बीजगणितीय सर्वसमिकाएँ

SSC CGL · CHSL · CPO — विधि-दर-विधि

5 भाग33 हल किए उदाहरण92 अभ्यास प्रश्न

सर्वसमिका वह बराबरी है जो अक्षरों के हर मान पर सही रहती है। $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$ सर्वसमिका है: $a = 3, b = 4$ रखें तो दोनों ओर 49; $a = - 5, b = 0.5$ रखें तो दोनों ओर 20.25। जबकि $x + 3 = 5$ समीकरण है: वह केवल $x = 2$ पर सही है।

∑ सूत्र

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}, (a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}, a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

तीन सबसे ज़रूरी सर्वसमिकाएँ

$a, b$: कोई भी दो संख्याएँ या व्यंजक (जैसे $3 x$ और $2 y$ )

परीक्षा में सर्वसमिकाएँ चार काम करती हैं: (1) बड़ा गुणा-भाग छोटा बनाना (जैसे $9 7^{2}$ या $53 \times 47$ ); (2) अक्षरों वाला व्यंजक बिना अक्षर खोले उसका मान निकालना ( $a + b$ और $ab$ दिए हों तो $a^{3} + b^{3}$ ); (3) गुणनखंड और सरलीकरण; (4) “न्यूनतम मान”, “पूर्ण वर्ग” और “कुछ शून्य हो तो क्या सिद्ध होता है” जैसे प्रश्न। इस अध्याय में इन्हें एक-एक विधि करके सीखेंगे — पहले दो अक्षर, फिर तीन अक्षर, फिर शर्त वाले प्रश्न, अंत में गुणनखंड और अधिकतम-न्यूनतम।

जाँचने की आदतएक आदत जो पूरे अध्याय में काम आएगी: कोई भी सर्वसमिका याद करने के बाद उसमें

a = 2, b = 1

जैसे छोटे मान रखकर जाँच लीजिए। जाँच में दो मिनट लगते हैं और गलत सूत्र पकड़ में आ जाता है (आख़िरी भाग में इसकी पूरी विधि है)।

भाग 1: दो अक्षर

वर्ग · घन · योग-गुणनफल

$a$ और $b$ वाली सर्वसमिकाएँ: वर्ग, $a^{2} - b^{2}$ , योग-गुणनफल, घन, घन बनाने की चाल और बहुपद का मान।

दो अक्षरों की सर्वसमिकाएँ आगे की हर चीज़ की नींव हैं। इन्हें समझकर सीखिए, रटकर नहीं।

योग और अंतर का वर्ग

(a \pm b)^{2}

और तेज़ वर्ग

$(a + b)^{2}$ और $(a - b)^{2}$ क्यों बनते हैं, खोलना, पूर्ण वर्ग पहचानना और संख्याओं के तेज़ वर्ग।

विचार

$(a + b)^{2}$ का मतलब है $(a + b) \times (a + b)$ , यानी ऐसे वर्ग का क्षेत्रफल जिसकी भुजा $a + b$ है। उस वर्ग को $a$ पर काटिए: ऊपर-बाएँ $a \times a$ का वर्ग, नीचे-दाएँ $b \times b$ का छोटा वर्ग, और बीच के दो बराबर आयत, हर एक $a \times b$ का। चारों टुकड़ों का क्षेत्रफल जोड़ने पर पूरा क्षेत्रफल मिलता है। इसलिए बीच का पद दो बार $ab$ है, एक बार नहीं।

◭ चित्र

एक रंग = एक टुकड़ा: नीला

a^{2}

, हरे दो आयत

ab

ab

, केसरिया

b^{2}

$(a - b)^{2}$ के लिए $b$ की जगह $- b$ रख दीजिए। $a^{2}$ और $b^{2}$ वैसे ही रहते हैं (क्योंकि $(- b)^{2} = b^{2}$ ), पर बीच का $2 ab$ अब $2 a (- b) = - 2 ab$ हो जाता है।

∑ सूत्र

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}, (a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

वर्ग की दो सर्वसमिकाएँ

$a, b$: कोई भी दो संख्याएँ या व्यंजक
$2 ab$: बीच का पद: पहले और दूसरे का गुणनफल, दोगुना

तेज़ वर्ग: किसी भी संख्या को “गोल संख्या $\pm$ छोटी दूरी” में तोड़िए। जैसे $98 = 100 - 2$ , तो $9 8^{2} = 10000 - 400 + 4 = 9604$ । 5 पर समाप्त संख्या: $(10 k + 5)^{2} = 100 k^{2} + 100 k + 25 = 100 k (k + 1) + 25$ । यानी दहाई के अंक $k$ को $k + 1$ से गुणा कीजिए और पीछे 25 लगा दीजिए: $3 5^{2}$ : $3 \times 4 = 12$ , उत्तर 1225।

पहचानइसका प्रयोग तब कीजिए जब कोई संख्या या कोष्ठक का वर्ग हो, कोई संख्या 100, 1000 या 50 के पास हो, या प्रश्न में “पूर्ण वर्ग” शब्द आए।

कदम

दोनों पद पहचानिए और उनके बीच का चिह्न देखिए: $a$ और $\pm b$ ।
पहले पद का वर्ग लिखिए (गुणांक का भी वर्ग!)।
दोनों पदों का गुणनफल निकालकर 2 से गुणा कीजिए; चिह्न वही जो कोष्ठक में था।
दूसरे पद का वर्ग हमेशा $+$ के साथ लिखिए।

उदाहरण 1 · आसान

19 7^{2}

का मान गोल संख्या की मदद से निकालिए।

हल, कदम-दर-कदम

1 $197 = 200 - 3$ है, इसलिए $a = 200$ और $b = 3$ ; चिह्न घटाव का है।
2 $a^{2} = 40000$ , $2 ab = 2 \times 200 \times 3 = 1200$ , $b^{2} = 9$ ।
3 $(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2} = 40000 - 1200 + 9 = 38809$ ।

उत्तर 38,809

लंबे गुणा से जाँचें:

197 \times 197 = 38809

✓.

उदाहरण 2 · मध्यम

(4 x - 5 y)^{2}

को खोलिए।

हल, कदम-दर-कदम

1 $a = 4 x$ , $b = 5 y$ , चिह्न घटाव का। सूत्र: $a^{2} - 2 ab + b^{2}$ ।
2 $a^{2} = (4 x)^{2} = 16 x^{2}$ (4 का भी वर्ग हुआ), $b^{2} = (5 y)^{2} = 25 y^{2}$ ।
3 $2 ab = 2 \times 4 x \times 5 y = 40 x y$ , और चिह्न घटाव का है।
4उत्तर: $16 x^{2} - 40 x y + 25 y^{2}$ ।

उत्तर $16 x^{2} - 40 x y + 25 y^{2}$

जाँच:

x = 1, y = 1

रखिए: बायाँ

(4 - 5)^{2} = 1

; दायाँ

16 - 40 + 25 = 1

✓.

उदाहरण 3 · मध्यम

9 x^{2} + k x + 16

पूर्ण वर्ग है।

k

के दोनों संभव मान बताइए।

हल, कदम-दर-कदम

1पूर्ण वर्ग का रूप $(a x \pm b)^{2} = a^{2} x^{2} \pm 2 ab x + b^{2}$ है।
2 $a^{2} = 9$ से $a = 3$ और $b^{2} = 16$ से $b = 4$ ।
3 $k = \pm 2 ab = \pm 2 \times 3 \times 4 = \pm 24$ । दोनों चिह्न चलते हैं: $(3 x + 4)^{2}$ और $(3 x - 4)^{2}$ ।

उत्तर $k = 24$ / $k = - 24$

जाल: प्रश्न में “

k > 0

” न हो तो दोनों चिह्न लिखिए।

उदाहरण 4 · कठिन

सरल कीजिए:

(2 x + 3)^{2} - (2 x - 3)^{2}

।

हल, कदम-दर-कदम

1दोनों को खोलिए: $(2 x + 3)^{2} = 4 x^{2} + 12 x + 9$ और $(2 x - 3)^{2} = 4 x^{2} - 12 x + 9$ ।
2घटाइए: $4 x^{2}$ और $9$ कट जाते हैं; $12 x - (- 12 x) = 24 x$ बचता है।
3बिना खोले भी: $(a + b)^{2} - (a - b)^{2} = 4 ab = 4 \times 2 x \times 3 = 24 x$ ।

उत्तर $24 x$

यह 4ab वाला सूत्र आगे बार-बार आएगा।

उदाहरण 5 · कठिन

8 5^{2}

और

2.3 5^{2}

बिना लंबे गुणा के निकालिए।

हल, कदम-दर-कदम

1 $85 = 10 \times 8 + 5$ , यानी $k = 8$ । $k (k + 1) = 8 \times 9 = 72$ ; उसके पीछे 25: $8 5^{2} = 7225$ ।
2 $2.35 = \frac{235}{100}$ , इसलिए पहले $23 5^{2}$ लीजिए: $k = 23$ , $23 \times 24 = 552$ , तो $23 5^{2} = 55225$ ।
3दो दशमलव स्थान का वर्ग = 4 दशमलव स्थान: $2.3 5^{2} = 5.5225$ ।

उत्तर $7225$ ; $5.5225$

(2.35)^{2} = \frac{23 5 ^{2}}{10 0 ^{2}}

— गिनिए, दशमलव बिंदु

2 + 2 = 4

स्थान बाएँ।

अभ्यास

आसानपहले खुद करके देखें

10 3^{2}

का मान निकालिए।

आसानपहले खुद करके देखें

4 8^{2}

का मान निकालिए।

मध्यमपहले खुद करके देखें

1, 00 4^{2}

का मान निकालिए।

मध्यमपहले खुद करके देखें

49 7^{2}

का मान निकालिए।

आसानपहले खुद करके देखें

ऐसी संख्या का वर्ग जो 5 पर समाप्त होती है:

6 5^{2}

।

मध्यमपहले खुद करके देखें

ऐसी संख्या का वर्ग जो 5 पर समाप्त होती है:

14 5^{2}

।

आसानपहले खुद करके देखें

(2 x + 3 y)^{2}

को खोलिए।

आसानपहले खुद करके देखें

(5 x - y)^{2}

को खोलिए।

मध्यमपहले खुद करके देखें

(7 x - 4 y)^{2}

को खोलिए।

मध्यमपहले खुद करके देखें

25 x^{2} + k x + 36

पूर्ण वर्ग है और

k > 0

।

k

का मान निकालिए।

मध्यमपहले खुद करके देखें

36 x^{2} - 84 x + ?

को पूर्ण वर्ग बनाने के लिए अंतिम पद क्या होना चाहिए?

कठिनपहले खुद करके देखें

सरल कीजिए:

(5 x + 3 y)^{2} - (5 x - 3 y)^{2}

।

कठिनपहले खुद करके देखें

यदि

y^{2} + 16 y = 20

है, तो

(y + 8)^{2}

का मान ज्ञात कीजिए।

कठिनपहले खुद करके देखें

81 x^{2} + k x + 4

पूर्ण वर्ग है और

k > 0

।

k

का मान निकालिए।

वर्गों का अंतर

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

दो वर्गों के अंतर का गुणनखंड, बराबर दूरी वाले गुणनफल, और $a^{4} - b^{4}$ जैसे विस्तार।

विचार

$a \times a$ के वर्ग का एक कोना काट दीजिए: $b \times b$ का छोटा वर्ग। जो बचा, वह L-आकार है और उसका क्षेत्रफल $a^{2} - b^{2}$ है। अब L को दो आयतों में काटिए और ऊपर वाले आयत को घुमाकर दाईं ओर लगा दीजिए: एक लंबा आयत बन जाता है जिसकी लंबाई $a + b$ और चौड़ाई $a - b$ है। दोनों का क्षेत्रफल बराबर है, इसलिए $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ ।

◭ चित्र

केसरिया टुकड़ा घूमता है; नीला टुकड़ा वहीं रहता है; धराशायी वर्ग वह कोना है जो काटा गया था

∑ सूत्र

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

वर्गों का अंतर

$a, b$: कोई भी दो संख्याएँ या व्यंजक
$a + b, a - b$: उनका योग और उनका अंतर

इसे दोनों तरफ़ पढ़ा जा सकता है। बाएँ से दाएँ: अंतर को गुणनफल में बदलिए (गुणनखंड), जैसे $x^{2} - 49 = (x + 7) (x - 7)$ । दाएँ से बाएँ: बराबर दूरी वाली दो संख्याओं का गुणनफल: $47 \times 53 = (50 - 3) (50 + 3) = 2500 - 9 = 2347$ । इसके दो और काम: $n^{2} - (n - 1)^{2} = 2 n - 1$ और $(a + b)^{2} - (a - b)^{2} = 4 ab$ ।

∑ सूत्र

a^{4} - b^{4} = (a^{2} + b^{2}) (a + b) (a - b), (a - b) (a + b) (a^{2} + b^{2}) (a^{4} + b^{4}) = a^{8} - b^{8}

बार-बार लगाने पर

$a^{2} + b^{2}$: यह खुद आगे नहीं टूटता (वास्तविक संख्याओं में)

पहचानपहचान: दो पद, दोनों पूर्ण वर्ग, बीच में घटाव। “

a^{2} + b^{2}

” का ऐसा कोई गुणनखंड नहीं होता — जोड़ वाला रूप इस सूत्र में नहीं आता।

कदम

हर पद का वर्गमूल निकालिए (संख्याओं का भी): ये $a$ और $b$ हैं।
$(a + b)$ और $(a - b)$ लिखिए।
संख्याओं के गुणनफल वाले प्रश्न में बीच की संख्या को $a$ और दूरी को $b$ लीजिए।
खोलकर एक बार जाँच लीजिए।

उदाहरण 6 · आसान

63 \times 57

का मान सर्वसमिका से निकालिए।

हल, कदम-दर-कदम

163 और 57 के बीच की संख्या 60 है; दोनों 60 से 3 की दूरी पर हैं: $63 = 60 + 3$ , $57 = 60 - 3$ ।
2 $(60 + 3) (60 - 3) = 6 0^{2} - 3^{2}$ ।
3 $3600 - 9 = 3591$ ।

उत्तर 3,591

जाँच:

63 \times 57 = 3591

✓ (लंबे गुणा से भी यही आता है)।

उदाहरण 7 · मध्यम

\frac{1 , 00 4 ^{2} - 99 6 ^{2}}{8}

का मान निकालिए।

हल, कदम-दर-कदम

1अंश वर्गों का अंतर है: $(1004 + 996) (1004 - 996)$ ।
2 $1004 + 996 = 2000$ और $1004 - 996 = 8$ ।
3 $\frac{2000 \times 8}{8} = 2000$ । हर का 8 अंश के 8 से कट गया।

उत्तर 2,000

पहले वर्ग निकालने बैठेंगे तो समय और ग़लती दोनों बढ़ेंगी।

उदाहरण 8 · मध्यम

49 x^{2} - 81 y^{2}

और

x^{4} - 16

के गुणनखंड कीजिए।

हल, कदम-दर-कदम

1 $49 x^{2} = (7 x)^{2}$ और $81 y^{2} = (9 y)^{2}$ , इसलिए $49 x^{2} - 81 y^{2} = (7 x + 9 y) (7 x - 9 y)$ ।
2 $x^{4} - 16 = (x^{2})^{2} - 4^{2} = (x^{2} + 4) (x^{2} - 4)$ ।
3 $x^{2} - 4$ फिर वर्गों का अंतर है: $(x + 2) (x - 2)$ ।
4पूरा: $x^{4} - 16 = (x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)$ । $x^{2} + 4$ आगे नहीं टूटता।

उत्तर $(7 x + 9 y) (7 x - 9 y)$ ; $(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)$

जब तक कोई गुणनखंड वर्गों का अंतर बना रहे, तोड़ते जाइए।

उदाहरण 9 · कठिन

(5 - 1) (5 + 1) (5^{2} + 1) (5^{4} + 1)

का मान ज्ञात कीजिए।

हल, कदम-दर-कदम

1पहले दो गुणनखंड: $(5 - 1) (5 + 1) = 5^{2} - 1$ ।
2अब $(5^{2} - 1) (5^{2} + 1) = 5^{4} - 1$ (फिर वही सूत्र, $a = 5^{2}$ )।
3अब $(5^{4} - 1) (5^{4} + 1) = 5^{8} - 1$ ।
4 $5^{8} = 390625$ , इसलिए उत्तर $390624$ ।

उत्तर 3,90,624

बड़ी संख्याओं के प्रश्न में “घात दुगुनी होती जाती है” पहचानिए।

अभ्यास

आसानपहले खुद करके देखें

37 \times 43

को सर्वसमिका से निकालिए।

आसानपहले खुद करके देखें

70 \times 80

को सर्वसमिका से निकालिए।

आसानपहले खुद करके देखें

21 4^{2} - 21 3^{2}

का मान क्या है?

मध्यमपहले खुद करके देखें

993 \times 1, 007

को सर्वसमिका से निकालिए।

मध्यमपहले खुद करके देखें

\frac{6. 8 ^{2} - 3. 2 ^{2}}{6.8 + 3.2}

का मान ज्ञात कीजिए।

मध्यमपहले खुद करके देखें

\frac{9. 5 ^{2} - 4. 5 ^{2}}{9.5 + 4.5}

का मान ज्ञात कीजिए।

मध्यमपहले खुद करके देखें

36 x^{2} - 25 y^{2}

के गुणनखंड कीजिए।

मध्यमपहले खुद करके देखें

121 x^{2} - 16 y^{2}

के गुणनखंड कीजिए।

मध्यमपहले खुद करके देखें

1, 50 0^{2} - 1, 49 9^{2}

का मान क्या है?

मध्यमपहले खुद करके देखें

(7.3 + 2.7)^{2} - (7.3 - 2.7)^{2}

का मान निकालिए।

कठिनपहले खुद करके देखें

यदि

a + b = 7

a - b = 3

और

a^{2} + b^{2} = 29

हो, तो

a^{4} - b^{4}

का मान ज्ञात कीजिए।

कठिनपहले खुद करके देखें

यदि

a + b = 11

a - b = 3

और

a^{2} + b^{2} = 65

हो, तो

a^{4} - b^{4}

का मान ज्ञात कीजिए।

कठिनपहले खुद करके देखें

(3 - 1) (3 + 1) (3^{2} + 1) (3^{4} + 1)

का मान निकालिए।

कठिनपहले खुद करके देखें

(2 - 1) (2 + 1) (2^{2} + 1) (2^{4} + 1)

का मान निकालिए।

योग और गुणनफल से मान

a + b

और

ab

दिए हों

दो संख्याओं का योग/अंतर और गुणनफल दिए होने पर $a^{2} + b^{2}$ , $a^{4} + b^{4}$ , $a - b$ और भिन्नों के मान।

विचार

बहुत से प्रश्न में $a$ और $b$ अलग-अलग नहीं दिए जाते; केवल उनका योग $a + b$ (या अंतर) और गुणनफल $ab$ दिया जाता है। हमें अलग-अलग $a, b$ निकालने (दो घात का समीकरण हल करने) की ज़रूरत नहीं है। वर्ग वाली सर्वसमिका से $a^{2} + b^{2}$ सीधे $a + b$ और $ab$ में लिखी जा सकती है। इन्हें सममित व्यंजक कहते हैं: $a$ और $b$ की अदला-बदली से मान नहीं बदलता, इसलिए वे हमेशा योग और गुणनफल से बन जाते हैं।

◭ चित्र

बड़े वर्ग की भुजा

a + b

; चार हरे आयत

ab

हैं; बीच का गुलाबी वर्ग

(a - b)^{2}

∑ सूत्र

a^{2} + b^{2} = (a + b)^{2} - 2 ab, (a - b)^{2} = (a + b)^{2} - 4 ab, a^{2} + b^{2} = (a - b)^{2} + 2 ab

दो अक्षरों की मूल कड़ियाँ

$a + b$: दोनों का योग (दिया हुआ)
$ab$: दोनों का गुणनफल (दिया हुआ)
$a - b$: दोनों का अंतर

चाहिए	सूत्र ( $S = a + b, P = ab$ )
$a^{2} + b^{2}$	$S^{2} - 2 P$
$(a - b)^{2}$	$S^{2} - 4 P$
$a^{4} + b^{4}$	$(S^{2} - 2 P)^{2} - 2 P^{2}$
$\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$	$\frac{S}{P}$
$\frac{a}{b} + \frac{b}{a}$	$\frac{S ^{2} - 2 P}{P}$

यहाँ: $S = a + b$ (योग) और $P = ab$ (गुणनफल)। दो और बातें: (1) जब $(a + b)^{2}$ या $(a - b)^{2}$ का मान मिले और $a + b$ माँगा जाए, तो वर्गमूल के दो चिह्न होते हैं, जब तक प्रश्न बताए नहीं कि $a, b$ धनात्मक हैं; (2) ऐसे प्रश्न में दी गई संख्याएँ किसी असली $a, b$ से मेल खानी चाहिए (परीक्षा में खाती हैं)।

पहचानपहचान: “

a + b = \dots

और

ab = \dots

”, “

a - b = \dots

और

ab = \dots

” या “

a^{2} + b^{2} = \dots

” दिया हो और ऊपर की सूची का कोई मान पूछा हो।

कदम

लिखिए कि क्या दिया है ( $S$ और $P$ ) और क्या माँगा है।
माँगे हुए व्यंजक को $S$ और $P$ के रूप में लिखिए (ऊपर की सारणी या वर्ग की सर्वसमिका से)।
मान रखकर गिनिए।
यदि $a + b$ या $a - b$ निकालना हो तो वर्गमूल लें और चिह्न पर ध्यान दें।

उदाहरण 10 · आसान

यदि

a + b = 9

और

ab = 14

हो, तो

a^{2} + b^{2}

और

(a - b)^{2}

निकालिए।

हल, कदम-दर-कदम

1 $a^{2} + b^{2} = (a + b)^{2} - 2 ab = 81 - 28 = 53$ ।
2 $(a - b)^{2} = (a + b)^{2} - 4 ab = 81 - 56 = 25$ ।
3जाँच: $a = 7, b = 2$ भी इन शर्तों को पूरा करते हैं: $a^{2} + b^{2} = 49 + 4 = 53$ ✓।

उत्तर $53$ ; $25$

उदाहरण 11 · मध्यम

a - b = 4

और

ab = 21

हो, तो

a^{2} + b^{2}

और

a + b

निकालिए।

हल, कदम-दर-कदम

1 $a^{2} + b^{2} = (a - b)^{2} + 2 ab = 16 + 42 = 58$ ।
2 $(a + b)^{2} = (a - b)^{2} + 4 ab = 16 + 84 = 100$ ।
3वर्गमूल: $a + b = \pm 10$ । दोनों चिह्न सही हैं: $(7, 3)$ में $a + b = 10$ और $(- 3, - 7)$ में $a + b = - 10$ ; दोनों जोड़ी में $a - b = 4$ और $ab = 21$ ।

उत्तर $58$ ; $a + b = \pm 10$

जब प्रश्न में

a, b

के धनात्मक होने की शर्त न हो, तो ± लिखिए।

उदाहरण 12 · मध्यम

a > b > 0

हैं,

a^{2} + b^{2} = 34

और

ab = 15

।

a + b

और

a - b

निकालिए।

हल, कदम-दर-कदम

1 $(a + b)^{2} = a^{2} + b^{2} + 2 ab = 34 + 30 = 64$ , और $a + b > 0$ है, तो $a + b = 8$ ।
2 $(a - b)^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab = 34 - 30 = 4$ , और $a > b$ है, तो $a - b = 2$ ।
3(चाहें तो $a = 5, b = 3$ पा सकते हैं।)

उत्तर $8$ ; $2$

उदाहरण 13 · कठिन

a + b = 6

और

ab = 7

हो, तो

a^{4} + b^{4}

निकालिए।

हल, कदम-दर-कदम

1पहले $a^{2} + b^{2} = 36 - 14 = 22$ ।
2 $a^{4} + b^{4} = (a^{2} + b^{2})^{2} - 2 a^{2} b^{2}$ , क्योंकि $(a^{2} + b^{2})^{2} = a^{4} + b^{4} + 2 a^{2} b^{2}$ ।
3 $a^{2} b^{2} = 49$ , तो $2 2^{2} - 2 \times 49 = 484 - 98 = 386$ ।

उत्तर $386$

यहाँ

a, b

पूर्णांक नहीं हैं (

a, b = 3 \pm 2

), फिर भी उत्तर बिना उन्हें निकाले मिल गया — यही विधि की ताक़त है।

उदाहरण 14 · कठिन

a + b = 10

ab = 16

हो, तो

\frac{1}{a} + \frac{1}{b}

और

\frac{a}{b} + \frac{b}{a}

निकालिए।

हल, कदम-दर-कदम

1 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{a + b}{ab} = \frac{10}{16} = \frac{5}{8}$ ।
2 $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{a ^{2} + b ^{2}}{ab}$ , और $a^{2} + b^{2} = 100 - 32 = 68$ ।
3 $\frac{68}{16} = \frac{17}{4}$ । जाँच: $a = 8, b = 2$ से $4 + \frac{1}{4} = \frac{17}{4}$ ✓।

उत्तर $\frac{5}{8}$ ; $\frac{17}{4}$

अभ्यास

आसानपहले खुद करके देखें

यदि

a + b = 8

और

ab = 15

हो, तो

a^{2} + b^{2}

का मान निकालिए।

आसानपहले खुद करके देखें

यदि

a + b = 13

और

ab = 36

हो, तो

a^{2} + b^{2}

का मान निकालिए।

आसानपहले खुद करके देखें

यदि

a - b = 5

और

ab = 24

हो, तो

a^{2} + b^{2}

का मान निकालिए।

मध्यमपहले खुद करके देखें

यदि

a - b = 7

और

ab = 44

हो, तो

a^{2} + b^{2}

का मान निकालिए।

मध्यमपहले खुद करके देखें

a > b > 0

a^{2} + b^{2} = 61

और

ab = 30

हो, तो

a + b

का मान निकालिए।

मध्यमपहले खुद करके देखें

a > b > 0

a^{2} + b^{2} = 97

और

ab = 36

हो, तो

a - b

का मान निकालिए।

मध्यमपहले खुद करके देखें

यदि

a + b = 7

और

ab = 10

हो, तो

a^{4} + b^{4}

का मान निकालिए।

कठिनपहले खुद करके देखें

यदि

a + b = 10

और

ab = 21

हो, तो

a^{4} + b^{4}

का मान निकालिए।

मध्यमपहले खुद करके देखें

यदि

a + b = 9

और

ab = 18

हो, तो

\frac{1}{a} + \frac{1}{b}

का मान निकालिए।

कठिनपहले खुद करके देखें

यदि

a + b = 13

और

ab = 36

हो, तो

\frac{a}{b} + \frac{b}{a}

का मान निकालिए।

कठिनपहले खुद करके देखें

a > b > 0

a^{2} + b^{2} = 169

और

ab = 60

हो, तो

a + b

का मान निकालिए।

कठिनपहले खुद करके देखें

यदि

a + b = 15

और

ab = 36

हो, तो

\frac{a}{b} + \frac{b}{a}

का मान निकालिए।

योग और अंतर का घन

(a \pm b)^{3}

और

a^{3} \pm b^{3}

की कड़ी

$(a + b)^{3}$ के आठ टुकड़े, खोलना, और $a + b$ , $ab$ से $a^{3} + b^{3}$ निकालना।

विचार

$(a + b)^{3}$ भुजा $a + b$ वाले घन का आयतन है। उसे हर दिशा में $a$ पर काटिए तो आठ टुकड़े बनते हैं: एक बड़ा घन $a^{3}$ , एक छोटा घन $b^{3}$ , तीन चपटी पटिया $a \times a \times b$ (हर एक $a^{2} b$ ) और तीन लंबी छड़ें $a \times b \times b$ (हर एक $a b^{2}$ )। आयतन जोड़िए: $(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$ । यही तीन का गुणांक है।

◭ चित्र

रंग = टुकड़े का प्रकार: नीला

a^{3}

, हरी तीन पटिया

a^{2} b

, केसरिया तीन छड़ें

a b^{2}

, गुलाबी

b^{3}

∑ सूत्र

(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} = a^{3} + b^{3} + 3 ab (a + b)

योग का घन

$a, b$: कोई भी दो संख्याएँ या व्यंजक
$3 ab (a + b)$: बीच के चार पदों में से दो का समूह: $3 a^{2} b + 3 a b^{2}$

∑ सूत्र

(a - b)^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3} = a^{3} - b^{3} - 3 ab (a - b)

अंतर का घन (

b

की जगह

- b

)

$a, b$: कोई भी दो संख्याएँ या व्यंजक

$b$ की जगह $- b$ रखने पर $b^{3}$ और $3 a^{2} b$ के चिह्न बदलते हैं ( $(- b)^{3} = - b^{3}$ ), जबकि $3 a b^{2}$ का चिह्न वही रहता है ( $(- b)^{2} = b^{2}$ )। इसलिए अंतर के घन में चिह्न बारी-बारी से आते हैं: $+, -, +, -$ । दोनों सूत्रों को पलटकर लिखा जा सकता है, और यही परीक्षा में काम आता है:

∑ सूत्र

a^{3} + b^{3} = (a + b)^{3} - 3 ab (a + b), a^{3} - b^{3} = (a - b)^{3} + 3 ab (a - b)

योग/अंतर और गुणनफल से घनों का योग/अंतर

$a + b, a - b$: दिया हुआ योग या अंतर
$ab$: दिया हुआ गुणनफल

पहचानपहचान: घन का कोष्ठक; या

a + b

और

ab

दिए हों और

a^{3} + b^{3}

माँगा हो; या व्यंजक में

a^{3} + b^{3} + 3 ab (\dots)

जैसा रूप छिपा हो।

कदम

$a$ और $b$ पहचानिए (चिह्न सहित)।
चारों पद अलग-अलग निकालिए: $a^{3}, 3 a^{2} b, 3 a b^{2}, b^{3}$ — संख्याओं का घन भी।
अंतर के घन में बीच के पहले पद पर और अंतिम पद पर ऋण चिह्न लगाइए।
योग/अंतर और गुणनफल वाले प्रश्न में दूसरा रूप (पलटा हुआ सूत्र) लगाइए।

उदाहरण 15 · आसान

(2 x + 3)^{3}

को खोलिए।

हल, कदम-दर-कदम

1 $a = 2 x$ , $b = 3$ । $a^{3} = 8 x^{3}$ (2 का घन 8)।
2 $3 a^{2} b = 3 \times 4 x^{2} \times 3 = 36 x^{2}$ , $3 a b^{2} = 3 \times 2 x \times 9 = 54 x$ , $b^{3} = 27$ ।
3 $(2 x + 3)^{3} = 8 x^{3} + 36 x^{2} + 54 x + 27$ ।

उत्तर $8 x^{3} + 36 x^{2} + 54 x + 27$

जाँच:

x = 1

5^{3} = 125

और

8 + 36 + 54 + 27 = 125

✓।

उदाहरण 16 · मध्यम

(3 p - 2 q)^{3}

को खोलिए।

हल, कदम-दर-कदम

1 $a = 3 p$ , $b = 2 q$ ; चिह्न $+, -, +, -$ होंगे।
2 $a^{3} = 27 p^{3}$ ; $3 a^{2} b = 3 \times 9 p^{2} \times 2 q = 54 p^{2} q$ ; $3 a b^{2} = 3 \times 3 p \times 4 q^{2} = 36 p q^{2}$ ; $b^{3} = 8 q^{3}$ ।
3 $27 p^{3} - 54 p^{2} q + 36 p q^{2} - 8 q^{3}$ ।

उत्तर $27 p^{3} - 54 p^{2} q + 36 p q^{2} - 8 q^{3}$

जाँच:

p = q = 1

(3 - 2)^{3} = 1

और

27 - 54 + 36 - 8 = 1

✓।

उदाहरण 17 · मध्यम

a + b = 5

और

ab = 6

हो, तो

a^{3} + b^{3}

निकालिए।

हल, कदम-दर-कदम

1 $a^{3} + b^{3} = (a + b)^{3} - 3 ab (a + b)$ — हमें $a, b$ अलग-अलग नहीं चाहिए।
2 $(a + b)^{3} = 125$ और $3 ab (a + b) = 3 \times 6 \times 5 = 90$ ।
3 $125 - 90 = 35$ । जाँच: $a = 3, b = 2$ : $27 + 8 = 35$ ✓।

उत्तर 35

उदाहरण 18 · कठिन

a - b = 3

और

ab = 10

हो, तो

a^{3} - b^{3}

निकालिए।

हल, कदम-दर-कदम

1 $(a - b)^{3} = a^{3} - b^{3} - 3 ab (a - b)$ , इसलिए $a^{3} - b^{3} = (a - b)^{3} + 3 ab (a - b)$ ।
2 $27 + 3 \times 10 \times 3 = 27 + 90 = 117$ ।
3जाँच: $a = 5, b = 2$ : $a - b = 3$ , $ab = 10$ , $125 - 8 = 117$ ✓।

उत्तर 117

जाल: अंतर वाले सूत्र में बीच का पद जुड़ता है, घटता नहीं।

उदाहरण 19 · कठिन

यदि

x + y = 1

हो, तो

x^{3} + y^{3} + 3 x y

का मान क्या है?

हल, कदम-दर-कदम

1 $(x + y)^{3} = x^{3} + y^{3} + 3 x y (x + y)$ ।
2 $x + y = 1$ रखने पर: $1^{3} = x^{3} + y^{3} + 3 x y \times 1$ ।
3इसलिए $x^{3} + y^{3} + 3 x y = 1$ । हमें $x$ और $y$ का कुछ पता नहीं था; फिर भी मान मिल गया।

उत्तर 1

परीक्षा की पुरानी चाल: जब

x + y

संख्या हो और

3 x y

के साथ वही संख्या का गुणक हो।

अभ्यास

आसानपहले खुद करके देखें

(2 x + y)^{3}

को खोलिए।

आसानपहले खुद करके देखें

(x - 4 y)^{3}

को खोलिए।

मध्यमपहले खुद करके देखें

(3 x + 2 y)^{3}

को खोलिए।

मध्यमपहले खुद करके देखें

(4 x - 3 y)^{3}

को खोलिए।

आसानपहले खुद करके देखें

1 2^{3}

का मान निकालिए।

मध्यमपहले खुद करके देखें

1 7^{3}

का मान निकालिए।

मध्यमपहले खुद करके देखें

यदि

a + b = 7

और

ab = 12

हो, तो

a^{3} + b^{3}

का मान निकालिए।

मध्यमपहले खुद करके देखें

यदि

a + b = 9

और

ab = 14

हो, तो

a^{3} + b^{3}

का मान निकालिए।

मध्यमपहले खुद करके देखें

यदि

a - b = 4

और

ab = 12

हो, तो

a^{3} - b^{3}

का मान निकालिए।

कठिनपहले खुद करके देखें

यदि

a - b = 5

और

ab = 36

हो, तो

a^{3} - b^{3}

का मान निकालिए।

कठिनपहले खुद करके देखें

यदि

x + y = 4

हो, तो

x^{3} + y^{3} + 12 x y

का मान निकालिए।

कठिनपहले खुद करके देखें

यदि

x + y = 7

हो, तो

x^{3} + y^{3} + 21 x y

का मान निकालिए।

कठिनपहले खुद करके देखें

यदि

a + b = 5

और

a^{3} + b^{3} = 65

हो, तो

ab

का मान निकालिए।

कठिनपहले खुद करके देखें

यदि

a + b = 9

और

a^{3} + b^{3} = 243

हो, तो

ab

का मान निकालिए।

घनों का योग और अंतर

a^{3} \pm b^{3}

के गुणनखंड

$a^{3} + b^{3}$ और $a^{3} - b^{3}$ के गुणनखंड, कब कटते हैं, और $a^{6} - b^{6}$ तक।

विचार

पिछली विधि का $a^{3} + b^{3} = (a + b)^{3} - 3 ab (a + b)$ लीजिए और $(a + b)$ को बाहर निकालिए: $a^{3} + b^{3} = (a + b) [(a + b)^{2} - 3 ab] = (a + b) (a^{2} + 2 ab + b^{2} - 3 ab) = (a + b) (a^{2} - ab + b^{2})$ । इसी तरह अंतर के लिए $a^{3} - b^{3} = (a - b) [(a - b)^{2} + 3 ab] = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})$ । अर्थात् घनों का योग/अंतर हमेशा दो गुणनखंडों में टूटता है: एक सीधा $a \pm b$ और दूसरा तीन पद वाला।

∑ सूत्र

a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - ab + b^{2}), a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})

घनों का योग और अंतर

$a, b$: कोई भी दो संख्याएँ या व्यंजक
$a^{2} \mp ab + b^{2}$: तीन पद वाला गुणनखंड

चिह्न याद रखने की अपनी तरकीब: पहले कोष्ठक का चिह्न वही जो प्रश्न में था। दूसरे कोष्ठक का बीच वाला चिह्न उसका उलटा, और अंतिम पद हमेशा $+ b^{2}$ । जाँच के लिए $a = 2, b = 1$ रखिए: $a^{3} + b^{3} = 9$ और $(a + b) (a^{2} - ab + b^{2}) = 3 \times 3 = 9$ ✓।

∑ सूत्र

a^{6} - b^{6} = (a^{3} - b^{3}) (a^{3} + b^{3}) = (a - b) (a + b) (a^{2} + ab + b^{2}) (a^{2} - ab + b^{2})

छठी घात: दोनों सूत्र साथ-साथ

$a^{6} - b^{6}$: पहले वर्गों का अंतर $(a^{3})^{2} - (b^{3})^{2}$ , फिर हर घन को तोड़ा

पहचानपहचान: दो पद जो दोनों पूर्ण घन हों (8, 27, 64, 125, 216 …), या हर/अंश में

a^{2} \mp ab + b^{2}

जैसा रूप दिखे।

कदम

हर पद का घनमूल निकालिए: ये $a$ और $b$ हैं (संख्या का भी)।
पहला कोष्ठक $(a \pm b)$ लिखिए।
दूसरा कोष्ठक $a^{2} \mp ab + b^{2}$ : बीच का चिह्न उलटा, अंतिम $+$ ।
भिन्न में हो तो समान कोष्ठक काट दीजिए।

उदाहरण 20 · आसान

27 x^{3} + 8 y^{3}

के गुणनखंड कीजिए।

हल, कदम-दर-कदम

1 $27 x^{3} = (3 x)^{3}$ और $8 y^{3} = (2 y)^{3}$ , तो $a = 3 x$ , $b = 2 y$ ; चिह्न $+$ है।
2पहला कोष्ठक $(3 x + 2 y)$ । दूसरा: $a^{2} - ab + b^{2} = 9 x^{2} - 6 x y + 4 y^{2}$ ।
3 $27 x^{3} + 8 y^{3} = (3 x + 2 y) (9 x^{2} - 6 x y + 4 y^{2})$ ।

उत्तर $(3 x + 2 y) (9 x^{2} - 6 x y + 4 y^{2})$

जाँच

x = y = 1

35

और

5 \times 7 = 35

✓।

उदाहरण 21 · मध्यम

\frac{8. 4 ^{3} + 1. 6 ^{3}}{8. 4 ^{2} - 8.4 \times 1.6 + 1. 6 ^{2}}

का मान निकालिए।

हल, कदम-दर-कदम

1अंश में $a^{3} + b^{3}$ है ( $a = 8.4$ , $b = 1.6$ ), हर वही $a^{2} - ab + b^{2}$ है।
2 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - ab + b^{2})$ , इसलिए भिन्न $= a + b$ ।
3 $8.4 + 1.6 = 10$ ।

उत्तर 10

उदाहरण 22 · मध्यम

x^{3} - 125

के गुणनखंड कीजिए और

\frac{x ^{3} - 125}{x - 5}

सरल कीजिए।

हल, कदम-दर-कदम

1 $125 = 5^{3}$ , इसलिए $a = x$ , $b = 5$ ; चिह्न $-$ ।
2 $x^{3} - 5^{3} = (x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)$ — दूसरे कोष्ठक में बीच का चिह्न $+$ ।
3भिन्न में $(x - 5)$ कट जाता है: उत्तर $x^{2} + 5 x + 25$ ( $x \neq = 5$ )।

उत्तर $(x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)$ ; $x^{2} + 5 x + 25$

x = 5

पर हर शून्य है, इसलिए वह मान वर्जित है।

उदाहरण 23 · कठिन

a^{6} - b^{6}

के पूरे गुणनखंड कीजिए।

हल, कदम-दर-कदम

1 $a^{6} - b^{6} = (a^{3})^{2} - (b^{3})^{2} = (a^{3} + b^{3}) (a^{3} - b^{3})$ (वर्गों का अंतर)।
2 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - ab + b^{2})$ और $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})$ ।
3 $a^{6} - b^{6} = (a - b) (a + b) (a^{2} + ab + b^{2}) (a^{2} - ab + b^{2})$ ।

उत्तर $(a - b) (a + b) (a^{2} + ab + b^{2}) (a^{2} - ab + b^{2})$

पहले वर्ग वाला सूत्र लगाने पर चार गुणनखंड मिलते हैं; पहले घन वाला लगाएँ तो

a^{2} - b^{2}

का काम अधूरा रह जाता है।

उदाहरण 24 · कठिन

a - b = 2

हो, तो

a^{3} - b^{3} - 6 ab

का मान निकालिए।

हल, कदम-दर-कदम

1 $(a - b)^{3} = a^{3} - b^{3} - 3 ab (a - b)$ ।
2 $a - b = 2$ रखें: $2^{3} = a^{3} - b^{3} - 3 ab \times 2 = a^{3} - b^{3} - 6 ab$ ।
3इसलिए मान $8$ ।

उत्तर 8

अभ्यास

आसानपहले खुद करके देखें

8 x^{3} + y^{3}

के गुणनखंड कीजिए।

आसानपहले खुद करके देखें

27 x^{3} - y^{3}

के गुणनखंड कीजिए।

मध्यमपहले खुद करके देखें

64 x^{3} + 27 y^{3}

के गुणनखंड कीजिए।

मध्यमपहले खुद करके देखें

125 x^{3} - 8 y^{3}

के गुणनखंड कीजिए।

मध्यमपहले खुद करके देखें

\frac{7. 6 ^{3} + 2. 4 ^{3}}{7. 6 ^{2} - 7.6 \times 2.4 + 2. 4 ^{2}}

का मान निकालिए।

मध्यमपहले खुद करके देखें

\frac{9. 3 ^{3} - 1. 7 ^{3}}{9. 3 ^{2} + 9.3 \times 1.7 + 1. 7 ^{2}}

का मान निकालिए।

मध्यमपहले खुद करके देखें

सरल कीजिए:

\frac{x ^{3} + 27}{x + 3}

।

मध्यमपहले खुद करके देखें

सरल कीजिए:

\frac{x ^{3} - 64}{x - 4}

।

मध्यमपहले खुद करके देखें

a + b = 8

और

a^{2} - ab + b^{2} = 19

हो, तो

a^{3} + b^{3}

का मान निकालिए।

कठिनपहले खुद करके देखें

a - b = 5

और

a^{2} + ab + b^{2} = 67

हो, तो

a^{3} - b^{3}

का मान निकालिए।

मध्यमपहले खुद करके देखें

\frac{1 0 ^{3} + 7 ^{3}}{17}

का मान निकालिए।

कठिनपहले खुद करके देखें

\frac{1 2 ^{3} + 5 ^{3}}{17}

का मान निकालिए।

कठिनपहले खुद करके देखें

यदि

a - b = 3

हो, तो

a^{3} - b^{3} - 9 ab

का मान निकालिए।

कठिनपहले खुद करके देखें

यदि

a - b = 5

हो, तो

a^{3} - b^{3} - 15 ab

का मान निकालिए।

घन बनाने की चाल

बड़ी संख्या पर घात वाला व्यंजक

व्यंजक को $(x \pm m)^{3} \mp m^{3}$ में बदलकर बड़े $x$ पर मान निकालना, और 100 के पास की संख्याओं के घन।

विचार

मान लीजिए व्यंजक $x^{3} + 9 x^{2} + 27 x$ है और $x = 97$ । सीधे रखने पर तीन बड़े गुणा करने पड़ेंगे। पर ध्यान दीजिए: $(x + 3)^{3} = x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27$ । हमारा व्यंजक इसमें से केवल अंतिम पद 27 कम है। इसलिए $x^{3} + 9 x^{2} + 27 x = (x + 3)^{3} - 27$ , और $x + 3 = 100$ गोल संख्या है: $10 0^{3} - 27 = 999973$ । यही चाल है: जो घन अधूरा है, उसे पूरा कीजिए और जो जोड़ा था वह घटा दीजिए।

∑ सूत्र

x^{3} + 3 m x^{2} + 3 m^{2} x = (x + m)^{3} - m^{3}

अधूरा घन

$x$: दिया हुआ मान (जैसे 97)
$m$: $x^{2}$ के गुणांक का एक-तिहाई (ऋण भी हो सकता है)
$x + m$: यह गोल संख्या होती है; इसी के लिए प्रश्न बना होता है

पहचान का तरीका: $x^{2}$ का गुणांक $3 m$ है और $x$ का गुणांक $3 m^{2}$ है। जैसे $x^{3} - 12 x^{2} + 48 x$ : $3 m = - 12 \Rightarrow m = - 4$ और $3 m^{2} = 48$ ✓। तब व्यंजक $= (x - 4)^{3} + 64$ (क्योंकि $(- 4)^{3} = - 64$ , उसे हटाने के लिए $+ 64$ )। ऐसे प्रश्न में आम तौर पर “ $x \times (\dots)$ ” लिखा होता है, यानी $x^{3}$ छिपा रहता है।

पहचानपहचान:

x

बड़ी संख्या है (97, 52, 198 …); व्यंजक में

x^{3}, x^{2}, x

तीनों पद हैं, और

x^{2}

तथा

x

के गुणांकों के बीच “

3 m

और

3 m^{2}

” का रिश्ता बनता है।

कदम

$x^{2}$ के गुणांक को 3 से भाग देकर $m$ निकालिए (चिह्न सहित)।
जाँचिए कि $x$ का गुणांक $3 m^{2}$ है।
व्यंजक को $(x + m)^{3} - m^{3}$ लिखिए (अंतिम पद अगर था तो उसे मिलाइए)।
$x + m$ का मान रखकर घन निकालिए और $m^{3}$ घटाइए।

उदाहरण 25 · आसान

x = 52

हो, तो

x (x^{2} - 6 x + 12)

का मान निकालिए।

हल, कदम-दर-कदम

1गुणा करके खोलिए: $x^{3} - 6 x^{2} + 12 x$ । यहाँ $3 m = - 6$ , इसलिए $m = - 2$ ; और $3 m^{2} = 12$ ✓।
2 $(x - 2)^{3} = x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8$ । हमारे व्यंजक में $- 8$ नहीं है, इसलिए $x^{3} - 6 x^{2} + 12 x = (x - 2)^{3} + 8$ ।
3 $x - 2 = 50$ , इसलिए $5 0^{3} + 8 = 125000 + 8 = 125008$ ।

उत्तर 1,25,008

जाँच (छोटे

x

से):

x = 3

27 - 54 + 36 = 9

और

(3 - 2)^{3} + 8 = 9

✓।

उदाहरण 26 · मध्यम

x = 97

हो, तो

x^{3} + 9 x^{2} + 27 x

का मान निकालिए।

हल, कदम-दर-कदम

1 $3 m = 9 \Rightarrow m = 3$ और $3 m^{2} = 27$ ✓।
2 $(x + 3)^{3} = x^{3} + 9 x^{2} + 27 x + 27$ , इसलिए व्यंजक $= (x + 3)^{3} - 27$ ।
3 $x + 3 = 100$ : $10 0^{3} - 27 = 1000000 - 27 = 999973$ ।

उत्तर 9,99,973

उदाहरण 27 · मध्यम

10 8^{3}

का मान

(100 + 8)^{3}

के चार टुकड़ों से निकालिए।

हल, कदम-दर-कदम

1 $a = 100$ , $b = 8$ : $a^{3} = 1000000$ ।
2 $3 a^{2} b = 3 \times 10000 \times 8 = 240000$ , $3 a b^{2} = 3 \times 100 \times 64 = 19200$ , $b^{3} = 512$ ।
3 $1000000 + 240000 + 19200 + 512 = 1259712$ ।

उत्तर 12,59,712

इसी का नाम “100 के पास के घन” है; हर टुकड़ा अलग निकालना आसान है।

उदाहरण 28 · कठिन

x = 45

हो, तो

x (x^{2} + 15 x + 75)

का मान निकालिए।

हल, कदम-दर-कदम

1खोलने पर $x^{3} + 15 x^{2} + 75 x$ । $3 m = 15 \Rightarrow m = 5$ ; $3 m^{2} = 75$ ✓।
2 $(x + 5)^{3} = x^{3} + 15 x^{2} + 75 x + 125$ , इसलिए व्यंजक $= (x + 5)^{3} - 125$ ।
3 $x + 5 = 50$ : $125000 - 125 = 124875$ ।

उत्तर 1,24,875

उदाहरण 29 · कठिन

x = 13

हो, तो

x^{3} - 9 x^{2} + 27 x - 27

का मान निकालिए।

हल, कदम-दर-कदम

1चारों पद हैं: $3 m = - 9 \Rightarrow m = - 3$ ; $3 m^{2} = 27$ ✓; और $m^{3} = - 27$ ✓ — पूरा घन है।
2व्यंजक $= (x - 3)^{3}$ ।
3 $x - 3 = 10$ , इसलिए मान $1 0^{3} = 1000$ ।

उत्तर 1,000

जब चारों पद आए हों तो “

- m^{3}

” समायोजन नहीं करना पड़ता।

अभ्यास

आसानपहले खुद करके देखें

x = 48

हो, तो

x^{3} + 6 x^{2} + 12 x

का मान निकालिए।

आसानपहले खुद करके देखें

x = 197

हो, तो

x^{3} + 9 x^{2} + 27 x

का मान निकालिए।

मध्यमपहले खुद करके देखें

x = 101

हो, तो

x^{3} - 3 x^{2} + 3 x

का मान निकालिए।

मध्यमपहले खुद करके देखें

x = 96

हो, तो

x^{3} + 12 x^{2} + 48 x

का मान निकालिए।

मध्यमपहले खुद करके देखें

x = 303

हो, तो

x^{3} - 9 x^{2} + 27 x

का मान निकालिए।

मध्यमपहले खुद करके देखें

x = 95

हो, तो

x^{3} + 15 x^{2} + 75 x + 125

का मान निकालिए।

मध्यमपहले खुद करके देखें

x = 104

हो, तो

x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64

का मान निकालिए।

आसानपहले खुद करके देखें

10 6^{3}

को

(100 + 6)^{3}

मानकर निकालिए।

मध्यमपहले खुद करके देखें

10 9^{3}

को

(100 + 9)^{3}

मानकर निकालिए।

मध्यमपहले खुद करके देखें

9 6^{3}

को

(100 - 4)^{3}

मानकर निकालिए।

कठिनपहले खुद करके देखें

x = 94

हो, तो

x^{3} + 18 x^{2} + 108 x

का मान निकालिए।

कठिनपहले खुद करके देखें

x = 205

हो, तो

x^{3} - 15 x^{2} + 75 x

का मान निकालिए।

कठिनपहले खुद करके देखें

9 3^{3}

को

(100 - 7)^{3}

मानकर निकालिए।

कठिनपहले खुद करके देखें

x = 202

हो, तो

x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8

का मान निकालिए।

बहुपद का मान: गुणांक को $x$ में लिखना

पद आपस में कटते हैं

जब एक ही गुणांक बार-बार आए और वह $x \pm 1$ हो, तो बहुपद का मान बिना बड़ी घातें निकाले।

विचार

मान लीजिए $x = 9$ और बहुपद है $x^{4} - 10 x^{3} + 10 x^{2} - 10 x + 10$ । यहाँ 10 बार-बार आ रहा है, और $10 = x + 1$ । इसे बदलकर लिखिए: $x^{4} - (x + 1) x^{3} + (x + 1) x^{2} - (x + 1) x + (x + 1)$ । अब $x^{4} - (x + 1) x^{3} = x^{4} - x^{4} - x^{3} = - x^{3}$ । फिर $- x^{3} + (x + 1) x^{2} = x^{2}$ , फिर $x^{2} - (x + 1) x = - x$ , फिर $- x + (x + 1) = 1$ । चारों घात कट गईं; उत्तर 1। यह सर्वसमिका नहीं, गुणांक को $x$ का रूप देने की चाल है, पर नाम “सर्वसमिका” वाले प्रश्नों में ही आती है, इसलिए यहीं सीखिए।

गुणांक	पद-जोड़ी का असर
$c = x + 1$	$x^{n} - c x^{n - 1} = - x^{n - 1}$
$c = x - 1$	$x^{n} - c x^{n - 1} = x^{n - 1}$

यहाँ: $c$ = वह बार-बार आने वाला गुणांक, $x$ = दिया हुआ मान, $n$ = घात। $c = x + 1$ पर अगला पद उलटे चिह्न से आता है और जोड़ी कट जाती है; $c = x - 1$ पर सारे पद ऋण चिह्न से आते हैं और घात एक-एक घटती जाती है। जो पद इस पैटर्न से बाहर बचे, वह अलग रखकर अंत में जोड़ा जाता है।

पहचानपहचान:

x

का मान दिया है (प्रायः 7 से 20 के बीच), बहुपद की घातें 4, 5 या 6 हैं, और कई पदों में एक ही गुणांक (

x + 1

या

x - 1

के बराबर) दिखता है।

कदम

बार-बार आने वाला गुणांक देखिए और उसकी तुलना $x \pm 1$ से कीजिए।
हर ऐसे गुणांक की जगह $(x + 1)$ या $(x - 1)$ लिखिए।
बाईं ओर से दो-दो पदों को जोड़कर काटते चलिए।
जो पद पैटर्न में नहीं बैठा, उसे अलग करके अंत में जोड़िए।

उदाहरण 30 · आसान

x = 9

हो, तो

x^{4} - 10 x^{3} + 10 x^{2} - 10 x + 10

का मान निकालिए।

हल, कदम-दर-कदम

1 $10 = 9 + 1 = x + 1$ , इसलिए हर 10 की जगह $(x + 1)$ लिखिए।
2 $x^{4} - (x + 1) x^{3} = - x^{3}$ ; $- x^{3} + (x + 1) x^{2} = x^{2}$ ; $x^{2} - (x + 1) x = - x$ ; $- x + (x + 1) = 1$ ।
3उत्तर 1। जाँच: $6561 - 7290 + 810 - 90 + 10 = 1$ ✓।

उत्तर 1

उदाहरण 31 · मध्यम

x = 19

हो, तो

x^{5} - 20 x^{4} + 20 x^{3} - 20 x^{2} + 20 x - 3

का मान निकालिए।

हल, कदम-दर-कदम

1 $20 = x + 1$ । पाँच घात वाली चेन: $x^{5} - (x + 1) x^{4} = - x^{4}$ ; $- x^{4} + (x + 1) x^{3} = x^{3}$ ; $x^{3} - (x + 1) x^{2} = - x^{2}$ ; $- x^{2} + (x + 1) x = x$ ।
2चेन का मान $x = 19$ बचा; $- 3$ अलग से आया था।
3 $19 - 3 = 16$ ।

उत्तर 16

चेन की अंतिम घात विषम हो तो उत्तर

+ x

, सम हो तो

- x

(जब

c = x + 1

)।

उदाहरण 32 · मध्यम

x = 8

हो, तो

x^{4} - 7 x^{3} - 7 x^{2} - 7 x + 11

का मान निकालिए।

हल, कदम-दर-कदम

1 $7 = x - 1$ । अब सारे पद ऋण हैं: $x^{4} - (x - 1) x^{3} = x^{3}$ ।
2 $x^{3} - (x - 1) x^{2} = x^{2}$ , फिर $x^{2} - (x - 1) x = x$ ।
3चेन $= x = 8$ ; $8 + 11 = 19$ । जाँच: $4096 - 3584 - 448 - 56 + 11 = 19$ ✓।

उत्तर 19

उदाहरण 33 · कठिन

x = 11

हो, तो

x^{4} - 12 x^{3} + 14 x^{2} - 12 x + 9

का मान निकालिए।

हल, कदम-दर-कदम

1 $12 = x + 1$ , पर बीच का गुणांक 14 है, यानी $12 + 2$ । उसे $12 x^{2} + 2 x^{2}$ लिखिए।
2 $x^{4} - (x + 1) x^{3} + (x + 1) x^{2} - (x + 1) x = - x$ (चार पदों की चेन)।
3बचा: $- x + 2 x^{2} + 9 = - 11 + 242 + 9 = 240$ ।

उत्तर 240

जो पद पैटर्न में नहीं बैठता, उसे दो हिस्सों में बाँट लीजिए।

अभ्यास

आसानपहले खुद करके देखें

x = 6

हो, तो

x^{3} - 7 x^{2} + 7 x

का मान निकालिए।

आसानपहले खुद करके देखें

x = 7

हो, तो

x^{4} - 8 x^{3} + 8 x^{2} - 8 x

का मान निकालिए।

मध्यमपहले खुद करके देखें

x = 18

हो, तो

x^{5} - 19 x^{4} + 19 x^{3} - 19 x^{2} + 19 x + 6

का मान निकालिए।

मध्यमपहले खुद करके देखें

x = 13

हो, तो

x^{4} - 12 x^{3} - 12 x^{2} - 12 x

का मान निकालिए।

मध्यमपहले खुद करके देखें

x = 8

हो, तो

x^{6} - 9 x^{5} + 9 x^{4} - 9 x^{3} + 9 x^{2} - 9 x - 5

का मान निकालिए।

मध्यमपहले खुद करके देखें

x = 10

हो, तो

x^{5} - 9 x^{4} - 9 x^{3} - 9 x^{2} - 9 x + 2

का मान निकालिए।

कठिनपहले खुद करके देखें

x = 15

हो, तो

x^{4} - 16 x^{3} + 19 x^{2} - 16 x + 7

का मान निकालिए।

कठिनपहले खुद करके देखें

x = 9

हो, तो

x^{4} - 10 x^{3} + 8 x^{2} - 10 x + 4

का मान निकालिए।

कठिनपहले खुद करके देखें

x = 17

हो, तो

x^{6} - 18 x^{5} + 18 x^{4} - 18 x^{3} + 18 x^{2} - 18 x + 12

का मान निकालिए।

कठिनपहले खुद करके देखें

x = 16

हो, तो

x^{5} - 15 x^{4} - 15 x^{3} - 15 x^{2} - 15 x - 9

का मान निकालिए।

भाग 2: तीन अक्षर

a, b, c

की सर्वसमिकाएँ

$(a + b + c)^{2}$ , $a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3 ab c$ और जब $a + b + c = 0$ हो तब के विशेष परिणाम।

🔒

यह भाग All Access में शामिल है।

पास लेने पर इस अध्याय के सारे उदाहरण, अभ्यास प्रश्न और हल खुल जाएँगे।

पास देखें · ₹100.00 पहले से पास है? लॉग इन करें

$(a + b + c)^{2}$ और उसके उपयोग

तीन अक्षरों का वर्ग

$(a + b + c)^{2}$ के नौ टुकड़े, खोलना, और योग, जोड़ी-योग तथा वर्गों के योग में से कोई दो देकर तीसरा निकालना।

🔒

यह भाग All Access में शामिल है।

पास लेने पर इस अध्याय के सारे उदाहरण, अभ्यास प्रश्न और हल खुल जाएँगे।

पास देखें · ₹100.00 पहले से पास है? लॉग इन करें

$a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3 ab c$ वाली सर्वसमिका

और

a^{2} + b^{2} + c^{2} - ab - b c - c a

तीन अक्षरों वाला सूत्र, उसका आधा-अंतर-वर्ग रूप, और समांतर संख्याओं, योग-वर्ग-योग तथा अनुपात वाले प्रश्न।

🔒

यह भाग All Access में शामिल है।

पास लेने पर इस अध्याय के सारे उदाहरण, अभ्यास प्रश्न और हल खुल जाएँगे।

पास देखें · ₹100.00 पहले से पास है? लॉग इन करें

जब योग शून्य हो: विशेष स्थितियाँ

a + b + c = 0 \Rightarrow a^{3} + b^{3} + c^{3} = 3 ab c

शून्य-योग की चाल, ऋण वाले रूप, अंतरों के घन, घनमूल की शर्तें, और $E = 0$ से $a = b = c$ ।

🔒

यह भाग All Access में शामिल है।

पास लेने पर इस अध्याय के सारे उदाहरण, अभ्यास प्रश्न और हल खुल जाएँगे।

पास देखें · ₹100.00 पहले से पास है? लॉग इन करें

भाग 3: शर्त वाले प्रश्न

सममित योग ·

a^{4} + a^{2} b^{2} + b^{4}

· वर्गों का योग शून्य

कुछ मान दिए हों और कोई दूसरा व्यंजक पूछा हो: तब सर्वसमिकाएँ पुल का काम करती हैं।

🔒

यह भाग All Access में शामिल है।

पास लेने पर इस अध्याय के सारे उदाहरण, अभ्यास प्रश्न और हल खुल जाएँगे।

पास देखें · ₹100.00 पहले से पास है? लॉग इन करें

तीन अक्षरों के सममित योग

p = a + b + c, q = ab + b c + c a, r = ab c

तीन मूल राशियों $p, q, r$ से $a^{2} + b^{2} + c^{2}$ , $a^{3} + b^{3} + c^{3}$ , $(a + b) (b + c) (c + a)$ , $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$ जैसे सब व्यंजकों की रेसिपी।

🔒

यह भाग All Access में शामिल है।

पास लेने पर इस अध्याय के सारे उदाहरण, अभ्यास प्रश्न और हल खुल जाएँगे।

पास देखें · ₹100.00 पहले से पास है? लॉग इन करें

$a^{4} + a^{2} b^{2} + b^{4}$ और वर्ग करने की चाल

चौथी घात के व्यंजक वर्ग से

$a^{4} + a^{2} b^{2} + b^{4}$ का गुणनखंड, $a^{4} + 4 b^{4}$ , और शर्त का वर्ग करके चौथी घात तक पहुँचना।

🔒

यह भाग All Access में शामिल है।

पास लेने पर इस अध्याय के सारे उदाहरण, अभ्यास प्रश्न और हल खुल जाएँगे।

पास देखें · ₹100.00 पहले से पास है? लॉग इन करें

वर्गों का योग शून्य हो

हर वर्ग अलग से शून्य

“वर्ग कभी ऋणात्मक नहीं होता” से हर कोष्ठक को शून्य रखना, वर्ग बनाकर समीकरण से अक्षरों के मान निकालना।

🔒

यह भाग All Access में शामिल है।

पास लेने पर इस अध्याय के सारे उदाहरण, अभ्यास प्रश्न और हल खुल जाएँगे।

पास देखें · ₹100.00 पहले से पास है? लॉग इन करें

भाग 4: गुणनखंड, शेषफल, न्यूनतम और जाँच

सर्वसमिकाओं के चार और उपयोग

दाएँ से बाएँ पढ़ना (गुणनखंड), शेषफल प्रमेय, वर्ग पूरा करके न्यूनतम/अधिकतम, और मान रखकर जाँच।

🔒

यह भाग All Access में शामिल है।

पास लेने पर इस अध्याय के सारे उदाहरण, अभ्यास प्रश्न और हल खुल जाएँगे।

पास देखें · ₹100.00 पहले से पास है? लॉग इन करें

सर्वसमिकाओं से गुणनखंड

दाएँ से बाएँ पढ़ना

कौन-सा रूप देखकर कौन-सी सर्वसमिका: साझा गुणनखंड, वर्ग, घन, जोड़ी बनाना और बीच के पद को तोड़ना।

🔒

यह भाग All Access में शामिल है।

पास लेने पर इस अध्याय के सारे उदाहरण, अभ्यास प्रश्न और हल खुल जाएँगे।

पास देखें · ₹100.00 पहले से पास है? लॉग इन करें

शेषफल और गुणनखंड प्रमेय

भाग दिए बिना शेषफल

$f (x) \div (x - r)$ का शेषफल $f (r)$ ; अज्ञात गुणांक निकालना; घात वाले शेषफल; सिंथेटिक विभाजन।

🔒

यह भाग All Access में शामिल है।

पास लेने पर इस अध्याय के सारे उदाहरण, अभ्यास प्रश्न और हल खुल जाएँगे।

पास देखें · ₹100.00 पहले से पास है? लॉग इन करें

न्यूनतम और अधिकतम मान

वर्ग पूरा करना ·

A + B \geq 2 A B

$a x^{2} + b x + c$ का सबसे छोटा/बड़ा मान, दो अक्षरों के वर्ग, योग तय होने पर गुणनफल और गुणनफल तय होने पर योग।

🔒

यह भाग All Access में शामिल है।

पास लेने पर इस अध्याय के सारे उदाहरण, अभ्यास प्रश्न और हल खुल जाएँगे।

पास देखें · ₹100.00 पहले से पास है? लॉग इन करें

मान रखकर जाँच

सर्वसमिका हर मान पर सही

मान रखकर सूत्र या अपना उत्तर परखना, विकल्प छाँटना और गुणांक निकालना — और वे जाल जिनमें मान रखने पर भी धोखा हो जाता है।

🔒

यह भाग All Access में शामिल है।

पास लेने पर इस अध्याय के सारे उदाहरण, अभ्यास प्रश्न और हल खुल जाएँगे।

पास देखें · ₹100.00 पहले से पास है? लॉग इन करें

सार, मिश्रित अभ्यास, दोहराव

सब विधियाँ एक जगह

सभी सर्वसमिकाओं की एक सारणी, परीक्षा जैसे मिले-जुले प्रश्न और दोहराव कार्ड।

सभी विधियों का सार

कौन-सी सर्वसमिका कब

प्रश्न पढ़ते ही सही सर्वसमिका चुनने के लिए एक पन्ना।

🔒

यह भाग All Access में शामिल है।

पास लेने पर इस अध्याय के सारे उदाहरण, अभ्यास प्रश्न और हल खुल जाएँगे।

पास देखें · ₹100.00 पहले से पास है? लॉग इन करें

मिश्रित अभ्यास — सेट 1

आसान से मध्यम

हर प्रकार के प्रश्न मिले-जुले; पहले सर्वसमिका पहचानिए, फिर हल कीजिए।

🔒

यह भाग All Access में शामिल है।

पास लेने पर इस अध्याय के सारे उदाहरण, अभ्यास प्रश्न और हल खुल जाएँगे।

पास देखें · ₹100.00 पहले से पास है? लॉग इन करें

मिश्रित अभ्यास — सेट 2

मध्यम से कठिन

परीक्षा के कठिन छोर के मिले-जुले प्रश्न।

🔒

यह भाग All Access में शामिल है।

पास लेने पर इस अध्याय के सारे उदाहरण, अभ्यास प्रश्न और हल खुल जाएँगे।

पास देखें · ₹100.00 पहले से पास है? लॉग इन करें

दोहराव — कार्ड और जाल

पलटिए, याद कीजिए

हर कार्ड का प्रश्न पढ़कर पहले ख़ुद सोचिए, फिर पलटिए।

🔒

यह भाग All Access में शामिल है।

पास लेने पर इस अध्याय के सारे उदाहरण, अभ्यास प्रश्न और हल खुल जाएँगे।

पास देखें · ₹100.00 पहले से पास है? लॉग इन करें