आँकड़ा निर्वचन: विधियाँ और शॉर्टकट

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3 भाग16 हल किए उदाहरण24 अभ्यास प्रश्न

आँकड़ा निर्वचन (DI) में एक तालिका या चार्ट दिया जाता है और उससे 4–5 प्रश्न पूछे जाते हैं। कठिन गणित यहाँ कम है; परीक्षा समय और पढ़ने की सावधानी की है। इस अध्याय में हम वे विधियाँ सीखते हैं जो हर चार्ट-प्रकार में काम आती हैं: चार्ट कैसे पढ़ें, प्रतिशत और भिन्न का तेज़ आना-जाना, अनुमान से आगे बढ़ना, और परिवर्तन, अनुपात, औसत तथा वृद्धि दर निकालना। हर विधि में पहले विचार, फिर सूत्र (अक्षरों के अर्थ सहित), फिर कदम, फिर चार्ट के साथ हल किए प्रश्न, और अंत में खुद करने के प्रश्न — हल छिपा रहता है, पहले स्वयं कीजिए।

दूसरा भाग: पाई, बार और रेखा-आलेख की विशेष विधियाँ, संचयी और लुप्त मान, दो तालिकाएँ/दो चार्ट, केसलेट, विकल्प छाँटना और 4 मिनट में 5 प्रश्नों का सेट — चैप्टर सूची में आँकड़ा निर्वचन: चार्ट-विधियाँ और समय-योजना खोलिए।

चार्ट का प्रकार	और अभ्यास के लिए खोलिए
तालिका	डेटा तालिका
पाई चार्ट	पाई चार्ट
बार चार्ट	बार चार्ट
रेखा-आलेख	रेखा-आलेख (लाइन ग्राफ़)
दो चार्ट मिलाकर	मिश्रित आलेख
“पर्याप्त है या नहीं?”	डेटा पर्याप्तता

कैसे पढ़ेंअभ्यास का क्रम: पहले यहाँ विधि सीखिए, फिर ऊपर की सूची के प्रकार-वार चैप्टरों में सैकड़ों प्रश्न कीजिए। उन चैप्टरों के प्रश्न इस अध्याय में दोहराए नहीं गए हैं।

पढ़ना और तेज़ अंकगणित

सही संख्या, तेज़ गणना

चार्ट पढ़ने की सावधानी, भिन्न-प्रतिशत सारणी, अनुमान और भिन्नों की तुलना।

चार्ट और तालिका बिना भूल के पढ़ना

पाँच बातें, पहले 30 सेकंड

इकाई, पैमाना, लेबल और आधार देखकर पढ़ने की भूलें रोकना।

विचार

DI के ज़्यादातर प्रश्न गणित से नहीं, पढ़ने से गलत होते हैं। प्रश्न बनाने वाला चार्ट में कोई जाल छिपा देता है: इकाई अलग-अलग, पैमाना शून्य से शुरू नहीं, या प्रतिशत किसी और चीज़ का। जल्दी में पढ़ने वाला सही गणित करके भी गलत उत्तर पर पहुँचता है। इसलिए गणना से पहले 30 सेकंड की पाँच बातों की जाँच कीजिए।

◭ चित्र

चार्ट की चार बातें: ① शीर्षक ② इकाई (हज़ार टन) ③ पैमाना: अक्ष 0 से नहीं, 40 से शुरू (लाल टूटा निशान) ④ लेबल: कौन-सी पट्टी किस वर्ष की

देखिए	खुद से पूछिए	चूकने पर
① शीर्षक	क्या, कहाँ और कब का आँकड़ा है?	गलत चीज़ की गणना (आयात की जगह निर्यात)
② इकाई	संख्या हज़ार में है या लाख में? ₹ है या %?	उत्तर 100 या 1,000 गुना गलत
③ पैमाना	अक्ष 0 से शुरू होता है? दो निशानों के बीच कितना?	पट्टियों की ऊँचाई से गलत तुलना
④ लेबल	कौन-सा रंग या आकार कौन-सी श्रृंखला है? X-अक्ष पर वर्ष या माह?	दो श्रृंखलाओं की अदला-बदली
⑤ आधार	प्रतिशत किसका है: कुल का, पिछले वर्ष का, या किसी हिस्से का?	अलग आधार वाले प्रतिशत सीधे जोड़ना

कदम

शीर्षक और इकाई पढ़िए; इकाई को कागज़ के कोने में लिख लीजिए।
अक्ष की शुरुआत और दो निशानों का अंतराल देखिए।
लेबल और संकेत मिलाइए: रंग ↔ श्रृंखला, अक्ष ↔ वर्ष/माह।
हर प्रश्न की आख़िरी पंक्ति पढ़िए: कौन-सी संख्याएँ चाहिए?
संख्याएँ इकाई सहित लिखिए, तब गणना कीजिए।

सबसे आम जालजिस अक्ष पर 0 नहीं है, वहाँ पट्टी की ऊँचाई मान नहीं है। ऊपर के चार्ट में 2021 की पट्टी 2019 से ढाई गुना दिखती है, पर उत्पादन केवल 30% बढ़ा है।

हल किए प्रश्न

तालिका: तीन डेयरियों का दूध-संग्रह। वसंत के आँकड़े लाख लीटर में हैं और गर्मी के हज़ार लीटर में।

डेयरी	वसंत (लाख लीटर)	गर्मी (हज़ार लीटर)
अरावली	9.2	780
बनास	7.5	810
चंबल	6.4	645

उदाहरण 1 · आसान

अरावली डेयरी ने किस मौसम में अधिक दूध लिया और कितना अधिक (लीटर में)?

हल, कदम-दर-कदम

1दोनों स्तंभों की इकाइयाँ अलग हैं (1 लाख = 1,00,000; 1 हज़ार = 1,000), इसलिए 9.2 और 780 को सीधे घटाना व्यर्थ है।
2वसंत = 9.2 लाख = 9,20,000 L; गर्मी = 780 हज़ार = 7,80,000 L।
3अंतर $= 9, 20, 000 - 7, 80, 000 = 1, 40, 000$ L; वसंत में अधिक।

उत्तर वसंत में, 1,40,000 लीटर अधिक

पहले एक इकाई में लाइए, फिर तुलना कीजिए। यहाँ लाख में भी कर सकते थे: 780 हज़ार = 7.8 लाख, अंतर 9.2 − 7.8 = 1.4 लाख।

उदाहरण 2 · आसान

तीनों डेयरियों का गर्मी का कुल संग्रह लाख लीटर में कितना है?

हल, कदम-दर-कदम

1तीनों संख्याएँ एक ही इकाई (हज़ार लीटर) में हैं, इसलिए सीधे जोड़ेंगे: $780 + 810 + 645 = 2235$ हज़ार लीटर।
2प्रश्न लाख माँगता है; 100 हज़ार = 1 लाख, इसलिए $2235 \div 100 = 22.35$ लाख।

उत्तर 22.35 लाख लीटर

उदाहरण 3 · मध्यम

ऊपर के चावल-चार्ट में 2021 की पट्टी 2019 की पट्टी से ढाई गुना ऊँची दिखती है। 2019 से 2021 में उत्पादन वास्तव में कितने प्रतिशत बढ़ा?

हल, कदम-दर-कदम

1अक्ष 40 से शुरू है, इसलिए दिखती ऊँचाई = मान − 40: 2019 की $10$ , 2021 की $25$ । यही ढाई गुना का भ्रम है।
2असली मान 50 और 65 हैं: वृद्धि $= 15$ हज़ार टन।
3वृद्धि % $= \frac{15}{50} \times 100 = 30%$ (आधार पुराना मान 50)।

उत्तर 30% (150% नहीं)

पैमाना शून्य से न हो तो पहले असली मान पढ़िए, फिर प्रतिशत निकालिए।

तालिका: दो क्षेत्रों के घर और सौर-वॉटर-हीटर वाले घरों का प्रतिशत (प्रतिशत उसी क्षेत्र के घरों का है)।

क्षेत्र	घर (हज़ार)	हीटर वाले घर (%)
उत्तर	40	15%
दक्षिण	60	25%

उदाहरण 4 · मध्यम

दोनों क्षेत्रों को मिलाकर कितने प्रतिशत घरों में हीटर है?

हल, कदम-दर-कदम

1दोनों प्रतिशतों का आधार अलग है (40 हज़ार और 60 हज़ार), इसलिए 15 और 25 का औसत 20% गलत है।
2उत्तर: $15%$ of $40 = 6$ हज़ार; दक्षिण: $25%$ of $60 = 15$ हज़ार।
3कुल घर $= 100$ हज़ार, हीटर वाले $= 21$ हज़ार ⟹ $21%$ ।

उत्तर 21%

प्रतिशत जोड़ने या औसत लेने से पहले पूछिए: आधार एक है क्या?

खुद कीजिए

चार्ट: दो छात्रावासों में पानी का उपयोग (हज़ार लीटर में)। ध्यान दीजिए: पैमाना 30 से शुरू होता है। नीचे के सभी प्रश्न इसी चार्ट पर हैं।

◭ चित्र

पानी का उपयोग, जून से अक्टूबर (अक्ष 30 से शुरू)

आसानपहले खुद करके देखें

अगस्त में दोनों छात्रावासों ने मिलाकर कितना पानी उपयोग किया?

आसानपहले खुद करके देखें

जून में लड़कों के छात्रावास का उपयोग लड़कियों के छात्रावास से कितने प्रतिशत अधिक था?

मध्यमपहले खुद करके देखें

किस माह में दोनों के उपयोग का अंतर सबसे अधिक रहा, और वह अंतर लीटर में कितना था?

मध्यमपहले खुद करके देखें

लड़कियों के छात्रावास का औसत मासिक उपयोग कितना है?

मध्यमपहले खुद करके देखें

लड़कों के छात्रावास का उपयोग जून से अक्टूबर तक कितने प्रतिशत बढ़ा?

कठिनपहले खुद करके देखें

पानी का मूल्य ₹ 12 प्रति हज़ार लीटर है। लड़कियों के छात्रावास का जुलाई से सितंबर का बिल कितना है?

भिन्न ↔ प्रतिशत की सारणी (1/2 से 1/20)

जो रटा, वही तेज़

इकाई-भिन्नों के प्रतिशत जानकर प्रतिशत और अनुपात की गणना सेकंडों में करना।

विचार

DI में बार-बार पूछा जाता है: “यह उसका कितने प्रतिशत है?”, “इतने प्रतिशत की वृद्धि के बाद मान?”। 350 ÷ 2100 × 100 पूरा करने में 25 सेकंड जाते हैं, पर अगर आपको पता है कि $\frac{1}{6} = 16 \frac{2}{3} %$ , तो आप 350 और 2100 देखते ही कहेंगे “छठा हिस्सा”। यानी भिन्न पहचानो → प्रतिशत जानो (या उलटा)। नीचे के चित्र में हर पट्टी $\frac{1}{n}$ का प्रतिशत है; रंग बताते हैं कि कौन-से भिन्न एक परिवार के हैं।

◭ चित्र

\frac{1}{n}

का प्रतिशत: एक परिवार में आगे का भिन्न पिछले का आधा होता है (50 → 25 → 12.5 → 6.25)

∑ सूत्र

\frac{k}{n} = k \times \frac{100}{n} %

कोई भी भिन्न = अंश × (इकाई-भिन्न का प्रतिशत)

$k$: भिन्न का अंश
$n$: भिन्न का हर
$\frac{100}{n} %$: $\frac{1}{n}$ का प्रतिशत (चित्र से)

भिन्न	प्रतिशत	कैसे	भिन्न	प्रतिशत	कैसे
$\frac{3}{8}$	37.5%	3 × 12.5	$\frac{2}{3}$	$66 \frac{2}{3} %$	2 × 33⅓
$\frac{5}{8}$	62.5%	5 × 12.5	$\frac{5}{6}$	$83 \frac{1}{3} %$	100 − 16⅔
$\frac{7}{8}$	87.5%	100 − 12.5	$\frac{5}{12}$	$41 \frac{2}{3} %$	5 × 8⅓
$\frac{3}{16}$	18.75%	3 × 6.25	$\frac{4}{9}$	$44 \frac{4}{9} %$	4 × 11⅑
$\frac{3}{5}$	60%	3 × 20	$\frac{3}{7}$	$42 \frac{6}{7} %$	3 × 14²⁄₇

यहाँ: $k$ = अंश, $n$ = हर; “कैसे” स्तंभ में अंश को इकाई-भिन्न के प्रतिशत से गुणा किया गया है।

कदम

दो संख्याओं को भाग-रूप में लिखिए और सरल कीजिए (350/2100 = 1/6)।
सरल भिन्न का प्रतिशत सारणी से पहचानिए; अंश 1 से बड़ा हो तो इकाई-भिन्न × अंश।
उलटा: प्रतिशत देखकर भिन्न बनाइए (37.5% = 3/8) और संख्या में सीधे भाग-गुणा कीजिए।

पहचानपहचान: विकल्पों में 12.5, 16⅔, 33⅓, 37.5, 62.5, 83⅓ दिखें, या तालिका की संख्याएँ किसी छोटे हर से विभाजित हों — तो भिन्न-विधि लगाइए।

हल किए प्रश्न

उदाहरण 5 · आसान

उत्पादन 640 इकाई से बढ़कर 720 इकाई हुआ। वृद्धि कितने प्रतिशत है?

हल, कदम-दर-कदम

1वृद्धि $= 720 - 640 = 80$ ; आधार पुराना मान 640।
2 $\frac{80}{640} = \frac{1}{8}$ (दोनों को 80 से भाग)।
3 $\frac{1}{8} = 12.5%$ (सारणी)।

उत्तर 12.5%

उदाहरण 6 · आसान

₹ 1,840 करोड़ का 37.5% कितना है?

हल, कदम-दर-कदम

1 $37.5 = 3 \times 12.5$ और $12.5% = \frac{1}{8}$ , इसलिए $37.5% = \frac{3}{8}$ ।
2 $1840 \div 8 = 230$ , फिर $230 \times 3 = 690$ ।

उत्तर ₹ 690 करोड़

पहले भाग, फिर गुणा: संख्याएँ छोटी रहती हैं।

उदाहरण 7 · मध्यम

2,100 में से 350 वस्तुएँ बिकीं। बिक्री कितने प्रतिशत रही?

हल, कदम-दर-कदम

1 $\frac{350}{2100} = \frac{1}{6}$ (दोनों में 350 का भाग)।
2सारणी से $\frac{1}{6} = 16 \frac{2}{3} %$ ।

उत्तर $16 \frac{2}{3} %$

उदाहरण 8 · मध्यम

एक राशि

11 \frac{1}{9} %

घटने के बाद 640 रह गई। मूल राशि क्या थी?

हल, कदम-दर-कदम

1 $11 \frac{1}{9} % = \frac{1}{9}$ , यानी मूल राशि के 9 भाग में से 1 भाग घटा।
2बचे $9 - 1 = 8$ भाग $= 640$ , इसलिए 1 भाग $= 80$ ।
3मूल $= 9 \times 80 = 720$ ।

उत्तर 720

घटी हुई राशि पर प्रतिशत जोड़कर मूल नहीं निकलता; भाग से सोचिए।

खुद कीजिए

आसानपहले खुद करके देखें

8 \frac{1}{3} %

of 4,800 = ?

आसानपहले खुद करके देखें

वेतन ₹ 36,000 से बढ़कर ₹ 40,500 हुआ। वृद्धि कितने प्रतिशत?

आसानपहले खुद करके देखें

\frac{7}{16}

कितने प्रतिशत के बराबर है?

मध्यमपहले खुद करके देखें

एक राशि

14 \frac{2}{7} %

बढ़कर 1,400 हो गई। मूल राशि?

मध्यमपहले खुद करके देखें

41 \frac{2}{3} %

of 3,720 का मान,

\frac{5}{12}

of 3,600 से कितना अधिक है?

कठिनपहले खुद करके देखें

बिक्री 330 हज़ार से बढ़कर 360 हज़ार हुई। वृद्धि कितने प्रतिशत है?

अनुमान: गोल करना और 10%-1% के टुकड़े

विकल्प दूर हैं, तो हिसाब सटीक क्यों?

संख्याओं को गोल करके और 10%, 5%, 1% जोड़कर उत्तर के करीब पहुँचना।

विचार

DI के विकल्प आम तौर पर एक-दूसरे से 2–3% या उससे अधिक दूर होते हैं। इसलिए 6,023 और 6,987 के साथ पूरा भाग करने की ज़रूरत नहीं: उन्हें 6,000 और 7,000 मानकर चलिए, अनुमान विकल्पों के बीच का फ़ासला पार नहीं करेगा। दूसरा औज़ार: प्रतिशत को 10%, 5% और 1% के टुकड़ों में तोड़ना — 10% के लिए दशमलव बिंदु एक स्थान खिसकाइए, 1% के लिए दो।

◭ चित्र

35% = 10% + 10% + 10% + 5%; 5% = 10% का आधा

∑ सूत्र

भूल % = \frac{∣ असली - गोल ∣}{असली} \times 100

गोल करना तभी ठीक है जब यह भूल विकल्पों के अंतर से छोटी हो

$असली$: प्रश्न की असली संख्या
$गोल$: आपकी गोल की हुई संख्या

चाल	उदाहरण
10% = दशमलव एक स्थान बाएँ	2,480 का 10% = 248
5% = 10% का आधा	2,480 का 5% = 124
1% = दशमलव दो स्थान बाएँ	2,480 का 1% = 24.8
अन्य % = जोड़-घटा	18% = 10% + 5% + 3×1%; 19% = 20% − 1%

कदम

विकल्प देखिए: सबसे पास के दो विकल्पों का अंतर कितना है? यही आपकी छूट है।
हर संख्या को 2 अंक तक गोल कीजिए (6,023 → 6,000)। अंश को ऊपर और हर को नीचे गोल करें तो भिन्न बढ़ती है (और उलटा)।
गोल संख्याओं से गणना कीजिए।
भूल की दिशा सोचिए: असली उत्तर अनुमान से थोड़ा ऊपर है या नीचे? दोनों विकल्पों में से पास वाला चुनिए।

सावधानीजब दो विकल्प बहुत पास हों (जैसे 41% और 42%), तब गोल मत कीजिए, सटीक गणना कीजिए।

हल किए प्रश्न

उदाहरण 9 · आसान

1,840 का 23% निकालिए।

हल, कदम-दर-कदम

1 $23% = 10% + 10% + 1% + 1% + 1%$ (दो दहाइयाँ और तीन इकाइयाँ)।
210% $= 184$ ; दो बार $= 368$ । 1% $= 18.4$ ; तीन बार $= 55.2$ ।
3जोड़: $368 + 55.2 = 423.2$ ।

उत्तर 423.2

उदाहरण 10 · मध्यम

बिक्री 6,023 से बढ़कर 6,987 हो गई। वृद्धि लगभग कितने प्रतिशत है? (12, 14, 16, 20)

हल, कदम-दर-कदम

1विकल्प 2–4 की दूरी पर हैं, इसलिए 1 अंक तक की भूल चलेगी।
26,023 → 6,000 और 6,987 → 7,000 (दोनों 0.5% से कम बदले)।
3वृद्धि $= 1000$ ; $\frac{1000}{6000} = \frac{1}{6} \approx 16.7%$ ।
416 सबसे पास है (14 और 20 दूर हैं)।

उत्तर 16%

सटीक:

\frac{964}{6023} = 16.01%

। अनुमान 0.7 अंक ऊपर था, पर विकल्प चुनने के लिए पर्याप्त।

उदाहरण 11 · मध्यम

2,483 संख्या 6,017 का लगभग कितना प्रतिशत है? (36, 38, 41, 45)

हल, कदम-दर-कदम

1अंश $2483 \to 2500$ (ऊपर), हर $6017 \to 6000$ (नीचे): दोनों बदलाव भिन्न को बढ़ाते हैं, इसलिए असली मान अनुमान से कम होगा।
2 $\frac{2500}{6000} = \frac{5}{12} = 41 \frac{2}{3} % \approx 41.7%$ ।
3असली 41.7 से थोड़ा कम ⟹ 41 (45 बहुत दूर है)।

उत्तर 41%

सटीक मान 41.27%: अनुमान की दिशा सही निकली।

उदाहरण 12 · मध्यम

2,480 का 35% निकालिए।

हल, कदम-दर-कदम

1 $35% = 3 \times 10% + 5%$ ।
210% $= 248$ ; तीन बार $= 744$ ; 5% $= 124$ ।
3 $744 + 124 = 868$ ।

उत्तर 868

खुद कीजिए

आसानपहले खुद करके देखें

4,260 का 15% = ?

आसानपहले खुद करके देखें

5,010 का 38% लगभग कितना है? (1,804 / 1,904 / 2,004 / 1,954)

मध्यमपहले खुद करके देखें

यात्री 7,980 से बढ़कर 9,120 हुए। वृद्धि लगभग कितने प्रतिशत है? (12, 14, 16, 18)

मध्यमपहले खुद करके देखें

3,570 संख्या 8,980 का लगभग कितने प्रतिशत है? (36, 40, 44, 48)

मध्यमपहले खुद करके देखें

2,410 का 18.2% और 3,190 का 11.8% का योग लगभग कितना है? (780 / 815 / 850 / 895)

कठिनपहले खुद करके देखें

चार माह की बिक्री 4,812, 5,196, 5,087 और 4,905 है। औसत मासिक बिक्री?

भिन्नों और अनुपातों की तुलना, बिना भाग किए

आड़ा गुणा, आधार-रेखा, दूरी

“किसका अनुपात/प्रतिशत सबसे अधिक है?” को भाग किए बिना तय करना।

विचार

“किस वर्ष (या संस्था) का अनुपात सबसे अधिक है?” DI का सबसे बार-बार आने वाला प्रश्न है। हर भिन्न को दशमलव में बदलने में समय जाता है और पास-पास के मानों में भूल भी होती है। तुलना के लिए पूरा मान चाहिए ही नहीं, केवल कौन बड़ा यह चाहिए। इसके लिए चार चालें हैं, और सबके पीछे एक ही बात है: भिन्नों को बिना भाग किए एक-दूसरे के सामने रखना।

◭ चित्र

आड़ा गुणा: अंश × दूसरे का हर; बड़ा गुणनफल जिस ओर का अंश है, वही भिन्न बड़ा

∑ सूत्र

\frac{a}{b} > \frac{c}{d} ⟺ a \times d > c \times b

b, d

धनात्मक हों

$a, b$: पहली भिन्न का अंश और हर
$c, d$: दूसरी भिन्न का अंश और हर

चाल	कब	उदाहरण
① आड़ा गुणा	कोई भी दो भिन्न	$\frac{5}{8}$ vs $\frac{7}{11}$ : 55 < 56
② आधार-रेखा ½	कई भिन्नों में “आधे से ऊपर कौन?”	$\frac{23}{45}$ : $2 \times 23 = 46 > 45$ ⟹ आधे से ऊपर
③ पूरे से दूरी	भिन्न 1 के पास हों	$\frac{72}{80}$ (दूरी $\frac{8}{80}$ ) vs $\frac{85}{95}$ (दूरी $\frac{10}{95}$ ): छोटी दूरी वाली बड़ी
④ समान अंश या हर	अंश (या हर) बराबर करना आसान हो	$\frac{6}{17}$ vs $\frac{12}{35}$ = $\frac{6}{17.5}$ : हर छोटा ⟹ भिन्न बड़ी

यहाँ: $a, c$ = अंश, $b, d$ = हर; “दूरी” = हर − अंश, पूरे से कितनी कम।

कदम

प्रत्येक भिन्न को “भाग” रूप में लिखिए: अंश = जिसकी बात है, हर = जिसके मुकाबले।
चाल चुनिए (ऊपर की सारणी); पाँच या अधिक भिन्न हों तो टूर्नामेंट कीजिए: पहले दो में बड़ा चुनिए, उसे तीसरे से मिलाइए, इसी तरह आगे।
जीतने वाली भिन्न को हर बार एक बार ही दोबारा गुणा कीजिए; पूरी सूची में $n - 1$ तुलनाएँ काफ़ी हैं।

गतिहर बार भाग से 3 अंक तक दशमलव निकालना 4–5 गुना धीमा है; आड़ा गुणा केवल दो गुणा है।

हल किए प्रश्न

तालिका: चार प्रशिक्षण संस्थाओं में भरी सीटें और कुल सीटें।

संस्था	भरी सीटें	कुल सीटें
आरोही	44	56
बोध	51	66
चेतना	62	79
दिशा	39	50

उदाहरण 13 · मध्यम

किस संस्था में भरी सीटों का अनुपात सबसे अधिक है?

हल, कदम-दर-कदम

1अनुपात $= \frac{भरी}{कुल}$ : $\frac{44}{56}$ , $\frac{51}{66}$ , $\frac{62}{79}$ , $\frac{39}{50}$ ।
2पहले दो: $44 \times 66 = 2904$ , $51 \times 56 = 2856$ । $2904 > 2856$ ⟹ आरोही आगे।
3आरोही बनाम चेतना: $44 \times 79 = 3476$ , $62 \times 56 = 3472$ ⟹ आरोही आगे (अंतर केवल 4!)। आरोही बनाम दिशा: $44 \times 50 = 2200 > 39 \times 56 = 2184$ ।

उत्तर आरोही

आरोही 78.57% और चेतना 78.48%: दशमलव में दूसरा अंक चूकते ही उत्तर बदल जाता।

उदाहरण 14 · मध्यम

कौन बड़ा है:

\frac{72}{80}

या

\frac{85}{95}

हल, कदम-दर-कदम

1दोनों 1 के पास हैं, इसलिए “पूरे से दूरी” देखिए: $1 - \frac{72}{80} = \frac{8}{80} = 0.100$ और $1 - \frac{85}{95} = \frac{10}{95} \approx 0.105$ ।
2दूरी जिसकी छोटी, भिन्न उसकी बड़ी: $\frac{72}{80}$ ।

उत्तर $\frac{72}{80}$ (90%) बनाम $\frac{85}{95}$ (89.5%)

उदाहरण 15 · मध्यम

\frac{17}{35}, \frac{23}{45}, \frac{31}{59}

में कितनी भिन्न

\frac{1}{2}

से बड़ी हैं?

हल, कदम-दर-कदम

1 $\frac{a}{b} > \frac{1}{2}$ तभी जब $2 a > b$ ।
2 $2 \times 17 = 34 < 35$ ✗; $2 \times 23 = 46 > 45$ ✓; $2 \times 31 = 62 > 59$ ✓।

उत्तर 2

जाँच एक गुणा और एक तुलना है: बहुत तेज़।

उदाहरण 16 · कठिन

\frac{6}{17}

और

\frac{12}{35}

में से कौन बड़ी है?

हल, कदम-दर-कदम

112 = 2 × 6, इसलिए $\frac{12}{35}$ का अंश 6 करने के लिए दोनों को 2 से भाग दीजिए: $\frac{6}{17.5}$ ।
2अंश समान हैं, हर $17 < 17.5$ ⟹ $\frac{6}{17}$ बड़ी।

उत्तर $\frac{6}{17}$

खुद कीजिए

तालिका: पाँच कारखानों में बने पुर्ज़े और श्रमिक। “प्रति श्रमिक उत्पादन” = पुर्ज़े ÷ श्रमिक।

कारखाना	बने पुर्ज़े	श्रमिक
F1	372	12
F2	551	17
F3	464	15
F4	595	19
F5	413	13

मध्यमपहले खुद करके देखें

किस कारखाने का प्रति श्रमिक उत्पादन सबसे अधिक है?

मध्यमपहले खुद करके देखें

किस कारखाने का प्रति श्रमिक उत्पादन सबसे कम है?

मध्यमपहले खुद करके देखें

F4 और F5 में से किसका प्रति श्रमिक उत्पादन अधिक है?

मध्यमपहले खुद करके देखें

प्रति श्रमिक उत्पादन के घटते क्रम में दूसरे स्थान पर कौन-सा कारखाना है?

कठिनपहले खुद करके देखें

कितने कारखानों का प्रति श्रमिक उत्पादन 31.3 से अधिक है?

कठिनपहले खुद करके देखें

F3 को F1 के बराबर प्रति श्रमिक उत्पादन तक पहुँचने के लिए कम से कम कितने और पुर्ज़े बनाने होंगे?

परिवर्तन, अनुपात, औसत और वृद्धि

दो मानों की तुलना की चार विधियाँ

प्रतिशत परिवर्तन, अनुपात, प्रतिशत से इकाई, औसत और वृद्धि दर।

प्रतिशत परिवर्तन और प्रतिशत-अंक

आधार हमेशा पुराना मान

वृद्धि/कमी का प्रतिशत, प्रतिशत-अंक का अंतर और उलटे प्रश्न।

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चार्ट से अनुपात और अनुपातों की तुलना

बराबर टुकड़ों में सोचिए

दो मानों का अनुपात, जोड़कर अनुपात, भिन्न आधार वाले प्रतिशतों से अनुपात।

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प्रतिशत को इकाइयों में बदलना

जब दो स्थितियों में एक राशि बराबर हो

छूट, लाभ, कमीशन जैसे प्रतिशत को आधार के भाग मानकर दो स्थितियों के अनुपात निकालना।

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औसत और भारित औसत

कुल ÷ गिनती, पर समूह बराबर हों तभी

चार्ट से औसत, औसत वृद्धि और अलग आकार के समूहों का भारित औसत।

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वृद्धि दर और चक्रवृद्धि वृद्धि दर (CAGR)

हर वर्ष का %, और “औसतन प्रति वर्ष” कितना?

वर्ष-दर-वर्ष वृद्धि, सबसे अधिक वृद्धि वाला वर्ष, CAGR का अनुमान और आगे का पूर्वानुमान।

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सार, मिश्रित अभ्यास, दोहराव

सब विधियाँ एक जगह

सभी विधियों की सारणी, मिले-जुले प्रश्नों के दो सेट और दोहराव।

सभी विधियों का सार

प्रश्न देखते ही विधि चुनिए

एक पन्ने में हर विधि, कब लगानी है और मुख्य सूत्र।

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मिश्रित अभ्यास 1: तालिका

पाँच विधियाँ, एक तालिका

एक तालिका पर विभिन्न विधियों के प्रश्न।

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मिश्रित अभ्यास 2: बार चार्ट

पढ़ना + गणना

एक बार चार्ट पर विभिन्न विधियों के प्रश्न।

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दोहराव: सबसे आम भूलें

परीक्षा से पहले एक बार पढ़िए

हर विधि की एक-एक भूल, जो अंक कटवाती है।

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आँकड़ा निर्वचन: विधियाँ और शॉर्टकट

पढ़ना और तेज़ अंकगणित

चार्ट और तालिका बिना भूल के पढ़ना

विचार

कदम

हल किए प्रश्न

खुद कीजिए

भिन्न ↔ प्रतिशत की सारणी (1/2 से 1/20)

विचार

कदम

हल किए प्रश्न

खुद कीजिए

अनुमान: गोल करना और 10%-1% के टुकड़े

विचार

कदम

हल किए प्रश्न

खुद कीजिए

भिन्नों और अनुपातों की तुलना, बिना भाग किए

विचार

कदम

हल किए प्रश्न

खुद कीजिए

परिवर्तन, अनुपात, औसत और वृद्धि

प्रतिशत परिवर्तन और प्रतिशत-अंक

चार्ट से अनुपात और अनुपातों की तुलना

प्रतिशत को इकाइयों में बदलना

औसत और भारित औसत

वृद्धि दर और चक्रवृद्धि वृद्धि दर (CAGR)

सार, मिश्रित अभ्यास, दोहराव

सभी विधियों का सार

मिश्रित अभ्यास 1: तालिका

मिश्रित अभ्यास 2: बार चार्ट

दोहराव: सबसे आम भूलें

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