संख्या पद्धति — अतिरिक्त अभ्यास

प्रतियोगी गणित · संख्या पद्धति

8 भाग3 हल किए उदाहरण11 अभ्यास प्रश्न

ध्यान देंयह अतिरिक्त अभ्यास है: यहाँ बहुत सारे प्रश्न हैं। तरीके पहले सीखने हों तो इसी विषय का मुख्य अध्याय (बिना “अतिरिक्त अभ्यास” वाला) पढ़ें, फिर यहाँ अभ्यास करें।

संख्या पद्धति गणित की नींव है। LCM-HCF, औसत, ब्याज, समय-कार्य — हर अध्याय में हम संख्याओं पर ही काम करते हैं। यहाँ सीखी गई जाँचें (जैसे “क्या यह 9 से कटेगी?” या “इसकी इकाई का अंक क्या होगा?”) कैलकुलेटर के बिना सेकंडों में उत्तर देती हैं।

इस अध्याय में हर विचार पहले साधारण भाषा में समझाया गया है, फिर उसका नियम बना है, फिर हल किए हुए उदाहरण हैं, और अंत में आपके अपने करने के प्रश्न — आसान से कठिन तक।

पढ़ें — विचार पहले, नियम बाद में।
हल किया उदाहरण देखें — हर कदम पर “क्यों?” पूछिए।
खुद करें — पहले कॉपी पर हल करें, फिर विकल्प चुनें। अटकें तो संकेत, फिर हल।

संख्याएँ और उनके स्थान

अंक, स्थानीय मान, संख्याओं के प्रकार

संख्या कैसे लिखी और पढ़ी जाती है, और संख्याओं के नाम (प्राकृत, पूर्ण, पूर्णांक, अभाज्य…) क्या हैं।

अंक, स्थानीय मान और मुख-मान

एक ही अंक, अलग-अलग स्थान, अलग-अलग मान

संख्या के हर अंक की कीमत उसकी जगह से तय होती है — यही पूरी संख्या पद्धति का आधार है।

हम सिर्फ़ दस चिह्न — 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 — इस्तेमाल करते हैं। इन्हें अंक कहते हैं। इन्हीं अंकों को अलग-अलग जगह रखकर हम छोटी-बड़ी हर संख्या बना लेते हैं। 0 को छोड़कर बाकी नौ अंक सार्थक अंक कहलाते हैं।

जगह मायने रखती है: 52 में 5 का मतलब पचास है, पर 25 में वही 5 सिर्फ़ पाँच है। हर जगह का नाम और मान दाईं ओर से बढ़ता है: इकाई (1), दहाई (10), सैकड़ा (100), हज़ार (1,000), दस हज़ार (10,000), लाख (1,00,000), दस लाख, करोड़, दस करोड़।

	करोड़	दस लाख	लाख	दस हज़ार	हज़ार	सैकड़ा	दहाई	इकाई
अंक	6	0	7	2	5	9	3	8
मान	6,00,00,000	0	7,00,000	20,000	5,000	900	30	8

ऊपर की सारणी में संख्या 6,07,25,938 को खोलकर दिखाया गया है। भारतीय पद्धति में हम दाईं ओर से पहले तीन अंक (सैकड़ा तक), फिर दो-दो अंकों के जोड़े (हज़ार, लाख, करोड़) बनाकर अल्पविराम लगाते हैं।

∑ सूत्र

स्थानीय मान = अंक \times उसके स्थान का मान

मुख-मान (face value) अंक का अपना मान है — वह जगह बदलने से नहीं बदलता।

इकाई	भारतीय पद्धति	अंतरराष्ट्रीय पद्धति
1,00,000	1 लाख	100 हज़ार
10,00,000	10 लाख	1 मिलियन
1,00,00,000	1 करोड़	10 मिलियन
1,00,00,00,000	100 करोड़	1 बिलियन

उदाहरण 1 · आसान

संख्या 6,07,25,938 में अंक 7 और अंक 5 का मुख-मान और स्थानीय मान बताइए।

हल, कदम-दर-कदम

1मुख-मान अंक का अपना मान है: 7 का 7 और 5 का 5।
2सारणी से: 7 लाख वाले स्थान पर है, इसलिए स्थानीय मान = 7 × 1,00,000 = 7,00,000।
35 हज़ार वाले स्थान पर है: 5 × 1,000 = 5,000।

उत्तर 7: मुख-मान 7, स्थानीय मान 7,00,000; 5: मुख-मान 5, स्थानीय मान 5,000

आसानपहले खुद करके देखें

संख्या 34,85,271 में अंक 4 का स्थानीय मान क्या है?

मध्यमपहले खुद करके देखें

संख्या 7,62,04,915 में अंक 6 का स्थानीय मान क्या है?

मध्यमपहले खुद करके देखें

संख्या 91,45,360 में अंक 5 का स्थानीय मान क्या है?

उदाहरण 2 · मध्यम

1 से 120 तक के पन्नों वाली एक किताब के पन्नों पर संख्या लिखने में कुल कितने अंक लगेंगे?

हल, कदम-दर-कदम

1अंकों की संख्या के हिसाब से पन्नों को समूहों में बाँटिए।
21–9: 9 पन्ने × 1 अंक = 9।
310–99: 90 पन्ने × 2 अंक = 180।
4100–120: 21 पन्ने × 3 अंक = 63।
5कुल = 9 + 180 + 63 = 252।

उत्तर 252

मध्यमपहले खुद करके देखें

एक किताब में 245 पन्ने हैं। हर पन्ने पर संख्या छापने में कुल कितने अंक लगेंगे?

कठिनपहले खुद करके देखें

एक किताब में 1,000 पन्ने हैं। हर पन्ने पर संख्या छापने में कुल कितने अंक लगेंगे?

कठिनपहले खुद करके देखें

तीन अंकों की ऐसी कितनी संख्याएँ हैं जिनके तीनों अंक अलग-अलग हों?

संख्याओं के प्रकार

प्राकृत से वास्तविक तक

संख्याओं के परिवार — कौन किसके भीतर आता है और 0, 1, 2 जैसी विशेष संख्याओं का स्थान।

संख्याओं के नाम याद करने का सबसे अच्छा तरीका उन्हें डिब्बों के भीतर डिब्बों की तरह सोचना है: प्राकृत संख्याएँ पूर्ण संख्याओं के भीतर हैं, पूर्ण संख्याएँ पूर्णांकों के भीतर, पूर्णांक परिमेय संख्याओं के भीतर, और परिमेय संख्याएँ वास्तविक संख्याओं के भीतर।

डिब्बे के भीतर डिब्बा

प्राकृत Nपूर्ण Wपूर्णांक Zपरिमेय Qवास्तविक R

प्रकार	अर्थ	उदाहरण
प्राकृत	गिनती की संख्याएँ; 1 से शुरू	1, 2, 3, …
पूर्ण	प्राकृत + शून्य	0, 1, 2, 3, …
पूर्णांक	पूर्ण + ऋणात्मक संख्याएँ	…, −2, −1, 0, 1, 2, …
सम	2 से पूरी कटने वाली; इकाई 0, 2, 4, 6, 8	2, 4, 10, 36
विषम	2 से न कटने वाली; इकाई 1, 3, 5, 7, 9	1, 7, 15, 49
अभाज्य	केवल 1 और स्वयं से कटने वाली (1 से बड़ी)	2, 3, 5, 7, 11, 13
भाज्य	जिसके 1 और स्वयं के अलावा भी गुणनखंड हों	4, 6, 9, 15
सह-अभाज्य	दो संख्याएँ जिनका HCF 1 हो	(8, 15), (14, 25)
परिमेय	$\frac{p}{q}$ रूप में लिखी जा सकने वाली ( $q \neq = 0$ ); दशमलव सांत या आवर्ती	$\frac{3}{4}$ , 0.25, $0. \overline{3}$
अपरिमेय	$\frac{p}{q}$ रूप में नहीं लिखी जा सकती; दशमलव न सांत, न आवर्ती	$2$ , $7$ , $π$

0 प्राकृत संख्या नहीं है, पर पूर्ण संख्या है। यह न धनात्मक है न ऋणात्मक।
1 न अभाज्य है न भाज्य। सबसे छोटी अभाज्य संख्या 2 है और यही एकमात्र सम अभाज्य है।
दो सह-अभाज्य संख्याएँ स्वयं अभाज्य हों, यह ज़रूरी नहीं: (8, 15) सह-अभाज्य हैं पर दोनों भाज्य हैं।
$\frac{22}{7}$ केवल $π$ का निकटतम मान है; $π$ अपरिमेय है।

उदाहरण 3 · आसान

इन संख्याओं को पहचानिए: 0, −3, 7, 12, 1,

16

10

। (क) कौन-सी प्राकृत हैं? (ख) कौन-सी अभाज्य? (ग) कौन-सी अपरिमेय?

हल, कदम-दर-कदम

1पहले सरल रूप लिखिए: $16 = 4$ (पूर्ण संख्या), जबकि $10$ पूर्ण वर्ग नहीं है।
2(क) प्राकृत (1, 2, 3, …): 7, 12, 1 और $16 = 4$ । 0 और −3 नहीं।
3(ख) अभाज्य: केवल 7। (12 भाज्य, 4 भाज्य, 1 न अभाज्य न भाज्य।)
4(ग) अपरिमेय: केवल $10$ ।

उत्तर (क) 7, 12, 1, $16$ (ख) 7 (ग) $10$

आसानपहले खुद करके देखें

इन संख्याओं में कितनी अभाज्य हैं: 29, 51, 57, 61, 87, 91, 97, 119?

आसानपहले खुद करके देखें

इनमें से कौन-सी जोड़ी सह-अभाज्य है?

मध्यमपहले खुद करके देखें

इनमें से कौन-सी संख्या अपरिमेय है?

मध्यमपहले खुद करके देखें

पहली पाँच विषम अभाज्य संख्याओं का योग क्या है?

कठिनपहले खुद करके देखें

6 से बड़ी हर अभाज्य संख्या

6 k \pm 1

रूप की होती है। इनमें से कौन-सी संख्या

6 k \pm 1

रूप की होकर भी अभाज्य नहीं है?

विभाज्यता के नियम

भाग दिए बिना जाँच

बिना लंबा भाग किए पता लगाइए कि कोई संख्या 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 11… से कटती है या नहीं, और शेषफल से जुड़े सवाल।

दो से ग्यारह तक की जाँचें

अंतिम अंक, अंकों का योग, बारी-बारी का योग

हर संख्या की जाँच एक छोटी-सी चाल से — कुछ अंतिम अंक देखिए, कुछ अंकों का योग।

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जोड़कर या घटाकर पूरा कटने योग्य बनाना

शेषफल से सीधा उत्तर

“कौन-सी न्यूनतम संख्या जोड़ें / घटाएँ कि संख्या कट जाए” और “सबसे बड़ी / सबसे छोटी n-अंकीय संख्या” वाले सवाल।

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शेषफल के नियम

बड़ी संख्या का शेषफल छोटे हिस्सों से

शेषफल बिना भाग किए निकालना, और जोड़-गुणा करने पर शेषफल कैसे चलता है।

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इकाई का अंक

सिर्फ़ अंतिम अंक का खेल

बड़े गुणनफलों और घात (powers) का इकाई का अंक बिना पूरा हिसाब किए निकालना।

गुणनफल का इकाई अंक

हर संख्या का सिर्फ़ अंतिम अंक

गुणा करने पर इकाई का अंक सिर्फ़ अंतिम अंकों पर निर्भर करता है।

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घात का इकाई अंक

अंकों का चक्र

$a^{n}$ का इकाई का अंक एक छोटे चक्र में घूमता है — चक्र की लंबाई पता हो तो बड़ी से बड़ी घात आसान है।

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अभाज्य संख्याएँ और गुणनखंड

संख्या के निर्माण-खंड

अभाज्य संख्या की पहचान, अभाज्य गुणनखंडन और गुणनखंडों की गिनती व योग।

अभाज्य संख्या की पहचान

वर्गमूल तक जाँच

कोई संख्या अभाज्य है या नहीं, यह सिर्फ़ छोटे अभाज्य संख्याओं से जाँचकर बताइए।

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गुणनखंड: गिनती और योग

अभाज्य घातों से सूत्र

संख्या को अभाज्य गुणनखंडों में तोड़कर उसके कुल गुणनखंड, उनका योग और विशेष प्रकार के गुणनखंड गिनना।

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योग के सूत्र और क्रमागत संख्याएँ

लंबे जोड़ का छोटा रास्ता

पहली n प्राकृत, सम, विषम संख्याओं, वर्गों और घनों के योग; तथा लगातार संख्याओं वाले सवाल।

पहली n संख्याओं के योग

पाँच सूत्र

1 से n तक की संख्याओं, सम और विषम संख्याओं, उनके वर्गों और घनों के योग के सूत्र और उन्हें लगाने के तरीके।

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क्रमागत संख्याएँ और गुण

बीच की संख्या ही औसत है

लगातार संख्याओं का योग देकर सबसे छोटी या बड़ी संख्या पूछना, और संख्याओं के कुछ ज़रूरी गुण।

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सवाल देखकर तरीका चुनना

संकेत · जाल · जाँच

सवाल का शब्द देखकर सही नियम तक पहुँचना, आम गलतियों से बचना और उत्तर जाँचना।

संकेत से तरीका

हर सवाल के शब्द उसका तरीका बताते हैं

नीचे की सारणी सवाल के शब्दों से सीधे तरीके तक पहुँचाती है।

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सबसे आम गलतियाँ

छह जाल

संख्या पद्धति में अंक अक्सर लापरवाही से कटते हैं, कठिनाई से नहीं।

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अभ्यास की सीढ़ी

आसान → मध्यम → कठिन

ऊपर सीखे सब तरीकों के नए प्रश्न, तीन स्तरों में।

स्तर 1 — आसान

सीधे नियम

एक नियम वाले प्रश्न।

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स्तर 2 — मध्यम

दो विचारों का मेल

दो कदम वाले, परीक्षा-स्तर के प्रश्न।

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स्तर 3 — कठिन

कई कदम और चालाक सोच

प्रतियोगी परीक्षाओं के कठिन स्तर के प्रश्न।

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दोहराव — सूत्र कार्ड

पलटिए और खुद से पूछिए

हर कार्ड का प्रश्न पढ़कर पहले खुद उत्तर सोचिए, फिर पलटिए।

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संख्या पद्धति — अतिरिक्त अभ्यास

संख्याएँ और उनके स्थान

अंक, स्थानीय मान और मुख-मान

संख्याओं के प्रकार

विभाज्यता के नियम

दो से ग्यारह तक की जाँचें

जोड़कर या घटाकर पूरा कटने योग्य बनाना

शेषफल के नियम

इकाई का अंक

गुणनफल का इकाई अंक

घात का इकाई अंक

अभाज्य संख्याएँ और गुणनखंड

अभाज्य संख्या की पहचान

गुणनखंड: गिनती और योग

योग के सूत्र और क्रमागत संख्याएँ

पहली n संख्याओं के योग

क्रमागत संख्याएँ और गुण

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