त्रिभुज के क्षेत्रफल अनुपात

प्रतियोगी गणित · SSC CGL

4 भाग10 हल किए उदाहरण21 अभ्यास प्रश्न

त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times$ आधार $\times$ ऊँचाई है। इसलिए दो त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात उनके आधारों के अनुपात और ऊँचाइयों के अनुपात का गुणनफल है। यही एक वाक्य इस पूरे अध्याय की जड़ है: जब ऊँचाई बराबर हो तो आधार देखिए, जब आधार बराबर हो तो ऊँचाई देखिए, और जब कुछ भी बराबर न हो तो कोण देखिए।

पिछले अध्याय “समरूप त्रिभुज और क्षेत्रफल अनुपात” में हमने समरूप त्रिभुजों के लिए क्षेत्रफल का वर्ग-नियम सीखा। यहाँ त्रिभुज समरूप नहीं हैं: बस एक ही रेखा पर आधार हैं, या एक ही समांतर रेखाओं के बीच हैं, या एक कोण साझा है।

चित्र में क्या दिखे	कौन-सी विधि
एक शीर्ष से आधार पर बिंदु, “BD : DC”	आधार और ऊँचाई
माध्यिका, केंद्रक, मध्य-बिंदुओं को जोड़ना	मध्य-बिंदु और केंद्रक
समांतर चतुर्भुज, भुजाओं के मध्य-बिंदु, छायांकित भाग	समांतर चतुर्भुज: कुल मान लो
समांतर चतुर्भुज के भीतर बिंदु $P$	भीतरी बिंदु और विकर्ण
समलंब चतुर्भुज के विकर्ण, चार त्रिभुज	समलंब के चार त्रिभुज
एक ही कोण $A$ , बिंदु $D$ और $E$ भुजाओं पर	एक ही कोण का नियम
कटती रेखाओं से बने छोटे त्रिभुज	भार से क्षेत्रफल

शुरुआतहर प्रश्न का पहला काम: भिन्नों से बचने के लिए कोई सुविधाजनक कुल क्षेत्रफल मान लीजिए (जैसे 16, 24, 48, 100) और फिर हर टुकड़े का क्षेत्रफल उसी में लिखिए। अंत में अनुपात निकाल लीजिए। कुल क्षेत्रफल मानने से उत्तर नहीं बदलता, क्योंकि प्रश्न अनुपात का है।

हर विधि का क्रम एक-सा है: विचार, सूत्र, पहचान, कदम, हल किए उदाहरण, फिर स्वयं करने के प्रश्न। चित्र अपने-आप चलते हैं; उन्हें तर्क के क्रम में देखिए।

आधार, ऊँचाई और मध्य-बिंदु

बराबर ऊँचाई · माध्यिका

आधार और ऊँचाई से क्षेत्रफल का अनुपात, और माध्यिका व मध्य-बिंदुओं से बने बराबर टुकड़े।

आधार और ऊँचाई के नियम

बराबर ऊँचाई · बराबर आधार · समांतर रेखाएँ

क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times$ आधार $\times$ ऊँचाई से निकले चार नियम: साझा ऊँचाई, साझा आधार, समांतर रेखाओं के बीच और माध्यिका।

विचार

क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} b h$ है ( $b$ = आधार, $h$ = उस आधार पर लंब से नापी ऊँचाई)। मान लीजिए दो त्रिभुजों की ऊँचाई एक ही है। तब $\frac{1}{2} h$ दोनों में साझा है और अनुपात केवल आधारों का रह जाता है। ठीक इसी तरह आधार एक ही हो तो अनुपात ऊँचाइयों का।

◭ चित्र

A

से

BC

पर लंब

h

दोनों त्रिभुजों

A B D

और

A D C

के लिए एक ही है, इसलिए

[A B D] : [A D C] = B D : D C = 2 : 3

∑ सूत्र

\frac{[ A B D ]}{[ A D C ]} = \frac{B D}{D C} and in general \frac{[ △ _{1} ]}{[ △ _{2} ]} = \frac{b _{1}}{b _{2}} \times \frac{h _{1}}{h _{2}}

क्षेत्रफल का अनुपात

$[A B D]$: $△ A B D$ का क्षेत्रफल (वर्ग कोष्ठक = क्षेत्रफल)
$B D, D C$: एक ही रेखा $BC$ पर आधार
$b_{1}, b_{2}$: दोनों त्रिभुजों के आधार
$h_{1}, h_{2}$: उन आधारों पर ऊँचाइयाँ

चार नियम

नियम	कब	नतीजा
1. साझा शीर्ष, आधार एक रेखा पर	$D$ on $BC$	$[A B D] : [A D C] = B D : D C$
2. साझा आधार	दोनों का आधार $BC$	क्षेत्रफल : ऊँचाई
3. साझा आधार, एक ही समांतर रेखाओं के बीच	दोनों शीर्ष एक रेखा $l ∥ BC$ पर	क्षेत्रफल बराबर
4. माध्यिका	$D$ , $BC$ का मध्य-बिंदु	$[A B D] = [A D C] = \frac{1}{2} [A BC]$

नियम 3 को चलते चित्र में देखिए: शीर्ष $A$ रेखा $l$ पर कहीं भी खिसके, ऊँचाई $h$ वही रहती है, इसलिए क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times BC \times h$ नहीं बदलता।

◭ चित्र

शीर्ष रेखा

l ∥ BC

पर चलता है: त्रिभुज का आकार बदलता है, पर क्षेत्रफल वही

◭ चित्र

माध्यिका

A D

: बराबर आधार

B D = D C

और साझा ऊँचाई, इसलिए दोनों भाग

\frac{1}{2}

एक उपयोगी नतीजा (नियम 3 से): समलंब चतुर्भुज $A BC D$ में $A B ∥ D C$ हो तो $[A B D] = [A BC]$ (साझा आधार $A B$ , शीर्ष $D$ और $C$ रेखा $D C ∥ A B$ पर)। दोनों में से साझा $[A OB]$ घटाने पर $[A O D] = [BOC]$ , जहाँ $O$ विकर्णों का कटान-बिंदु है।

सावधानीसबसे आम गलती: ऊँचाई बराबर न होने पर भी आधारों का अनुपात ले लेना। पहले पूछिए: क्या शीर्ष साझा है और आधार एक ही रेखा पर हैं?

कदम

दोनों त्रिभुजों के आधार और ऊँचाई पहचानिए; देखिए कौन-सी चीज़ साझा है।
साझा ऊँचाई ⟹ आधारों का अनुपात; साझा आधार ⟹ ऊँचाइयों का अनुपात; समांतर रेखाओं के बीच साझा आधार ⟹ बराबर।
सुविधाजनक कुल क्षेत्रफल मानकर टुकड़ों के क्षेत्रफल लिखिए।

उदाहरण 1 · आसान

△ A BC

में

D

भुजा

BC

पर

B D : D C = 3 : 5

।

△ A BC

का क्षेत्रफल 96 वर्ग सेमी है।

△ A B D

और

△ A D C

के क्षेत्रफल?

हल, कदम-दर-कदम

1 $A$ से $BC$ पर लंब दोनों त्रिभुजों के लिए एक ही ऊँचाई $h$ है।
2इसलिए $[A B D] : [A D C] = B D : D C = 3 : 5$ । कुल $3 + 5 = 8$ भाग $= 96$ , 1 भाग $= 12$ ।
3 $[A B D] = 3 \times 12 = 36$ और $[A D C] = 5 \times 12 = 60$ वर्ग सेमी।

उत्तर 36 और 60 वर्ग सेमी

जाँच:

36 + 60 = 96

। ✓

उदाहरण 2 · मध्यम

समलंब चतुर्भुज

A BC D

में

A B ∥ D C

और विकर्ण

O

पर कटते हैं।

[A B D] = 54

और

[A OB] = 30

वर्ग सेमी।

[A O D]

और

[BOC]

ज्ञात कीजिए।

हल, कदम-दर-कदम

1 $△ A B D$ और $△ A BC$ का आधार $A B$ साझा है। $D$ और $C$ दोनों रेखा $D C ∥ A B$ पर हैं, इसलिए ऊँचाई बराबर: $[A BC] = [A B D] = 54$ ।
2 $[A B D] = [A OB] + [A O D]$ ⟹ $[A O D] = 54 - 30 = 24$ ।
3इसी तरह $[A BC] = [A OB] + [BOC]$ ⟹ $[BOC] = 54 - 30 = 24$ ।

उत्तर $[A O D] = [BOC] = 24$ वर्ग सेमी

साझा हिस्सा घटाने की चाल: बराबर को बराबर में से घटाओ।

उदाहरण 3 · मध्यम

△ A BC

की भुजा

BC

पर बिंदु

D

और

E

इस प्रकार हैं कि

B D : D E : EC = 2 : 3 : 4

।

△ A BC

का क्षेत्रफल 108 वर्ग सेमी है।

△ A B D

△ A D E

△ A EC

और

△ A D C

के क्षेत्रफल?

हल, कदम-दर-कदम

1चारों त्रिभुजों का शीर्ष $A$ साझा है और आधार एक ही रेखा $BC$ पर हैं, इसलिए ऊँचाई साझा है। क्षेत्रफल आधारों के अनुपात में: $2 : 3 : 4$ ।
2कुल $2 + 3 + 4 = 9$ भाग $= 108$ , 1 भाग $= 12$ ।
3 $[A B D] = 24$ , $[A D E] = 36$ , $[A EC] = 48$ वर्ग सेमी।
4 $[A D C] = [A D E] + [A EC] = 36 + 48 = 84$ वर्ग सेमी (या $\frac{7}{9} \times 108$ )।

उत्तर 24, 36, 48 और 84 वर्ग सेमी

कई टुकड़े हों तो सबको एक साथ भागों में लिखिए।

उदाहरण 4 · मध्यम

दो त्रिभुजों के आधार 8 सेमी और 12 सेमी हैं और उन आधारों पर ऊँचाइयाँ क्रमशः 9 सेमी और 5 सेमी हैं। उनके क्षेत्रफलों का अनुपात?

हल, कदम-दर-कदम

1यहाँ आधार और ऊँचाई दोनों अलग हैं, इसलिए दोनों अनुपात गुणा होंगे।
2 $\frac{[ △ _{1} ]}{[ △ _{2} ]} = \frac{8}{12} \times \frac{9}{5} = \frac{72}{60} = \frac{6}{5}$ ।
3जाँच: क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times 8 \times 9 = 36$ और $\frac{1}{2} \times 12 \times 5 = 30$ , अनुपात $36 : 30 = 6 : 5$ । ✓

उत्तर $6 : 5$

ज्यादातर प्रश्नों में एक चीज़ साझा रहती है; यहाँ नहीं थी तो दोनों गुणा हुए।

उदाहरण 5 · कठिन

△ A BC

का क्षेत्रफल 120 वर्ग सेमी है।

D

भुजा

BC

पर है,

B D : D C = 3 : 2

और

E

रेखा

A D

का मध्य-बिंदु है।

△ B D E

का क्षेत्रफल?

हल, कदम-दर-कदम

1पहला कदम: $[A B D] : [A D C] = B D : D C = 3 : 2$ (साझा ऊँचाई), इसलिए $[A B D] = \frac{3}{5} \times 120 = 72$ ।
2दूसरा कदम: $△ A B D$ में $E$ , $A D$ का मध्य-बिंदु है। $△ A BE$ और $△ BE D$ का शीर्ष $B$ साझा है और आधार $A E = E D$ एक ही रेखा $A D$ पर, इसलिए बराबर।
3 $[B D E] = \frac{1}{2} \times 72 = 36$ वर्ग सेमी।

उत्तर 36 वर्ग सेमी

दो-चरण प्रश्न: पहले बड़े भाग निकालिए, फिर उसी नियम से उसे फिर बाँटिए।

स्वयं कीजिए

◭ चित्र

आसानपहले खुद करके देखें

△ A BC

में

D

भुजा

BC

पर है और

B D : D C = 2 : 3

।

△ A BC

का क्षेत्रफल 80 वर्ग सेमी है।

△ A B D

का क्षेत्रफल?

◭ चित्र

आसानपहले खुद करके देखें

△ A BC

में

D

भुजा

BC

पर है और

B D : D C = 5 : 3

।

△ A BC

का क्षेत्रफल 72 वर्ग सेमी है।

△ A D C

का क्षेत्रफल?

आसानपहले खुद करके देखें

△ A BC

में

A D

माध्यिका है और

[A BC] = 150

वर्ग सेमी।

[A D C]

मध्यमपहले खुद करके देखें

एक त्रिभुज का आधार 15 सेमी और ऊँचाई 12 सेमी है; दूसरे का आधार 25 सेमी और ऊँचाई 9 सेमी। क्षेत्रफलों का अनुपात?

मध्यमपहले खुद करके देखें

समलंब चतुर्भुज

A BC D

में

A B ∥ D C

, विकर्ण

O

पर कटते हैं,

[A B D] = 75

और

[A OB] = 45

वर्ग सेमी।

[A O D]

मध्यमपहले खुद करके देखें

△ PQR

का क्षेत्रफल 36 वर्ग सेमी है।

QR

के समांतर

P

से जाती रेखा पर कोई बिंदु

S

लिया गया।

[SQR]

मध्यमपहले खुद करके देखें

△ A BC

की भुजा

BC

पर बिंदु

D

E

हैं और

B D : D E : EC = 1 : 4 : 5

।

[A BC] = 200

वर्ग सेमी।

[A D E]

कठिनपहले खुद करके देखें

△ A BC

का क्षेत्रफल 210 वर्ग सेमी है।

D

भुजा

BC

पर है,

B D : D C = 3 : 4

, और

E

रेखा

A D

पर

A E : E D = 2 : 3

।

[A BE]

कठिनपहले खुद करके देखें

समलंब चतुर्भुज

A BC D

में

A B ∥ D C

और

A B = 2 D C

।

[A B D] = 48

वर्ग सेमी हो तो समलंब का क्षेत्रफल?

आसानपहले खुद करके देखें

दो त्रिभुजों का आधार

BC = 12

सेमी साझा है और

A

A_{2}

की

BC

से ऊँचाइयाँ 7 सेमी और 10 सेमी हैं। क्षेत्रफलों का अनुपात?

कठिनपहले खुद करके देखें

△ A BC

में

D

भुजा

BC

पर है,

B D : D C = 4 : 3

और

[A B D] - [A D C] = 6

वर्ग सेमी।

[A BC]

मध्य-बिंदु, माध्यिका और केंद्रक

बराबर टुकड़े: आधा, चौथाई, छठा भाग

मध्य-बिंदुओं को जोड़ने से बने चार बराबर त्रिभुज, तीन माध्यिकाओं से बने छह बराबर त्रिभुज और उनसे निकले क्षेत्रफल।

विचार

मध्य-बिंदु हर जगह “बराबर आधार” देते हैं, और बराबर आधार + साझा ऊँचाई का मतलब बराबर क्षेत्रफल। इसलिए मध्य-बिंदु वाले चित्र बराबर टुकड़ों में कटते हैं। तीन ऐसे चित्र बार-बार आते हैं:

1. माध्यिका $A D$ त्रिभुज को दो बराबर भागों में बाँटती है (पिछली विधि)।

2. मध्य-बिंदु त्रिभुज: $D, E, F$ क्रमशः $BC, C A, A B$ के मध्य-बिंदु हों तो $D E, EF, F D$ जोड़ने पर चार सर्वांगसम (बराबर) त्रिभुज बनते हैं (क्योंकि $EF ∥ BC$ , $EF = \frac{1}{2} BC$ आदि)। हर एक $\frac{1}{4}$ है।

◭ चित्र

मध्य-बिंदु जोड़ने पर चार बराबर त्रिभुज:

[D EF] = \frac{1}{4} [A BC]

3. केंद्रक: तीनों माध्यिकाएँ एक बिंदु $G$ (केंद्रक) पर मिलती हैं और त्रिभुज को छह बराबर त्रिभुजों में बाँटती हैं। क्यों? माध्यिका $A D$ से $[A B D] = [A D C] = \frac{1}{2}$ । $G$ , $A D$ को $2 : 1$ में बाँटता है, इसलिए $[GB D] = [G D C] = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$ (साझा ऊँचाई, आधार का एक-तिहाई), और बाकी चार भी इसी तरह $\frac{1}{6}$ ।

◭ चित्र

तीन माध्यिकाएँ: छह बराबर टुकड़े, हर एक

\frac{1}{6}

क्षेत्र	भाग
$[GBC], [GC A], [G A B]$	$\frac{1}{3}$ प्रत्येक
छह छोटे त्रिभुजों में से कोई एक ( $[GB D]$ आदि)	$\frac{1}{6}$
चतुर्भुज $A FGE$ (दो छोटे त्रिभुज)	$\frac{1}{3}$
मध्य-बिंदु त्रिभुज $[D EF]$	$\frac{1}{4}$
$[GEF]$ ( $EF ∥ BC$ , $EF = \frac{1}{2} BC$ )	$\frac{1}{4} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{12}$
$E$ , माध्यिका $A D$ का मध्य-बिंदु: $[A BE]$ , $[A CE]$	$\frac{1}{4}$ प्रत्येक

यहाँ: $D, E, F$ = भुजाओं के मध्य-बिंदु; $G$ = केंद्रक; $[]$ = क्षेत्रफल।

उपयोगीमाध्यिका पर कोई भी बिंदु $P$ लीजिए तो

[PB D] = [PC D]

और

[A BP] = [A CP]

(क्योंकि

B D = D C

और

P

से दोनों का साझा संबंध)। इसलिए माध्यिका के पूरे हिस्से पर क्षेत्रफल बराबर बँटता है।

कदम

मध्य-बिंदुओं और माध्यिकाओं पर निशान लगाइए और कुल क्षेत्रफल को छह या बारह बराबर टुकड़ों की इकाई मानिए।
पूछा गया भाग उन इकाइयों में गिनिए; जहाँ टुकड़ा तीन-चौथाई जैसा हो, वहाँ साझा ऊँचाई वाला नियम लगाइए।
अनुपात माँगा हो तो दो गिनतियों को भाग दीजिए।

उदाहरण 6 · आसान

△ A BC

की माध्यिकाएँ

A D

BE

CF

केंद्रक

G

पर मिलती हैं।

[A BC] = 144

वर्ग सेमी हो तो

[GBC]

[G D C]

और चतुर्भुज

A FGE

का क्षेत्रफल?

हल, कदम-दर-कदम

1तीन माध्यिकाएँ $△ A BC$ को छह बराबर त्रिभुजों में बाँटती हैं, हर एक $\frac{144}{6} = 24$ वर्ग सेमी।
2 $△ GBC$ में दो छोटे त्रिभुज ( $GB D$ और $G D C$ ): $[GBC] = 48$ ।
3 $△ G D C$ एक छोटा त्रिभुज: $[G D C] = 24$ ।
4चतुर्भुज $A FGE$ में $△ A FG$ और $△ A GE$ , यानी दो: $48$ वर्ग सेमी।

उत्तर $[GBC] = 48$ , $[G D C] = 24$ , $[A FGE] = 48$ वर्ग सेमी

जाँच: तीनों

[GBC] + [GC A] + [G A B] = 48 \times 3 = 144

। ✓

उदाहरण 7 · मध्यम

D, E, F

क्रमशः

BC, C A, A B

के मध्य-बिंदु हैं।

[D EF] = 18

वर्ग सेमी।

[A BC]

और चतुर्भुज

A F D E

का क्षेत्रफल?

हल, कदम-दर-कदम

1मध्य-बिंदु जोड़ने से चार बराबर त्रिभुज बनते हैं, इसलिए $[A BC] = 4 \times 18 = 72$ वर्ग सेमी।
2 $A F D E$ में दो छोटे त्रिभुज ( $A FE$ और $D EF$ ) हैं: $2 \times 18 = 36$ वर्ग सेमी।
3(यह $\frac{1}{2} \times 72 = 36$ भी है, क्योंकि $A F D E$ समांतर चतुर्भुज है।)

उत्तर $[A BC] = 72$ , $[A F D E] = 36$ वर्ग सेमी

मध्य-बिंदु त्रिभुज हमेशा

\frac{1}{4}

।

उदाहरण 8 · मध्यम

△ A BC

में

D

भुजा

BC

का मध्य-बिंदु है और

E

रेखा

A D

पर

A E : E D = 1 : 2

।

[A BC] = 96

वर्ग सेमी।

[A BE]

और

[BEC]

ज्ञात कीजिए।

हल, कदम-दर-कदम

1 $A D$ माध्यिका है: $[A B D] = \frac{1}{2} \times 96 = 48$ ।
2 $△ A BE$ और $△ A B D$ का शीर्ष $B$ साझा है और आधार $A E : A D = 1 : 3$ एक ही रेखा $A D$ पर: $[A BE] = \frac{1}{3} \times 48 = 16$ ।
3 $△ BEC$ और $△ A BC$ का आधार $BC$ साझा; ऊँचाइयाँ $E D : A D = 2 : 3$ : $[BEC] = \frac{2}{3} \times 96 = 64$ ।

उत्तर $[A BE] = 16$ , $[BEC] = 64$ वर्ग सेमी

जाँच:

[A BE] + [A CE] = 2 \times 16 = 32

और

[BEC] = 64

, कुल

96

। ✓

उदाहरण 9 · कठिन

माध्यिकाएँ

BE

और

CF

केंद्रक

G

पर मिलती हैं (

E, F

क्रमशः

C A, A B

के मध्य-बिंदु)।

[A BC] = 60

वर्ग सेमी।

[GEF]

और अनुपात

[GEF] : [BCEF]

ज्ञात कीजिए।

हल, कदम-दर-कदम

1 $[GBC] = \frac{1}{3} \times 60 = 20$ (तीन माध्यिकाओं से $G$ के तीन त्रिभुज बराबर)।
2मध्य-बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा $EF$ : $EF ∥ BC$ और $EF = \frac{1}{2} BC$ । $△ GEF$ और $△ GCB$ में $∠ GEF = ∠ GCB$ और $∠ GFE = ∠ GBC$ (वैकल्पिक कोण) हैं, इसलिए समरूप, गुणक $\frac{1}{2}$ ।
3क्षेत्रफल का वर्ग-नियम (पिछला अध्याय): $[GEF] = (\frac{1}{2})^{2} \times 20 = 5$ वर्ग सेमी।
4चतुर्भुज $BCEF = [A BC] - [A FE] = 60 - 15 = 45$ ( $A FE$ मध्य-बिंदु त्रिभुज का $\frac{1}{4}$ )। इसलिए $[GEF] : [BCEF] = 5 : 45 = 1 : 9$ ।

उत्तर $[GEF] = 5$ वर्ग सेमी; अनुपात $1 : 9$

यहाँ समरूपता और क्षेत्रफल-नियम मिलकर चले;

\frac{1}{12} : \frac{3}{4} = 1 : 9

।

उदाहरण 10 · कठिन

A D

माध्यिका है और उस पर बिंदु

P

इस प्रकार है कि

A P : P D = 3 : 1

।

[A BC] = 80

वर्ग सेमी।

[PBC]

[A BP]

और

[A CP]

ज्ञात कीजिए।

हल, कदम-दर-कदम

1 $△ PBC$ और $△ A BC$ का आधार $BC$ साझा है। ऊँचाइयाँ $P$ और $A$ से $BC$ तक की हैं, जो $P D : A D$ के अनुपात में हैं ( $P$ , $A$ , $D$ एक रेखा में)।
2 $A D = A P + P D = 3 + 1 = 4$ भाग, इसलिए $P D : A D = 1 : 4$ और $[PBC] = \frac{1}{4} \times 80 = 20$ वर्ग सेमी।
3बाकी $80 - 20 = 60$ वर्ग सेमी $[A BP]$ और $[A CP]$ में बराबर बँटता है (माध्यिका पर बिंदु): हर एक $30$ ।

उत्तर $[PBC] = 20$ , $[A BP] = [A CP] = 30$ वर्ग सेमी

A P : P D = 2 : 1

रखने पर

P = G

और

[PBC] = \frac{1}{3}

आएगा। ✓

स्वयं कीजिए

◭ चित्र

आसानपहले खुद करके देखें

△ A BC

की माध्यिकाएँ

A D

BE

CF

केंद्रक

G

पर मिलती हैं और

[A BC] = 120

वर्ग सेमी।

△ GBC

का क्षेत्रफल?

आसानपहले खुद करके देखें

D, E, F

क्रमशः

BC, C A, A B

के मध्य-बिंदु हैं और

[D EF] = 25

वर्ग सेमी।

[A BC]

आसानपहले खुद करके देखें

D, E, F

क्रमशः

BC, C A, A B

के मध्य-बिंदु हैं और

[A BC] = 84

वर्ग सेमी। चतुर्भुज

B D EF

का क्षेत्रफल?

◭ चित्र

मध्यमपहले खुद करके देखें

△ A BC

की माध्यिकाएँ

A D

BE

CF

केंद्रक

G

पर मिलती हैं और

[A BC] = 72

वर्ग सेमी। चतुर्भुज

A FGE

का क्षेत्रफल?

मध्यमपहले खुद करके देखें

△ A BC

में

D

BC

का मध्य-बिंदु है और

E

रेखा

A D

पर

A E : E D = 1 : 2

।

[BEC] = 60

वर्ग सेमी।

[A BC]

मध्यमपहले खुद करके देखें

G

केंद्रक है।

G

से

BC

के समांतर रेखा

A B

और

A C

को

P

और

Q

पर काटती है।

[A BC] = 81

वर्ग सेमी।

[A PQ]

कठिनपहले खुद करके देखें

माध्यिकाएँ

A D

BE

CF

केंद्रक

G

पर मिलती हैं।

[GEF] : [A FGE]

ज्ञात कीजिए।

कठिनपहले खुद करके देखें

A D

माध्यिका है और उस पर

P

ऐसा है कि

A P : P D = 2 : 3

।

[A BC] = 150

वर्ग सेमी।

[A BP]

कठिनपहले खुद करके देखें

BC

पर

D, E

इस प्रकार हैं कि

B D = D E = EC

।

F

भुजा

A C

का मध्य-बिंदु है।

[A BC] = 60

वर्ग सेमी।

[D EF]

कठिनपहले खुद करके देखें

△ A BC

का क्षेत्रफल 60 वर्ग सेमी है।

D

BC

का मध्य-बिंदु,

E

A D

का मध्य-बिंदु और

F

A E

का मध्य-बिंदु है।

[A BF]

समांतर चतुर्भुज और समलंब

कुल मान लो · चार त्रिभुज

समांतर चतुर्भुज में टुकड़े, भीतरी बिंदु के नियम, और समलंब चतुर्भुज के विकर्णों से बने चार त्रिभुज।

समांतर चतुर्भुज में टुकड़े: कुल मान लो

मध्य-बिंदु · छायांकित भाग · भिन्न

समांतर चतुर्भुज के मध्य-बिंदुओं और शीर्षों को जोड़ने से बने त्रिभुजों के क्षेत्रफल, कुल क्षेत्रफल मानकर।

🔒

यह भाग All Access में शामिल है।

पास लेने पर इस अध्याय के सारे उदाहरण, अभ्यास प्रश्न और हल खुल जाएँगे।

पास देखें · ₹100.00 पहले से पास है? लॉग इन करें

भीतरी बिंदु और विकर्ण

आमने-सामने के त्रिभुजों का योग · विकर्ण

समांतर चतुर्भुज के भीतर किसी बिंदु से बने चार त्रिभुजों का नियम और किसी भी चतुर्भुज के विकर्णों से बने त्रिभुज।

🔒

यह भाग All Access में शामिल है।

पास लेने पर इस अध्याय के सारे उदाहरण, अभ्यास प्रश्न और हल खुल जाएँगे।

पास देखें · ₹100.00 पहले से पास है? लॉग इन करें

समलंब के चार त्रिभुज

विकर्णों से बने चार क्षेत्र: a², ab, ab, b²

समलंब चतुर्भुज के विकर्ण उसे चार त्रिभुजों में बाँटते हैं जिनके क्षेत्रफल $a^{2} : ab : ab : b^{2}$ के अनुपात में होते हैं।

🔒

यह भाग All Access में शामिल है।

पास लेने पर इस अध्याय के सारे उदाहरण, अभ्यास प्रश्न और हल खुल जाएँगे।

पास देखें · ₹100.00 पहले से पास है? लॉग इन करें

कोण और कटती रेखाएँ

साझा कोण · भार

एक ही कोण वाले त्रिभुजों का नियम और कटती रेखाओं से बने त्रिभुजों के क्षेत्रफल।

एक ही कोण का नियम

दो भुजाओं के अंशों का गुणनफल

जब दो त्रिभुजों का एक कोण साझा (या बराबर, या सम्पूरक) हो: क्षेत्रफलों का अनुपात उस कोण को घेरने वाली भुजाओं के गुणनफलों का अनुपात।

🔒

यह भाग All Access में शामिल है।

पास लेने पर इस अध्याय के सारे उदाहरण, अभ्यास प्रश्न और हल खुल जाएँगे।

पास देखें · ₹100.00 पहले से पास है? लॉग इन करें

कटती रेखाएँ और क्षेत्रफल: भार से

क्षेत्रफल : शीर्षों के भार

त्रिभुज के भीतर दो रेखाएँ कटें तो उनसे बने त्रिभुजों के क्षेत्रफल: साझा-ऊँचाई के दो कदम, या भार-बिंदुओं से सीधे।

🔒

यह भाग All Access में शामिल है।

पास लेने पर इस अध्याय के सारे उदाहरण, अभ्यास प्रश्न और हल खुल जाएँगे।

पास देखें · ₹100.00 पहले से पास है? लॉग इन करें

सार, मिश्रित अभ्यास, दोहराव

सारी विधियाँ एक जगह

सभी विधियों की एक-पृष्ठ तालिका, परीक्षा जैसे मिले-जुले प्रश्न और दोहराव कार्ड।

सभी विधियों का सार

पहचान · सूत्र

हर विधि: प्रश्न कैसे पहचानें और कौन-सा सूत्र लगाएँ।

🔒

यह भाग All Access में शामिल है।

पास लेने पर इस अध्याय के सारे उदाहरण, अभ्यास प्रश्न और हल खुल जाएँगे।

पास देखें · ₹100.00 पहले से पास है? लॉग इन करें

मिश्रित अभ्यास

परीक्षा जैसे प्रश्न

सभी विधियों के मिले-जुले प्रश्न, बिना बताए कि कौन-सी विधि लगानी है।

🔒

यह भाग All Access में शामिल है।

पास लेने पर इस अध्याय के सारे उदाहरण, अभ्यास प्रश्न और हल खुल जाएँगे।

पास देखें · ₹100.00 पहले से पास है? लॉग इन करें

दोहराव

कार्ड · आम गलतियाँ

सूत्र याद करने के कार्ड और परीक्षा की सबसे आम गलतियाँ।

🔒

यह भाग All Access में शामिल है।

पास लेने पर इस अध्याय के सारे उदाहरण, अभ्यास प्रश्न और हल खुल जाएँगे।

पास देखें · ₹100.00 पहले से पास है? लॉग इन करें

त्रिभुज के क्षेत्रफल अनुपात

आधार, ऊँचाई और मध्य-बिंदु

आधार और ऊँचाई के नियम

विचार

चार नियम

कदम

स्वयं कीजिए

मध्य-बिंदु, माध्यिका और केंद्रक

विचार

कदम

स्वयं कीजिए

समांतर चतुर्भुज और समलंब

समांतर चतुर्भुज में टुकड़े: कुल मान लो

भीतरी बिंदु और विकर्ण

समलंब के चार त्रिभुज

कोण और कटती रेखाएँ

एक ही कोण का नियम

कटती रेखाएँ और क्षेत्रफल: भार से

सार, मिश्रित अभ्यास, दोहराव

सभी विधियों का सार

मिश्रित अभ्यास

दोहराव

Free All Access Passevery mind map · Hindi + English · 12 months

How is it going?