ऊँचाई और दूरी: कोणों की चालें

प्रतियोगी गणित · SSC CGL

3 भाग12 हल किए उदाहरण24 अभ्यास प्रश्न

पिछले अध्याय ऊँचाई और दूरी की विधियाँ (एक कोण, दो स्थितियाँ) हर प्रश्न हल कर देती हैं, पर कुछ प्रश्नों में कोणों का आपसी रिश्ता इतना ख़ास होता है कि लंबा हिसाब बेकार है। परीक्षा में ऐसे प्रश्न पहचान लेने पर आधे मिनट में हल हो जाते हैं। इस अध्याय में पहले ये चालें, फिर वे जुड़े हुए चित्र जो मानक विधि से बनाए जाते हैं।

पहले यह याद कर लीजिए

∑ सूत्र

tan (9 0^{\circ} - θ) = cot θ = \frac{1}{tan θ} tan 2 θ = \frac{2 tan θ}{1 - tan ^{2} θ} exterior angle = sum of the two far interior angles

इस अध्याय के तीन तथ्य

$θ$: कोई तीव्र कोण
$tan 2 θ$: दुगुने कोण का $tan$ (केवल बराबर-कोण वाली विधि में)
$बाहरीकोण$: त्रिभुज की एक भुजा बढ़ाने पर बना कोण

कोण	$tan$	$cot$	$sin$
$1 5^{\circ}$	$2 - 3$	$2 + 3$	—
$3 0^{\circ}$	$\frac{1}{3}$	$3$	$\frac{1}{2}$
$4 5^{\circ}$	$1$	$1$	$\frac{1}{2}$
$6 0^{\circ}$	$3$	$\frac{1}{3}$	$\frac{3}{2}$
$7 5^{\circ}$	$2 + 3$	$2 - 3$	—

चित्र में कौन-सा कोण कहाँ लगता है, यह पिछले अध्याय में है: कोण हमेशा क्षैतिज से, पास आने पर बढ़ता है, एक ही तरफ़ के दो बिंदुओं के लिए $h = \frac{d}{c o t α - c o t β}$ ।

चित्र में क्या दिखे	चाल
दो कोण जिनका योग $9 0^{\circ}$	पूरक कोण: $h^{2} = ab$
कोण दुगुना हो गया ( $1 5^{\circ} \to 3 0^{\circ}$ , $θ \to 2 θ$ )	समद्विबाहु त्रिभुज
$tan$ या $sin$ भिन्न में	साझा ऊँचाई
दो भाग “बराबर कोण” अंतरित करते हैं	बराबर कोण
दो खंभे, बीच का बिंदु; सामने की इमारत	दो खंभे/इमारतें
एक ही खड़ी रेखा पर दो ऊँचाइयों से देखना	दो ऊँचाइयाँ
सीढ़ी, तार, सीढ़ियाँ	तिरछी रेखाएँ
टूटा पेड़	टूटा पेड़
ढलान, पहाड़ पर चढ़ना	ढलान
झील में बादल का प्रतिबिंब	प्रतिबिंब
गोला/गुब्बारा किसी कोण पर दिखे	गुब्बारे का कोण

सलाहआख़िरी चाल का नियम: पहले देखिए कि कोई ख़ास रिश्ता है या नहीं। न हो तो पिछले अध्याय की साधारण विधि लगाइए।

कोणों की चालें

पूरक · दुगुना · भिन्न · बराबर

जब कोणों का आपसी रिश्ता ख़ास हो: हिसाब छोटा हो जाता है।

पूरक कोण: $h^{2} = ab$

tan θ \cdot tan (9 0^{\circ} - θ) = 1

मीनार की सीध में दो बिंदुओं से कोण पूरक हों तो ऊँचाई उनकी दूरियों का गुणोत्तर-माध्य है।

विचार

मीनार की सीध में, पाद से $a$ और $b$ दूरी पर दो बिंदु हैं और उनसे चोटी के उन्नयन कोण पूरक हैं (योग $9 0^{\circ}$ )। दूर वाले बिंदु पर कोण $θ$ हो तो पास वाले पर $9 0^{\circ} - θ$ होगा। दूर वाले से $tan θ = \frac{h}{b}$ , पास वाले से $tan (9 0^{\circ} - θ) = cot θ = \frac{h}{a}$ । इन दोनों का गुणनफल $tan θ \cdot cot θ = 1$ है, यानी $\frac{h}{b} \times \frac{h}{a} = 1$ और $h^{2} = ab$ । न $θ$ चाहिए, न कोई $tan$ का मान।

◭ चित्र

दूर बिंदु (कोण

θ

) पाद से

b

और पास बिंदु (कोण

9 0^{\circ} - θ

) पाद से

a

दूर:

h^{2} = a b

∑ सूत्र

h^{2} = ab \Rightarrow h = ab

पूरक कोण

$h$: मीनार की ऊँचाई
$a, b$: दोनों बिंदुओं की पाद से दूरियाँ (एक ही ओर हों या दोनों ओर, कोई फ़र्क़ नहीं)

यह चाल तब भी चलती है जब बिंदु मीनार के दोनों ओर हों, क्योंकि $tan$ केवल दूरी देखता है, दिशा नहीं।

पहचानपहचान: “कोण पूरक हैं”, “कोणों का योग

9 0^{\circ}

”, “

θ

और

9 0^{\circ} - θ

”, या कोण

3 0^{\circ}

6 0^{\circ}

2 5^{\circ}

6 5^{\circ}

जैसे जोड़ी में। उत्तर हमेशा

ab

। फंदा:

\frac{a + b}{2}

या

ab

मत लिखिए।

कदम

जाँचिए कि दोनों कोणों का योग $9 0^{\circ}$ है।
दोनों दूरियाँ $a$ और $b$ पाद से नापिए, बिंदुओं के बीच से नहीं।
$h = ab$ लिखिए। जो दूरी न मिले उसके लिए $b = \frac{h ^{2}}{a}$ ।

◭ चित्र

उदाहरण 1

उदाहरण 1 · आसान

एक मीनार की सीध में, पाद से 8 मी और 18 मी की दूरी पर (एक ही ओर) दो बिंदुओं से चोटी के उन्नयन कोण पूरक हैं। मीनार की ऊँचाई बताइए।

हल, कदम-दर-कदम

1कोण पूरक हैं, इसलिए $h^{2} = ab$ । यहाँ $a = 8$ और $b = 18$ ।
2 $h^{2} = 8 \times 18 = 144$ ⟹ $h = 12$ मी।
3जाँच: दूर बिंदु पर $tan θ = \frac{12}{18} = \frac{2}{3}$ और पास बिंदु पर $tan (9 0^{\circ} - θ) = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$ ; गुणनफल $\frac{2}{3} \times \frac{3}{2} = 1$ ✓।

उत्तर 12 मी

यहाँ

θ \approx 33. 7^{\circ}

है जो कोई मानक कोण नहीं, फिर भी उत्तर सीधा मिला।

◭ चित्र

उदाहरण 2: मीनार के दोनों ओर

उदाहरण 2 · मध्यम

एक मीनार के दोनों ओर, उसकी सीध में, दो बिंदु पाद से 16 मी और 25 मी की दूरी पर हैं। उनसे चोटी के उन्नयन कोण पूरक हैं। मीनार की ऊँचाई बताइए।

हल, कदम-दर-कदम

1 $tan$ दिशा नहीं देखता, केवल पाद से दूरी देखता है। इसलिए दोनों ओर हों तब भी $h^{2} = ab$ ।
2 $h^{2} = 16 \times 25 = 400$ ⟹ $h = 20$ मी।

उत्तर 20 मी

बिंदुओं के बीच की दूरी

16 + 25 = 41

मी है, उसका इस्तेमाल नहीं हुआ।

◭ चित्र

उदाहरण 3

उदाहरण 3 · मध्यम

20 मी ऊँची मीनार की सीध में, एक ही ओर, दो बिंदुओं से चोटी के उन्नयन कोण पूरक हैं। पास का बिंदु पाद से 5 मी दूर है। दूर का बिंदु पाद से और दोनों बिंदुओं के बीच कितनी दूर है?

हल, कदम-दर-कदम

1 $h^{2} = ab$ में $h = 20$ , $a = 5$ : $400 = 5 b$ ⟹ $b = 80$ मी।
2दोनों बिंदु एक ही ओर हैं, इसलिए उनके बीच की दूरी दूरियों का अंतर है: $80 - 5 = 75$ मी।

उत्तर 80 मी; 75 मी

जाँच:

tan θ = \frac{20}{80} = \frac{1}{4}

और

tan (9 0^{\circ} - θ) = \frac{20}{5} = 4

; गुणनफल 1 ✓।

आसानपहले खुद करके देखें

किसी मीनार की सीध में पाद से 4 मी और 25 मी दूरी के दो बिंदुओं से उन्नयन कोण पूरक हैं। मीनार की ऊँचाई?

◭ चित्र

आसानपहले खुद करके देखें

पाद से 9 मी और 16 मी की दूरी के दो बिंदुओं से मीनार की चोटी के उन्नयन कोण पूरक हैं। मीनार की ऊँचाई?

मध्यमपहले खुद करके देखें

36 मी ऊँची मीनार की सीध में दो बिंदुओं से उन्नयन कोण पूरक हैं। पास वाला बिंदु पाद से 12 मी दूर है। दूर वाला बिंदु पाद से कितनी दूर है?

मध्यमपहले खुद करके देखें

मीनार के दोनों ओर पाद से 3 मी और 27 मी की दूरी पर दो बिंदुओं से चोटी के उन्नयन कोण पूरक हैं। मीनार की ऊँचाई?

मध्यमपहले खुद करके देखें

30 मी ऊँची मीनार की सीध में एक ही ओर दो बिंदुओं से कोण पूरक हैं। दूर वाला बिंदु पाद से 75 मी दूर है। दोनों बिंदुओं के बीच की दूरी?

कठिनपहले खुद करके देखें

एक मीनार की सीध में एक ही ओर दो बिंदुओं से चोटी के उन्नयन कोण पूरक हैं। बिंदु पाद से

a

और

4 a

दूर हैं और उनके बीच की दूरी 24 मी है। मीनार की ऊँचाई?

दुगुना कोण और समद्विबाहु चाल

β = 2 α \Rightarrow BT = A B

नज़दीक आने पर कोण दुगुना हो जाए तो चोटी की तिरछी दूरी चली हुई दूरी के बराबर होती है।

विचार

दूर बिंदु $A$ से चोटी $T$ का कोण $α$ है और पास आकर बिंदु $B$ से $β$ । त्रिभुज $A BT$ देखिए। $B$ पर $β$ इस त्रिभुज का बाहरी कोण है (क्योंकि $A B$ को $B$ से आगे बढ़ाने पर ज़मीन की सीध बनती है)। बाहरी कोण दूर के दो भीतरी कोणों के योग के बराबर होता है: $β = α + ∠ A TB$ , यानी $∠ A TB = β - α$ । अब अगर $β = 2 α$ , तो $∠ A TB = α$ । त्रिभुज में दो कोण बराबर ( $A$ पर $α$ और $T$ पर $α$ ) हैं, इसलिए उनके सामने की भुजाएँ बराबर हैं: $BT = A B$ ।

◭ चित्र

दुगुना कोण: त्रिभुज

A BT

में

∠ A = ∠ T = α

, इसलिए

BT = A B = d

∑ सूत्र

BT = A B = d, h = d sin β

जब

β = 2 α

$A B = d$: चली हुई दूरी (दो बिंदुओं के बीच)
$BT$: पास के बिंदु $B$ से चोटी तक तिरछी दूरी (कर्ण)
$h$: मीनार की ऊँचाई, $B$ वाले समकोण त्रिभुज में $BT$ का $sin β$ गुना
$β$: पास के बिंदु का उन्नयन कोण (दुगुना)

कोण $α \to β$	$h$ ( $d$ में)	लगभग
$1 5^{\circ} \to 3 0^{\circ}$	$d sin 3 0^{\circ} = \frac{d}{2}$	0.5 d
$3 0^{\circ} \to 6 0^{\circ}$	$d sin 6 0^{\circ} = \frac{3}{2} d$	0.866 d
$22. 5^{\circ} \to 4 5^{\circ}$	$d sin 4 5^{\circ} = \frac{d}{2}$	0.707 d

यहाँ $d$ वह दूरी है जो चली गई ( $A B$ ); पास के बिंदु से पाद तक की दूरी $c = d cos β$ भी इसी से मिलती है। कोण $α$ अज्ञात हो तो भी चलता है: $h = d^{2} - c^{2}$ (पाइथागोरस)।

पहचानपहचान: “कोण दुगुना हो गया”, “

1 5^{\circ}

से

3 0^{\circ}

”, “

3 0^{\circ}

से

6 0^{\circ}

”, “

θ

से

2 θ

”। ध्यान दें:

3 0^{\circ} \to 6 0^{\circ}

का उत्तर पिछले अध्याय की तालिका (

k = \frac{3}{2}

) से भी मिलता है;

1 5^{\circ} \to 3 0^{\circ}

में यह चाल बहुत समय बचाती है।

कदम

जाँचिए कि पास का कोण दूर के कोण का ठीक दुगुना है।
तब $BT = A B = d$ लिखिए: यह पास वाले समकोण त्रिभुज का कर्ण है।
$h = d sin β$ । या $α$ अज्ञात हो तो पास के बिंदु से पाद की दूरी $c$ लेकर $h = d^{2} - c^{2}$ ।

◭ चित्र

उदाहरण 1

उदाहरण 4 · आसान

एक मीनार की ओर 56 मी चलने पर उसकी चोटी का उन्नयन कोण

1 5^{\circ}

से

3 0^{\circ}

हो जाता है। मीनार की ऊँचाई कितनी है?

हल, कदम-दर-कदम

1त्रिभुज $A BT$ में $B$ का कोण $3 0^{\circ}$ बाहरी कोण है। इसलिए $T$ पर कोण $= 3 0^{\circ} - 1 5^{\circ} = 1 5^{\circ}$ , जो $A$ के कोण $1 5^{\circ}$ के बराबर है।
2दो कोण बराबर हैं, इसलिए $BT = A B = 56$ मी।
3 $B$ पर समकोण त्रिभुज में $BT$ कर्ण है और $h$ सामने की भुजा: $h = 56 sin 3 0^{\circ} = 56 \times \frac{1}{2} = 28$ मी।

उत्तर 28 मी

लंबे रास्ते से भी यही:

\frac{56}{c o t 1 5 ^{\circ} - c o t 3 0 ^{\circ}} = \frac{56}{( 2 + 3 ) - 3} = 28

✓।

◭ चित्र

उदाहरण 2

उदाहरण 5 · मध्यम

एक मीनार की ओर सीधे 24 मी चलने पर उन्नयन कोण

3 0^{\circ}

से

6 0^{\circ}

हो जाता है। मीनार की ऊँचाई और पास के बिंदु की पाद से दूरी बताइए।

हल, कदम-दर-कदम

1 $6 0^{\circ} = 2 \times 3 0^{\circ}$ , इसलिए कोण दुगुना है और $BT = A B = 24$ मी।
2 $B$ वाले $3 0^{\circ}$ - $6 0^{\circ}$ - $9 0^{\circ}$ त्रिभुज में कर्ण 24 है: ऊँचाई $= 24 sin 6 0^{\circ} = 123$ मी।
3 $B$ से पाद की दूरी $= 24 cos 6 0^{\circ} = 12$ मी।

उत्तर $123$ मी; 12 मी

तालिका से:

k = \frac{3}{2}

और

24 \times \frac{3}{2} = 123

✓।

◭ चित्र

उदाहरण 3: कोण

θ

अज्ञात

उदाहरण 6 · कठिन

मीनार के पाद से 180 मी दूर एक बिंदु से चोटी का उन्नयन कोण

θ

है। 130 मी मीनार की ओर चलने पर यह कोण

2 θ

हो जाता है। मीनार की ऊँचाई बताइए।

हल, कदम-दर-कदम

1कोण $θ$ से $2 θ$ हुआ, इसलिए $BT = A B = 130$ मी।
2पास का बिंदु $B$ पाद से $180 - 130 = 50$ मी दूर है।
3 $B$ वाले समकोण त्रिभुज में कर्ण 130 और आधार 50: $h = 13 0^{2} - 5 0^{2} = 16900 - 2500 = 14400 = 120$ मी।

उत्तर 120 मी

जाँच:

tan θ = \frac{120}{180} = \frac{2}{3}

tan 2 θ = \frac{2 \cdot \frac{2}{3}}{1 - \frac{4}{9}} = \frac{12}{5} = \frac{120}{50}

✓।

आसानपहले खुद करके देखें

मीनार की ओर 90 मी चलने पर उसकी चोटी का उन्नयन कोण

1 5^{\circ}

से

3 0^{\circ}

हो जाता है। मीनार की ऊँचाई?

◭ चित्र

आसानपहले खुद करके देखें

एक मीनार की ओर 50 मी चलने पर कोण

3 0^{\circ}

से

6 0^{\circ}

हो जाता है। मीनार की ऊँचाई?

◭ चित्र

मध्यमपहले खुद करके देखें

मीनार के पाद से 144 मी दूर एक बिंदु से कोण

θ

है। मीनार की ओर 90 मी चलने पर कोण

2 θ

हो जाता है। मीनार की ऊँचाई?

मध्यमपहले खुद करके देखें

मीनार से 81 मी दूर एक बिंदु से कोण

θ

है। 65 मी पास आने पर कोण

2 θ

हो जाता है। मीनार की ऊँचाई?

मध्यमपहले खुद करके देखें

एक मीनार की ओर 40 मी चलने पर कोण

22. 5^{\circ}

से

4 5^{\circ}

हो जाता है। मीनार की ऊँचाई?

कठिनपहले खुद करके देखें

21 मी ऊँची मीनार की ओर एक बिंदु से चलते हैं: कोण

θ

से

2 θ

होने में 29 मी चलना पड़ा। चलना शुरू करने से पहले वह बिंदु पाद से कितनी दूर था?

$tan$ भिन्न में: साझा ऊँचाई

ऊँचाई 1 इकाई, आधार

= \frac{q}{p}

कोण नहीं, $tan$ या $sin$ का भिन्न दिया हो तो ऊँचाई को ल.स. इकाई मानकर आधार निकालना।

विचार

कभी कोण नहीं, उसका $tan$ भिन्न में दिया होता है: $tan α = \frac{3}{8}$ , $tan β = \frac{2}{3}$ । भिन्न का अर्थ है ऊँचाई : आधार $= 3 : 8$ । दोनों त्रिभुजों की ऊँचाई एक ही है, पर अंश (3 और 2) अलग हैं, इसलिए आधार सीधे नहीं जोड़-घटा सकते। हल: ऊँचाई को अंशों के ल.स. के बराबर इकाई लीजिए ( $ल . स . (3, 2) = 6$ )। तब दोनों त्रिभुजों में ऊँचाई 6 इकाई है, और आधार $6 \times \frac{8}{3} = 16$ तथा $6 \times \frac{3}{2} = 9$ इकाई निकलते हैं।

◭ चित्र

ऊँचाई 6 इकाई: दूर बिंदु का आधार 16, पास का 9; अंतर 7 इकाई

=

दी हुई दूरी

दिया हुआ	सामने : पास	$tan$
$tan θ = \frac{3}{4}$	$3 : 4$	$\frac{3}{4}$
$sin θ = \frac{5}{13}$	$5 : 12$ (पाइथागोरस: $1 3^{2} - 5^{2} = 144$ )	$\frac{5}{12}$
$cos θ = \frac{3}{5}$	$4 : 3$ (लंब $= 5^{2} - 3^{2} = 4$ )	$\frac{4}{3}$

यहाँ: “सामने : पास” कोण के सामने की भुजा (ऊँचाई) और पास की भुजा (आधार) का अनुपात है; $sin$ या $cos$ दिया हो तो पहले उससे $tan$ बनाइए।

पहचानपहचान: “

tan A = \frac{3}{5}

”, “

sin θ = \frac{5}{13}

”, “

cot = \dots

”, या ऐसा अनुपात। अंश अलग हों तभी ल.स. चाहिए; अंश बराबर हों (जैसे दोनों 1) तो आधार सीधे

3 : 2

हैं।

कदम

हर कोण का $tan$ “सामने : पास” में लिखिए ( $sin / cos$ हो तो त्रिक से $tan$ बनाइए)।
ऊँचाई = अंशों का ल.स. (इकाई में) लीजिए और दोनों आधार निकालिए।
एक ही तरफ़ हों तो आधार घटाइए, दोनों ओर हों तो जोड़िए, और दी हुई दूरी के बराबर रखिए।
इकाई का मान निकालिए और ऊँचाई $=$ ल.स. $\times$ इकाई।

◭ चित्र

उदाहरण 1

उदाहरण 7 · आसान

एक मीनार की सीध में एक ही ओर दो बिंदुओं

A

(दूर) और

B

(पास) के बीच 110 मी है। चोटी के उन्नयन कोणों के लिए

tan A = \frac{2}{7}

और

tan B = \frac{3}{5}

। मीनार की ऊँचाई बताइए।

हल, कदम-दर-कदम

1 $tan A = \frac{2}{7}$ का अर्थ ऊँचाई : $A$ से आधार $= 2 : 7$ ; $tan B = \frac{3}{5}$ का अर्थ ऊँचाई : $B$ से आधार $= 3 : 5$ ।
2अंश 2 और 3 अलग हैं, इसलिए ऊँचाई $= ल . स . (2, 3) = 6$ इकाई। तब $A$ से आधार $6 \times \frac{7}{2} = 21$ इकाई और $B$ से $6 \times \frac{5}{3} = 10$ इकाई।
3एक ही ओर हैं, इसलिए $A B = 21 - 10 = 11$ इकाई $= 110$ मी ⟹ 1 इकाई $= 10$ मी।
4ऊँचाई $= 6$ इकाई $= 60$ मी।

उत्तर 60 मी

जाँच:

\frac{60}{210} = \frac{2}{7}

✓ और

\frac{60}{100} = \frac{3}{5}

✓।

◭ चित्र

उदाहरण 2: दोनों ओर

उदाहरण 8 · मध्यम

एक मीनार के दोनों ओर, उसकी सीध में, दो बिंदु 95 मी की दूरी पर हैं। उनसे चोटी के उन्नयन कोणों के

tan

क्रमशः

\frac{3}{5}

और

\frac{2}{3}

हैं। मीनार की ऊँचाई?

हल, कदम-दर-कदम

1अंश 3 और 2: ऊँचाई $= ल . स . = 6$ इकाई।
2पहले बिंदु का आधार $6 \times \frac{5}{3} = 10$ इकाई, दूसरे का $6 \times \frac{3}{2} = 9$ इकाई।
3आर-पार हैं: $10 + 9 = 19$ इकाई $= 95$ मी ⟹ 1 इकाई $= 5$ मी।
4ऊँचाई $= 6 \times 5 = 30$ मी।

उत्तर 30 मी

आधार दोनों ओर के हैं, इसलिए जोड़े गए, घटाए नहीं।

◭ चित्र

उदाहरण 3:

sin

और

cos

दिए हैं

उदाहरण 9 · मध्यम

एक मीनार की सीध में एक ही ओर दो बिंदुओं के बीच 150 मी है। दूर के बिंदु पर चोटी के कोण

α

के लिए

sin α = \frac{7}{25}

और पास के बिंदु पर कोण

β

के लिए

cos β = \frac{3}{5}

। मीनार की ऊँचाई?

हल, कदम-दर-कदम

1 $sin α = \frac{7}{25}$ : कर्ण 25, सामने की भुजा 7, इसलिए पास की भुजा $625 - 49 = 24$ । $tan α = \frac{7}{24}$ ।
2 $cos β = \frac{3}{5}$ : कर्ण 5, पास की भुजा 3, सामने की भुजा 4। $tan β = \frac{4}{3}$ ।
3अंश 7 और 4: ऊँचाई $= 28$ इकाई। दूर का आधार $28 \times \frac{24}{7} = 96$ , पास का $28 \times \frac{3}{4} = 21$ इकाई।
4अंतर $96 - 21 = 75$ इकाई $= 150$ मी ⟹ 1 इकाई $= 2$ मी। ऊँचाई $= 28 \times 2 = 56$ मी।

उत्तर 56 मी

जाँच:

tan α = \frac{56}{192} = \frac{7}{24}

✓ और

tan β = \frac{56}{42} = \frac{4}{3}

✓।

आसानपहले खुद करके देखें

मीनार की एक ही सीध में एक ही ओर दो बिंदुओं के बीच की दूरी 24 मी है। उन बिंदुओं पर चोटी के उन्नयन कोण

α

और

β

हैं (

α

दूर वाले बिंदु पर) जहाँ

tan α = \frac{1}{3}

और

tan β = \frac{1}{2}

। मीनार की ऊँचाई बताइए।

आसानपहले खुद करके देखें

मीनार की एक ही सीध में एक ही ओर दो बिंदुओं के बीच की दूरी 33 मी है। उन बिंदुओं पर चोटी के उन्नयन कोण

α

और

β

हैं (

α

दूर वाले बिंदु पर) जहाँ

tan α = \frac{2}{7}

और

tan β = \frac{1}{2}

। मीनार की ऊँचाई बताइए।

मध्यमपहले खुद करके देखें

मीनार की एक ही सीध में एक ही ओर दो बिंदुओं के बीच की दूरी 45 मी है। उन बिंदुओं पर चोटी के उन्नयन कोण

α

और

β

हैं (

α

दूर वाले बिंदु पर) जहाँ

tan α = \frac{4}{9}

और

tan β = \frac{4}{3}

। मीनार की ऊँचाई बताइए।

मध्यमपहले खुद करके देखें

मीनार की एक ही सीध में उसके दोनों ओर दो बिंदुओं के बीच की दूरी 100 मी है। उन बिंदुओं पर चोटी के उन्नयन कोण

α

और

β

हैं जहाँ

tan α = \frac{1}{2}

और

tan β = \frac{1}{3}

। मीनार की ऊँचाई बताइए।

मध्यमपहले खुद करके देखें

मीनार की एक ही सीध में उसके दोनों ओर दो बिंदुओं के बीच की दूरी 55 मी है। उन बिंदुओं पर चोटी के उन्नयन कोण

α

और

β

हैं जहाँ

tan α = \frac{3}{5}

और

tan β = \frac{1}{2}

। मीनार की ऊँचाई बताइए।

कठिनपहले खुद करके देखें

एक मीनार की सीध में एक ही ओर दो बिंदुओं के बीच 66 मी है। दूर के बिंदु पर

sin α = \frac{5}{13}

और पास के बिंदु पर

tan β = \frac{4}{3}

है। मीनार की ऊँचाई?

बराबर कोण

x^{2} = \frac{b ^{2} ( b + f )}{f - b}

दो भाग (इमारत और उस पर का झंडा) आँख पर बराबर कोण अंतरित करें तो दुगुने कोण का सूत्र।

विचार

मान लीजिए ज़मीन के बिंदु $O$ से इमारत (ऊँचाई $b$ ) और उस पर लगा झंडा-स्तंभ (लंबाई $f$ ) एक जैसा कोण बनाते हैं। इमारत $O$ पर $α$ बनाती है (पाद से चोटी तक), और झंडा उसके ऊपर उतना ही $α$ । तब पूरे ( $b + f$ ) का उन्नयन कोण $2 α$ है। इसलिए $tan α = \frac{b}{x}$ और $tan 2 α = \frac{b + f}{x}$ , जहाँ $x$ पाद की दूरी है। $tan 2 α = \frac{2 t a n α}{1 - t a n ^{2} α}$ रखने पर सब $x$ में आ जाता है।

◭ चित्र

इमारत और झंडा दोनों

O

पर

α

अंतरित करते हैं, इसलिए पूरी ऊँचाई का कोण

2 α

∑ सूत्र

\frac{2 b / x}{1 - b ^{2} / x ^{2}} = \frac{b + f}{x} \Rightarrow x^{2} = \frac{b ^{2} ( b + f )}{f - b}

बराबर कोण

$b$: नीचे वाले भाग (इमारत) की ऊँचाई
$f$: ऊपर वाले भाग (झंडा-स्तंभ) की लंबाई; इस विधि में $f > b$
$x$: देखने वाले से पाद की ज़मीनी दूरी

सूत्र रटने की जगह $tan α = \frac{b}{x}$ का भिन्न बनाकर $tan 2 α$ निकालना आसान है। कुछ मेल याद रखिए: $tan α = \frac{1}{3} \Rightarrow tan 2 α = \frac{3}{4}$ और $b : f = 4 : 5$ ; $tan α = \frac{1}{2} \Rightarrow tan 2 α = \frac{4}{3}$ और $b : f = 3 : 5$ ।

पहचानपहचान: “दोनों बराबर कोण अंतरित करते हैं”, “आँख पर समान कोण”, “

θ

और

2 θ

”। अंतरित कोण पर पिछला अध्याय देखिए: अंतरित कोण का अर्थ दोनों सिरों की दृष्टि-रेखाओं के बीच का कोण है।

कदम

इमारत और पूरी ऊँचाई के कोण $α$ और $2 α$ लिखिए।
$tan α = \frac{b}{x}$ और $tan 2 α = \frac{b + f}{x}$ बनाइए।
$tan 2 α = \frac{2 t a n α}{1 - t a n ^{2} α}$ में रखकर $x^{2}$ निकालिए।

◭ चित्र

उदाहरण 1

उदाहरण 10 · मध्यम

एक 6 मी ऊँची इमारत पर 10 मी का झंडा-स्तंभ लगा है। ज़मीन के एक बिंदु पर इमारत और झंडा-स्तंभ बराबर कोण बनाते हैं। वह बिंदु इमारत के पाद से कितनी दूर है?

हल, कदम-दर-कदम

1कोण $α$ और $2 α$ : $tan α = \frac{6}{x}$ और $tan 2 α = \frac{6 + 10}{x} = \frac{16}{x}$ ।
2 $tan 2 α = \frac{2 t a n α}{1 - t a n ^{2} α}$ में रखिए: $\frac{16}{x} = \frac{12/ x}{1 - 36/ x ^{2}}$ ।
3दोनों ओर $\frac{1}{x}$ कटता है: $16 (1 - \frac{36}{x ^{2}}) = 12$ ⟹ $1 - \frac{36}{x ^{2}} = \frac{3}{4}$ ⟹ $\frac{36}{x ^{2}} = \frac{1}{4}$ ।
4 $x^{2} = 144$ ⟹ $x = 12$ मी। (सूत्र से: $\frac{36 \times 16}{4} = 144$ ✓)

उत्तर 12 मी

जाँच:

tan α = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}

और

tan 2 α = \frac{1}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{4}{3} = \frac{16}{12}

✓।

◭ चित्र

उदाहरण 2

उदाहरण 11 · मध्यम

8 मी ऊँचे भवन पर 10 मी की मीनार है। किसी बिंदु से भवन और मीनार आँख पर बराबर कोण बनाते हैं। बिंदु भवन के पाद से कितनी दूर है?

हल, कदम-दर-कदम

1 $tan α = \frac{8}{x}$ और $tan 2 α = \frac{18}{x}$ । सूत्र: $x^{2} = \frac{b ^{2} ( b + f )}{f - b} = \frac{64 \times 18}{2}$ ।
2 $x^{2} = 576$ ⟹ $x = 24$ मी।

उत्तर 24 मी

जाँच:

tan α = \frac{1}{3}

tan 2 α = \frac{2/3}{8/9} = \frac{3}{4} = \frac{18}{24}

✓।

◭ चित्र

उदाहरण 3: झंडे की लंबाई पूछी है

उदाहरण 12 · कठिन

36 मी दूर के बिंदु से 12 मी ऊँची इमारत और उस पर लगा झंडा-स्तंभ आँख पर बराबर कोण बनाते हैं। झंडा-स्तंभ की लंबाई बताइए।

हल, कदम-दर-कदम

1 $tan α = \frac{12}{36} = \frac{1}{3}$ ।
2 $tan 2 α = \frac{2 \times \frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{9}} = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{8}{9}} = \frac{3}{4}$ ।
3पूरी ऊँचाई $= 36 \times \frac{3}{4} = 27$ मी, इसलिए झंडा $= 27 - 12 = 15$ मी।

उत्तर 15 मी

यहाँ

x

ज्ञात है, इसलिए सीधे

tan 2 α

से।

मध्यमपहले खुद करके देखें

4 मी ऊँचे मकान पर 5 मी की छड़ लगी है। ज़मीन के एक बिंदु पर मकान और छड़ बराबर कोण बनाते हैं। बिंदु मकान से कितनी दूर है?

◭ चित्र

मध्यमपहले खुद करके देखें

3 मी ऊँचे खंभे पर 5 मी का बोर्ड-दंड लगा है। एक बिंदु पर खंभा और दंड बराबर कोण बनाते हैं। बिंदु खंभे के पाद से कितनी दूर है?

मध्यमपहले खुद करके देखें

12 मी ऊँचे भवन पर 15 मी की मीनार है। एक बिंदु से भवन और मीनार आँख पर बराबर कोण बनाते हैं। बिंदु की दूरी?

मध्यमपहले खुद करके देखें

15 मी ऊँची इमारत पर 17 मी का मास्ट है। एक बिंदु से इमारत और मास्ट आँख पर बराबर कोण बनाते हैं। बिंदु की पाद से दूरी?

कठिनपहले खुद करके देखें

60 मी दूर के बिंदु से 20 मी ऊँची इमारत और उस पर लगा झंडा-स्तंभ आँख पर बराबर कोण बनाते हैं। झंडा-स्तंभ की लंबाई?

कठिनपहले खुद करके देखें

48 मी दूर के बिंदु से एक इमारत और उस पर लगी 20 मी की मीनार आँख पर बराबर कोण बनाती हैं। इमारत की ऊँचाई? (संकेत: यहाँ

x = 3 b

है)

जुड़े हुए चित्र

दो खंभे · सीढ़ी · ढलान · प्रतिबिंब

वे चित्र जिनमें दो या ज़्यादा समकोण त्रिभुज एक-दूसरे से जुड़ते हैं, और जिन्हें हम अलग-अलग हल करके जोड़ते हैं।

दो खंभे या दो इमारतें

बीच का बिंदु · सामने की इमारत

दो खड़ी चीज़ों के बीच एक बिंदु से, या एक इमारत की चोटी से दूसरी को देखना।

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एक खड़ी रेखा पर दो ऊँचाइयाँ

d = \frac{e}{t a n α - t a n β}

पेड़ के पाद से और पेड़ की चोटी से मीनार को देखना; अधूरे खंभे को बढ़ाना।

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सीढ़ी, तार और सीढ़ियाँ

कर्ण

\to sin, cos

सीधी तिरछी रेखाएँ: सीढ़ी, तार, रेलिंग। ऊँचाई $l sin θ$ और दूरी $l cos θ$ ।

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टूटा पेड़ या झुका खंभा

H = x + \frac{x}{s i n θ}

तूफ़ान से टूटकर झुका पेड़: खड़ा भाग और झुका भाग दोनों जोड़कर कुल ऊँचाई।

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ढलान और पहाड़ पर चढ़ना

उठान

= L sin φ

ढलानदार रास्ते की ऊँचाई और दूरी, और ढलान पर चलते हुए चोटी का कोण बदलना।

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झील में प्रतिबिंब

H = e \frac{t a n β + t a n α}{t a n β - t a n α}

बादल (या पक्षी, तारा) और उसका प्रतिबिंब पानी में: वस्तु जितनी ऊपर, प्रतिबिंब उतना ही नीचे।

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गुब्बारे का कोण

OC = \frac{r}{s i n ( α /2 )}

गोला आँख पर कोण $α$ अंतरित करे और उसके केंद्र का उन्नयन कोण $β$ हो, तब केंद्र की ऊँचाई।

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सार, मिश्रित अभ्यास, दोहराव

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पहचान · सूत्र

हर विधि: प्रश्न कैसे पहचानें और कौन-सा सूत्र लगाएँ।

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परीक्षा जैसे मिले-जुले प्रश्न: पहले पहचानिए कि कौन-सी चाल या विधि है।

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दोहराव कार्ड

परीक्षा से पहले पाँच मिनट

सबसे ज़रूरी बातें, टैप करके उत्तर देखिए।

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ऊँचाई और दूरी: कोणों की चालें

पहले यह याद कर लीजिए

कोणों की चालें

पूरक कोण: $h^{2} = ab$

विचार

कदम

दुगुना कोण और समद्विबाहु चाल

विचार

कदम

$tan$ भिन्न में: साझा ऊँचाई

विचार

कदम

बराबर कोण

विचार

कदम

जुड़े हुए चित्र

दो खंभे या दो इमारतें

एक खड़ी रेखा पर दो ऊँचाइयाँ

सीढ़ी, तार और सीढ़ियाँ

टूटा पेड़ या झुका खंभा

ढलान और पहाड़ पर चढ़ना

झील में प्रतिबिंब

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