त्रिभुज के केंद्र: परिकेंद्र, केंद्रक, लंब-केंद्र और अंतःकेंद्र

हर त्रिभुज में चार विशेष बिंदु होते हैं, और हर बिंदु तीन रेखाओं के एक ही जगह मिलने से बनता है (तीनों का एक बिंदु पर मिलना ही ज्यामिति का चमत्कार है):

यह अध्याय पिछले अध्याय (समतल ज्यामिति) के कोण-नियमों, समद्विबाहु त्रिभुजों, पाइथागोरस और मध्यिका की लंबाई पर टिका है। हर केंद्र में पहले उसके बनने का कारण (चित्र में), फिर नियम, फिर परीक्षा का शॉर्टकट है। अगला अध्याय समरूप त्रिभुज और क्षेत्रफल अनुपात केंद्रक के $2:1$ और अंतःकेंद्र का उपयोग करता है।

लंब-समद्विभाजक से परिकेंद्र, उसका स्थान (न्यून, समकोण, अधिक), परित्रिज्या $R$ और $\angle BOC=2A$।

विचार

किसी भुजा का लंब-समद्विभाजक वह रेखा है जो उसे आधा करती है और उस पर लंब है। उस रेखा का हर बिंदु भुजा के दोनों सिरों से बराबर दूरी पर होता है। अब $AB$ और $BC$ के लंब-समद्विभाजक लीजिए; जहाँ वे मिलें वह बिंदु $O$ है, और $OA=OB$ तथा $OB=OC$। इसलिए $OA=OC$ भी, यानी $O$, $AC$ के लंब-समद्विभाजक पर भी है: तीनों लंब-समद्विभाजक एक ही बिंदु $O$ पर मिलते हैं, और $OA=OB=OC=R$। $O$ को केंद्र और $R$ को त्रिज्या लेकर बना वृत्त तीनों शीर्षों से गुज़रता है: यह परिवृत्त है और $O$ परिकेंद्र।

$O$ कहाँ पड़ता है? न्यूनकोण त्रिभुज में भीतर; समकोण त्रिभुज में कर्ण के मध्य-बिंदु पर; अधिककोण त्रिभुज में बाहर, सबसे लंबी भुजा के उस पार (अधिक कोण के सामने)।

समकोण त्रिभुज में $R=\frac{c}{2}$ क्यों? समकोण त्रिभुज $ABC$ ($\angle A=90^{\circ }$) को आयत $ABDC$ में पूरा कीजिए। आयत के दोनों विकर्ण $AD$ और $BC$ बराबर हैं और एक-दूसरे को आधा करते हैं, इसलिए उनका कटान-बिंदु $M$, $BC$ का मध्य-बिंदु है और $MA=MB=MC=\frac{BC}{2}$। यानी $M$ ही परिकेंद्र है।

$\angle BOC=2A$ का कारण (न्यूनकोण त्रिभुज): $OA=OB$ से $\angle OAB=\angle OBA=x$ और $OA=OC$ से $\angle OAC=\angle OCA=y$ (समद्विबाहु त्रिभुज)। तब $A=x+y$। त्रिभुजों $OAB$, $OAC$ के बाहर के कोण $\angle AOB=180^{\circ }-2x$ और $\angle AOC=180^{\circ }-2y$ हैं, इसलिए $\angle BOC=360^{\circ }-(180^{\circ }-2x)-(180^{\circ }-2y)=2(x+y)=2A$।

कदम

1. त्रिभुज का प्रकार देखिए (न्यून, समकोण, अधिक) और $O$ की जगह तय कीजिए।
2. लंबाई चाहिए तो $R=\frac{c}{2}$ (समकोण) या $R=\frac{abc}{4\text{Area}}$; कोण चाहिए तो $O$ से शीर्षों को मिलाकर समद्विबाहु त्रिभुज बनाइए।
3. $\angle BOC=2A$ और $\angle OBC=90^{\circ }-A$ जैसे परिणामों से जाँचिए।

तीनों मध्यिकाओं का एक बिंदु पर मिलना, $2:1$ का नियम, उसका कारण, छह बराबर भाग और लंब मध्यिकाओं की शर्त $b^2+c^2=5a^2$।

तीनों शीर्ष-लंबों का मिलन, न्यून/समकोण/अधिक त्रिभुज में उसका स्थान, $\angle BHC=180^{\circ }-A$, चार त्रिभुजों का एक ही लंब-केंद्र-समूह और $O$ से $H$ की दूरी।

तीनों कोण-समद्विभाजकों का मिलन, अंतःवृत्त और अंतःत्रिज्या $r$, $\angle BIC=90^{\circ }+\frac{A}{2}$, बहिःकेंद्र और बाहरी समद्विभाजक का कोण $\frac{|B-C|}{2}$।

चारों केंद्रों की तुलना, खास त्रिभुजों (समबाहु, समद्विबाहु, समकोण) में उनका स्थान और यूलर रेखा।

चारों केंद्रों की एक-पृष्ठ तालिका, परीक्षा जैसे मिले-जुले प्रश्न और दोहराव कार्ड।