साधारण और दशमलव भिन्न

हर दिन के हिसाब में — आधा किलो, सवा लीटर, ₹12.50 — हम भिन्न और दशमलव ही इस्तेमाल करते हैं। परीक्षा में इनके सवाल अकेले भी आते हैं और हर दूसरे अध्याय (प्रतिशत, ब्याज, औसत) में भी। इस अध्याय में आप सीखेंगे कि भिन्न क्या है, उसे दशमलव में कैसे बदलें, आवर्ती दशमलव का क्या करें, और चारों संक्रियाएँ तेज़ी से कैसे करें।

1

भिन्नों के प्रकार

साधारण और दशमलव

साधारण भिन्न और दशमलव भिन्न के सभी नाम, और कौन-सी भिन्न सांत दशमलव बनाती है।

साधारण भिन्न

अंश, हर और उनके प्रकार

भिन्न के हिस्से, उचित-अनुचित-मिश्रित भिन्न, समतुल्य भिन्नें और व्युत्क्रम।

किसी वस्तु के बराबर हिस्सों में बाँटने पर जो भाग हमारे पास हों, उन्हें $\frac{अंश}{हर}$ से लिखते हैं। हर बताता है कि पूरे को कितने बराबर हिस्सों में बाँटा गया; अंश बताता है कि उनमें से कितने हिस्से लिए गए। $\frac{3}{8}$ का अर्थ: पूरे के 8 बराबर हिस्से किए, उनमें से 3 लिए।

प्रकार	पहचान	उदाहरण
उचित भिन्न	अंश < हर (मान 1 से कम)	$\frac{5}{9}$
अनुचित भिन्न	अंश ≥ हर (मान 1 या अधिक)	$\frac{17}{5}$
मिश्रित भिन्न	पूर्ण संख्या + उचित भिन्न	$3 \frac{2}{5}$
समान हर वाली	हर बराबर	$\frac{2}{7}, \frac{5}{7}$
असमान हर वाली	हर अलग-अलग	$\frac{2}{3}, \frac{5}{7}$
समतुल्य भिन्नें	अंश-हर को एक ही संख्या से गुणा / भाग	$\frac{2}{3} = \frac{4}{6} = \frac{10}{15}$

मिश्रित → अनुचित: $3 \frac{2}{5} = \frac{3 \times 5 + 2}{5} = \frac{17}{5}$ (पूर्ण × हर + अंश)।
अनुचित → मिश्रित: $\frac{17}{5}$ : 17 ÷ 5 = 3 शेष 2 → $3 \frac{2}{5}$ ।
व्युत्क्रम (reciprocal): $\frac{a}{b}$ का व्युत्क्रम $\frac{b}{a}$ ; भिन्न × उसका व्युत्क्रम = 1।

उदाहरण 1 · आसान

4 \frac{3}{7}

को अनुचित भिन्न में और

\frac{59}{8}

को मिश्रित भिन्न में बदलिए।

हल, कदम-दर-कदम

1पहली: (4 × 7 + 3) ÷ 7 = 31/7।
2दूसरी: 59 ÷ 8 = 7 शेष 3 → $7 \frac{3}{8}$ ।

उत्तर $\frac{31}{7}$ और $7 \frac{3}{8}$

आसानपहले खुद करके देखें

\frac{38}{7}

को मिश्रित भिन्न में लिखिए।

आसानपहले खुद करके देखें

9 \frac{4}{6}

को अनुचित भिन्न में लिखिए।

मध्यमपहले खुद करके देखें

\frac{85}{12}

को मिश्रित भिन्न में लिखिए।

मध्यमपहले खुद करके देखें

7 \frac{5}{9}

को अनुचित भिन्न में लिखिए।

दशमलव भिन्न और सांत-आवर्ती

कौन-सी भिन्न कब रुकती है

दशमलव भिन्न क्या है, और भिन्न का दशमलव रूप सांत होगा या आवर्ती — यह पहले से कैसे पता करें।

जिस भिन्न का हर 10, 100, 1000 … हो, उसे दशमलव भिन्न कहते हैं और बिंदु (.) लगाकर लिखते हैं: $\frac{35}{100} = 0.35$ । बिंदु के बाद पहला स्थान दसवाँ (1/10), दूसरा सौवाँ (1/100), तीसरा हज़ारवाँ (1/1000) …

प्रकार	मतलब	उदाहरण
सांत दशमलव	कुछ अंकों के बाद ख़त्म	$\frac{3}{8} = 0.375$
शुद्ध आवर्ती	बिंदु के तुरंत बाद से अंक दोहराए	$\frac{1}{3} = 0. \overline{3}$ , $\frac{4}{11} = 0. \overline{36}$
मिश्र आवर्ती	कुछ अंक एक बार, फिर दोहराव	$\frac{1}{6} = 0.1 \overline{6}$

याद रखेंपहचान का नियम: भिन्न को सरलतम रूप में लाइए। यदि हर के अभाज्य गुणनखंडों में केवल 2 और/या 5 हों तो दशमलव सांत है; कोई और अभाज्य (3, 7, 11 …) हो तो आवर्ती।

उदाहरण 2 · मध्यम

\frac{7}{40}

और

\frac{5}{12}

में कौन-सी भिन्न सांत दशमलव देती है? उसका दशमलव रूप लिखिए।

हल, कदम-दर-कदम

140 = 2³ × 5 → केवल 2 और 5 → सांत।
212 = 2² × 3 → 3 है → आवर्ती।
3 $\frac{7}{40} = 0.175$ (7 ÷ 40 करने पर)।

उत्तर $\frac{7}{40} = 0.175$

आसानपहले खुद करके देखें

इनमें कौन-सी भिन्न का दशमलव रूप सांत (अंत वाला) होगा?

आसानपहले खुद करके देखें

इनमें कौन-सी भिन्न का दशमलव रूप सांत (अंत वाला) होगा?

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इनमें कौन-सी भिन्न का दशमलव रूप सांत (अंत वाला) होगा?

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इनमें कौन-सी भिन्न का दशमलव रूप सांत (अंत वाला) होगा?

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इनमें कौन-सी भिन्न का दशमलव रूप सांत (अंत वाला) होगा?

2

रूप बदलना

भिन्न ↔ दशमलव ↔ आवर्ती

भिन्न से दशमलव, दशमलव से भिन्न और आवर्ती दशमलव से साधारण भिन्न बनाना।

भिन्न और सांत दशमलव

अंश ÷ हर और

1 0 ^{k}

भिन्न को दशमलव में (भाग से) और सांत दशमलव को भिन्न में (10 की घात से) बदलना।

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आवर्ती दशमलव से भिन्न

नौ और शून्य वाला हर

दोहराए जाने वाले अंकों से तुरंत भिन्न बनाने का नियम।

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3

चारों संक्रियाएँ

जोड़ · घटाव · गुणा · भाग

साधारण भिन्नों और दशमलव पर चारों संक्रियाएँ, और हर में सबसे आसान रास्ता।

साधारण भिन्नों की संक्रियाएँ

हर बराबर करना, आड़ा काटना, उलटकर गुणा

जोड़-घटाव में हर बराबर कीजिए, गुणा में सीधे अंश-अंश और हर-हर, भाग में भाजक उलटिए।

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दशमलव की संक्रियाएँ

बिंदु के स्थान गिनना

जोड़-घटाव में बिंदु सीध में, गुणा में कुल दशमलव स्थान गिनना, भाग में भाजक को पूर्ण संख्या बनाना।

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4

भिन्नों की तुलना

कौन बड़ी, कौन छोटी

भिन्नों को बड़े-छोटे के क्रम में रखने के चार तरीके और उनमें से सबसे तेज़ चुनना।

तुलना के चार तरीके

आड़ा गुणा · बराबर हर · बराबर अंश · दशमलव

हर स्थिति में सबसे तेज़ तरीका कौन-सा है।

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क्रम में रखना

आरोही और अवरोही

तीन या चार भिन्नों को छोटे से बड़े (या उलटे) क्रम में रखना।

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5

शब्द-प्रश्न

भिन्न और दशमलव के उपयोग

“का” का मतलब गुणा, “शेष” का मतलब घटाव — भिन्न वाले शब्द-प्रश्नों का एक ही ढाँचा।

भिन्न का भाग और शेष

“का” = गुणा, “शेष” = घटाव

किसी राशि का भिन्न भाग निकालना, उल्टा सवाल (भाग से पूरा) और क्रमशः लगने वाले भिन्न।

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दशमलव वाले शब्द-प्रश्न

क़ीमत, माप और टुकड़े

रुपये-पैसे, किलो-ग्राम और मीटर वाले दशमलव सवाल।

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6

तरीका चुनना, जाल और तेज़ चालें

संकेत · जाल · चालें

कौन-सी स्थिति में कौन-सा तरीका, सबसे आम गलतियाँ और कुछ तेज़ चालें।

सबसे आम गलतियाँ

छह जाल

भिन्न-दशमलव में गलतियाँ अक्सर लापरवाही से होती हैं।

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तेज़ चालें

श्रृंखला का कटना और ऊँची संख्याएँ

कुछ ऐसे पैटर्न जिनमें लंबा हिसाब छोटा हो जाता है।

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7

अभ्यास की सीढ़ी

आसान → मध्यम → कठिन

हर प्रकार के नए प्रश्न, तीन स्तरों में।

स्तर 1 — आसान

सीधे नियम

एक नियम वाले प्रश्न।

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स्तर 2 — मध्यम

दो विचारों का मेल

परीक्षा-स्तर के प्रश्न।

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स्तर 3 — कठिन

कई कदम और चालाक सोच

प्रतियोगी परीक्षाओं के कठिन स्तर के प्रश्न।

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8

दोहराव — सूत्र कार्ड

पलटिए और खुद से पूछिए

हर कार्ड का प्रश्न पढ़कर पहले खुद सोचिए, फिर पलटिए।

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भिन्नों के प्रकार

साधारण भिन्न

दशमलव भिन्न और सांत-आवर्ती

रूप बदलना

भिन्न और सांत दशमलव

आवर्ती दशमलव से भिन्न

चारों संक्रियाएँ

साधारण भिन्नों की संक्रियाएँ

दशमलव की संक्रियाएँ

भिन्नों की तुलना

तुलना के चार तरीके

क्रम में रखना

शब्द-प्रश्न

भिन्न का भाग और शेष

दशमलव वाले शब्द-प्रश्न

तरीका चुनना, जाल और तेज़ चालें

सबसे आम गलतियाँ

तेज़ चालें

अभ्यास की सीढ़ी

स्तर 1 — आसान

स्तर 2 — मध्यम

स्तर 3 — कठिन

दोहराव — सूत्र कार्ड

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