अनुपात और समानुपात — अतिरिक्त अभ्यास

प्रतियोगी गणित · अंकगणित

6 भाग4 हल किए उदाहरण27 अभ्यास प्रश्न

ध्यान देंयह अतिरिक्त अभ्यास है: यहाँ बहुत सारे प्रश्न हैं। तरीके पहले सीखने हों तो इसी विषय का मुख्य अध्याय (बिना “अतिरिक्त अभ्यास” वाला) पढ़ें, फिर यहाँ अभ्यास करें।

चाय बनाते समय दूध और पानी का अनुपात 2 : 1 रखें तो हर 2 कप दूध पर 1 कप पानी जाता है — चाहे 6 कप चाय बनानी हो या 600। अनुपात दो एक-जैसी चीज़ों की तुलना है कि एक, दूसरी की कितनी गुनी (या कितना हिस्सा) है। अनुपात $a : b$ को भिन्न $\frac{a}{b}$ की तरह भी लिखा जाता है; $a$ को पूर्वपद (antecedent) और $b$ को उत्तरपद (consequent) कहते हैं। अनुपात बनाने के लिए दोनों राशियाँ एक ही इकाई की होनी चाहिए — ₹100 और 500 सेब का अनुपात नहीं बनता।

समानुपात (proportion) का अर्थ है दो अनुपात बराबर होना: $a : b :: c : d$ यानी $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ । इस अध्याय के सारे प्रश्न दो औज़ार माँगते हैं: भाग-इकाई (“एक भाग का मान”) और आड़ा गुणा ( $a d = b c$ )।

अनुपात

प्रकार · तुलना · बँटवारा

अनुपात के प्रकार, दो अनुपातों की तुलना और राशि को अनुपात में बाँटना।

अनुपात के प्रकार और तुलना

द्विगुणित · त्रिगुणित · संयुक्त

हर प्रकार का नियम और दो अनुपातों में बड़ा कौन।

प्रकार	$a : b$ का	उदाहरण $3 : 4$
द्विगुणित (Duplicate)	$a^{2} : b^{2}$	9 : 16
उप-द्विगुणित (Sub-duplicate)	$a : b$	$4 : 9 \to 2 : 3$
त्रिगुणित (Triplicate)	$a^{3} : b^{3}$	27 : 64
उप-त्रिगुणित (Sub-triplicate)	$3 a : 3 b$	$8 : 27 \to 2 : 3$
व्युत्क्रम (Inverse)	$b : a$	4 : 3
संयुक्त (Compound)	$a ce : b df$	$(2 : 3), (4 : 5) \to 8 : 15$

तुलना: $a : b > c : d$ तब जब $a d > b c$ (आड़ा गुणा)। या दोनों को भिन्न बनाकर समान हर पर लाइए। जैसे $2 : 3$ और $4 : 5$ : $2 \times 5 = 10 < 3 \times 4 = 12$ ⟹ $2 : 3 < 4 : 5$ ।

उदाहरण 1 · आसान

5 : 7

और

8 : 11

में कौन-सा अनुपात बड़ा है?

हल, कदम-दर-कदम

1आड़ा गुणा: $5 \times 11 = 55$ और $7 \times 8 = 56$ ।
2 $55 < 56$ ⟹ $5 : 7 < 8 : 11$

उत्तर 8 : 11

उदाहरण 2 · मध्यम

2 : 3

5 : 4

और

3 : 7

का संयुक्त अनुपात और

4 : 9

का उप-द्विगुणित अनुपात ज्ञात कीजिए।

हल, कदम-दर-कदम

1संयुक्त: $\frac{2 \times 5 \times 3}{3 \times 4 \times 7} = \frac{30}{84} = 5 : 14$ ।
2उप-द्विगुणित: $4 : 9 = 2 : 3$

उत्तर 5 : 14 और 2 : 3

आसानपहले खुद करके देखें

अनुपात 36 : 60 को सरलतम रूप में लिखिए।

आसानपहले खुद करके देखें

अनुपात 56 : 72 को सरलतम रूप में लिखिए।

आसानपहले खुद करके देखें

3 : 5 और 5 : 8 में कौन-सा अनुपात बड़ा है?

मध्यमपहले खुद करके देखें

7 : 9 और 11 : 14 में कौन-सा अनुपात बड़ा है?

कठिनपहले खुद करके देखें

13 : 17 और 19 : 25 में कौन-सा अनुपात बड़ा है?

आसानपहले खुद करके देखें

3 : 5 का द्विगुणित अनुपात (duplicate) क्या है?

आसानपहले खुद करके देखें

2 : 7 का त्रिगुणित अनुपात (triplicate) क्या है?

आसानपहले खुद करके देखें

4 : 9 का उप-द्विगुणित अनुपात (sub-duplicate) क्या है?

मध्यमपहले खुद करके देखें

8 : 27 का उप-त्रिगुणित अनुपात (sub-triplicate) क्या है?

मध्यमपहले खुद करके देखें

5 : 8 का व्युत्क्रम अनुपात (inverse) क्या है?

मध्यमपहले खुद करके देखें

2 : 3, 4 : 5 और 3 : 7 का संयुक्त (compound) अनुपात क्या है?

मध्यमपहले खुद करके देखें

3 : 5, 10 : 11 और 7 : 9 का संयुक्त (compound) अनुपात क्या है?

कठिनपहले खुद करके देखें

5 : 6, 8 : 15 और 9 : 14 का संयुक्त (compound) अनुपात क्या है?

राशि का बँटवारा और तीन पदों का अनुपात

कुल भाग · एक भाग

राशि को अनुपात में बाँटना, भागों के अंतर से मान निकालना और $A : B$ , $B : C$ से $A : B : C$ ।

कुल भाग जोड़िए। अनुपात $a : b : c$ हो तो कुल $a + b + c$ भाग।
एक भाग $= \frac{कुल राशि}{कुल भाग}$ ।
वांछित हिस्सा $=$ उसके भाग $\times$ एक भाग।

चाल $A : B$ और $B : C$ से $A : B : C$ : बीच वाले पद

B

को बराबर कीजिए —

B

के दोनों मानों का LCM लेकर

A

और

C

को उसी हिसाब से गुणा। जैसे

A : B = 2 : 3

और

B : C = 4 : 5

B

का LCM 12 ⟹

A : B = 8 : 12

B : C = 12 : 15

⟹

A : B : C = 8 : 12 : 15

।

उदाहरण 3 · आसान

₹9,000 को 2 : 3 : 4 के अनुपात में बाँटिए।

हल, कदम-दर-कदम

1कुल भाग $= 9$ ; एक भाग $= \frac{9000}{9} = 1000$ ।
2हिस्से: ₹2,000, ₹3,000, ₹4,000

उत्तर ₹2,000, ₹3,000, ₹4,000

उदाहरण 4 · मध्यम

तीन संख्याओं का योग 195 है। पहली और दूसरी का अनुपात 3 : 4 तथा दूसरी और तीसरी का 2 : 3 है। तीसरी संख्या क्या है?

हल, कदम-दर-कदम

1 $B$ का LCM $(4, 2) = 4$ ⟹ $A : B = 3 : 4$ और $B : C = 4 : 6$ ⟹ $A : B : C = 3 : 4 : 6$ ।
2कुल भाग 13; एक भाग $= 15$ ⟹ तीसरी $= 6 \times 15 = 90$ ।

उत्तर 90

आसानपहले खुद करके देखें

₹7,200 को A : B = 3 : 5 में बाँटा गया। B का हिस्सा क्या है?

आसानपहले खुद करके देखें

₹4,500 को A : B : C = 1 : 2 : 3 में बाँटा गया। C का हिस्सा क्या है?

मध्यमपहले खुद करके देखें

₹12,600 को A : B : C = 2 : 3 : 4 में बाँटा गया। B का हिस्सा क्या है?

मध्यमपहले खुद करके देखें

₹8,400 को A : B = 5 : 7 में बाँटा गया। A का हिस्सा क्या है?

कठिनपहले खुद करके देखें

₹20,100 को A : B : C : D = 3 : 5 : 7 : 5 में बाँटा गया। D का हिस्सा क्या है?

आसानपहले खुद करके देखें

दो व्यक्तियों में रक़म 5 : 3 में बँटी और उनके हिस्सों का अंतर ₹1,200 है। बड़ा हिस्सा कितना है?

मध्यमपहले खुद करके देखें

दो व्यक्तियों में रक़म 7 : 4 में बँटी और उनके हिस्सों का अंतर ₹2,700 है। बड़ा हिस्सा कितना है?

कठिनपहले खुद करके देखें

दो व्यक्तियों में रक़म 11 : 7 में बँटी और उनके हिस्सों का अंतर ₹3,600 है। बड़ा हिस्सा कितना है?

आसानपहले खुद करके देखें

A : B = 2 : 3 और B : C = 4 : 5 हो तो A : B : C क्या होगा?

मध्यमपहले खुद करके देखें

A : B = 3 : 4 और B : C = 6 : 7 हो तो A : B : C क्या होगा?

कठिनपहले खुद करके देखें

A : B = 5 : 6 और B : C = 8 : 9 हो तो A : B : C क्या होगा?

मध्यमपहले खुद करके देखें

तीन संख्याओं का योग 140 है। पहली और दूसरी का अनुपात 2 : 3 तथा दूसरी और तीसरी का 4 : 5 है। दूसरी संख्या क्या है?

मध्यमपहले खुद करके देखें

तीन संख्याओं का योग 345 है। पहली और दूसरी का अनुपात 3 : 5 तथा दूसरी और तीसरी का 10 : 7 है। तीसरी संख्या क्या है?

कठिनपहले खुद करके देखें

तीन संख्याओं का योग 330 है। पहली और दूसरी का अनुपात 4 : 7 तथा दूसरी और तीसरी का 14 : 11 है। पहली संख्या क्या है?

समानुपात

मध्य पद · अंत्य पद · तीन अनुपाती

$a : b :: c : d$ के नियम, तृतीय, चतुर्थ और माध्य अनुपाती, तथा योजक-वियोजक नियम।

तृतीय, चतुर्थ और माध्य अनुपाती

मध्य पदों का गुणनफल = अंत्य पदों का गुणनफल

$a : b :: c : d$ में $a, d$ अंत्य पद और $b, c$ मध्य पद हैं; $a d = b c$ ।

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योजक-वियोजक (componendo, dividendo)

चार तरीके से अनुपात बदलना

यदि $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ तो उससे जुड़े चार नियम।

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अनुपात के व्यावहारिक प्रश्न

बदलाव, बचत और सिक्के

संख्याएँ जोड़ने-घटाने पर अनुपात बदलना, आय-व्यय-बचत और सिक्कों के प्रश्न।

संख्याओं में बदलाव

k

मानकर आड़ा गुणा

दो संख्याओं में कुछ जोड़ने-घटाने या उन्हें प्रतिशत से बदलने पर नया अनुपात।

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आय-व्यय-बचत और सिक्के

अलग-अलग इकाइयाँ, एक ही

k

दो अनुपात, बराबर बचत, और मिश्रित मूल्य वाले सिक्के।

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जाल और तेज़ चालें

गलतियाँ · तरकीबें

अनुपात में अंक कहाँ कटते हैं।

सबसे आम गलतियाँ

छह जाल

जिन गलतियों पर अंक कटते हैं।

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तेज़ चालें

k

मानना · LCM · योग

हिसाब छोटा करने वाली आदतें।

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अभ्यास की सीढ़ी

आसान → मध्यम → कठिन

हर प्रकार के नए प्रश्न, तीन स्तरों में।

स्तर 1 — आसान

सीधे नियम

एक नियम वाले प्रश्न।

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स्तर 2 — मध्यम

दो विचारों का मेल

परीक्षा-स्तर के प्रश्न।

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स्तर 3 — कठिन

कई कदम और चालाक सोच

प्रतियोगी परीक्षाओं के कठिन स्तर के प्रश्न।

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दोहराव — सूत्र कार्ड

पलटिए और खुद से पूछिए

हर कार्ड का प्रश्न पढ़कर पहले खुद सोचिए, फिर पलटिए।

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अनुपात और समानुपात — अतिरिक्त अभ्यास

अनुपात

अनुपात के प्रकार और तुलना

राशि का बँटवारा और तीन पदों का अनुपात

समानुपात

तृतीय, चतुर्थ और माध्य अनुपाती

योजक-वियोजक (componendo, dividendo)

अनुपात के व्यावहारिक प्रश्न

संख्याओं में बदलाव

आय-व्यय-बचत और सिक्के

जाल और तेज़ चालें

सबसे आम गलतियाँ

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