सांख्यिकी 2: फैलाव, चतुर्थक और वितरण का आकार

SSC · RRB · राज्य परीक्षाएँ — विधि-दर-विधि

5 भाग0 हल किए उदाहरण0 अभ्यास प्रश्न

दो कक्षाओं के अंक 40, 40, 40, 40 और 10, 20, 60, 70 हों तो दोनों का माध्य 40 है, फिर भी वे बिलकुल अलग हैं: पहली में सब एक जैसे हैं, दूसरी में बहुत बिखरे। केंद्र बताने वाली एक संख्या यह भेद नहीं दिखाती। इसीलिए फैलाव (dispersion) के माप चाहिए: वे बताते हैं कि मान केंद्र के आसपास कितने पास-पास या दूर-दूर हैं।

प्रश्न	माप	इस चैप्टर में
कितना बिखरे हैं?	विस्तार, माध्य विचलन, प्रसरण, मानक विचलन, विचरण गुणांक	समूह ब
किस स्थान पर कितने हैं?	चतुर्थक, दशमक, शतमक, पाँच-संख्या सारांश	समूह स
आकार कैसा है?	विषमता, सामान्य वक्र	समूह स
कहाँ चूक होती है?	नमूना बनाम पूर्ण, समावेशी वर्ग, खुले सिरे, विचलनों का योग	समूह द

यहाँ: समूह अ (पहला) में पिछले चैप्टर के केंद्र के माप एक सारणी में दोहराए गए हैं, क्योंकि फैलाव के हर सूत्र में माध्य या माध्यिका आता है। समूह ब में फैलाव, समूह स में स्थान और आकार, समूह द में जाल, और अंत में सार, मिश्रित अभ्यास और दोहराव है।

पिछला चैप्टरयह सांख्यिकी का दूसरा भाग है। पहला भाग “सांख्यिकी 1: आँकड़े, माध्य, माध्यिका और बहुलक” आँकड़े सजाना, बारंबारता सारणी, वर्ग-अंतराल और केंद्र के तीनों माप सिखाता है; उसके बाद यह चैप्टर आसान लगेगा।

शुरू करने से पहले: केंद्र के माप

माध्य · माध्यिका · बहुलक

सांख्यिकी 1 के तीनों केंद्र-माप एक सारणी में।

फैलाव हमेशा किसी केंद्र के सापेक्ष होता है, इसलिए पहले तीनों केंद्र-माप एक नज़र में दोहरा लीजिए। विस्तार से बताने वाली पूरी विधियाँ सांख्यिकी 1 में हैं।

केंद्र के माप: एक नज़र में

सूत्र जो आगे बार-बार आएँगे

माध्य, माध्यिका और बहुलक के कच्चे और समूहित आँकड़ों के सूत्र।

माप	कच्चे आँकड़े / सारणी	समूहित आँकड़े
माध्य $\overset{x}{ˉ}$	$\frac{\sum x}{n}$ , $\frac{\sum f x}{\sum f}$	$\frac{\sum f x}{\sum f}$ , $a + h \frac{\sum f u}{\sum f}$
माध्यिका $M$	क्रम में रखकर $\frac{n + 1}{2}$ -वाँ मान	$L + \frac{N /2 - c f}{f} \times h$
बहुलक $Mo$	सबसे अधिक बार आने वाला मान	$L + \frac{f _{1} - f _{0}}{2 f _{1} - f _{0} - f _{2}} \times h$

यहाँ: $n$ = मानों की संख्या, $N = \sum f$ , $x$ = मान (समूहित में वर्ग-चिह्न), $a$ = कल्पित माध्य, $u = \frac{x - a}{h}$ , $h$ = वर्ग-चौड़ाई, $L$ = माध्यिका/बहुलक वर्ग की निचली सीमा, $c f$ = उससे पहले के वर्ग तक की संचयी बारंबारता, $f$ = उस वर्ग की बारंबारता, $f_{0}, f_{1}, f_{2}$ = बहुलक वर्ग से पहले, बहुलक वर्ग और उसके बाद की बारंबारता।

मान माध्य से कितने दूर हैं — यह माध्य विचलन, प्रसरण और SD सब का आधार है; इसलिए माध्य सही निकलना पहली शर्त है।
माध्यिका और चतुर्थक एक ही परिवार के हैं — चतुर्थक भी माध्यिका वाले सूत्र में बस स्थान बदलकर निकलते हैं।
समावेशी वर्ग (20–29, 30–39) में पहले वास्तविक सीमाएँ (19.5, 29.5 …) बनाइए और चौड़ाई दो क्रमागत निचली सीमाओं के अंतर से लीजिए।

सांख्यिकी 1यदि इनमें से कोई सूत्र अटपटा लगे, तो पहले पिछला चैप्टर “सांख्यिकी 1: आँकड़े, माध्य, माध्यिका और बहुलक” खोलकर उसकी विधि देख लीजिए, फिर यहाँ लौटिए।

फैलाव (बिखराव)

विस्तार · विचलन · प्रसरण · SD

विस्तार, माध्य विचलन (कच्चे और समूहित), प्रसरण और मानक विचलन, कल्पित माध्य से प्रसरण, बदलाव का असर, ग़लत मान का सुधार, संयुक्त SD, विचरण गुणांक और सही माप का चुनाव।

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विस्तार और माध्य विचलन (कच्चे आँकड़े)

सबसे बड़ा − सबसे छोटा · औसत दूरी

विस्तार, विस्तार का गुणांक, और माध्य या माध्यिका से माध्य विचलन (सूची और बारंबारता सारणी)।

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माध्य विचलन: समूहित आँकड़े

\frac{\sum f ∣ x - A ∣}{\sum f}

· कार्य-स्तंभ

वर्ग-चिह्नों से माध्य या माध्यिका के सापेक्ष माध्य विचलन, उसका गुणांक, और कार्य-स्तंभों की सारणी।

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प्रसरण और मानक विचलन

σ^{2} = \frac{\sum ( x - x ˉ ) ^{2}}{n}

σ = σ^{2}

कच्चे आँकड़ों और बारंबारता सारणी का प्रसरण और मानक विचलन: परिभाषा और लघु सूत्र।

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कल्पित माध्य से प्रसरण (बड़ी संख्याएँ)

σ^{2} = \frac{\sum d ^{2}}{n} - (\frac{\sum d}{n})^{2}

कच्चे आँकड़ों और बारंबारता सारणी में $d = x - A$ लेकर प्रसरण और मानक विचलन: बड़े मानों का तेज़ तरीक़ा।

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मानक विचलन: समूहित आँकड़े

पद-विचलन विधि

वर्ग-चिह्न और $u = \frac{x - a}{h}$ से प्रसरण और मानक विचलन।

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बदलाव का असर और श्रेणियों का SD

जोड़ने से नहीं बदलता · गुणा से बदलता है

सब मानों में जोड़ने या गुणा करने का SD, प्रसरण और CV पर असर; पहली $n$ प्राकृत संख्याओं और बराबर अंतर वाली श्रेणी का SD।

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ग़लत मान का सुधार और संयुक्त SD

\sum x

और

\sum x^{2}

दोनों सुधारें

ग़लत लिखे प्रेक्षण से सही माध्य और SD, और दो समूहों का संयुक्त माध्य और SD।

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विचरण गुणांक और स्थिरता की तुलना

CV = \frac{σ}{x ˉ} \times 100

दो आँकड़ों की स्थिरता की तुलना सापेक्ष माप (CV) से।

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फैलाव का सही माप चुनना

चरम मान · अलग माध्य · तेज़ अंदाज़ा

विस्तार, चतुर्थक विचलन, मानक विचलन और विचरण गुणांक में से कब कौन-सा माप, और एक चरम मान का हर माप पर असर।

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चतुर्थक, शतमक और आकार

स्थिति के माप · विषमता · सामान्य वक्र

आँकड़ों को 4, 10 या 100 बराबर भागों में बाँटने वाले मान, पाँच-संख्या सारांश, विषमता और सामान्य वक्र।

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चतुर्थक, दशमक, शतमक: कच्चे आँकड़े

स्थान

\frac{k ( n + 1 )}{4}

· IQR · QD

$Q_{1}$ , $Q_{3}$ , दशमक, शतमक, अंतर-चतुर्थक विस्तार (IQR), चतुर्थक विचलन और शतमक क्रम।

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चतुर्थक, दशमक, शतमक: समूहित आँकड़े

माध्यिका वाला सूत्र, बस स्थान बदलिए

$Q_{1}$ , $Q_{3}$ , $D_{k}$ , $P_{k}$ का सूत्र और चतुर्थक विचलन।

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पाँच-संख्या सारांश और बॉक्स प्लॉट

न्यूनतम ·

Q_{1}

· माध्यिका ·

Q_{3}

· अधिकतम

पाँच-संख्या सारांश, बॉक्स प्लॉट पढ़ना और 1.5 × IQR से असामान्य मान।

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विषमता: आकार और पियर्सन/बाउली गुणांक

माध्य किधर खिंचता है

सममित और असममित आकार, माध्य-माध्यिका-बहुलक का क्रम, पियर्सन और बाउली के विषमता गुणांक।

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सामान्य वक्र और z-अंक

68 – 95 – 99.7

घंटी-आकार का सामान्य वितरण, 68-95-99.7 नियम और z-अंक।

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फैलाव के प्रश्नों के जाल

जहाँ अंक जाते हैं

नमूना बनाम पूर्ण आँकड़े, समावेशी वर्ग में SD, खुले सिरे और विचलनों के योग के जाल।

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जाल: $n - 1$ , समावेशी वर्ग, खुले सिरे, विचलनों का योग

हर विकल्प के पीछे एक चूक

नमूना SD ( $n - 1$ ), समावेशी वर्गों में SD, खुले सिरे वाली सारणी का चतुर्थक विचलन, और माध्य से विचलनों का योग शून्य।

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सार, मिश्रित अभ्यास, दोहराव

सब सूत्र एक जगह

इस चैप्टर के सभी सूत्रों की सारणी, परीक्षा जैसे 40 से अधिक मिले-जुले प्रश्न और दोहराव कार्ड।

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सभी सूत्रों का सार

एक पन्ने में पूरा चैप्टर

फैलाव, स्थान और आकार के सभी सूत्र, हर एक के साथ याद रखने की एक बात।

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मिश्रित अभ्यास — सेट 1

आसान से मध्यम

हर विधि के मिले-जुले प्रश्न; पहले विधि पहचानिए, फिर हल कीजिए।

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मिश्रित अभ्यास — सेट 2

मध्यम से कठिन

परीक्षा के कठिन छोर के मिले-जुले प्रश्न।

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दोहराव कार्ड और परीक्षा के सुझाव

पलटकर देखिए, फिर याद कीजिए

सबसे ज़रूरी तथ्यों के पलटने वाले कार्ड, अंतिम सुझाव और पिछले चैप्टर का रास्ता।

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सांख्यिकी 2: फैलाव, चतुर्थक और वितरण का आकार

शुरू करने से पहले: केंद्र के माप

केंद्र के माप: एक नज़र में

फैलाव (बिखराव)

विस्तार और माध्य विचलन (कच्चे आँकड़े)

माध्य विचलन: समूहित आँकड़े

प्रसरण और मानक विचलन

कल्पित माध्य से प्रसरण (बड़ी संख्याएँ)

मानक विचलन: समूहित आँकड़े

बदलाव का असर और श्रेणियों का SD

ग़लत मान का सुधार और संयुक्त SD

विचरण गुणांक और स्थिरता की तुलना

फैलाव का सही माप चुनना

चतुर्थक, शतमक और आकार

चतुर्थक, दशमक, शतमक: कच्चे आँकड़े

चतुर्थक, दशमक, शतमक: समूहित आँकड़े

पाँच-संख्या सारांश और बॉक्स प्लॉट

विषमता: आकार और पियर्सन/बाउली गुणांक

सामान्य वक्र और z-अंक

फैलाव के प्रश्नों के जाल

जाल: $n - 1$ , समावेशी वर्ग, खुले सिरे, विचलनों का योग

सार, मिश्रित अभ्यास, दोहराव

सभी सूत्रों का सार

मिश्रित अभ्यास — सेट 1

मिश्रित अभ्यास — सेट 2

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