त्रिकोणमिति: सरलीकरण, θ का विलोपन और रेडियन

एक आसान कोण रखकर विकल्प छाँटना, कोण कैसे चुनें, और तीन स्थितियाँ जहाँ यह तरीका ग़लत उत्तर दे सकता है।

अगर कोई सर्वसमिका हर कोण के लिए सच है तो वह हमारे चुने हुए एक कोण के लिए भी सच है। इसलिए बीजगणित से सरल करने के बजाय हम एक आसान कोण चुनते हैं, दिए व्यंजक का मान निकालते हैं, हर विकल्प का मान उसी कोण पर निकालते हैं और जो विकल्प मेल खाए वही उत्तर है। इसे मान रखना कहते हैं, और विकल्पों वाले प्रश्नों में यह मिनटों का काम सेकंडों में कर देता है।

कोण चुनने का नियम सीधा है: जो फलन प्रश्न में दिखें उनके मान आसान हों। नीचे की तालिका से चुनिए, और ध्यान रखिए कि जिस फलन का मान उस कोण पर अपरिभाषित है (जैसे $\tan 90^{\circ }$) या जिससे कोई हर शून्य बन जाए, वह कोण कभी न रखें।

तीन स्थितियाँ जहाँ एक कोण काफ़ी नहीं है: (1) दो या अधिक विकल्प उसी मान पर मेल खाते हैं, जैसे $45^{\circ }$ पर $\sin \theta =\cos \theta$ और $\tan \theta =\cot \theta$; तब दूसरा कोण भी रखिए ($30^{\circ }$ सबसे अच्छा साथी है क्योंकि वहाँ $\sin \ne \cos$)। (2) हर शून्य या $\frac{0}{0}$ बन जाए; तब कोण बदलिए। (3) प्रश्न में “सिद्ध कीजिए” हो या विकल्प न हों; तब एक संख्या प्रमाण नहीं है, बीजगणित से ही दिखाना पड़ेगा।

1. विकल्पों को देखिए: वे किन फलनों से बने हैं? उसी से कोण चुनिए (ऊपर की तालिका)।
2. जाँचिए कि चुने कोण पर प्रश्न या किसी विकल्प में कोई फलन अपरिभाषित या हर शून्य तो नहीं।
3. दिए व्यंजक का पूरा सटीक मान ($\sqrt{2}$, $\frac{1}{2}$ आदि) निकालिए; दशमलव में मत जाइए।
4. हर विकल्प का मान उसी कोण पर निकालिए और मिलान कीजिए।
5. अगर एक से अधिक विकल्प मेल खाएँ तो दूसरा कोण रखकर फिर छाँटिए। केवल एक बचे तो वही उत्तर।

द्विकोण सूत्रों से हर परत को पूर्ण वर्ग बनाकर वर्गमूल हटाना, और कोण की सीमा से चिह्न तय करना।

एक वर्गमूल तभी हटता है जब उसके भीतर पूर्ण वर्ग हो। त्रिकोणमिति हमें पूर्ण वर्ग बनाने के चार साधन देती है, सब द्विकोण सूत्र से निकले: $1+\cos 2\theta =2{\cos }^2\theta$, $1-\cos 2\theta =2{\sin }^2\theta$, और $1\pm \sin 2\theta =(\sin \theta \pm \cos \theta {)}^2$ (क्योंकि ${\sin }^2+{\cos }^2=1$ और $2\sin \theta \cos \theta =\sin 2\theta$)।

1. सबसे भीतर के वर्गमूल को ढूँढिए और उसके अंदर का व्यंजक देखिए।
2. उसे $2(1\pm \cos 2x)$ या $(\sin x\pm \cos x{)}^2$ के रूप में लिखिए ($1$ को ${\sin }^2+{\cos }^2$ से या $2$ को बाहर निकालकर)।
3. वर्गमूल लीजिए। कोण की सीमा देखकर चिह्न तय कीजिए (मापांक)।
4. जो मिला उसे अगली परत में रखकर वही क्रिया दोहराइए, जब तक सारे वर्गमूल न हट जाएँ।
5. एक कोण ($30^{\circ }$ या $15^{\circ }$) रखकर जाँच लीजिए।

$\sin \theta +\cos \theta$ को $x$ मानकर बाकी सब $x$ में लिखना, $(a+1)(a-1)$ वाले गुणनफल, और ${\sin }^n+{\cos }^n$ की शृंखला।

जब किसी व्यंजक में $\sin \theta +\cos \theta$ (या $\tan \theta +\cot \theta$) बार-बार आए, तो उसे एक नाम $x$ दे दीजिए और बाकी सब कुछ $x$ में लिखिए। कुंजी एक वर्ग है: $(\sin \theta +\cos \theta {)}^2={\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta +2\sin \theta \cos \theta =1+2\sin \theta \cos \theta$। यानी गुणनफल $\sin \theta \cos \theta$ योग $x$ से बँधा है।

तालिका के अक्षर: $x=\sin \theta +\cos \theta$ (दिया योग)। हर पंक्ति का कारण वाला स्तंभ बताता है कि वह रूप $\sin \theta \cos \theta =\frac{x^2-1}{2}$ से कैसे बना।

दूसरी चाल: $(a+1)(a-1)=a^2-1$। जिस गुणनफल के दो कोष्ठक एक ही $a$ के साथ $+1$ और $-1$ जोड़ें, वह $a^2-1$ बन जाता है। उदाहरण: $(1+\tan \theta +\sec \theta )(1+\tan \theta -\sec \theta )=(1+\tan \theta {)}^2-{\sec }^2\theta =1+2\tan \theta +{\tan }^2\theta -{\sec }^2\theta =2\tan \theta$। तीसरी चाल (छिपा वर्ग): $\sin \theta +\mathrm{cosec}\theta =2$ हो तो चूँकि $a+\frac{1}{a}\ge 2$ और बराबरी केवल $a=1$ पर होती है, $\sin \theta =1$।

शृंखला क्यों सच है? $({\sin }^{n-2}\theta +{\cos }^{n-2}\theta )({\sin }^2\theta +{\cos }^2\theta )={\sin }^n\theta +{\cos }^n\theta +{\sin }^{n-2}\theta {\cos }^2\theta +{\cos }^{n-2}\theta {\sin }^2\theta$; पहला गुणनखंड $u_{n-2}$ है, दूसरा $1$, और अंतिम दो पद ${\sin }^2\theta {\cos }^2\theta ({\sin }^{n-4}\theta +{\cos }^{n-4}\theta )=p{u}_{n-4}$ हैं। इसलिए $u_{n-2}=u_n+p{u}_{n-4}$।

1. देखिए कि कौन-सा संयोजन ($\sin +\cos$, $\tan +\cot$, $\sin -\cos$) बार-बार आ रहा है; उसे $x$ नाम दीजिए।
2. वर्ग लेकर $\sin \theta \cos \theta$ को $x$ में लिखिए ($\frac{x^2-1}{2}$)।
3. माँगा हुआ व्यंजक भिन्न/घात के रूप में तोड़िए (तालिका) और $x$ रखिए।
4. गुणनफल में $(a+1)(a-1)$ का रूप दिखे तो पहले उसे $a^2-1$ कीजिए।
5. उत्तर पर एक कोण ($45^{\circ }$ या $30^{\circ }$) रखकर जाँचिए।

जब प्रश्न कहे कि कोण समांतर श्रेणी में हैं तो मध्य कोण $60^{\circ }$ होता है; $A=60^{\circ }-d$, $C=60^{\circ }+d$ लिखकर या शर्त मानने वाले कोण रखकर हल।

तीन संख्याएँ समांतर श्रेणी (AP) में हों तो बीच वाली उनका औसत होती है और अंतर समान रहता है: $B-d,B,B+d$। यदि ये त्रिभुज के कोण $A,B,C$ हैं तो $A+B+C=180^{\circ }$ से $3B=180^{\circ }$, यानी $B=60^{\circ }$, और $A=60^{\circ }-d$, $C=60^{\circ }+d$। चित्र में $d$ बदलता है, कोण $A$ घटता और $C$ बढ़ता है पर $B$ सदा $60^{\circ }$ रहता है।

काम की बात: $A$ और $C$ के $\sin$ (या $\cos$) का योग सरल हो जाता है। $\sin (B-d)+\sin (B+d)=(\sin B\cos d-\cos B\sin d)+(\sin B\cos d+\cos B\sin d)=2\sin B\cos d$ (बीच के पद कटते हैं); इसी तरह $\cos (B-d)+\cos (B+d)=2\cos B\cos d$। दोनों में $\cos d$ साझा है, इसलिए भाग देने पर वह कट जाता है और $\tan B$ बचता है।

मान रखने का तरीका: शर्त को मानने वाले कोण चुनिए, जैसे $(30^{\circ },60^{\circ },90^{\circ })$ ($d=30^{\circ }$) या $(40^{\circ },60^{\circ },80^{\circ })$ ($d=20^{\circ }$)। $(60^{\circ },60^{\circ },60^{\circ })$ भी AP है ($d=0$) पर उसमें $A=C$ होने से कई व्यंजक $\frac{0}{0}$ या एक जैसे मान देते हैं; इसे मत चुनिए। हमेशा दो अलग $d$ से जाँचिए।

1. कोणों का योग देखिए। त्रिभुज हो तो मध्य कोण $B=60^{\circ }$।
2. $A=60^{\circ }-d$, $C=60^{\circ }+d$ लिखिए (या शर्त से $d$ निकालिए, जैसे “सबसे बड़ा कोण सबसे छोटे का तीन गुना”)।
3. $\sin ,\cos$ के योग को $2\sin B\cos d$, $2\cos B\cos d$ से बदलिए; $\cos d$ कटाइए।
4. जाँच: दो अलग $d$ वाले कोण रखकर।

$x=f(\theta )$, $y=g(\theta )$ से $\theta$ हटाना: कब वर्ग-योग, कब वर्ग-अंतर, कब जोड़-घटाव के बाद गुणा।

परीक्षा में बार-बार आने वाले रूप, उनके विलोपन और वे वक्र जो बिंदु बनाता है; $\sec ,\tan$ वाले चलते चित्र के साथ।

जब $\sin \theta$, $\cos \theta$ दोनों समीकरणों में मिले हों तो उन्हें हल करना; और दो कोणों $\alpha ,\beta$ में से एक हटाकर दूसरे का मान निकालना।

जब $\tan \theta$ दिया हो तो $\sin$ और $\cos$ वाले व्यंजक का मान: अंश और हर को $\cos$ की घात से भाग देकर।

${\sin }^2=1-{\cos }^2$ आदि से पूरे समीकरण को एक फलन में लाकर द्विघात हल करना और अवास्तविक मूल छाँटना; सर्वसमिका सिद्ध करने की चालें।

कोण को रेडियन में समझना (चाप को त्रिज्या के टुकड़ों में काटकर), दोनों दिशाओं में बदलना और $1$ रेडियन के सही मान की चर्चा।

रेडियन में $l=r\theta$, त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $\frac{1}{2}{r}^2\theta =\frac{1}{2}rl$ और परिमाप, चित्रों के साथ।

लुढ़कते पहिए की दूरी, घूमने की चाल रेडियन प्रति सेकंड में, और पट्टे/दाँतेदार पहियों का संबंध।

मिनट की सुई $6^{\circ }$ प्रति मिनट और घंटे की सुई $0.5^{\circ }$ प्रति मिनट चलती है; इनसे $|30H-5.5m|$ और उसके जाल।

दिए हुए कोण (मेल, समकोण, आमने-सामने) पर सुइयाँ कब होंगी और एक दिन में कितनी बार, सापेक्ष चाल से।

हर विधि: प्रश्न कैसे पहचानें और कौन-सा सूत्र या शॉर्टकट लगाएँ।

SSC CGL/CHSL/CPO जैसे मिले-जुले प्रश्न — पहले विधि पहचानिए, फिर हल कीजिए।

मुख्य सूत्र और नियम, छोटे प्रश्न-उत्तर कार्डों में।