औसत

कक्षा के पाँच बच्चों के पास 12, 15, 18, 20 और 25 कंचे हैं। अगर सब मिलाकर बराबर बाँट दें तो हर बच्चे के हिस्से में $\frac{12 + 15 + 18 + 20 + 25}{5} = 18$ कंचे आएँगे। यही उनका औसत है — वह एक संख्या जो पूरे समूह का “प्रतिनिधि” हो। परीक्षा में औसत का हर सवाल इसी एक विचार पर टिका है: कुल = औसत × गिनती।

औसत = \frac{सभी का योग}{संख्याओं की गिनती} ⟺ कुल = औसत \times गिनती

याद रखने का सूत्र

1

औसत के गुण

परिभाषा · गुण · जोड़ने-गुणा करने का असर

औसत कहाँ पड़ता है, और अगर सब संख्याओं में कुछ जोड़ा या उन्हें गुणा किया जाए तो औसत का क्या होता है।

औसत निकालना

योग ÷ गिनती

औसत के चार सीधे गुण और छूटी संख्या निकालना।

औसत हमेशा सबसे छोटी और सबसे बड़ी संख्या के बीच में होता है। 12, 15, 25 का औसत 17.33 — 12 से बड़ा, 25 से छोटा।
सब संख्याएँ बराबर हों तो औसत भी वही संख्या है: 7, 7, 7, 7 का औसत 7।
शून्य भी गिना जाता है। 4, 8, 0 का औसत $\frac{12}{3} = 4$ है, $\frac{12}{2} = 6$ नहीं।
औसत और गिनती मालूम हो तो कुल मालूम: कुल = औसत × गिनती — इसी से बाक़ी सारे सूत्र बनते हैं।

उदाहरण 1 · आसान

चार दिनों में एक दुकानदार की बिक्री ₹4,200, ₹3,850, ₹5,100 और ₹4,650 रही। औसत दैनिक बिक्री क्या है?

हल, कदम-दर-कदम

1योग $= 4200 + 3850 + 5100 + 4650 = 17800$ ।
2औसत $= \frac{17800}{4} = 4450$

उत्तर ₹4,450

उदाहरण 2 · मध्यम

सात संख्याओं का औसत 24 है। पहली छह संख्याएँ 18, 22, 25, 31, 20 और 27 हैं। सातवीं संख्या कौन-सी है?

हल, कदम-दर-कदम

1कुल $= 7 \times 24 = 168$ ।
2छह का योग $= 143$ ⟹ सातवीं $= 168 - 143 = 25$

उत्तर 25

आसानपहले खुद करके देखें

14, 22, 18, 26, 30 का औसत क्या है?

आसानपहले खुद करके देखें

7.5, 9.5, 12, 11 का औसत क्या है?

मध्यमपहले खुद करके देखें

248, 305, 192, 221, 284, 260 का औसत क्या है?

आसानपहले खुद करके देखें

5 संख्याओं का औसत 15 है। उनमें से 4 संख्याएँ 12, 16, 14, 18 हैं। शेष संख्या कौन-सी है?

मध्यमपहले खुद करके देखें

6 संख्याओं का औसत 38 है। उनमें से 5 संख्याएँ 36, 41, 29, 44, 38 हैं। शेष संख्या कौन-सी है?

कठिनपहले खुद करके देखें

7 संख्याओं का औसत 80 है। उनमें से 6 संख्याएँ 82, 76, 91, 68, 79, 85 हैं। शेष संख्या कौन-सी है?

सबमें जोड़ने या गुणा करने पर

औसत पर वही संक्रिया

हर संख्या में जो भी जोड़ें, घटाएँ, गुणा करें या भाग दें — औसत पर वही असर पड़ता है।

हर संख्या पर	औसत पर
$a$ जोड़ें	$a$ जुड़ता है
$a$ घटाएँ	$a$ घटता है
$a$ से गुणा	$a$ से गुणा
$a$ से भाग	$a$ से भाग

उदाहरण 3 · मध्यम

आठ संख्याओं का औसत 15 है। हर संख्या को 4 से गुणा करके फिर उसमें 3 जोड़ा जाए तो नया औसत क्या होगा?

हल, कदम-दर-कदम

14 से गुणा: औसत $15 \times 4 = 60$ ।
2फिर 3 जोड़ें: $60 + 3 = 63$

उत्तर 63

आसानपहले खुद करके देखें

10 संख्याओं का औसत 24 है। यदि हर संख्या में 6 जोड़ दिया जाए, तो नया औसत क्या होगा?

आसानपहले खुद करके देखें

12 संख्याओं का औसत 35 है। यदि हर संख्या में से 8 घटा दिया जाए, तो नया औसत क्या होगा?

मध्यमपहले खुद करके देखें

15 संख्याओं का औसत 18 है। यदि हर संख्या को 5 से गुणा कर दिया जाए, तो नया औसत क्या होगा?

मध्यमपहले खुद करके देखें

9 संख्याओं का औसत 96 है। यदि हर संख्या को 4 से भाग दे दिया जाए, तो नया औसत क्या होगा?

2

श्रेणियों का औसत

बिना जोड़े औसत

प्राकृत, सम, विषम संख्याओं, वर्ग-घन और बराबर अंतर वाली श्रेणियों का सीधा औसत।

पहली $n$ संख्याओं का औसत

छह सूत्र

प्राकृत, सम, विषम, वर्ग, घन और किसी संख्या के गुणजों का औसत।

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बराबर अंतर वाली श्रेणी

औसत = (पहला + अंतिम) ÷ 2

जब पद बराबर अंतर पर हों तो औसत पहले और अंतिम पद का औसत होता है।

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3

भारित औसत

दो या अधिक समूहों का मिला-जुला औसत

जब हर समूह में अलग गिनती हो तो औसतों का सीधा औसत नहीं, कुल ÷ कुल गिनती।

दो समूहों का मिला हुआ औसत

पहले हर समूह का कुल

समूहों के कुल जोड़कर कुल गिनती से भाग दीजिए।

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हिस्सा हटाने पर और पास / फेल

कुल में से हिस्सा घटाइए

कुल का औसत और एक हिस्से का औसत दिया हो तो बाक़ी का औसत; और पास-फेल की संख्या।

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4

औसत में बदलाव

जोड़ना · हटाना · बदलना · आयु

कोई संख्या जुड़े, हटे या बदले तो औसत कैसे बदलता है — और उसी से वह संख्या निकालना।

जोड़ना, हटाना और बदलना

कुल का बदलाव = औसत का बदलाव × गिनती

तीनों स्थितियों में कुल का बदलाव निकालना काम का है।

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औसत आयु

समय के साथ बदलना

हर सदस्य की आयु साथ-साथ बढ़ती है, इसलिए औसत भी उतना ही बढ़ता है; कोई आए या जाए तो कुल सुधारिए।

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5

औसत चाल

कुल दूरी ÷ कुल समय

चालों का साधारण औसत नहीं — दूरी और समय का हिसाब।

औसत चाल के तीन रूप

समान दूरी · समान समय

दो, तीन बराबर दूरियों पर और बराबर समयों पर औसत चाल।

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6

जाल और तेज़ चालें

गलतियाँ · समय बचाना

औसत में अंक कैसे कटते हैं और जल्दी कैसे हल करें।

सबसे आम गलतियाँ

छह जाल

जिन गलतियों पर अंक कटते हैं।

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तेज़ चालें

मान लीजिए · विचलन · जोड़ी

लंबे जोड़ से बचाने वाली चालें।

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7

अभ्यास की सीढ़ी

आसान → मध्यम → कठिन

हर प्रकार के नए प्रश्न, तीन स्तरों में।

स्तर 1 — आसान

सीधे नियम

एक नियम वाले प्रश्न।

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स्तर 2 — मध्यम

दो विचारों का मेल

परीक्षा-स्तर के प्रश्न।

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स्तर 3 — कठिन

कई कदम और चालाक सोच

प्रतियोगी परीक्षाओं के कठिन स्तर के प्रश्न।

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8

दोहराव — सूत्र कार्ड

पलटिए और खुद से पूछिए

हर कार्ड का प्रश्न पढ़कर पहले खुद सोचिए, फिर पलटिए।

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औसत के गुण

औसत निकालना

सबमें जोड़ने या गुणा करने पर

श्रेणियों का औसत

पहली $n$ संख्याओं का औसत

बराबर अंतर वाली श्रेणी

भारित औसत

दो समूहों का मिला हुआ औसत

हिस्सा हटाने पर और पास / फेल

औसत में बदलाव

जोड़ना, हटाना और बदलना

औसत आयु

औसत चाल

औसत चाल के तीन रूप

जाल और तेज़ चालें

सबसे आम गलतियाँ

तेज़ चालें

अभ्यास की सीढ़ी

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