त्रिविमीय क्षेत्रमिति: विधियाँ और शॉर्टकट

प्रतियोगी गणित · SSC CGL

7 भाग12 हल किए उदाहरण22 अभ्यास प्रश्न

समतल आकृति (वर्ग, वृत्त) की केवल लंबाई और चौड़ाई होती है। ठोस (डिब्बा, गेंद, पाइप) की तीसरी माप भी होती है — ऊँचाई या गहराई। हर ठोस के बारे में परीक्षा तीन ही बातें पूछती है:

आयतन — ठोस के अंदर कितनी जगह है (कितना पानी, मिट्टी या धातु समाएगी)। इकाई: घन सेमी, घन मी।
पार्श्व या वक्र पृष्ठ (LSA/CSA) — केवल बगल की दीवारें, ऊपर-नीचे के फलक छोड़कर (कमरे की चार दीवारें, डिब्बे का लेबल)।
संपूर्ण पृष्ठ (TSA) — बाहर से छुई जा सकने वाली हर सतह (पूरा डिब्बा रंगना)। इकाई: वर्ग सेमी, वर्ग मी।

बदलना	नियम	क्यों
लंबाई	$1 m = 100 cm$	एक घात
क्षेत्रफल	$1 m^{2} = 1 0^{4} cm^{2}$	$100 \times 100$
आयतन	$1 m^{3} = 1 0^{6} cm^{3}$	$100 \times 100 \times 100$
धारिता	1 घन मी = 1000 लीटर; 1 लीटर = 1000 घन सेमी	परिभाषा

याद रखेंहर प्रश्न में पहला काम: सभी माप एक इकाई में लाइए। सबसे आम गलती है सेमी और मी को मिलाना। दूसरा काम: पढ़िए कि जगह पूछी है (आयतन) या ढकना/रंगना (क्षेत्रफल)।

$π$ के लिए $\frac{22}{7}$ लीजिए जब त्रिज्या 7 का गुणज हो; वरना उत्तर $π$ के रूप में छोड़ दीजिए (जैसे $240 π$ )। इस अध्याय में हर विधि के बाद हल किए उदाहरण और फिर स्वयं करने के प्रश्न हैं — हल तभी खोलिए जब खुद कोशिश कर लें।

डिब्बे जैसे ठोस

घनाभ · घन · कमरा · प्रिज़्म

सपाट फलकों वाले ठोस: घनाभ, घन, कमरे और डिब्बे, और किसी भी आधार वाला प्रिज़्म।

घनाभ और घन

आयतन · पृष्ठ · विकर्ण

घनाभ/घन के सूत्र क्यों सही हैं, उलटे प्रश्न, विकर्ण, फलकों का गुणनफल और अनुपात वाले प्रश्न।

घनाभ एक साधारण डिब्बा है: 6 आयताकार फलक, आमने-सामने के फलक बराबर। मान लीजिए डिब्बा 5 सेमी लंबा, 3 सेमी चौड़ा और 2 सेमी ऊँचा है। तल पर 1 सेमी के घन बिछाइए — एक परत में $5 \times 3 = 15$ घन आएँगे; ऐसी 2 परतें बनेंगी, यानी 30 घन। इसी गिनती को सूत्र में लिखें तो आयतन = $l \times b \times h$ ।

फलक तीन जोड़ियों में होते हैं: ऊपर-नीचे ( $l b$ दो बार), आगे-पीछे ( $l h$ दो बार), दाएँ-बाएँ ( $bh$ दो बार)। सब जोड़ें तो संपूर्ण पृष्ठ $= 2 (l b + bh + h l)$ । केवल चार दीवारें (ऊपर-नीचे छोड़कर) लें तो उन्हें एक पट्टी की तरह खोलिए — लंबाई $2 (l + b)$ (परिधि), ऊँचाई $h$ , इसलिए पार्श्व पृष्ठ $= 2 (l + b) h$ ।

विकर्ण एक कोने से ठीक उलटे कोने तक जाता है। पहले फ़र्श का विकर्ण: $l^{2} + b^{2}$ (पाइथागोरस)। यह फ़र्श-विकर्ण और खड़ी ऊँचाई $h$ फिर एक समकोण बनाते हैं, इसलिए $d = l^{2} + b^{2} + h^{2}$ । घन में सब किनारे $a$ हैं, तो सूत्र $a^{3}$ , $4 a^{2}$ , $6 a^{2}$ , $a 3$ बन जाते हैं।

◭ चित्र

घनाभ: लंबाई

l

, चौड़ाई

b

, ऊँचाई

h

, विकर्ण

d

◭ चित्र

घन: हर किनारा

a

, विकर्ण

a 3

राशि	घनाभ	घन
आयतन	$l bh$	$a^{3}$
पार्श्व पृष्ठ (4 दीवारें)	$2 (l + b) h$	$4 a^{2}$
संपूर्ण पृष्ठ	$2 (l b + bh + h l)$	$6 a^{2}$
विकर्ण	$l^{2} + b^{2} + h^{2}$	$a 3$
अंदर का सबसे बड़ा गोला / बाहर का गोला	—	त्रिज्या $\frac{a}{2}$ / $\frac{3}{2} a$

∑ सूत्र

V = x yz (l + b + h)^{2} = d^{2} + TSA

दो शॉर्टकट: तीन आसन्न फलकों के क्षेत्रफल

x, y, z

से आयतन; और किनारों का योग + विकर्ण से संपूर्ण पृष्ठ

पहचानपहचान: “सबसे लंबी छड़/बाँस/पेंसिल” → विकर्ण। “तीन फलकों के क्षेत्रफल” →

x yz

। “

l = 3 b = 4 h

” या “अनुपात” → किनारे

p x, q x, r x

(अनुपात के लिए LCM लीजिए:

l = 3 b = 4 h

⟹

l : b : h = 12 : 4 : 3

)। “12 किनारों का योग” →

4 (l + b + h)

।

सभी माप एक इकाई में लिखिए।
तय कीजिए क्या पूछा है: जगह (आयतन), ढकना (पार्श्व या संपूर्ण पृष्ठ), या सबसे लंबी वस्तु (विकर्ण)।
कोई किनारा अज्ञात है तो उसे $x$ मानिए (अनुपात हो तो $p x, q x, r x$ ) और दी हुई राशि का समीकरण बनाइए।
$x$ निकालकर पूछी गई राशि का सूत्र लगाइए और इकाई (घन/वर्ग) जाँचिए।

उदाहरण 1 · आसान

एक पेंसिल-डिब्बा 24 सेमी × 8 सेमी × 6 सेमी है। उसका आयतन, पार्श्व पृष्ठ, संपूर्ण पृष्ठ और सबसे लंबी पेंसिल जो उसमें आ सके — चारों निकालिए।

हल, कदम-दर-कदम

1आयतन बताता है डिब्बे में कितनी जगह है: $V = l bh = 24 \times 8 \times 6 = 1152$ घन सेमी।
2चार दीवारों को खोलकर एक पट्टी बनाइए: लंबाई = परिधि $2 (24 + 8) = 64$ , ऊँचाई 6, इसलिए पार्श्व पृष्ठ $= 64 \times 6 = 384$ वर्ग सेमी।
3ऊपर और नीचे के दो फलक ( $24 \times 8 = 192$ प्रत्येक) जोड़िए: संपूर्ण पृष्ठ $= 384 + 2 \times 192 = 768$ वर्ग सेमी। जाँच: $2 (192 + 48 + 144) = 768$ ✓।
4सबसे लंबी पेंसिल कोने से उलटे कोने तक जाएगी: $d = 576 + 64 + 36 = 676 = 26$ सेमी।

उत्तर 1152 घन सेमी; 384 वर्ग सेमी; 768 वर्ग सेमी; 26 सेमी

ध्यान दें कि 26 सेमी की पेंसिल 24 सेमी लंबे डिब्बे में भी आ जाती है — क्योंकि वह तिरछी रखी जाती है।

उदाहरण 2 · मध्यम

एक घनाभाकार केक-डिब्बे के तीन आसन्न फलकों के क्षेत्रफल 48, 60 और 80 वर्ग सेमी हैं। आयतन और तीनों किनारे निकालिए।

हल, कदम-दर-कदम

1तीन आसन्न फलक $l b$ , $bh$ , $h l$ होते हैं। इन तीनों का गुणा करने पर हर किनारा दो बार आता है: $(l b) (bh) (h l) = (l bh)^{2}$ ।
2इसलिए $V^{2} = 48 \times 60 \times 80 = 230400$ , और $V = 230400 = 480$ घन सेमी।
3हर किनारा = आयतन ÷ बाकी दो किनारों वाला फलक: $480 \div 48 = 10$ , $480 \div 60 = 8$ , $480 \div 80 = 6$ ।

उत्तर 480 घन सेमी; किनारे 10, 8, 6 सेमी

लंबा रास्ता (तीन समीकरण हल करना) भी यही देता है, पर

x yz

से एक पंक्ति में उत्तर आता है।

उदाहरण 3 · मध्यम

एक घनाकार ठोस का संपूर्ण पृष्ठ 726 वर्ग सेमी है। उसका आयतन और विकर्ण?

हल, कदम-दर-कदम

1घन के 6 बराबर फलक हैं: $6 a^{2} = 726$ , तो एक फलक $a^{2} = 121$ और $a = 11$ सेमी।
2आयतन $= a^{3} = 1 1^{3} = 1331$ घन सेमी।
3विकर्ण $= a 3 = 113$ सेमी।

उत्तर 1331 घन सेमी; $113$ सेमी

उदाहरण 4 · कठिन

एक घनाभ में

l = 2 b = 3 h

है और आयतन 2304 घन सेमी है। उसका संपूर्ण पृष्ठ ज्ञात कीजिए।

हल, कदम-दर-कदम

1तीनों बराबर हैं किसी एक संख्या के: $l = 2 b = 3 h = k$ । तब $l = k$ , $b = \frac{k}{2}$ , $h = \frac{k}{3}$ ; भिन्न हटाने के लिए 2 और 3 का LCM 6 लीजिए: $l : b : h = 6 : 3 : 2$ ।
2किनारे $6 x, 3 x, 2 x$ : आयतन $= 36 x^{3} = 2304$ ⟹ $x^{3} = 64$ ⟹ $x = 4$ । किनारे 24, 12, 8 सेमी।
3संपूर्ण पृष्ठ $= 2 (24 \cdot 12 + 12 \cdot 8 + 8 \cdot 24) = 2 (288 + 96 + 192) = 1152$ वर्ग सेमी।

उत्तर 1152 वर्ग सेमी

जाल:

2 (l + b) h = 576

केवल चार दीवारें हैं। “संपूर्ण” में ऊपर-नीचे भी जुड़ते हैं।

आसानपहले खुद करके देखें

9 सेमी भुजा वाले एक घनाकार डिब्बे के सभी फलकों पर कागज़ चिपकाना है। कितना कागज़ (वर्ग सेमी) लगेगा?

आसानपहले खुद करके देखें

एक गोदाम 16 मी लंबा, 12 मी चौड़ा और 15 मी ऊँचा है। उसमें रखा जा सकने वाला सबसे लंबा सीधा बाँस कितना लंबा होगा?

आसानपहले खुद करके देखें

एक घनाकार पानी की टंकी की भीतरी भुजा 13 डेसीमी है। उसमें कितने लीटर पानी आएगा? (1 घन डेसीमी = 1 लीटर)

मध्यमपहले खुद करके देखें

एक ईंट के तीन आसन्न फलकों के क्षेत्रफल 60, 35 और 84 वर्ग सेमी हैं। ईंट का आयतन (घन सेमी)?

मध्यमपहले खुद करके देखें

एक घन का विकर्ण

83

सेमी है। उसका संपूर्ण पृष्ठ (वर्ग सेमी)?

मध्यमपहले खुद करके देखें

एक घनाभ की लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई 4 : 3 : 2 में हैं और संपूर्ण पृष्ठ 1,300 वर्ग सेमी है। आयतन (घन सेमी)?

कठिनपहले खुद करके देखें

एक घनाभ की लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई 12 : 3 : 2 में हैं और आयतन 4,608 घन सेमी है। संपूर्ण पृष्ठ (वर्ग सेमी)?

कठिनपहले खुद करके देखें

एक घनाभ के सभी 12 किनारों की कुल लंबाई 76 सेमी है और उसका विकर्ण

13

सेमी है। उसका संपूर्ण पृष्ठ (वर्ग सेमी)?

कमरे, डिब्बे और खर्च

दीवारें · कागज़ · मोटाई

दीवारों पर रंग/कागज़ का खर्च, कालीन, कोने काटकर डिब्बा और मोटाई वाला संदूक।

कमरा अंदर से देखा गया घनाभ है। चार दीवारें उसका पार्श्व पृष्ठ $2 (l + b) h$ हैं, फ़र्श और छत दोनों $l b$ । दरवाज़े-खिड़की पर रंग या कागज़ नहीं लगता, इसलिए उनका क्षेत्रफल घटाते हैं। खर्च हमेशा क्षेत्रफल × दर (प्रति वर्ग मी) होता है।

कालीन या वॉलपेपर एक लंबी पट्टी है जिसकी चौड़ाई तय है। पट्टी का क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई, इसलिए लंबाई = क्षेत्रफल ÷ चौड़ाई; दाम “प्रति मीटर” हो तो लंबाई से गुणा करें। कोने काटकर डिब्बा: चादर के हर कोने से $x$ भुजा का वर्ग काटें तो हर भुजा से $2 x$ घटता है और मोड़े हुए किनारे ऊँचाई $x$ बनते हैं। मोटी दीवार वाला संदूक: भीतरी माप = बाहरी − दोनों तरफ़ की मोटाई; लकड़ी = बाहरी आयतन − भीतरी आयतन।

∑ सूत्र

4 walls = 2 (l + b) h V_{box} = (L - 2 x) (B - 2 x) x

दीवारें और कोने काटकर बना डिब्बा

संदूक	भीतरी लंबाई, चौड़ाई	भीतरी ऊँचाई
बंद (ढक्कन सहित)	$l - 2 t, b - 2 t$	$h - 2 t$
खुला (ढक्कन नहीं)	$l - 2 t, b - 2 t$	$h - t$

पहचानपहचान: “दीवारों पर रंग/प्लास्टर” →

2 (l + b) h

; “छत भी” →

+ l b

; “कालीन/कागज़ की चौड़ाई” → लंबाई = क्षेत्रफल ÷ चौड़ाई; “कोनों से वर्ग काटे” →

(L - 2 x) (B - 2 x) x

; “लकड़ी कितनी लगी” → बाहरी − भीतरी।

चित्र बनाइए और तय कीजिए कौन-सी सतहें ढकनी हैं (दीवारें? छत? फ़र्श?)।
उनका क्षेत्रफल जोड़िए और खिड़की-दरवाज़े घटाइए।
दर वर्ग मी में हो तो सीधे गुणा; पट्टी की दर मीटर में हो तो पहले लंबाई = क्षेत्रफल ÷ चौड़ाई।
मोटाई वाले प्रश्नों में पहले भीतरी माप लिखिए, फिर आयतन घटाइए।

उदाहरण 5 · आसान

एक हॉल 12 मी × 9 मी × 5 मी है। उसमें 2 मी × 1.5 मी का एक दरवाज़ा है। चार दीवारों और छत पर ₹25 प्रति वर्ग मी से रंग का खर्च?

हल, कदम-दर-कदम

1चार दीवारें = $2 (l + b) h = 2 (12 + 9) \times 5 = 210$ वर्ग मी।
2दरवाज़े पर रंग नहीं होगा: $2 \times 1.5 = 3$ वर्ग मी घटाइए, बचा 207 वर्ग मी।
3छत फ़र्श जितनी है: $12 \times 9 = 108$ वर्ग मी जोड़िए; कुल $207 + 108 = 315$ वर्ग मी।
4खर्च $= 315 \times 25$ = ₹7875।

उत्तर ₹7,875

उदाहरण 6 · मध्यम

एक कमरा 7 मी × 5 मी × 3.5 मी है। उसमें 1.5 मी × 1.2 मी की दो खिड़कियाँ और 2 मी × 1 मी का एक दरवाज़ा है। 70 सेमी चौड़ा कागज़ ₹12 प्रति मीटर मिलता है। दीवारों पर कागज़ लगाने का खर्च?

हल, कदम-दर-कदम

1दीवारें $= 2 (7 + 5) \times 3.5 = 84$ वर्ग मी।
2खिड़कियाँ $2 \times 1.8 = 3.6$ और दरवाज़ा 2, कुल 5.6 वर्ग मी घटाइए: $84 - 5.6 = 78.4$ वर्ग मी।
3कागज़ की पट्टी 0.7 मी चौड़ी है, इसलिए लंबाई $= 78.4 \div 0.7 = 112$ मी।
4खर्च $= 112 \times 12$ = ₹1344।

उत्तर ₹1,344

चौड़ाई को मीटर में बदलना मत भूलिए — 70 से भाग देने पर उत्तर 100 गुना छोटा आता है।

उदाहरण 7 · मध्यम

40 सेमी × 30 सेमी की चादर के कोनों से 5 सेमी के वर्ग काटकर खुला डिब्बा बनाया। उसमें कितने लीटर पानी आएगा?

हल, कदम-दर-कदम

1हर भुजा के दोनों सिरों से 5 सेमी कटते हैं: तल $(40 - 10) \times (30 - 10) = 30 \times 20$ ।
2मोड़े हुए किनारों की ऊँचाई 5 सेमी, इसलिए आयतन $= 30 \times 20 \times 5 = 3000$ घन सेमी।
31000 घन सेमी = 1 लीटर, तो 3 लीटर।

उत्तर 3 लीटर

उदाहरण 8 · कठिन

एक बंद लकड़ी के बक्से की बाहरी माप 60 सेमी × 40 सेमी × 30 सेमी है और लकड़ी 2.5 सेमी मोटी है। लकड़ी का आयतन?

हल, कदम-दर-कदम

1बंद बक्से में हर दिशा में दोनों तरफ़ दीवार है, इसलिए हर माप से $2 \times 2.5 = 5$ घटता है: भीतर $55 \times 35 \times 25$ ।
2बाहरी आयतन $= 60 \times 40 \times 30 = 72000$ ; भीतरी $= 55 \times 35 \times 25 = 48125$ ।
3लकड़ी $= 72000 - 48125 = 23875$ घन सेमी।

उत्तर 23,875 घन सेमी

खुला बक्सा होता तो ऊँचाई से केवल 2.5 घटता (ढक्कन नहीं)।

आसानपहले खुद करके देखें

एक कमरा 10 मी × 8 मी × 4 मी है। चार दीवारों पर ₹30 प्रति वर्ग मी की दर से रंग करवाने का खर्च?

आसानपहले खुद करके देखें

9 मी × 6 मी के हॉल के फ़र्श पर 75 सेमी चौड़ा कालीन बिछाना है, जो ₹40 प्रति मीटर (लंबाई) मिलता है। कुल खर्च?

मध्यमपहले खुद करके देखें

एक कमरा 6 मी × 5 मी × 4 मी है। उसमें 1 खिड़की/दरवाज़ा 2 मी × 1.5 मी और 2 खिड़की/दरवाज़ा 1.5 मी × 1 मी है। चार दीवारों और छत पर ₹45 प्रति वर्ग मी की दर से रंग करवाने का खर्च?

मध्यमपहले खुद करके देखें

15 मी लंबे और 10 मी चौड़े एक सभागार की चार दीवारों पर ₹18 प्रति वर्ग मी से प्लास्टर का खर्च ₹5,400 आया। सभागार की ऊँचाई?

मध्यमपहले खुद करके देखें

36 सेमी × 24 सेमी की टिन की चादर के चारों कोनों से 4 सेमी भुजा के वर्ग काटकर किनारे मोड़ दिए गए, जिससे एक खुली ट्रे बनी। ट्रे की धारिता (घन सेमी)?

कठिनपहले खुद करके देखें

लकड़ी के एक खुले (ढक्कन-रहित) संदूक की बाहरी माप 50 सेमी × 40 सेमी × 32 सेमी है और लकड़ी 2 सेमी मोटी है। लगी लकड़ी का आयतन (घन सेमी)?

कठिनपहले खुद करके देखें

8 मी × 6 मी × 4 मी के एक कमरे की दीवारों पर 50 सेमी चौड़ा वॉलपेपर लगाना है, जो ₹15 प्रति मीटर मिलता है। कमरे में खिड़की-दरवाज़ों का कुल क्षेत्रफल 6 वर्ग मी है। खर्च?

सीधा प्रिज़्म (कोई भी आधार)

आधार × ऊँचाई

जिस ठोस का काट ऊपर से नीचे तक एक जैसा हो: आयतन, पार्श्व और संपूर्ण पृष्ठ, आधार के क्षेत्रफल के सूत्र।

प्रिज़्म वह ठोस है जिसे कहीं से भी (आधार के समानांतर) काटें, वही आकृति मिले — जैसे ब्रेड का पैकेट, खंभा, नहर, त्रिभुजाकार काँच। घनाभ (आधार आयत) और बेलन (आधार वृत्त) भी प्रिज़्म ही हैं। इसलिए एक ही नियम: आयतन = आधार का क्षेत्रफल × ऊँचाई — आधार की एक पतली परत को ऊँचाई तक बार-बार रखते जाइए।

बगल के फलक आयत हैं; उन्हें खोलकर एक पंक्ति में रखें तो एक बड़ा आयत बनता है जिसकी चौड़ाई = आधार की परिधि और ऊँचाई = प्रिज़्म की ऊँचाई। इसलिए पार्श्व पृष्ठ = परिधि × ऊँचाई, और संपूर्ण = पार्श्व + 2 × आधार। असली काम आधार का क्षेत्रफल निकालना है — नीचे की तालिका याद रखिए।

◭ चित्र

त्रिभुजाकार प्रिज़्म: दोनों सिरों पर एक जैसा आधार, ऊँचाई (लंबाई)

H

∑ सूत्र

V = base \times H LSA = perimeter \times H TSA = LSA + 2 \times base

हर सीधे प्रिज़्म के लिए

आधार	क्षेत्रफल
समकोण त्रिभुज (भुजाएँ $a, b$ )	$\frac{1}{2} ab$
कोई त्रिभुज (हीरोन)	$s (s - a) (s - b) (s - c)$
त्रिभुज, अंतःत्रिज्या $r$	$r \times s$ ( $s$ = अर्धपरिधि)
समबाहु त्रिभुज	$\frac{3}{4} a^{2}$
समलंब	$\frac{1}{2} (a + b) h$
सम षट्भुज	$\frac{3 3}{2} a^{2}$
सम अष्टभुज	$2 (1 + 2) a^{2}$

पहचानपहचान: “आधार … त्रिभुज/समलंब/षट्भुज है” या नहर, खंभा, नाली → प्रिज़्म। ध्यान दें: त्रिभुज की ऊँचाई और प्रिज़्म की ऊँचाई अलग चीज़ें हैं। $a (a + k) = N$ जैसे समीकरण में इकाई अंक देखकर

a

का अनुमान लगाइए:

a (a + 30) = 304

में गुणनफल का अंक 4 है,

a = 8

(

8 \times 38 = 304

) ✓।

आधार की आकृति पहचानिए और उसका क्षेत्रफल निकालिए (तालिका)।
आयतन चाहिए तो × ऊँचाई; ऊँचाई चाहिए तो आयतन ÷ आधार।
पार्श्व पृष्ठ = आधार की परिधि × ऊँचाई; संपूर्ण में दो आधार जोड़िए।

उदाहरण 9 · आसान

एक त्रिभुजाकार प्रिज़्म का आधार 9 सेमी, 12 सेमी, 15 सेमी भुजाओं का त्रिभुज है और लंबाई 20 सेमी है। आयतन, पार्श्व और संपूर्ण पृष्ठ?

हल, कदम-दर-कदम

1 $9^{2} + 1 2^{2} = 81 + 144 = 225 = 1 5^{2}$ , इसलिए आधार समकोण त्रिभुज है (समकोण 9 और 12 के बीच)। क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 9 \times 12 = 54$ ।
2आयतन = आधार × लंबाई $= 54 \times 20 = 1080$ घन सेमी।
3परिधि $= 9 + 12 + 15 = 36$ ; पार्श्व $= 36 \times 20 = 720$ वर्ग सेमी।
4संपूर्ण = पार्श्व + दोनों सिरे $= 720 + 2 \times 54 = 828$ वर्ग सेमी।

उत्तर 1080 घन सेमी; 720 वर्ग सेमी; 828 वर्ग सेमी

उदाहरण 10 · मध्यम

एक प्रिज़्म का आधार 13, 14, 15 सेमी भुजाओं का त्रिभुज है और आयतन 1260 घन सेमी है। उसकी ऊँचाई और संपूर्ण पृष्ठ?

हल, कदम-दर-कदम

1त्रिभुज समकोण नहीं है ( $1 3^{2} + 1 4^{2} \neq = 1 5^{2}$ ), इसलिए हीरोन: $s = \frac{13 + 14 + 15}{2} = 21$ ।
2क्षेत्रफल $= 21 \times 8 \times 7 \times 6 = 7056 = 84$ वर्ग सेमी।
3ऊँचाई $= 1260 \div 84 = 15$ सेमी।
4संपूर्ण $= 42 \times 15 + 2 \times 84 = 630 + 168 = 798$ वर्ग सेमी।

उत्तर 15 सेमी; 798 वर्ग सेमी

उदाहरण 11 · मध्यम

वर्गाकार आधार वाले एक प्रिज़्म की ऊँचाई 12 सेमी और संपूर्ण पृष्ठ 512 वर्ग सेमी है। आयतन?

हल, कदम-दर-कदम

1आधार की भुजा $a$ : चार बगल के फलक $4 \times a \times 12 = 48 a$ और दो वर्ग $2 a^{2}$ । तो $2 a^{2} + 48 a = 512$ ⟹ $a^{2} + 24 a = 256$ ⟹ $a (a + 24) = 256$ ।
2गुणनफल का इकाई अंक 6 है; $a$ और $a + 24$ का इकाई अंक एक ही ढंग से बदलता है। $a = 8$ आज़माइए: $8 \times 32 = 256$ ✓।
3आयतन $= a^{2} \times H = 64 \times 12 = 768$ घन सेमी।

उत्तर 768 घन सेमी

द्विघात सूत्र भी यही देता है, पर परीक्षा में “गुणनखंड से अनुमान” तेज़ है।

उदाहरण 12 · कठिन

एक सम षट्भुज प्रिज़्म के आधार की भुजा 4 सेमी और ऊँचाई

53

सेमी है। आयतन और पार्श्व पृष्ठ?

हल, कदम-दर-कदम

1सम षट्भुज केंद्र से 6 समबाहु त्रिभुजों में बँटता है: क्षेत्रफल $= 6 \times \frac{3}{4} \times 16 = 243$ ।
2आयतन $= 243 \times 53 = 24 \times 5 \times 3 = 360$ घन सेमी।
3पार्श्व = परिधि × ऊँचाई $= 24 \times 53 = 1203$ वर्ग सेमी।

उत्तर 360 घन सेमी; $1203$ वर्ग सेमी

आसानपहले खुद करके देखें

एक नहर (या पानी की नाली) का अनुप्रस्थ काट समलंब है: ऊपर 1.2 मी, नीचे 0.8 मी चौड़ी और 0.5 मी गहरी। 6 मी लंबी नहर में कितना पानी (घन मी) आएगा?

आसानपहले खुद करके देखें

एक काँच के प्रिज़्म का आधार समकोण त्रिभुज है जिसकी समकोण बनाने वाली भुजाएँ 8 सेमी और 15 सेमी हैं; प्रिज़्म 20 सेमी लंबा है। उसका पार्श्व पृष्ठ (वर्ग सेमी)?

मध्यमपहले खुद करके देखें

एक कंक्रीट के खंभे (प्रिज़्म) का आधार 10 मी, 17 मी, 21 मी भुजाओं का त्रिभुज है और ऊँचाई 9 मी है। कितनी कंक्रीट (घन मी) लगी?

मध्यमपहले खुद करके देखें

एक तंबू-आकार के डिब्बे (त्रिभुजाकार प्रिज़्म) का आधार 7, 24, 25 सेमी भुजाओं का त्रिभुज है और लंबाई 10 सेमी है। उसका संपूर्ण पृष्ठ (वर्ग सेमी)?

मध्यमपहले खुद करके देखें

एक प्रिज़्म का आधार ऐसा त्रिभुज है जिसकी परिधि 36 सेमी और अंतःवृत्त की त्रिज्या 3 सेमी है। प्रिज़्म का आयतन 540 घन सेमी है। संपूर्ण पृष्ठ (वर्ग सेमी)?

कठिनपहले खुद करके देखें

एक वर्गाकार आधार वाले प्रिज़्म (खंभे) की ऊँचाई 10 सेमी और संपूर्ण पृष्ठ 312 वर्ग सेमी है। आयतन (घन सेमी)?

कठिनपहले खुद करके देखें

एक षट्भुजाकार पेंसिल (सम षट्भुज प्रिज़्म) के आधार की भुजा 4 मिमी है और उसका पार्श्व पृष्ठ 144 वर्ग मिमी है। आयतन (घन मिमी)?

गोल ठोस

बेलन · पाइप · गोला

बेलन, खोखले बेलन और पाइप, तार लपेटना, गोला और अर्धगोला।

बेलन

π r^{2} h

2 π r h

बेलन का आयतन, वक्र और संपूर्ण पृष्ठ; शीट मोड़कर बेलन; रोलर; CSA-TSA के संबंध।

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खोखले बेलन, पाइप और लपेटना

π (R^{2} - r^{2}) h

पाइप की धातु, खोखले बेलन की पूरी सतह, अंतर से त्रिज्याएँ, तार लपेटना और तिरछा धागा।

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गोला और अर्धगोला

\frac{4}{3} π r^{3}

4 π r^{2}

गोले और अर्धगोले के सूत्र, खोखली गेंद, कटोरा, गोले को फाँकों में काटना और त्रिज्या के अनुपात।

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नुकीले ठोस

शंकु · छिन्नक · पिरामिड

शंकु, शंकु को काटना और छिन्नक, पिरामिड और चतुष्फलक।

शंकु

\frac{1}{3} π r^{2} h

π r l

शंकु का आयतन और पृष्ठ, तिर्यक ऊँचाई, त्रिज्यखंड से शंकु, तंबू और अर्ध-शीर्ष कोण।

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शंकु को काटना और छिन्नक

लंबाई

k

→ आयतन

k^{3}

आधार के समानांतर कटा शंकु: समरूप छोटा शंकु, बराबर ऊँचाई के टुकड़े (1:7:19), छिन्नक के सूत्र और बाल्टी।

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पिरामिड और चतुष्फलक

\frac{1}{3} \times

आधार

\times H

पिरामिड की तीन ऊँचाइयाँ (ऊर्ध्वाधर, तिर्यक ऊँचाई, तिर्यक किनारा), वर्ग/त्रिभुज/षट्भुज/आयत आधार और सम चतुष्फलक।

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ठोसों का मेल

अंदर-बाहर · जोड़ना-खोदना

एक ठोस के अंदर दूसरा, जुड़े हुए ठोस, खोदे गए खोखले और त्रिभुज को घुमाकर बना ठोस।

एक ठोस के अंदर दूसरा

साझा लंबाई पहचानिए

घन में गोला/बेलन/शंकु, गोले में घन, अर्धगोले में घन या गोला, शंकु में गोला, बेकार लकड़ी का प्रतिशत।

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जुड़े हुए ठोस और खोखले

आयतन जोड़ो · सतह सोचकर

तंबू, खिलौने, कैप्सूल, खोदे गए शंकु/अर्धगोले, और समकोण त्रिभुज को घुमाकर बने ठोस।

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पिघलाना, पानी और बहाव

आयतन वही रहता है

पिघलाकर नया ठोस ढालना, पानी में डुबोने से स्तर का उठना, पाइप/नहर से बहाव, वर्षा और खुदाई की मिट्टी।

पिघलाकर ढालना

पुराना आयतन = नया आयतन

पिघलाकर दूसरे आकार में ढालना, कितने टुकड़े बनेंगे, तार, कई गोलों से एक, बर्बादी, घन काटना और रंगे घन।

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पानी का स्तर उठना

उठान = आयतन ÷ आधार

ठोस डुबोने पर पानी कितना उठेगा, कंचे गिनना, लोग कूदना, गेंद को ठीक ढकना और झुकाया हुआ एक्वेरियम।

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पाइप से बहाव, वर्षा और खुदाई

प्रति घंटा = काट × चाल

पाइप/नहर से भरना-खाली करना, आवश्यक चाल, वर्षा का पानी, खोदी मिट्टी फैलाना, कुएँ का चबूतरा और ढलवाँ तरणताल।

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तुलना और बदलाव

अनुपात · % परिवर्तन

दो ठोसों की तुलना अनुपात से, और माप बदलने पर आयतन/पृष्ठ में % परिवर्तन।

अनुपात विधि

स्थिरांक काटो, अनुपात रखो

दो ठोसों के आयतन/पृष्ठ की तुलना: $r^{2} h$ , $r^{3}$ , $r h$ , बराबर आयतन, और सूत्रों के संबंध से $r : h$ ।

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मापों में % परिवर्तन

गुणकों का गुणा

त्रिज्या/ऊँचाई/किनारा बदलने पर आयतन और पृष्ठ में % परिवर्तन, क्रमागत % सूत्र, और “त्रिज्या या ऊँचाई में $x$ जोड़ना” वाला शॉर्टकट।

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सार, मिश्रित अभ्यास, दोहराव

सारी विधियाँ एक जगह

सभी विधियों की एक-पृष्ठ तालिका, परीक्षा जैसे मिले-जुले प्रश्न और दोहराव कार्ड।

सभी विधियों का सार

कब · क्या · कैसे

हर विधि: प्रश्न कैसे पहचानें और कौन-सा सूत्र या शॉर्टकट लगाएँ।

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मिश्रित अभ्यास (परीक्षा जैसा)

सभी विधियाँ मिली-जुली

SSC CGL/CHSL/CPO जैसे मिले-जुले प्रश्न — पहले विधि पहचानिए, फिर हल कीजिए।

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दोहराव

कार्ड · आम गलतियाँ

सूत्र और शॉर्टकट याद करने के कार्ड, और परीक्षा की सबसे आम गलतियाँ।

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त्रिविमीय क्षेत्रमिति: विधियाँ और शॉर्टकट

डिब्बे जैसे ठोस

घनाभ और घन

कमरे, डिब्बे और खर्च

सीधा प्रिज़्म (कोई भी आधार)

गोल ठोस

बेलन

खोखले बेलन, पाइप और लपेटना

गोला और अर्धगोला

नुकीले ठोस

शंकु

शंकु को काटना और छिन्नक

पिरामिड और चतुष्फलक

ठोसों का मेल

एक ठोस के अंदर दूसरा

जुड़े हुए ठोस और खोखले

पिघलाना, पानी और बहाव

पिघलाकर ढालना

पानी का स्तर उठना

पाइप से बहाव, वर्षा और खुदाई

तुलना और बदलाव

अनुपात विधि

मापों में % परिवर्तन

सार, मिश्रित अभ्यास, दोहराव

सभी विधियों का सार

मिश्रित अभ्यास (परीक्षा जैसा)

दोहराव

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