क्षेत्रफल और परिमाप — अतिरिक्त अभ्यास

प्रतियोगी गणित · ज्यामिति

9 भाग4 हल किए उदाहरण53 अभ्यास प्रश्न

ध्यान देंयह अतिरिक्त अभ्यास है: यहाँ बहुत सारे प्रश्न हैं। तरीके पहले सीखने हों तो इसी विषय का मुख्य अध्याय (बिना “अतिरिक्त अभ्यास” वाला) पढ़ें, फिर यहाँ अभ्यास करें।

अपने कमरे के फ़र्श पर टाइल बिछानी हो तो कितनी टाइल चाहिए? यह जानने के लिए फ़र्श की जगह (क्षेत्रफल) चाहिए। और दीवार के नीचे बॉर्डर लगानी हो तो कितनी लंबी लगेगी? इसके लिए फ़र्श का घेरा (परिमाप) चाहिए। इसलिए: परिमाप = चारों ओर की लंबाई (इकाई: सेमी, मी), क्षेत्रफल = भीतर की जगह (इकाई: वर्ग सेमी, वर्ग मी)। इस अध्याय में हम हर आकृति के लिए ये दोनों निकालना सीखते हैं — और फिर देखते हैं कि भुजाएँ बदलने पर या रास्ता बनाने पर ये कैसे बदलते हैं।

∑ सूत्र

आयत : A = l b, P = 2 (l + b); वृत्त : A = π r^{2}, C = 2 π r; त्रिभुज : A = \frac{1}{2} bh

तीन सबसे ज़रूरी सूत्र

त्रिभुज

आधा गुणा आधार गुणा ऊँचाई

हीरोन का सूत्र, समकोण, समद्विबाहु, समबाहु, समरूप और भुजाओं की सीमा।

प्रकार और सूत्र

हर त्रिभुज का अपना सूत्र

सबसे पहले पहचानिए कि त्रिभुज किस प्रकार का है।

◭ चित्र

त्रिभुज: क्षेत्रफल

= \frac{1}{2} \times b \times h

; परिमाप

=

तीनों भुजाओं का योग

त्रिभुज	क्षेत्रफल	परिमाप
कोई भी, भुजाएँ $a, b, c$	$s (s - a) (s - b) (s - c)$ , $s = \frac{a + b + c}{2}$	$a + b + c$
समकोण (लंब $p$ , आधार $b$ , कर्ण $h$ )	$\frac{1}{2} p b$ , $h^{2} = p^{2} + b^{2}$	$p + b + h$
समबाहु (भुजा $a$ )	$\frac{3}{4} a^{2}$ ; ऊँचाई $\frac{3}{2} a$	$3 a$
समद्विबाहु (बराबर $a$ , आधार $b$ )	$\frac{b}{4} 4 a^{2} - b^{2}$	$2 a + b$

किन्हीं दो भुजाओं का योग तीसरी से बड़ा होता है; इसलिए तीसरी भुजा $x$ : $∣ a - b ∣ < x < a + b$ ।
समरूप त्रिभुजों में क्षेत्रफलों का अनुपात संगत भुजाओं के अनुपात का वर्ग।
मध्य-बिंदुओं को मिलाने से बना त्रिभुज मूल का आधा-आधा भुजाओं वाला (क्षेत्रफल चौथाई) होता है।

उदाहरण 1 · आसान

भुजाओं 10 सेमी, 13 सेमी और 13 सेमी वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल?

हल, कदम-दर-कदम

1 $s = \frac{10 + 13 + 13}{2} = 18$ ।
2 $18 \times 8 \times 5 \times 5 = 3600 = 60$ वर्ग सेमी

उत्तर 60 वर्ग सेमी

उदाहरण 2 · मध्यम

समबाहु त्रिभुज का परिमाप 60 सेमी है। उसका क्षेत्रफल?

हल, कदम-दर-कदम

1भुजा $= 20$ सेमी।
2क्षेत्रफल $= \frac{3}{4} \times 400 = 1003$ वर्ग सेमी

उत्तर $1003$ वर्ग सेमी

आसानपहले खुद करके देखें

एक त्रिभुज की भुजाएँ 7 सेमी, 15 सेमी और 20 सेमी हैं। उसका क्षेत्रफल (वर्ग सेमी)?

मध्यमपहले खुद करके देखें

एक त्रिभुज की भुजाएँ 20 सेमी, 21 सेमी और 29 सेमी हैं। उसका क्षेत्रफल (वर्ग सेमी)?

मध्यमपहले खुद करके देखें

एक त्रिभुज की भुजाएँ 9 सेमी, 10 सेमी और 17 सेमी हैं। उसका क्षेत्रफल (वर्ग सेमी)?

मध्यमपहले खुद करके देखें

एक त्रिभुज की भुजाएँ 17 सेमी, 25 सेमी और 26 सेमी हैं। उसका क्षेत्रफल (वर्ग सेमी)?

कठिनपहले खुद करके देखें

एक त्रिभुज की भुजाएँ 14 सेमी, 25 सेमी और 25 सेमी हैं। उसका क्षेत्रफल (वर्ग सेमी)?

कठिनपहले खुद करके देखें

एक त्रिभुज की भुजाएँ 13 सेमी, 13 सेमी और 24 सेमी हैं। उसका क्षेत्रफल (वर्ग सेमी)?

कठिनपहले खुद करके देखें

एक त्रिभुज की भुजाएँ 16 सेमी, 17 सेमी और 17 सेमी हैं। उसका क्षेत्रफल (वर्ग सेमी)?

कठिनपहले खुद करके देखें

एक त्रिभुज की भुजाएँ 6 सेमी, 25 सेमी और 29 सेमी हैं। उसका क्षेत्रफल (वर्ग सेमी)?

आसानपहले खुद करके देखें

समबाहु त्रिभुज की भुजा 10 सेमी है। उसका क्षेत्रफल?

मध्यमपहले खुद करके देखें

समबाहु त्रिभुज की भुजा 12 सेमी है। उसका क्षेत्रफल?

मध्यमपहले खुद करके देखें

समबाहु त्रिभुज की भुजा 20 सेमी है। उसका क्षेत्रफल?

मध्यमपहले खुद करके देखें

समबाहु त्रिभुज की भुजा 10 सेमी है। उसकी ऊँचाई?

मध्यमपहले खुद करके देखें

समबाहु त्रिभुज की भुजा 14 सेमी है। उसकी ऊँचाई?

कठिनपहले खुद करके देखें

समबाहु त्रिभुज का परिमाप 72 सेमी है। उसका क्षेत्रफल?

कठिनपहले खुद करके देखें

समबाहु त्रिभुज का परिमाप 48 सेमी है। उसका क्षेत्रफल?

मध्यमपहले खुद करके देखें

एक त्रिभुज की दो भुजाएँ 8 और 13 इकाई हैं। तीसरी भुजा

x

के लिए सही कथन?

मध्यमपहले खुद करके देखें

एक त्रिभुज की दो भुजाएँ 12 और 20 इकाई हैं। तीसरी भुजा

x

के लिए सही कथन?

कठिनपहले खुद करके देखें

एक त्रिभुज की दो भुजाएँ 9 और 14 इकाई हैं। तीसरी भुजा

x

के लिए सही कथन?

कठिनपहले खुद करके देखें

एक त्रिभुज की दो भुजाएँ 7 और 18 इकाई हैं। तीसरी भुजा

x

के लिए सही कथन?

मध्यमपहले खुद करके देखें

दो समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाओं का अनुपात 2 : 5 है। उनके क्षेत्रफलों का अनुपात?

मध्यमपहले खुद करके देखें

दो समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाओं का अनुपात 4 : 9 है। उनके क्षेत्रफलों का अनुपात?

कठिनपहले खुद करके देखें

दो समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाओं का अनुपात 5 : 8 है। उनके क्षेत्रफलों का अनुपात?

मध्यमपहले खुद करके देखें

एक त्रिभुज का परिमाप 32 सेमी है। इसकी भुजाओं के मध्य-बिंदु मिलाकर एक छोटा त्रिभुज बनाया गया, फिर उस छोटे त्रिभुज के मध्य-बिंदु मिलाकर एक और त्रिभुज बनाया गया। सबसे छोटे त्रिभुज का परिमाप (सेमी में)?

कठिनपहले खुद करके देखें

एक त्रिभुज का परिमाप 64 सेमी है। इसकी भुजाओं के मध्य-बिंदु मिलाकर एक छोटा त्रिभुज बनाया गया, फिर उस छोटे त्रिभुज के मध्य-बिंदु मिलाकर एक और त्रिभुज बनाया गया। सबसे छोटे त्रिभुज का परिमाप (सेमी में)?

कठिनपहले खुद करके देखें

एक त्रिभुज का परिमाप 80 सेमी है। इसकी भुजाओं के मध्य-बिंदु मिलाकर एक छोटा त्रिभुज बनाया गया, फिर उस छोटे त्रिभुज के मध्य-बिंदु मिलाकर एक और त्रिभुज बनाया गया। सबसे छोटे त्रिभुज का परिमाप (सेमी में)?

समकोण और समद्विबाहु

पाइथागोरस का नियम

कर्ण, लंब, आधार और कर्ण पर डाला गया लंब; समद्विबाहु की ऊँचाई।

पाइथागोरस: $h^{2} = p^{2} + b^{2}$ । प्रसिद्ध त्रिक: $(3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17), (7, 24, 25), (20, 21, 29)$ और इनके गुणज।
कर्ण पर लंब: क्षेत्रफल दो तरीकों से लिखिए — $\frac{1}{2} p b = \frac{1}{2} h \times लंब$ ⟹ लंब $= \frac{p b}{h}$ ।
समद्विबाहु: ऊँचाई आधार को आधा-आधा बाँटती है: $h = a^{2} - (\frac{b}{2})^{2}$ ।
परिमाप में बराबर भुजाओं का योग दिया हो तो तीसरी भुजा $=$ परिमाप $-$ वह योग।

उदाहरण 3 · आसान

समकोण त्रिभुज की समकोण वाली भुजाएँ 9 सेमी और 12 सेमी हैं। कर्ण पर डाले गए लंब की लंबाई?

हल, कदम-दर-कदम

1कर्ण $= 81 + 144 = 15$ ; क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 9 \times 12 = 54$ ।
2 $\frac{1}{2} \times 15 \times लंब = 54$ ⟹ लंब $= 7.2$ सेमी

उत्तर 7.2 सेमी

उदाहरण 4 · मध्यम

एक समद्विबाहु त्रिभुज की बराबर भुजाएँ 13 सेमी और आधार 10 सेमी है। क्षेत्रफल?

हल, कदम-दर-कदम

1 $h = 1 3^{2} - 5^{2} = 144 = 12$ ।
2क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 10 \times 12 = 60$ वर्ग सेमी

उत्तर 60 वर्ग सेमी

आसानपहले खुद करके देखें

एक समकोण त्रिभुज की दो भुजाएँ (समकोण वाली) 9 सेमी और 12 सेमी हैं। कर्ण की लंबाई?

आसानपहले खुद करके देखें

एक समकोण त्रिभुज की दो भुजाएँ (समकोण वाली) 8 सेमी और 15 सेमी हैं। कर्ण की लंबाई?

मध्यमपहले खुद करके देखें

एक समकोण त्रिभुज की दो भुजाएँ (समकोण वाली) 7 सेमी और 24 सेमी हैं। कर्ण की लंबाई?

मध्यमपहले खुद करके देखें

एक समकोण त्रिभुज की दो भुजाएँ (समकोण वाली) 20 सेमी और 21 सेमी हैं। कर्ण की लंबाई?

कठिनपहले खुद करके देखें

एक समकोण त्रिभुज की दो भुजाएँ (समकोण वाली) 12 सेमी और 35 सेमी हैं। कर्ण की लंबाई?

कठिनपहले खुद करके देखें

एक समकोण त्रिभुज की दो भुजाएँ (समकोण वाली) 28 सेमी और 45 सेमी हैं। कर्ण की लंबाई?

आसानपहले खुद करके देखें

एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल 60 वर्ग सेमी है और उसका लंब 8 सेमी है। आधार (सेमी में)?

आसानपहले खुद करके देखें

एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल 48 वर्ग सेमी है और उसका लंब 12 सेमी है। आधार (सेमी में)?

मध्यमपहले खुद करके देखें

एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल 84 वर्ग सेमी है और उसका लंब 14 सेमी है। आधार (सेमी में)?

मध्यमपहले खुद करके देखें

एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल 90 वर्ग सेमी है और उसका लंब 20 सेमी है। आधार (सेमी में)?

कठिनपहले खुद करके देखें

एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल 150 वर्ग सेमी है और उसका लंब 25 सेमी है। आधार (सेमी में)?

कठिनपहले खुद करके देखें

एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल 120 वर्ग सेमी है और उसका लंब 16 सेमी है। आधार (सेमी में)?

मध्यमपहले खुद करके देखें

एक समकोण त्रिभुज की समकोण वाली भुजाएँ 3 सेमी और 4 सेमी हैं। कर्ण पर डाले गए लंब की लंबाई (सेमी)?

मध्यमपहले खुद करके देखें

एक समकोण त्रिभुज की समकोण वाली भुजाएँ 6 सेमी और 8 सेमी हैं। कर्ण पर डाले गए लंब की लंबाई (सेमी)?

मध्यमपहले खुद करके देखें

एक समकोण त्रिभुज की समकोण वाली भुजाएँ 15 सेमी और 20 सेमी हैं। कर्ण पर डाले गए लंब की लंबाई (सेमी)?

कठिनपहले खुद करके देखें

एक समकोण त्रिभुज की समकोण वाली भुजाएँ 12 सेमी और 16 सेमी हैं। कर्ण पर डाले गए लंब की लंबाई (सेमी)?

कठिनपहले खुद करके देखें

एक समकोण त्रिभुज की समकोण वाली भुजाएँ 7 सेमी और 24 सेमी हैं। कर्ण पर डाले गए लंब की लंबाई (सेमी)?

कठिनपहले खुद करके देखें

एक समकोण त्रिभुज की समकोण वाली भुजाएँ 24 सेमी और 32 सेमी हैं। कर्ण पर डाले गए लंब की लंबाई (सेमी)?

आसानपहले खुद करके देखें

एक समद्विबाहु त्रिभुज का परिमाप 36 सेमी है और उसकी बराबर भुजाओं का योग 22 सेमी है। तीसरी भुजा (सेमी में)?

आसानपहले खुद करके देखें

एक समद्विबाहु त्रिभुज का परिमाप 28 सेमी है और उसकी बराबर भुजाओं का योग 16 सेमी है। तीसरी भुजा (सेमी में)?

मध्यमपहले खुद करके देखें

एक समद्विबाहु त्रिभुज का परिमाप 50 सेमी है और उसकी बराबर भुजाओं का योग 30 सेमी है। तीसरी भुजा (सेमी में)?

मध्यमपहले खुद करके देखें

एक समद्विबाहु त्रिभुज का परिमाप 60 सेमी है और उसकी बराबर भुजाओं का योग 36 सेमी है। तीसरी भुजा (सेमी में)?

मध्यमपहले खुद करके देखें

एक समद्विबाहु त्रिभुज की बराबर भुजाएँ 5 सेमी और आधार 6 सेमी है। उसका क्षेत्रफल (वर्ग सेमी)?

मध्यमपहले खुद करके देखें

एक समद्विबाहु त्रिभुज की बराबर भुजाएँ 10 सेमी और आधार 12 सेमी है। उसका क्षेत्रफल (वर्ग सेमी)?

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एक समद्विबाहु त्रिभुज की बराबर भुजाएँ 17 सेमी और आधार 16 सेमी है। उसका क्षेत्रफल (वर्ग सेमी)?

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एक समद्विबाहु त्रिभुज की बराबर भुजाएँ 25 सेमी और आधार 14 सेमी है। उसका क्षेत्रफल (वर्ग सेमी)?

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एक समद्विबाहु त्रिभुज की बराबर भुजाएँ 20 सेमी और आधार 24 सेमी है। उसका क्षेत्रफल (वर्ग सेमी)?

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एक समद्विबाहु त्रिभुज की बराबर भुजाएँ 15 सेमी और आधार 18 सेमी है। उसका क्षेत्रफल (वर्ग सेमी)?

चतुर्भुज

आयत से समलंब तक

आयत, वर्ग, समांतर चतुर्भुज, समचतुर्भुज और समलंब के क्षेत्रफल और परिमाप।

आयत और वर्ग

l b

और

a^{2}

क्षेत्रफल, परिमाप, विकर्ण और अनुपात-आधारित प्रश्न।

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समांतर चतुर्भुज, समचतुर्भुज और समलंब

ऊँचाई और विकर्ण

आधार × ऊँचाई; विकर्णों का गुणनफल / 2; समांतर भुजाओं का माध्य × ऊँचाई।

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बहुभुज

कोण और विकर्ण

सम बहुभुज के कोण, विकर्णों की संख्या और षट्भुज का क्षेत्रफल।

कोण, विकर्ण और षट्भुज

बाह्य कोणों का योग

36 0^{\circ}

$n$ भुजाओं वाले सम बहुभुज के सब सूत्र।

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वृत्त

π

का खेल

वृत्त, अर्धवृत्त, त्रिज्यखंड, चाप, छल्ला, पहिया और रेसिंग ट्रैक।

वृत्त, अर्धवृत्त और त्रिज्यखंड

π = \frac{22}{7}

जब त्रिज्या 7 का गुणज हो तो $π = \frac{22}{7}$ सुविधाजनक है।

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छल्ला, पहिया और दौड़-पथ

दो वृत्तों का अंतर

दो संकेंद्री वृत्तों के बीच का क्षेत्र; पहिए के चक्कर और दौड़-पथ की चौड़ाई।

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प्रतिशत परिवर्तन

भुजा बदलने पर क्षेत्रफल

भुजाएँ $a %$ और $b %$ बदलें तो क्षेत्रफल कितना बदलेगा।

$a + b + \frac{ab}{100}$

घटने का चिह्न ऋणात्मक

दो परिवर्तनों के संयोजन का एक ही सूत्र, चाहे वृद्धि हो या कमी।

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रास्ते, खर्च और अंतर्लिखित आकृतियाँ

सामान्य जीवन के प्रश्न

खेत के चारों ओर रास्ता, सड़कें, टाइल, कालीन, बाड़ और आकृति में बनी दूसरी आकृति।

रास्ते और लागत

बाहरी

-

भीतरी

रास्ते का क्षेत्रफल बाहरी और भीतरी आकृतियों का अंतर; खर्च $=$ क्षेत्रफल $\times$ दर।

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एक आकृति में दूसरी आकृति

बराबर परिमाप, सबसे बड़ी अंतर्लिखित आकृति

सबसे बड़ा वृत्त आयत में, वर्ग वृत्त में, त्रिभुज अर्धवृत्त में; कोनों के चतुर्थांश।

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जाल और तेज़ चालें

गलतियाँ · तरकीबें

क्षेत्रफल-परिमाप में अंक कहाँ कटते हैं।

सबसे आम गलतियाँ

सात जाल

जिन गलतियों पर अंक कटते हैं।

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तेज़ चालें

पहचानिए और सूत्र लगाइए

जल्दी हल करने की आदतें।

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अभ्यास की सीढ़ी

आसान → मध्यम → कठिन

हर प्रकार के नए प्रश्न, तीन स्तरों में।

स्तर 1 — आसान

सीधे सूत्र

एक सूत्र वाले प्रश्न।

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स्तर 2 — मध्यम

दो विचारों का मेल

परीक्षा-स्तर के प्रश्न।

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स्तर 3 — कठिन

कई कदम और चालाक सोच

प्रतियोगी परीक्षाओं के कठिन स्तर के प्रश्न।

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दोहराव — सूत्र कार्ड

पलटिए और खुद से पूछिए

हर कार्ड का प्रश्न पढ़कर पहले खुद सोचिए, फिर पलटिए।

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क्षेत्रफल और परिमाप — अतिरिक्त अभ्यास

त्रिभुज

प्रकार और सूत्र

समकोण और समद्विबाहु

चतुर्भुज

आयत और वर्ग

समांतर चतुर्भुज, समचतुर्भुज और समलंब

बहुभुज

कोण, विकर्ण और षट्भुज

वृत्त

वृत्त, अर्धवृत्त और त्रिज्यखंड

छल्ला, पहिया और दौड़-पथ

प्रतिशत परिवर्तन

$a + b + \frac{ab}{100}$

रास्ते, खर्च और अंतर्लिखित आकृतियाँ

रास्ते और लागत

एक आकृति में दूसरी आकृति

जाल और तेज़ चालें

सबसे आम गलतियाँ

तेज़ चालें

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