ी के दिखाए $D$ मिनट पर सही समय $= D \times \frac{1440}{1440 + g}$ ।
**घड़ी पहले $a$ मिनट पीछे और $T$ घंटे बाद $b$ मिनट आगे हो:** कुल बढ़त $a + b$ ; सही होने का समय $= T \times \frac{a}{a + b}$ ।

उदाहरण 6 · मध्यम

किसी घड़ी में मिनट की सुई सही समय के हर 66 मिनट पर घंटे की सुई को पार करती है। यह घड़ी एक दिन में कितना आगे या पीछे होती है?

हल, कदम-दर-कदम

1 $66 > 65 \frac{5}{11}$ ⟹ घड़ी पीछे है। सही घड़ी में $\frac{720}{11}$ , यहाँ $66$ ।
2दिन में कमी $= 1440 \times \frac{66 - 720/11}{66} = 1440 \times \frac{6/11}{66} = \frac{1440}{121} = 11 \frac{109}{121}$ मिनट

उत्तर पीछे, $11 \frac{109}{121}$ मिनट

उदाहरण 7 · मध्यम

एक घड़ी सुबह 6:00 बजे सही मिलाई गई। वह 24 घंटे में 60 मिनट आगे हो जाती है। जब घड़ी अगले दिन सुबह 7:00 बजे दिखाए, तब सही समय क्या है?

हल, कदम-दर-कदम

1घड़ी का $1500$ मिनट = सही $1440$ मिनट। घड़ी ने $25$ घंटे $= 1500$ मिनट दिखाए।
2सही समय बीता $= 1440$ मिनट $= 24$ घंटे ⟹ अगले दिन 6:00 बजे सुबह

उत्तर 6:00 पूर्वाह्न

उदाहरण 8 · कठिन

एक घड़ी एक समान गति से आगे बढ़ती है। सोमवार को 8:00 बजे सुबह वह 4 मिनट पीछे थी और 6 दिन बाद उसी समय पर 8 मिनट आगे हो गई। वह कब बिल्कुल सही थी?

हल, कदम-दर-कदम

16 दिन में बढ़त $= 4 + 8 = 12$ मिनट। 4 मिनट की बढ़त में समय $= 144 \times \frac{4}{12} = 48$ घंटे।
2सोमवार 8:00 पूर्वाह्न $+$ 2 दिन $=$ बुधवार 8:00 पूर्वाह्न

उत्तर बुधवार, 8:00 पूर्वाह्न

मध्यमपहले खुद करके देखें

किसी घड़ी की मिनट की सुई, घंटे की सुई को सही समय के हर 60 मिनट बाद पार करती है। यह घड़ी एक दिन में कितना आगे या पीछे हो जाती है?

मध्यमपहले खुद करके देखें

किसी घड़ी की मिनट की सुई, घंटे की सुई को सही समय के हर 80 मिनट बाद पार करती है। यह घड़ी एक दिन में कितना आगे या पीछे हो जाती है?

मध्यमपहले खुद करके देखें

किसी घड़ी की मिनट की सुई, घंटे की सुई को सही समय के हर 90 मिनट बाद पार करती है। यह घड़ी एक दिन में कितना आगे या पीछे हो जाती है?

कठिनपहले खुद करके देखें

किसी घड़ी की मिनट की सुई, घंटे की सुई को सही समय के हर 100 मिनट बाद पार करती है। यह घड़ी एक दिन में कितना आगे या पीछे हो जाती है?

कठिनपहले खुद करके देखें

किसी घड़ी की मिनट की सुई, घंटे की सुई को सही समय के हर 50 मिनट बाद पार करती है। यह घड़ी एक दिन में कितना आगे या पीछे हो जाती है?

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किसी घड़ी की मिनट की सुई, घंटे की सुई को सही समय के हर 72 मिनट बाद पार करती है। यह घड़ी एक दिन में कितना आगे या पीछे हो जाती है?

मध्यमपहले खुद करके देखें

एक घड़ी 6:00 am पर बिल्कुल सही मिलाई गई। वह 24 घंटे में 60 मिनट आगे हो जाती है। जब घड़ी 7:00 am दिखाती है, तब सही समय क्या होगा?

मध्यमपहले खुद करके देखें

एक घड़ी 7:00 am पर बिल्कुल सही मिलाई गई। वह 24 घंटे में 40 मिनट पीछे हो जाती है। जब घड़ी 6:00 pm दिखाती है, तब सही समय क्या होगा?

कठिनपहले खुद करके देखें

एक घड़ी 8:00 am पर बिल्कुल सही मिलाई गई। वह 24 घंटे में 120 मिनट आगे हो जाती है। जब घड़ी 9:00 pm दिखाती है, तब सही समय क्या होगा?

कठिनपहले खुद करके देखें

एक घड़ी 9:00 am पर बिल्कुल सही मिलाई गई। वह 24 घंटे में 120 मिनट पीछे हो जाती है। जब घड़ी 8:00 pm दिखाती है, तब सही समय क्या होगा?

कठिनपहले खुद करके देखें

एक घड़ी 10:00 am पर बिल्कुल सही मिलाई गई। वह 24 घंटे में 40 मिनट आगे हो जाती है। जब घड़ी 11:00 pm दिखाती है, तब सही समय क्या होगा?

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एक घड़ी 5:00 am पर बिल्कुल सही मिलाई गई। वह 24 घंटे में 10 मिनट आगे हो जाती है। जब घड़ी 3:00 pm दिखाती है, तब सही समय क्या होगा?

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एक घड़ी एक समान गति से आगे बढ़ती है। सोमवार को 8:00 am पर वह 4 मिनट पीछे थी और 6 दिन बाद उसी समय पर 8 मिनट आगे हो गई। वह किस दिन और समय पर बिल्कुल सही थी?

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एक घड़ी एक समान गति से आगे बढ़ती है। बुधवार को 7:00 am पर वह 5 मिनट पीछे थी और 6 दिन बाद उसी समय पर 15 मिनट आगे हो गई। वह किस दिन और समय पर बिल्कुल सही थी?

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एक घड़ी एक समान गति से आगे बढ़ती है। शुक्रवार को 9:00 am पर वह 6 मिनट पीछे थी और 7 दिन बाद उसी समय पर 12 मिनट आगे हो गई। वह किस दिन और समय पर बिल्कुल सही थी?

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एक घड़ी एक समान गति से आगे बढ़ती है। रविवार को 6:00 am पर वह 3 मिनट पीछे थी और 4 दिन बाद उसी समय पर 9 मिनट आगे हो गई। वह किस दिन और समय पर बिल्कुल सही थी?

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एक घड़ी एक समान गति से आगे बढ़ती है। मंगलवार को 10:00 am पर वह 2 मिनट पीछे थी और 5 दिन बाद उसी समय पर 10 मिनट आगे हो गई। वह किस दिन और समय पर बिल्कुल सही थी?

कैलेंडर

अधिवर्ष, विषम दिन और वार

अधिवर्ष का नियम, विषम दिन, किसी भी तारीख़ का वार और कब कैलेंडर दोहराता है।

अधिवर्ष और विषम दिन

7 से भाग का शेष

सामान्य वर्ष में 1 और अधिवर्ष में 2 विषम दिन; सौ वर्ष में 5, चार सौ वर्ष में 0।

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किसी तारीख़ का वार

बीच के दिन गिनिए, 7 से शेष

कोई वार-तारीख़ दी हो तो दूसरी का वार; और बिना किसी दी हुई तारीख़ के सीधे वार।

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जाल और तेज़ चालें

गलतियाँ · तरकीबें

घड़ी-कैलेंडर में अंक कहाँ कटते हैं।

सबसे आम गलतियाँ

छह जाल

जिन गलतियों पर अंक कटते हैं।

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तेज़ चालें

सूत्र और जाँच

जल्दी हल करने की आदतें।

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अभ्यास की सीढ़ी

आसान → मध्यम → कठिन

हर प्रकार के नए प्रश्न, तीन स्तरों में।

स्तर 1 — आसान

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स्तर 2 — मध्यम

दो विचारों का मेल

परीक्षा-स्तर के प्रश्न।

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कई कदम और चालाक सोच

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पलटिए और खुद से पूछिए

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