स्पर्श रेखाएँ और वृत्त के मिश्रित प्रश्न

बाहर के एक बिंदु से दो बराबर स्पर्श रेखाएँ, $\sqrt{d^2-r^2}$ और पतंग-आकृति के कोण।

विचार

वृत्त के बाहर के बिंदु $P$ से वृत्त पर ठीक दो स्पर्श रेखाएँ खींची जा सकती हैं: $PA$ और $PB$ ($A,B$ स्पर्श बिंदु)। केंद्र $O$ से $P$ की दूरी $d$ और त्रिज्या $r$ लीजिए। चूँकि $OA\perp PA$, त्रिभुज $OAP$ $A$ पर समकोण है और $OP$ उसका कर्ण है, इसलिए लंबाई $PA=\sqrt{d^2-r^2}$।

दोनों स्पर्श रेखाएँ बराबर क्यों हैं? त्रिभुज $OAP$ और $OBP$ में $OA=OB$ (त्रिज्याएँ), $OP$ उभयनिष्ठ है और दोनों में एक कोण $90^{\circ }$ है। कर्ण और एक भुजा बराबर हैं, इसलिए त्रिभुज सर्वांगसम हैं (RHS) और $PA=PB$। इसी से $OP$ कोण $APB$ को भी आधा करती है और कोण $AOB$ को भी। चतुर्भुज $OAPB$ एक पतंग है जिसके दो कोण $90^{\circ }$ हैं।

तालिका के अक्षर: $x$ = स्पर्श रेखाओं के बीच का कोण $\angle APB$; $r$ = त्रिज्या; $t$ = स्पर्श रेखा की लंबाई। क्षेत्रफल: पतंग दो समकोण त्रिभुज $OAP$, $OBP$ से बनी है, प्रत्येक का क्षेत्रफल $\frac{1}{2}rt$।

1. चित्र बनाइए: केंद्र $O$, बाहरी बिंदु $P$, स्पर्श बिंदु $A$ (और $B$)। $OA$ जोड़िए और $A$ पर समकोण का चिह्न लगाइए।
2. जो दो राशियाँ ज्ञात हैं ($r$, $t$, $d$ में से), उनसे समकोण त्रिभुज $OAP$ में तीसरी निकालिए।
3. कोण पूछे हों तो पतंग के नियम लगाइए: $PA=PB$ से समद्विबाहु त्रिभुज, और $\angle P+\angle O=180^{\circ }$।

अभ्यास — स्वयं कीजिए

दोनों स्पर्श बिंदुओं को जोड़ने वाली जीवा की लंबाई, केंद्र से दूरी और उससे बने समकोण त्रिभुज।

विचार

बाहरी बिंदु $P$ से बनी दो स्पर्श रेखाओं के स्पर्श बिंदुओं $A,B$ को जोड़ने वाली जीवा $AB$ स्पर्श जीवा कहलाती है। पतंग $OAPB$ अपने विकर्ण $OP$ के दोनों ओर सममित है, इसलिए $OP$ जीवा $AB$ को समकोण पर और बीच में काटती है। कटान बिंदु $M$ लीजिए।

अब समकोण त्रिभुज $OAP$ ($A$ पर समकोण) को देखिए: $AM$ उसके कर्ण $OP$ पर लंब है, यानी कर्ण पर डाली गई ऊँचाई। इसके तीन जाने-पहचाने नियम हैं: ऊँचाई $=\frac{\text{भुजा}\times \text{भुजा}}{\text{कर्ण}}$, और हर भुजा का वर्ग $=$ उसका टुकड़ा $\times$ कर्ण। इन्हीं से सारे सूत्र बनते हैं।

1. $r$, $d$, $t$ में से जो दो ज्ञात हैं उनसे तीसरी निकालिए ($t^2=d^2-r^2$)।
2. $AB=\frac{2rt}{d}$ लगाइए; केंद्र से जीवा की दूरी चाहिए तो $OM=\frac{r^2}{d}$।
3. जीवा दी गई हो तो पहले उसका आधा $a$ लेकर $OM=\sqrt{r^2-a^2}$ निकालिए, फिर समरूपता से $t$ और $d$।

अभ्यास — स्वयं कीजिए

दो स्पर्श रेखाओं को काटती तीसरी स्पर्श रेखा: कटे त्रिभुज का परिमाप, केंद्र पर बना कोण और सबसे छोटी कटान।

विचार

बाहरी बिंदु $A$ से स्पर्श रेखाएँ $AB$ और $AC$ ($B,C$ स्पर्श बिंदु) खींचिए। अब वृत्त के चाप $BC$ पर किसी बिंदु $P$ पर एक और स्पर्श रेखा खींचिए, जो $AB$ को $M$ पर और $AC$ को $N$ पर काटे। $M$ भी बाहरी बिंदु है, इसलिए उससे वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ बराबर हैं: $MB=MP$। इसी तरह $NC=NP$।

त्रिभुज $AMN$ का परिमाप $AM+MN+NA=AM+(MP+PN)+NA$। यहाँ $MP$ की जगह $MB$ और $PN$ की जगह $NC$ रखिए: $=(AM+MB)+(NC+NA)=AB+AC$। यानी परिमाप $=2\times AB$, चाहे $P$ कहीं भी हो!

1. बराबर स्पर्श रेखाओं की जोड़ियाँ पहचानिए: $A$ से दो, $M$ से दो ($MB,MP$), $N$ से दो ($NC,NP$)।
2. कटे त्रिभुज का परिमाप $=AB+AC$ लिखिए और जो भुजाएँ ज्ञात हों उन्हें घटाइए।
3. कोण पूछा हो तो $90^{\circ }-\frac{A}{2}$; सबसे छोटी कटान पूछी हो तो $MN=\frac{2r(d-r)}{t}$।

अभ्यास — स्वयं कीजिए

एक खास स्थिति: यदि $AB$ वृत्त का व्यास हो और $A$, $B$ पर स्पर्श रेखाएँ खींची जाएँ, तो चाप के बिंदु $C$ की स्पर्श रेखा इन्हें $D$, $E$ पर काटने पर $DE=AD+BE$ और $r^2=AD\cdot BE$ (क्योंकि $\angle DOE=90^{\circ }$)। नीचे दो प्रश्न इसी पर हैं।

स्पर्श रेखा × छेदक, दो छेदक और भीतर कटती जीवाओं का गुणनफल नियम, और केंद्र से दूरी से उसका संबंध।

विचार

बाहर के बिंदु $P$ से एक छेदक खींचिए जो वृत्त को $A$ (पास) और $B$ (दूर) पर काटे। अब छेदक को $P$ के चारों ओर घुमाइए: $A$ और $B$ पास आते जाते हैं, और जब छेदक स्पर्श रेखा बन जाती है तो दोनों एक ही बिंदु $T$ में मिल जाते हैं। तब $PA=PB=PT$ और गुणनफल $PA\times PB$ बदलकर $PT\times PT=P{T}^2$ हो जाता है। चित्र में यही दिखता है — और इससे पता चलता है कि $PA\cdot PB$ छेदक की दिशा पर निर्भर नहीं करता, हमेशा $P{T}^2$ के बराबर रहता है।

क्यों? त्रिभुज $PTA$ और $PBT$ में कोण $P$ साझा है और $\angle PTA=\angle PBT$ (अगला खंड: एकांतर खंड प्रमेय)। दो कोण बराबर, इसलिए समरूप: $\frac{PT}{PB}=\frac{PA}{PT}$, यानी $P{T}^2=PA\cdot PB$। दो छेदकों और भीतर कटती जीवाओं में भी इसी तरह के समरूप त्रिभुज ($PAD\sim PCB$ और $EAD\sim ECB$) वही बात देते हैं।

तालिका के अक्षर: $P$ = बाहरी बिंदु; $PT$ = स्पर्श रेखा; $A,B$ और $C,D$ = छेदकों के कटान बिंदु (पहला अक्षर पास वाला); $E$ = भीतर का वह बिंदु जहाँ जीवाएँ कटती हैं; $r$ = त्रिज्या, $d$ = केंद्र से बिंदु की दूरी। ध्यान रखिए: छेदक की लंबाई हमेशा $P$ से दूर वाले बिंदु तक लीजिए ($PB$, जीवा $AB$ नहीं)।

1. बिंदु ($P$ या $E$) चुनिए जहाँ रेखाएँ मिलती हैं और तय कीजिए कि वह वृत्त के बाहर है या भीतर।
2. हर रेखा के लिए: बाहर से $\text{पास}\times \text{दूर}$ (दूर = पूरी छेदक), भीतर से $\text{टुकड़ा}\times \text{टुकड़ा}$। स्पर्श रेखा के लिए $PT\times PT$।
3. दोनों गुणनफल बराबर लिखकर अज्ञात निकालिए; फिर देखिए कि जीवा माँगी है या पूरी छेदक।

अभ्यास — स्वयं कीजिए

स्पर्श रेखा और जीवा के बीच का कोण विपरीत खंड के कोण के बराबर होता है — कोण वाले प्रश्नों की मुख्य कुंजी।

विचार

$A$ पर स्पर्श रेखा खींचिए और $A$ से एक जीवा $AB$ खींचिए। जीवा वृत्त को दो खंडों में बाँटती है। स्पर्श रेखा और जीवा के बीच का कोण $\theta$ एक खंड की ओर पड़ता है; उसके विपरीत (एकांतर) खंड में जीवा $AB$ पर कहीं भी बिंदु $C$ लें तो $\angle ACB=\theta$। चित्र में $C$ को चाप पर घुमाइए: कोण कभी नहीं बदलता।

यह सच क्यों है?

त्रिज्या $OA$ स्पर्श रेखा पर लंब है, इसलिए त्रिभुज $OAB$ का कोण $\angle OAB=90^{\circ }-\theta$। $OA=OB$ से $\angle OBA$ भी यही है, तो केंद्र पर $\angle AOB=180^{\circ }-2(90^{\circ }-\theta )=2\theta$। परिधि कोण केंद्रीय कोण का आधा होता है, इसलिए बड़े चाप पर कोई भी $\angle ACB=\theta$। (छोटे चाप के बिंदु पर $180^{\circ }-\theta$ आता है — चक्रीय चतुर्भुज।)

1. स्पर्श बिंदु $A$ और वहाँ से निकलने वाली जीवा $AB$ पहचानिए।
2. स्पर्श रेखा-जीवा कोण को दूसरी ओर के चाप के किसी बिंदु $C$ पर $\angle ACB$ के रूप में लिखिए (या $2\times$ केंद्र पर)।
3. अब त्रिभुज का कोण-योग $180^{\circ }$, सीधी रेखा $180^{\circ }$ या चक्रीय चतुर्भुज से बाकी कोण निकालिए।

अभ्यास — स्वयं कीजिए