समरूप त्रिभुज और क्षेत्रफल अनुपात

प्रतियोगी गणित · SSC CGL

5 भाग8 हल किए उदाहरण17 अभ्यास प्रश्न

आप किसी फ़ोटो को छोटा-बड़ा करते हैं तो आकार वही रहता है, बस हर लंबाई एक ही संख्या से गुणा हो जाती है। ज्यामिति में इसे समरूपता कहते हैं। दो त्रिभुज समरूप हों तो उनके कोण बराबर होते हैं और संगत (मेल खाती) भुजाओं का अनुपात हर जगह एक-सा रहता है। परीक्षा के लगभग हर प्रश्न में, जहाँ किसी रेखा के अनुपात, ऊँचाई, परछाईं या क्षेत्रफल की बात हो, पर्दे के पीछे यही विचार चलता है।

इस अध्याय में पहले समरूपता की पहचान सीखेंगे, फिर समानांतर रेखाओं, कर्ण पर लंब, समलंब चतुर्भुज, अनुपात-शृंखला और तितली वाले प्रश्न, और अंत में क्षेत्रफल का वर्ग-नियम। त्रिभुजों के बिना-समरूपता वाले क्षेत्रफल-अनुपात (एक ही ऊँचाई, मध्य-बिंदु, समांतर चतुर्भुज) अगले अध्याय “त्रिभुज के क्षेत्रफल अनुपात” में हैं।

चित्र में क्या दिखे	कौन-सी विधि
दो कोण बराबर / “सिद्ध करें कि समरूप”	समरूपता की पहचान, भुजाओं का मिलान
$D E ∥ BC$ या तीन समांतर रेखाएँ	थेल्स प्रमेय
समकोण त्रिभुज में कर्ण पर लंब	कर्ण पर लंब
समलंब चतुर्भुज में समांतर रेखा	समलंब चतुर्भुज
कई रेखाएँ एक-दूसरे को काटती हों, अनुपात पूछा हो	समानांतर रेखा खींचना
दो खंभे/सीढ़ियाँ आर-पार, तितली का आकार	तितली और क्रॉस सीढ़ियाँ
परछाईं, खंभा, लैंप, दर्पण	परछाईं वाले प्रश्न
$tan$ या $sin$ का मान दिया है	त्रिकोणमिति से समरूपता
क्षेत्रफल का अनुपात और समरूप त्रिभुज	क्षेत्रफल का वर्ग-नियम

शुरुआतहर प्रश्न में पहला काम: चित्र बनाइए और बराबर कोणों पर निशान लगाइए (एक जैसे चाप)। दूसरा काम: दोनों समरूप त्रिभुजों को अलग-अलग, एक ही दिशा में फिर से बनाइए। गलती ज़्यादातर भुजाओं का मिलान ग़लत होने से होती है।

हर विधि का क्रम एक-सा है: विचार, सूत्र, पहचान, कदम, हल किए उदाहरण, फिर स्वयं करने के प्रश्न (हल तभी खोलिए जब खुद कोशिश कर लें)। चित्र अपने-आप चलते हैं: रेखाएँ खिंचती हैं, कोण एक-एक करके उभरते हैं, इसी क्रम में तर्क समझिए।

समरूपता की बुनियाद

AA · भुजाओं का मिलान

समरूप त्रिभुज किसे कहते हैं, कौन-सी राशियाँ एक ही अनुपात में बढ़ती हैं और संगत भुजाएँ कैसे मिलाएँ।

समरूपता: एक आकार, एक गुणक

AA कसौटी · क्या-क्या बदलता है

दो कोण बराबर हों तो त्रिभुज समरूप; तब हर लंबाई एक ही गुणक से बदलती है।

विचार

दो त्रिभुज समरूप ( $\sim$ ) हैं यदि उनके तीनों कोण बराबर हैं। तब वे एक ही आकार के होते हैं, बस एक छोटा-बड़ा। असली सुविधा यह है कि तीनों कोण जाँचने की ज़रूरत नहीं: दो कोण बराबर हों तो तीसरा अपने-आप बराबर ( $18 0^{\circ}$ में से घटाकर)। इसे AA कसौटी (कोण-कोण) कहते हैं।

◭ चित्र

△ A BC \sim △ PQR

: कोण

α, β, γ

बराबर, हर भुजा

\times 1.5

(नीला/हरा = दो त्रिभुज; एक रंग का चाप = बराबर कोण)

जो भुजाएँ बराबर कोणों के सामने हों वे संगत कहलाती हैं। यहाँ $BC$ कोण $A$ के सामने है और $QR$ कोण $P$ के सामने; इसलिए ये दोनों संगत हैं। गुणक (अनुपात) वही रहता है:

∑ सूत्र

\frac{PQ}{A B} = \frac{QR}{BC} = \frac{RP}{C A} = k

समरूप त्रिभुज: संगत भुजाओं का अनुपात

$k$: गुणक (समानुपात स्थिरांक); यहाँ $k = 1.5$
$A B, BC, C A$: पहले त्रिभुज की भुजाएँ
$PQ, QR, RP$: दूसरे त्रिभुज की संगत भुजाएँ

और भी कई चीज़ें इसी $k$ से बदलती हैं, यह परीक्षा का पसंदीदा विषय है:

◭ चित्र

बड़े त्रिभुज का शीर्षलंब (हरा), माध्यिका (नीला) और कोण-समद्विभाजक (केसरिया) भी

\times 1.5

राशि	अनुपात	याद रखें
भुजाएँ, परिमाप	$k$	जोड़ भी वही गुणक
माध्यिका, शीर्षलंब, समद्विभाजक	$k$	संगत वाली ही मिलाएँ
अंतःत्रिज्या, परित्रिज्या	$k$	हर लंबाई
कोण	1	बिल्कुल नहीं बदलते
क्षेत्रफल	$k^{2}$	वर्ग-नियम (इसी अध्याय में आगे)

यहाँ: $k$ = गुणक; “लंबाई” में कोई भी सीधी माप आती है (भुजा, रेखा, त्रिज्या)।

सावधानीसमरूपता का मतलब है भुजाओं के अनुपात बराबर और कोण बराबर। भुजाओं का अंतर या जोड़ कभी बराबर नहीं रखा जाता। अनुपात लिखते समय हर बार एक ही त्रिभुज ऊपर रखिए: या हमेशा (दूसरा त्रिभुज)/(पहला त्रिभुज), या हमेशा उलटा। बीच में बदलने से सब गड़बड़ हो जाता है।

कदम

बराबर कोण चुनिए (समांतर रेखा, समकोण, साझा कोण, शीर्षाभिमुख कोण) और उन पर एक जैसे चाप लगाइए।
दो कोण मिले तो त्रिभुज समरूप। समरूपता का कथन उसी क्रम में लिखिए जिस क्रम में कोण मिले: $△ A BC \sim △ PQR$ ।
संगत भुजाओं का अनुपात-शृंखला लिखिए: $\frac{A B}{PQ} = \frac{BC}{QR} = \frac{C A}{RP}$ ।
उसमें से केवल वे दो अनुपात लीजिए जिनमें अज्ञात और दी हुई संख्याएँ हैं, और आड़ा गुणा कीजिए।

उदाहरण 1 · आसान

△ A BC \sim △ PQR

में

A B = 14

सेमी,

BC = 21

सेमी,

C A = 28

सेमी और

PQ = 10

सेमी है।

QR

और

RP

ज्ञात कीजिए।

हल, कदम-दर-कदम

1 $\sim$ के अक्षर क्रम से $A \leftrightarrow P, B \leftrightarrow Q, C \leftrightarrow R$ । इसलिए $A B$ का संगत $PQ$ है, $BC$ का $QR$ और $C A$ का $RP$ ।
2गुणक निकालने के लिए वह जोड़ी लीजिए जिसकी दोनों संख्याएँ दी हैं: $k = \frac{PQ}{A B} = \frac{10}{14} = \frac{5}{7}$ ।
3 $QR = k \times BC = \frac{5}{7} \times 21 = 15$ सेमी।
4 $RP = k \times C A = \frac{5}{7} \times 28 = 20$ सेमी।

उत्तर $QR = 15$ सेमी, $RP = 20$ सेमी

जाँच:

10 : 15 : 20 = 2 : 3 : 4

और

14 : 21 : 28 = 2 : 3 : 4

; अनुपात वही।

उदाहरण 2 · मध्यम

△ A BC \sim △ D EF

है।

△ A BC

का परिमाप 36 सेमी और

△ D EF

का 54 सेमी है।

△ A BC

की माध्यिका

A M = 8

सेमी हो तो

△ D EF

की संगत माध्यिका

D N

क्या होगी?

हल, कदम-दर-कदम

1परिमाप भी एक लंबाई-योग है, इसलिए परिमापों का अनुपात ही गुणक है: $k = \frac{54}{36} = \frac{3}{2}$ ।
2माध्यिका भी एक लंबाई है और $A \leftrightarrow D$ से $A M \leftrightarrow D N$ । इसलिए $D N = k \times A M$ ।
3 $D N = \frac{3}{2} \times 8 = 12$ सेमी।

उत्तर 12 सेमी

यहाँ भुजाएँ नहीं दी गईं, फिर भी परिमाप से गुणक मिल गया। यही समरूपता की शक्ति है।

उदाहरण 3 · मध्यम

दो समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाओं का अनुपात

3 : 5

है। उनके परिमापों का अंतर 18 सेमी है। दोनों परिमाप और, यदि बड़े का शीर्षलंब 15 सेमी हो, तो छोटे का शीर्षलंब ज्ञात कीजिए।

हल, कदम-दर-कदम

1परिमाप भी $3 : 5$ में हैं। छोटा $= 3 u$ , बड़ा $= 5 u$ मानिए।
2अंतर $5 u - 3 u = 2 u = 18$ , इसलिए $u = 9$ ।
3परिमाप: $3 \times 9 = 27$ सेमी और $5 \times 9 = 45$ सेमी।
4शीर्षलंब भी $3 : 5$ में: छोटे का $= 15 \times \frac{3}{5} = 9$ सेमी।

उत्तर परिमाप 27 सेमी और 45 सेमी; छोटे का शीर्षलंब 9 सेमी

अनुपात + अंतर/योग वाले प्रश्न में “इकाई

u

” लीजिए।

उदाहरण 4 · कठिन

△ A BC

में

∠ A = 5 0^{\circ}

∠ B = 6 0^{\circ}

BC = 8

सेमी,

A B = 10

सेमी,

A C = 7

सेमी।

△ PQR

में

∠ Q = 6 0^{\circ}

∠ R = 7 0^{\circ}

और

QR = 12

सेमी है।

PQ

और

PR

ज्ञात कीजिए।

हल, कदम-दर-कदम

1तीसरे कोण निकालिए: $∠ C = 180 - 50 - 60 = 7 0^{\circ}$ और $∠ P = 180 - 60 - 70 = 5 0^{\circ}$ ।
2कोण मिलाइए: $A = 5 0^{\circ} = P$ , $B = 6 0^{\circ} = Q$ , $C = 7 0^{\circ} = R$ । इसलिए $△ A BC \sim △ PQR$ (AA)।
3संगत भुजा = बराबर कोण के सामने: $∠ A$ के सामने $BC$ है और $∠ P$ के सामने $QR$ । गुणक $k = \frac{QR}{BC} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$ ।
4 $∠ C = ∠ R = 7 0^{\circ}$ के सामने $A B$ और $PQ$ हैं: $PQ = \frac{3}{2} \times 10 = 15$ सेमी।
5 $∠ B = ∠ Q$ के सामने $A C$ और $PR$ हैं: $PR = \frac{3}{2} \times 7 = 10.5$ सेमी।

उत्तर $PQ = 15$ सेमी, $PR = 10.5$ सेमी

जब केवल कोण दिए हों, सामने वाली भुजा से मिलान कीजिए; अक्षरों के क्रम पर भरोसा मत कीजिए।

स्वयं कीजिए

◭ चित्र

आसानपहले खुद करके देखें

△ A BC \sim △ D EF

में

A B = 12

सेमी,

D E = 18

सेमी और

BC = 20

सेमी।

EF

कितना है?

◭ चित्र

आसानपहले खुद करके देखें

△ PQR \sim △ X Y Z

में

PQ = 15

सेमी,

X Y = 9

सेमी और

QR = 25

सेमी।

Y Z

कितना है?

आसानपहले खुद करके देखें

दो समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाएँ 6 सेमी और 9 सेमी हैं। पहले त्रिभुज का परिमाप 36 सेमी है। दूसरे का परिमाप?

आसानपहले खुद करके देखें

दो समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाएँ 8 सेमी और 20 सेमी हैं। पहले त्रिभुज की एक माध्यिका 6 सेमी है। दूसरे त्रिभुज की संगत माध्यिका कितनी है?

मध्यमपहले खुद करके देखें

दो समरूप त्रिभुजों की संगत भुजाएँ 9 सेमी और 15 सेमी हैं। पहले त्रिभुज की एक शीर्षलंब 12 सेमी है। दूसरे त्रिभुज की संगत शीर्षलंब कितनी है?

मध्यमपहले खुद करके देखें

दो समरूप त्रिभुजों के संगत शीर्षलंबों का अनुपात

4 : 7

है और दोनों शीर्षलंबों का योग 33 सेमी है। बड़े त्रिभुज का शीर्षलंब?

मध्यमपहले खुद करके देखें

△ A BC

में

∠ A = 4 0^{\circ}

∠ B = 7 5^{\circ}

BC = 9

सेमी और

C A = 12

सेमी।

△ X Y Z

में

∠ Y = 4 0^{\circ}

∠ Z = 6 5^{\circ}

और

ZX = 15

सेमी।

Y Z

कितना है?

मध्यमपहले खुद करके देखें

दो समरूप त्रिभुजों के परिमाप 40 सेमी और 64 सेमी हैं। छोटे की सबसे लंबी भुजा 15 सेमी है। बड़े त्रिभुज की सबसे लंबी भुजा?

कठिनपहले खुद करके देखें

एक त्रिभुज की भुजाएँ 9, 12 और 15 सेमी हैं और उसकी अंतःत्रिज्या (भीतरी वृत्त की त्रिज्या) 3 सेमी है। एक समरूप त्रिभुज की अंतःत्रिज्या 2 सेमी है। उसका परिमाप?

कठिनपहले खुद करके देखें

भुजाएँ 6, 8 और 10 सेमी वाले त्रिभुज की परित्रिज्या (बाहरी वृत्त की त्रिज्या) 5 सेमी है, क्योंकि वह समकोण है और कर्ण का आधा त्रिज्या होती है। उसी के समरूप त्रिभुज की सबसे लंबी भुजा 25 सेमी है। उसकी परित्रिज्या?

संगत भुजाएँ कैसे मिलाएँ

तीन रूप · अलग करके बनाना

AA, SAS, SSS और बराबर-कोण (प्रति-समांतर) रूप से समरूपता पहचानना और भुजाएँ सही मिलाना।

विचार

जटिल चित्र में दोनों समरूप त्रिभुज एक-दूसरे के भीतर घुसे होते हैं, इसलिए भुजाएँ मिलाने में गलती होती है। इलाज एक ही है: दोनों त्रिभुजों को अलग-अलग, एक ही दिशा में फिर से बनाइए। तब बराबर कोण एक ही जगह दिखते हैं और संगत भुजाएँ अपने-आप मिल जाती हैं।

समरूपता की तीन कसौटियाँ हैं (कोई एक काफ़ी है):

कसौटी	क्या जाँचना है	कब काम आती है
AA	दो कोण बराबर	समांतर रेखाएँ, समकोण, साझा कोण
SAS	एक कोण बराबर और उसे घेरने वाली दोनों भुजाओं का अनुपात बराबर	कोण साझा हो पर रेखा समांतर न हो
SSS	तीनों भुजाओं के अनुपात बराबर	केवल लंबाइयाँ दी हों

यहाँ: AA = angle-angle (कोण-कोण); SAS = side-angle-side (भुजा-कोण-भुजा, कोण दोनों भुजाओं के बीच); SSS = side-side-side (तीनों भुजाएँ)।

एक बहुत काम का रूप: बराबर कोण (प्रति-समांतर)

$△ A BC$ में $D$ भुजा $A B$ पर और $E$ भुजा $A C$ पर इस तरह हों कि $∠ A D E = ∠ A CB$ (समांतर नहीं, उलटे पड़े कोण)। तब $△ A D E \sim △ A CB$ , क्योंकि कोण $A$ साझा है और एक जोड़ी कोण बराबर है। ध्यान दीजिए: $D$ का कोण $C$ से मिला, और $E$ का कोण $B$ से।

◭ चित्र

बाएँ:

∠ A D E = ∠ A CB

(केसरिया चाप)। दाएँ: दोनों त्रिभुज अलग करके:

A \leftrightarrow A, D \leftrightarrow C, E \leftrightarrow B

∑ सूत्र

\frac{A D}{A C} = \frac{A E}{A B} = \frac{D E}{CB} ⟹ A D \times A B = A E \times A C

बराबर-कोण रूप (

∠ A D E = ∠ A CB

)

$A D, A E$: छोटे त्रिभुज $A D E$ की भुजाएँ
$A C, A B$: बड़े त्रिभुज की संगत भुजाएँ
$D E, CB$: उनकी तीसरी जोड़ी

गुणनफल याद रखने की चाल: $A D \times A B = A E \times A C$ , यानी जो दो भुजाएँ एक ही रेखा पर हैं ( $A D$ और $A B$ दोनों रेखा $A B$ पर) उनका गुणनफल दूसरी रेखा के दो खंडों के गुणनफल के बराबर।

इसी का एक और रूप: $∠ A C D = ∠ A BC$ ( $D$ भुजा $A B$ पर)। तब $△ A C D \sim △ A BC$ (कोण $A$ साझा) और $A C^{2} = A D \times A B$ ।

कदम

जो कोण बराबर बताए गए हैं उन पर चाप लगाइए; साझा कोण पर भी।
दोनों त्रिभुज अलग-अलग बनाइए: साझा कोण वाला शीर्ष एक ही जगह।
कोणों के क्रम से संगति लिखिए ( $A \to A, D \to C, E \to B$ ) और अनुपात-शृंखला।
दो अनुपात चुनकर आड़ा गुणा कीजिए।

उदाहरण 5 · मध्यम

△ A BC

में

D

भुजा

A B

पर और

E

भुजा

A C

पर इस प्रकार हैं कि

∠ A D E = ∠ A CB

।

A D = 8

सेमी,

A B = 18

सेमी और

A E = 9

सेमी हो तो

A C

और

EC

ज्ञात कीजिए।

हल, कदम-दर-कदम

1कोण $A$ दोनों त्रिभुजों $A D E$ और $A CB$ में साझा है और $∠ A D E = ∠ A CB$ । AA से $△ A D E \sim △ A CB$ ( $A \to A, D \to C, E \to B$ )।
2संगत भुजाएँ: $A D \leftrightarrow A C$ और $A E \leftrightarrow A B$ । अनुपात $\frac{A D}{A C} = \frac{A E}{A B}$ ।
3मान रखिए: $\frac{8}{A C} = \frac{9}{18} = \frac{1}{2}$ , इसलिए $A C = 16$ सेमी।
4 $EC = A C - A E = 16 - 9 = 7$ सेमी।

उत्तर $A C = 16$ सेमी, $EC = 7$ सेमी

शॉर्टकट:

A D \times A B = A E \times A C

⟹

8 \times 18 = 9 \times A C

⟹

A C = 16

।

उदाहरण 6 · मध्यम

△ A BC

में

D

भुजा

A B

पर है,

∠ A C D = ∠ A BC

A D = 4

सेमी और

D B = 5

सेमी।

A C

ज्ञात कीजिए।

हल, कदम-दर-कदम

1 $△ A C D$ और $△ A BC$ में कोण $A$ साझा है और $∠ A C D = ∠ A BC$ । इसलिए $△ A C D \sim △ A BC$ ( $A \to A, C \to B, D \to C$ )।
2संगत भुजाएँ: $A C \leftrightarrow A B$ और $A D \leftrightarrow A C$ । इसलिए $\frac{A C}{A B} = \frac{A D}{A C}$ ।
3आड़ा गुणा: $A C^{2} = A D \times A B = 4 \times 9 = 36$ ( $A B = A D + D B = 9$ )।
4 $A C = 6$ सेमी।

उत्तर 6 सेमी

यहाँ

A C

दोनों त्रिभुजों में आता है, इसीलिए वर्ग बना: “मध्य पद”

A C

है।

उदाहरण 7 · मध्यम

△ A BC

और

△ PQR

में

∠ A = ∠ P

A B = 6

सेमी,

A C = 9

सेमी,

PQ = 8

सेमी और

PR = 12

सेमी।

BC = 12

सेमी हो तो

QR

ज्ञात कीजिए।

हल, कदम-दर-कदम

1कोण $A$ को घेरने वाली भुजाएँ $A B, A C$ हैं और $P$ को घेरने वाली $PQ, PR$ । अनुपात जाँचिए: $\frac{PQ}{A B} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$ और $\frac{PR}{A C} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}$ ।
2दोनों बराबर हैं और बीच का कोण बराबर है, इसलिए SAS से $△ A BC \sim △ PQR$ और गुणक $k = \frac{4}{3}$ ।
3तीसरी जोड़ी: $QR = \frac{4}{3} \times BC = \frac{4}{3} \times 12 = 16$ सेमी।

उत्तर 16 सेमी

SAS में कोण दोनों भुजाओं के बीच होना चाहिए, वरना कसौटी लागू नहीं होती।

उदाहरण 8 · आसान

तीन त्रिभुजों की भुजाएँ हैं:

X

: 4, 6, 8;

Y

: 6, 9, 12;

Z

: 5, 7, 9। कौन-से त्रिभुज समरूप हैं?

हल, कदम-दर-कदम

1SSS जाँचने के लिए हर त्रिभुज की भुजाएँ छोटी से बड़ी क्रम में रखिए और सबसे छोटी से भाग दीजिए।
2तीनों भुजाओं का अनुपात सरल रूप में लिखिए: $X$ : $4 : 6 : 8 = 2 : 3 : 4$ ; $Y$ : $6 : 9 : 12 = 2 : 3 : 4$ ; $Z$ : $5 : 7 : 9$ , जो $2 : 3 : 4$ नहीं है।
3 $X$ और $Y$ के अनुपात बराबर ( $k = \frac{3}{2}$ ), इसलिए $X \sim Y$ ; $Z$ इनमें से किसी के समरूप नहीं।

उत्तर केवल $X \sim Y$

अनुपात की जाँच में सबसे छोटी↔सबसे छोटी, सबसे बड़ी↔सबसे बड़ी।

स्वयं कीजिए

◭ चित्र

आसानपहले खुद करके देखें

△ A BC

में

D

भुजा

A B

पर और

E

भुजा

A C

पर इस तरह हैं कि

∠ A D E = ∠ A CB

।

A D = 6

D B = 8

और

A E = 7

(सेमी में) हो तो

EC

कितना है?

◭ चित्र

मध्यमपहले खुद करके देखें

△ A BC

में

D

भुजा

A B

पर और

E

भुजा

A C

पर इस तरह हैं कि

∠ A D E = ∠ A CB

।

A D = 9

D B = 11

और

A E = 12

(सेमी में) हो तो

EC

कितना है?

◭ चित्र

आसानपहले खुद करके देखें

△ A BC

में

D

भुजा

A B

पर है और

∠ A C D = ∠ A BC

।

A D = 4

सेमी,

D B = 5

सेमी हो तो

A C

◭ चित्र

मध्यमपहले खुद करके देखें

△ A BC

में

D

भुजा

A B

पर है और

∠ A C D = ∠ A BC

।

A D = 9

सेमी,

D B = 16

सेमी हो तो

A C

मध्यमपहले खुद करके देखें

△ A BC

और

△ D EF

में

∠ B = ∠ E

A B = 10

BC = 15

D E = 14

EF = 21

(सेमी)।

A C = 12

हो तो

D F

मध्यमपहले खुद करके देखें

भुजाएँ

(3, 5, 7)

और

(6, 10, 15)

वाले त्रिभुजों के बारे में सही कथन?

कठिनपहले खुद करके देखें

△ A BC

में

D

भुजा

A B

पर और

E

भुजा

A C

पर हैं और

∠ A E D = ∠ A BC

।

A D = 6

सेमी,

A C = 15

सेमी और

BC = 20

सेमी हो तो

D E

समानांतर रेखाएँ और अनुपात

थेल्स · समलंब · शृंखला · तितली

एक रेखा दूसरी के समानांतर हो तो सब कुछ अनुपात में बँट जाता है; इसी से समलंब, अनुपात-शृंखला और तितली के प्रश्न हल होते हैं।

थेल्स प्रमेय (आधारभूत समानुपातिकता)

समांतर रेखा भुजाओं को अनुपात में बाँटती है

त्रिभुज की एक भुजा के समांतर रेखा बाकी दो भुजाओं को एक ही अनुपात में बाँटती है; विलोम और तीन समांतर रेखाएँ।

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समलंब चतुर्भुज में समांतर रेखा

कोई रेखा · मध्य-खंड · विकर्ण

दो समांतर भुजाओं के बीच खिंची रेखा की लंबाई: सामान्य रेखा, मध्य-खंड, विकर्णों के मध्य-बिंदु और विकर्णों के कटान-बिंदु से जाने वाली रेखा।

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अनुपात-शृंखला: समानांतर रेखा खींचना, भार-बिंदु

कटती रेखाओं में अनुपात निकालना

जब रेखाएँ एक-दूसरे को काटें और दूसरी रेखा पर अनुपात पूछा हो: एक समांतर रेखा खींचिए, या भार-बिंदु (mass points) लगाइए।

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तितली (bow-tie) और क्रॉस सीढ़ियाँ

समांतर रेखाओं के बीच आर-पार कटती रेखाएँ

दो रेखाएँ एक बिंदु पर कटकर दो समांतर रेखाओं से बँधी हों तो आमने-सामने के त्रिभुज समरूप होते हैं; खंभे-रस्सी का सूत्र $p = \frac{ab}{a + b}$ ।

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समकोण त्रिभुज और त्रिकोणमिति

कर्ण पर लंब · tan

कर्ण पर डाला लंब तीन समरूप त्रिभुज देता है; tan का मान बराबर कोण बताता है।

समकोण त्रिभुज में कर्ण पर लंब

तीन समरूप त्रिभुज

समकोण त्रिभुज में कर्ण पर डाला लंब दो छोटे त्रिभुज बनाता है जो मूल त्रिभुज के समरूप हैं; इससे $A B^{2} = B D \cdot BC$ जैसे सूत्र।

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त्रिकोणमितीय आँकड़े से समरूपता

बराबर tan · अनुपात-त्रिभुज · साझा लंब

जब $sin, cos, tan$ का मान दिया हो: वह कोण बराबर कर देता है, और अनुपात-त्रिभुज को गुणक से बड़ा-छोटा करके असली भुजाएँ मिलती हैं।

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समरूपता के उपयोग

परछाईं · क्षेत्रफल का वर्ग

परछाईं-ऊँचाई वाले प्रश्न और दो समरूप आकृतियों के क्षेत्रफल का अनुपात।

परछाईं, खंभे और लैंप

ऊँचाई : परछाईं

एक ही समय की परछाइयाँ, लैंप-पोस्ट के पास चलता आदमी और दर्पण वाले प्रश्न समरूप समकोण त्रिभुजों से।

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समरूप आकृतियों का क्षेत्रफल: वर्ग-नियम

भुजा ×k ⟹ क्षेत्रफल ×k²

समरूप आकृतियों के क्षेत्रफलों का अनुपात संगत लंबाइयों के अनुपात का वर्ग होता है; $D E ∥ BC$ से कटे त्रिभुज, पट्टियाँ और मानचित्र के प्रश्न।

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सार, मिश्रित अभ्यास, दोहराव

सारी विधियाँ एक जगह

सभी विधियों की एक-पृष्ठ तालिका, परीक्षा जैसे मिले-जुले प्रश्न और दोहराव कार्ड।

सभी विधियों का सार

पहचान · सूत्र

हर विधि: प्रश्न कैसे पहचानें और कौन-सा सूत्र लगाएँ।

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मिश्रित अभ्यास

परीक्षा जैसे प्रश्न

सभी विधियों के मिले-जुले प्रश्न, बिना बताए कि कौन-सी विधि लगानी है।

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दोहराव

कार्ड · आम गलतियाँ

सूत्र याद करने के कार्ड और परीक्षा की सबसे आम गलतियाँ।

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समरूप त्रिभुज और क्षेत्रफल अनुपात

समरूपता की बुनियाद

समरूपता: एक आकार, एक गुणक

विचार

कदम

स्वयं कीजिए

संगत भुजाएँ कैसे मिलाएँ

विचार

एक बहुत काम का रूप: बराबर कोण (प्रति-समांतर)

कदम

स्वयं कीजिए

समानांतर रेखाएँ और अनुपात

थेल्स प्रमेय (आधारभूत समानुपातिकता)

समलंब चतुर्भुज में समांतर रेखा

अनुपात-शृंखला: समानांतर रेखा खींचना, भार-बिंदु

तितली (bow-tie) और क्रॉस सीढ़ियाँ

समकोण त्रिभुज और त्रिकोणमिति

समकोण त्रिभुज में कर्ण पर लंब

त्रिकोणमितीय आँकड़े से समरूपता

समरूपता के उपयोग

परछाईं, खंभे और लैंप

समरूप आकृतियों का क्षेत्रफल: वर्ग-नियम

सार, मिश्रित अभ्यास, दोहराव

सभी विधियों का सार

मिश्रित अभ्यास

दोहराव

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