x + 1/x वाले व्यंजक

SSC CGL · CHSL · CPO — विधि-दर-विधि

3 भाग20 हल किए उदाहरण50 अभ्यास प्रश्न

परीक्षा में अक्सर एक छोटी-सी जानकारी दी जाती है, जैसे $x + \frac{1}{x} = 7$ , और पूछा जाता है कुछ भारी-भरकम, जैसे $x^{4} + \frac{1}{x ^{4}}$ या $x^{3} - \frac{1}{x ^{3}}$ । x ख़ुद निकालने की ज़रूरत नहीं पड़ती। राज़ यह है कि $x$ और $\frac{1}{x}$ का गुणनफल हमेशा $1$ होता है। इसलिए वर्ग या घन करने पर बीच के पद, जिनमें $x$ होता, सीधे सादी संख्याएँ बन जाते हैं।

∑ सूत्र

x \times \frac{1}{x} = 1

पूरे अध्याय की नींव

$x$: कोई भी संख्या, शून्य को छोड़कर
$\frac{1}{x}$: x का व्युत्क्रम (उल्टा)

अध्याय के दो भाग हैं। सीढ़ी में हम सीखते हैं कि $x + \frac{1}{x}$ से $x^{2} + \frac{1}{x ^{2}}$ , फिर $x^{3} + \frac{1}{x ^{3}}$ , फिर ऊपर की घातें कैसे बनती हैं और उल्टा कैसे लौटते हैं। सही रूप तक पहुँचना में सीखते हैं कि जब प्रश्न सीधे $x + \frac{1}{x}$ नहीं देता (कोई समीकरण, भिन्न, गुणांक वाला जोड़ा या खिसका हुआ चर दिया हो) तो उसे इस रूप में कैसे लाएँ। विशेष मान ( $x + \frac{1}{x} = 1, - 1, 3, \dots$ ), बड़ी घातें, तीन चर वाले प्रश्न और न्यूनतम मान अगले चैप्टर “x + 1/x: चक्र, सीमाएँ और कई चर” में हैं।

पहला सवालहर प्रश्न में पहले पूछिए: “जोड़ा

x

और

\frac{1}{x}

का है, गुणनफल 1 है?” अगर हाँ, तो x को मत छूइए, सीढ़ी चढ़िए।

सीढ़ी: ऊपर की घातें

वर्ग · घन · पीछे · गुणा · घटाव वाला परिवार

x + 1/x से x² + 1/x², x³ + 1/x³ … तक, और x − 1/x के परिवार तक।

ये पाँच विधियाँ अध्याय की रीढ़ हैं। क्रम से पढ़िए: हर विधि पिछली पर टिकी है।

वर्ग: x² + 1/x²

a^{2} - 2

और

b^{2} + 2

पहली सीढ़ी: $x + \frac{1}{x}$ या $x - \frac{1}{x}$ का वर्ग करके।

विचार

$x + \frac{1}{x}$ का वर्ग कीजिए: $(x + \frac{1}{x})^{2} = x^{2} + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x ^{2}}$ । बीच के पद में $x$ और $\frac{1}{x}$ कट जाते हैं और बचता है सीधा $2$ । इसलिए $x^{2} + \frac{1}{x ^{2}}$ पाने के लिए इस $2$ को घटा देना है। नीचे की तस्वीर यही दिखाती है: बड़े वर्ग की भुजा $x + \frac{1}{x}$ है; उसके चार टुकड़े हैं: $x^{2}$ , दो आयत जिनका क्षेत्रफल $x \cdot \frac{1}{x} = 1$ है, और छोटा वर्ग $\frac{1}{x ^{2}}$ ।

◭ चित्र

बड़े वर्ग (भुजा

x + \frac{1}{x}

) के टुकड़े: दोनों केसरिया आयत 1-1 हैं, यही “

- 2

” है। (चित्र में

x = 2

लिया है, पर यह हर

x

पर सही है।)

$x - \frac{1}{x}$ का वर्ग करें तो बीच का पद $- 2$ आता है, इसलिए घटाने की जगह जोड़ना पड़ता है। दोनों वर्गों का अंतर हमेशा $4$ होता है; यही $x + \frac{1}{x}$ और $x - \frac{1}{x}$ के बीच आने-जाने का पुल है।

∑ सूत्र

x + \frac{1}{x} = a \Rightarrow x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} = a^{2} - 2

जोड़ वाला रूप

$a$: $x + \frac{1}{x}$ का दिया हुआ मान
$x^{2} + \frac{1}{x ^{2}}$: जो मान चाहिए

∑ सूत्र

x - \frac{1}{x} = b \Rightarrow x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} = b^{2} + 2

घटाव वाला रूप

$b$: $x - \frac{1}{x}$ का दिया हुआ मान

∑ सूत्र

(x + \frac{1}{x})^{2} - (x - \frac{1}{x})^{2} = 4

एक से दूसरे में जाने का पुल

$(x + \frac{1}{x})^{2}$: जोड़ का वर्ग
$(x - \frac{1}{x})^{2}$: अंतर का वर्ग

$x + \frac{1}{x}$	$x^{2} + \frac{1}{x ^{2}}$
$2$	$2$
$3$	$7$
$4$	$14$
$5$	$23$
$6$	$34$
$7$	$47$
$8$	$62$
$9$	$79$
$10$	$98$
$11$	$119$
$12$	$142$

$x - \frac{1}{x}$	$x^{2} + \frac{1}{x ^{2}}$
$1$	$3$
$2$	$6$
$3$	$11$
$4$	$18$
$5$	$27$
$6$	$38$
$7$	$51$
$8$	$66$
$9$	$83$
$10$	$102$

यहाँ: दोनों सारणियों में बाएँ स्तंभ का मान दिया है और दाएँ में $x^{2} + \frac{1}{x ^{2}}$ है। इन संख्याओं (7, 14, 23, 34, 47, 62 और 3, 6, 11, 18, 27, 38) को पहचान लेंगे तो आगे के प्रश्न तुरंत खुलेंगे।

पहचानपहचान: प्रश्न में

x

और

\frac{1}{x}

का जोड़ या अंतर दिया है और

x^{2}

वाला रूप पूछा है। वर्ग कीजिए।

कदम

देखिए कि जोड़ा $x + \frac{1}{x}$ है या $x - \frac{1}{x}$ ।
दोनों पक्षों का वर्ग कीजिए।
बीच का पद $\pm 2$ संख्या बनता है: जोड़ में घटाइए, घटाव में जोड़िए।

उदाहरण 1 · आसान

यदि

x + \frac{1}{x} = 8

हो, तो

x^{2} + \frac{1}{x ^{2}}

ज्ञात कीजिए।

हल, कदम-दर-कदम

1 $x + \frac{1}{x}$ दिया है और $x^{2}$ वाला रूप चाहिए, इसलिए दोनों पक्षों का वर्ग करते हैं।
2 $(x + \frac{1}{x})^{2} = x^{2} + 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x ^{2}} = x^{2} + 2 + \frac{1}{x ^{2}}$ , क्योंकि $x \cdot \frac{1}{x} = 1$ ।
3बाईं ओर $8^{2} = 64$ है, इसलिए $x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} + 2 = 64$ ।
4 $2$ को दूसरी ओर ले जाने पर $x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} = 64 - 2 = 62$ ।

उत्तर 62

सीधा सूत्र:

a^{2} - 2 = 64 - 2 = 62

।

उदाहरण 2 · मध्यम

यदि

x - \frac{1}{x} = 6

हो, तो

x^{2} + \frac{1}{x ^{2}}

ज्ञात कीजिए।

हल, कदम-दर-कदम

1इस बार जोड़ा घटाव वाला है। वर्ग करने पर $(x - \frac{1}{x})^{2} = x^{2} - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x ^{2}} = x^{2} - 2 + \frac{1}{x ^{2}}$ ।
2बाईं ओर $6^{2} = 36$ है: $x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} - 2 = 36$ ।
3अब $- 2$ दाईं ओर $+ 2$ बनकर जाता है: $x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} = 36 + 2 = 38$ ।

उत्तर 38

जाल: घटाव वाले जोड़े में “

- 2

” नहीं, “

+ 2

” लगता है।

x - \frac{1}{x}

का वर्ग घटने के बजाय बढ़ाता है।

उदाहरण 3 · मध्यम

यदि

x + \frac{1}{x} = 6

और

x > 1

हो, तो

x - \frac{1}{x}

ज्ञात कीजिए।

हल, कदम-दर-कदम

1पुल लगाइए: $(x - \frac{1}{x})^{2} = (x + \frac{1}{x})^{2} - 4$ , क्योंकि दोनों वर्ग $x^{2} + \frac{1}{x ^{2}}$ से $+ 2$ और $- 2$ की दूरी पर हैं।
2 $(x - \frac{1}{x})^{2} = 36 - 4 = 32$ ।
3 $x > 1$ है इसलिए $x > \frac{1}{x}$ और $x - \frac{1}{x} > 0$ । अतः $x - \frac{1}{x} = 32 = 42$ ।

उत्तर 4√2

x < 1

दिया होता तो उत्तर

- 42

होता। वर्गमूल लेते समय चिह्न की शर्त पढ़िए।

उदाहरण 4 · कठिन

यदि

x + \frac{1}{x} = \frac{13}{6}

हो, तो

x^{2} + \frac{1}{x ^{2}}

ज्ञात कीजिए और

x

निकालकर जाँचिए।

हल, कदम-दर-कदम

1सूत्र $a^{2} - 2$ में $a = \frac{13}{6}$ : $(\frac{13}{6})^{2} - 2 = \frac{169}{36} - \frac{72}{36} = \frac{97}{36}$ ।
2जाँच: $x + \frac{1}{x} = \frac{13}{6}$ से $6 x^{2} - 13 x + 6 = 0$ , यानी $(2 x - 3) (3 x - 2) = 0$ , इसलिए $x = \frac{3}{2}$ या $\frac{2}{3}$ ।
3 $x = \frac{3}{2}$ लेने पर $x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} = \frac{9}{4} + \frac{4}{9} = \frac{81 + 16}{36} = \frac{97}{36}$ । दोनों रास्ते एक ही उत्तर देते हैं।

उत्तर 97/36

x

और

\frac{1}{x}

की अदला-बदली से कुछ नहीं बदलता, इसलिए दोनों मूल एक ही उत्तर देते हैं।

उदाहरण 5 · कठिन

यदि

x - \frac{1}{x} = 7

हो, तो

x^{2} + \frac{1}{x ^{2}}

और

(x + \frac{1}{x})^{2}

ज्ञात कीजिए।

हल, कदम-दर-कदम

1 $(7)^{2} = 7$ है। $x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} = 7 + 2 = 9$ ।
2 $(x + \frac{1}{x})^{2} = x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} + 2 = 9 + 2 = 11$ ।
3जाँच पुल से: $7 + 4 = 11$ , सही।

उत्तर 9 ; 11

वर्गमूल वाले मान का वर्ग करने पर वर्गमूल हट जाता है, इसलिए उत्तर पूर्ण संख्याएँ हैं।

अभ्यास

आसानपहले खुद करके देखें

यदि

x + \frac{1}{x} = 11

हो, तो

x^{2} + \frac{1}{x ^{2}}

का मान है:

आसानपहले खुद करके देखें

यदि

x - \frac{1}{x} = 9

हो, तो

x^{2} + \frac{1}{x ^{2}}

का मान है:

मध्यमपहले खुद करके देखें

यदि

x + \frac{1}{x} = - 7

हो, तो

x^{2} + \frac{1}{x ^{2}}

का मान है:

मध्यमपहले खुद करके देखें

यदि

x - \frac{1}{x} = 7

हो, तो

x^{2} + \frac{1}{x ^{2}}

का मान है:

मध्यमपहले खुद करके देखें

यदि

x + \frac{1}{x} = \frac{10}{3}

हो, तो

x^{2} + \frac{1}{x ^{2}}

का मान है:

मध्यमपहले खुद करके देखें

यदि

x + \frac{1}{x} = 11

हो, तो

x^{2} + \frac{1}{x ^{2}}

का मान है:

मध्यमपहले खुद करके देखें

यदि

x + \frac{1}{x} = 10

और

x > 1

हो, तो

x - \frac{1}{x}

का मान है:

कठिनपहले खुद करके देखें

यदि

x - \frac{1}{x} = 4

और

x > 0

हो, तो

x + \frac{1}{x}

का मान है:

कठिनपहले खुद करके देखें

यदि

x + \frac{1}{x} = 9

हो, तो

(x - \frac{1}{x})^{2}

का मान है:

कठिनपहले खुद करके देखें

यदि

x + \frac{1}{x} = 25

हो, तो

x^{2} + \frac{1}{x ^{2}}

का मान है:

पीछे लौटना: वर्ग से x ± 1/x

a + 2

और

a - 2

जब $x^{2} + \frac{1}{x ^{2}}$ या $x^{4} + \frac{1}{x ^{4}}$ दिया हो और $x + \frac{1}{x}$ चाहिए।

विचार

पिछली विधि का सूत्र उलटा पढ़िए। वर्ग करने पर हमने $2$ घटाया था, इसलिए पीछे लौटते समय $2$ जोड़ेंगे और वर्गमूल लेंगे: $(x + \frac{1}{x})^{2} = x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} + 2$ और $(x - \frac{1}{x})^{2} = x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} - 2$ । वर्गमूल लेते ही दो चिह्न आ जाते हैं ( $\pm$ ); प्रश्न की शर्त ( $x > 0$ , $x > 1$ आदि) ही बताती है कि कौन-सा चिह्न चुनना है।

∑ सूत्र

x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} = a \Rightarrow x + \frac{1}{x} = \pm a + 2, x - \frac{1}{x} = \pm a - 2

दोनों वर्गमूल

$a$: $x^{2} + \frac{1}{x ^{2}}$ का दिया हुआ मान (सदा $\geq 2$ )
$\pm$: दो संभावित चिह्न; शर्त से चुनें

चार घात ( $x^{4} + \frac{1}{x ^{4}}$ ) से लौटना हो तो यही काम दो बार कीजिए: पहले $x^{2} + \frac{1}{x ^{2}}$ पर पहुँचिए, फिर $x \pm \frac{1}{x}$ पर। $x^{2} + \frac{1}{x ^{2}}$ हमेशा धनात्मक होता है, इसलिए उसका मूल लेते समय केवल $+$ चुनिए।

$x^{2} + \frac{1}{x ^{2}}$	$x + \frac{1}{x}$ ( $x > 0$ )	$x^{4} + \frac{1}{x ^{4}}$
$7$	$3$	$47$
$14$	$4$	$194$
$23$	$5$	$527$
$34$	$6$	$1154$
$47$	$7$	$2207$
$62$	$8$	$3842$
$79$	$9$	$6239$
$98$	$10$	$9602$

यहाँ: बीच का स्तंभ $x + \frac{1}{x}$ है जिससे बाएँ वाला और दाएँ वाला मान बनते हैं। ऐसी जोड़ियाँ याद हों तो $2207$ देखते ही पता चलता है कि पीछे $47$ और $7$ हैं।

पहचानपहचान: दिया हुआ मान “कोई वर्ग

- 2

” है:

7, 14, 23, 34, 47, 62, 79, 98, 119, \dots

(

x + \frac{1}{x}

का वर्ग घटा 2) या “वर्ग

+ 2

” है (

3, 6, 11, 18, 27, 38, \dots

)। जाल:

x^{2} + \frac{1}{x ^{2}}

ऋणात्मक नहीं हो सकता, और

2

से कम भी नहीं।

कदम

दिए हुए मान में $2$ जोड़िए (और/या घटाइए)।
वर्गमूल लीजिए; संख्या पूर्ण वर्ग न हो तो मूल को वैसा ही रखिए।
चिह्न शर्त से चुनिए ( $x > 0$ ⟹ $x + \frac{1}{x} > 0$ ; $x > 1$ ⟹ $x - \frac{1}{x} > 0$ )।
चार घात हो तो पहले $x^{2}$ तक आइए।

उदाहरण 6 · आसान

यदि

x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} = 51

और

x > 0

हो, तो

x + \frac{1}{x}

ज्ञात कीजिए।

हल, कदम-दर-कदम

1 $x + \frac{1}{x}$ का वर्ग $x^{2} + \frac{1}{x ^{2}}$ से $2$ ऊपर होता है, इसलिए $(x + \frac{1}{x})^{2} = 51 + 2 = 53$ ।
2 $53$ पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए मूल वैसा ही रहेगा: $x + \frac{1}{x} = \pm 53$ ।
3 $x > 0$ है, इसलिए $x$ और $\frac{1}{x}$ दोनों धनात्मक हैं और जोड़ भी: $x + \frac{1}{x} = 53$ ।

उत्तर √53

हर बार पूर्ण वर्ग नहीं मिलता; वर्गमूल में छोड़ देना भी सही उत्तर है।

उदाहरण 7 · मध्यम

यदि

x^{4} + \frac{1}{x ^{4}} = 1154

और

x > 1

हो, तो

x + \frac{1}{x}

और

x - \frac{1}{x}

ज्ञात कीजिए।

हल, कदम-दर-कदम

1 $x^{4} + \frac{1}{x ^{4}}$ से $x^{2} + \frac{1}{x ^{2}}$ पर आइए: $(x^{2} + \frac{1}{x ^{2}})^{2} = 1154 + 2 = 1156 = 3 4^{2}$ , और $x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} > 0$ , इसलिए $x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} = 34$ ।
2जोड़: $(x + \frac{1}{x})^{2} = 34 + 2 = 36$ , $x > 0$ इसलिए $x + \frac{1}{x} = 6$ ।
3अंतर: $(x - \frac{1}{x})^{2} = 34 - 2 = 32$ , $x > 1$ इसलिए $x - \frac{1}{x} = 32 = 42$ ।

उत्तर 6 ; 4√2

दोनों उत्तर साथ में जाँचिए:

6^{2} - (42)^{2} = 36 - 32 = 4

✓।

उदाहरण 8 · कठिन

यदि

x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} = 46

और

x > 1

हो, तो

x^{2} - \frac{1}{x ^{2}}

ज्ञात कीजिए।

हल, कदम-दर-कदम

1यहाँ आधार $x^{2}$ है; $x^{2} \cdot \frac{1}{x ^{2}} = 1$ है, इसलिए वही पुल चलेगा: $(x^{2} - \frac{1}{x ^{2}})^{2} = (x^{2} + \frac{1}{x ^{2}})^{2} - 4$ ।
2 $= 4 6^{2} - 4 = 2116 - 4 = 2112$ ।
3 $2112 = 64 \times 33$ , इसलिए $2112 = 833$ । $x > 1$ ⟹ $x^{2} > \frac{1}{x ^{2}}$ , अतः धनात्मक: $833$ ।

उत्तर 8√33

वैकल्पिक रास्ता:

x^{2} - \frac{1}{x ^{2}} = (x + \frac{1}{x}) (x - \frac{1}{x}) = 48 \cdot 44 = 2112

, वही।

अभ्यास

आसानपहले खुद करके देखें

यदि

x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} = 98

और

x > 0

हो, तो

x + \frac{1}{x}

का मान है:

आसानपहले खुद करके देखें

यदि

x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} = 79

और

x > 0

हो, तो

x + \frac{1}{x}

का मान है:

मध्यमपहले खुद करके देखें

यदि

x^{4} + \frac{1}{x ^{4}} = 194

हो, तो

x^{2} + \frac{1}{x ^{2}}

का मान है:

मध्यमपहले खुद करके देखें

यदि

x^{4} + \frac{1}{x ^{4}} = 2207

और

x > 0

हो, तो

x + \frac{1}{x}

का मान है:

मध्यमपहले खुद करके देखें

यदि

x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} = 34

और

x > 1

हो, तो

x^{2} - \frac{1}{x ^{2}}

का मान है:

मध्यमपहले खुद करके देखें

यदि

x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} = 30

और

x > 0

हो, तो

x + \frac{1}{x}

का मान है:

मध्यमपहले खुद करके देखें

x^{2} + \frac{1}{x ^{2}}

का निम्न में से कौन-सा मान किसी भी वास्तविक

x

के लिए संभव नहीं है?

कठिनपहले खुद करके देखें

यदि

x^{4} + \frac{1}{x ^{4}} = 6239

और

x > 0

हो, तो

x + \frac{1}{x}

का मान है:

कठिनपहले खुद करके देखें

यदि

x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} = 47

और

x > 1

हो, तो

x^{2} - \frac{1}{x ^{2}}

का मान है:

कठिनपहले खुद करके देखें

यदि

x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} = 83

और

x > 1

हो, तो

x - \frac{1}{x}

का मान है:

घन: x³ + 1/x³

a^{3} - 3 a

और

b^{3} + 3 b

दूसरी सीढ़ी: जोड़े का घन करके।

विचार

जोड़े का घन कीजिए: $(x + \frac{1}{x})^{3} = x^{3} + 3 x^{2} \cdot \frac{1}{x} + 3 x \cdot \frac{1}{x ^{2}} + \frac{1}{x ^{3}}$ । बीच के दोनों पदों में $x$ कटकर बचता है $3 x + \frac{3}{x} = 3 (x + \frac{1}{x})$ , यानी जोड़े का ही तीन गुना। इसलिए घन में से जोड़े का तीन गुना घटाने पर $x^{3} + \frac{1}{x ^{3}}$ मिलता है।

◭ चित्र

x + \frac{1}{x} = 4

के लिए: घन

64

दो हिस्सों में बँटा है,

x^{3} + \frac{1}{x ^{3}} = 52

और

3 (x + \frac{1}{x}) = 12

।

∑ सूत्र

x + \frac{1}{x} = a \Rightarrow x^{3} + \frac{1}{x ^{3}} = a^{3} - 3 a

जोड़ का घन

$a$: $x + \frac{1}{x}$ का मान
$a^{3}$: जोड़े का घन
$3 a$: बीच के पदों का जोड़: जोड़े का $3$ गुना

∑ सूत्र

x - \frac{1}{x} = b \Rightarrow x^{3} - \frac{1}{x ^{3}} = b^{3} + 3 b

घटाव का घन

$b$: $x - \frac{1}{x}$ का मान

एक और नज़र: $x^{3} + \frac{1}{x ^{3}} = (x + \frac{1}{x}) (x^{2} - 1 + \frac{1}{x ^{2}})$ (घनों के योग का सूत्र)। कोष्ठक में $x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} = a^{2} - 2$ रखें तो $a (a^{2} - 2 - 1) = a^{3} - 3 a$ : वही सूत्र दूसरे रास्ते से मिल गया।

$x + \frac{1}{x}$	$x^{3} + \frac{1}{x ^{3}}$
$2$	$2$
$3$	$18$
$4$	$52$
$5$	$110$
$6$	$198$
$7$	$322$
$8$	$488$
$9$	$702$
$10$	$970$

$x - \frac{1}{x}$	$x^{3} - \frac{1}{x ^{3}}$
$1$	$4$
$2$	$14$
$3$	$36$
$4$	$76$
$5$	$140$
$6$	$234$
$7$	$364$
$8$	$536$
$9$	$756$

यहाँ: बाएँ स्तंभ में दिया मान है, दाएँ में घन वाला रूप। सीमा: ऐसी जोड़ियाँ कंठस्थ करना ज़रूरी नहीं, पर $4 \to 52$ , $5 \to 110$ , $6 \to 198$ , $7 \to 322$ जैसे कुछ मान देखे हुए हों तो विकल्प पहचानना आसान होता है।

उलटाउलटा प्रश्न:

x^{3} + \frac{1}{x ^{3}} = c

दिया हो और

x + \frac{1}{x}

चाहिए, तो

a^{3} - 3 a = c

को सारणी से या अंदाज़े से (

a \approx 3 c

) हल कीजिए; प्रश्नों में

a

लगभग हमेशा पूर्णांक होता है।

कदम

$x + \frac{1}{x}$ (या $x - \frac{1}{x}$ ) का मान तैयार कीजिए; $x^{2}$ वाला मान दिया हो तो पहले वर्गमूल से वहाँ आइए।
घन का सूत्र लगाइए: जोड़ में $- 3 a$ , घटाव में $+ 3 b$ ।
चिह्न जाँचिए: $a$ ऋणात्मक हो तो $a^{3}$ और $3 a$ दोनों ऋणात्मक हैं।

उदाहरण 9 · आसान

यदि

x + \frac{1}{x} = 6

हो, तो

x^{3} + \frac{1}{x ^{3}}

ज्ञात कीजिए।

हल, कदम-दर-कदम

1जोड़े का घन करते हैं: $(x + \frac{1}{x})^{3} = x^{3} + \frac{1}{x ^{3}} + 3 (x + \frac{1}{x})$ ।
2बाईं ओर $6^{3} = 216$ और जोड़े का तीन गुना $3 \times 6 = 18$ है।
3इसलिए $x^{3} + \frac{1}{x ^{3}} = 216 - 18 = 198$ ।

उत्तर 198

जाल:

a^{3} - 3

नहीं,

a^{3} - 3 a

घटाइए।

उदाहरण 10 · मध्यम

यदि

x - \frac{1}{x} = 7

हो, तो

x^{3} - \frac{1}{x ^{3}}

ज्ञात कीजिए।

हल, कदम-दर-कदम

1 $(x - \frac{1}{x})^{3} = x^{3} - 3 x + \frac{3}{x} - \frac{1}{x ^{3}} = (x^{3} - \frac{1}{x ^{3}}) - 3 (x - \frac{1}{x})$ , क्योंकि $- 3 x + \frac{3}{x} = - 3 (x - \frac{1}{x})$ ।
2इसलिए $x^{3} - \frac{1}{x ^{3}} = (x - \frac{1}{x})^{3} + 3 (x - \frac{1}{x}) = 343 + 21 = 364$ ।

उत्तर 364

घटाव वाले रूप में

+ 3 b

आता है: दोनों चिह्न बदल जाते हैं।

उदाहरण 11 · मध्यम

यदि

x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} = 47

और

x > 0

हो, तो

x^{3} + \frac{1}{x ^{3}}

ज्ञात कीजिए।

हल, कदम-दर-कदम

1घन के सूत्र को $x + \frac{1}{x}$ चाहिए, इसलिए पहले पीछे लौटते हैं: $(x + \frac{1}{x})^{2} = 47 + 2 = 49$ ।
2 $x > 0$ है, इसलिए $x + \frac{1}{x} = 7$ ।
3 $x^{3} + \frac{1}{x ^{3}} = 7^{3} - 3 \times 7 = 343 - 21 = 322$ ।

उत्तर 322

बीच की सीढ़ी छोड़ी नहीं जा सकती:

x^{2}

से सीधे

x^{3}

पर नहीं पहुँचते।

उदाहरण 12 · कठिन

यदि

x^{3} + \frac{1}{x ^{3}} = 488

और

x > 0

हो, तो

x + \frac{1}{x}

ज्ञात कीजिए।

हल, कदम-दर-कदम

1माना $a = x + \frac{1}{x}$ । तब $a^{3} - 3 a = 488$ , और $x > 0$ होने से $a \geq 2$ ।
2 $a^{3}$ लगभग $488$ है; $7^{3} = 343$ और $8^{3} = 512$ के बीच, तो $a = 8$ आज़माइए: $512 - 24 = 488$ ✓।
3 $a \geq 2$ पर $a^{3} - 3 a$ हर बार बढ़ता है, इसलिए कोई दूसरा हल नहीं: $x + \frac{1}{x} = 8$ ।

उत्तर 8

बारीक जाँच:

a = 7

देता

322

और

a = 9

देता

702

;

488

बीच में है, इसलिए

8

ही ठीक है।

अभ्यास

आसानपहले खुद करके देखें

यदि

x + \frac{1}{x} = 9

हो, तो

x^{3} + \frac{1}{x ^{3}}

का मान है:

आसानपहले खुद करके देखें

यदि

x - \frac{1}{x} = 8

हो, तो

x^{3} - \frac{1}{x ^{3}}

का मान है:

मध्यमपहले खुद करके देखें

यदि

x + \frac{1}{x} = - 6

हो, तो

x^{3} + \frac{1}{x ^{3}}

का मान है:

मध्यमपहले खुद करके देखें

यदि

x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} = 98

और

x > 0

हो, तो

x^{3} + \frac{1}{x ^{3}}

का मान है:

मध्यमपहले खुद करके देखें

यदि

x^{3} + \frac{1}{x ^{3}} = 702

और

x > 0

हो, तो

x + \frac{1}{x}

का मान है:

मध्यमपहले खुद करके देखें

यदि

x - \frac{1}{x} = 6

हो, तो

x^{3} - \frac{1}{x ^{3}}

का मान है:

कठिनपहले खुद करके देखें

यदि

x + \frac{1}{x} = 23

हो, तो

x^{3} + \frac{1}{x ^{3}}

का मान है:

कठिनपहले खुद करके देखें

यदि

x - \frac{1}{x} = 6

हो, तो

x^{3} - \frac{1}{x ^{3}}

का मान है:

कठिनपहले खुद करके देखें

यदि

x + \frac{1}{x} = \frac{5}{2}

हो, तो

x^{3} + \frac{1}{x ^{3}}

का मान है:

कठिनपहले खुद करके देखें

यदि

x^{3} + \frac{1}{x ^{3}} = 1298

और

x > 0

हो, तो

x + \frac{1}{x}

का मान है:

ऊँची घातें: सीढ़ियों को गुणा करके

a_{m + n} = a_{m} a_{n} - a_{m - n}

$x^{4}, x^{5}, x^{6}, x^{7}, \dots$ तक पहुँचने का नियम और सबसे छोटा रास्ता।

विचार

सुविधा के लिए $a_{n}$ लिखिए $= x^{n} + \frac{1}{x ^{n}}$ । अब दो सीढ़ियाँ गुणा कीजिए: $(x^{m} + \frac{1}{x ^{m}}) (x^{n} + \frac{1}{x ^{n}}) = x^{m + n} + x^{m - n} + x^{n - m} + \frac{1}{x ^{m + n}}$ । पहला और आख़िरी पद मिलकर $a_{m + n}$ बनाते हैं; बीच के दोनों पद मिलकर $x^{m - n} + \frac{1}{x ^{m - n}} = a_{m - n}$ । यानी गुणनफल = ऊपर की सीढ़ी + दोनों घातों के अंतर वाली सीढ़ी। इसलिए ऊपर की सीढ़ी = गुणनफल − अंतर वाली सीढ़ी।

∑ सूत्र

a_{m + n} = a_{m} a_{n} - a_{m - n} (a_{0} = 2, a_{1} = x + \frac{1}{x})

ऊपर की सीढ़ी

$a_{n}$: $x^{n} + \frac{1}{x ^{n}}$
$m, n$: दो घातें, $m \geq n$
$a_{m - n}$: घातों के अंतर वाली सीढ़ी; $m = n$ हो तो $a_{0} = x^{0} + \frac{1}{x ^{0}} = 2$

चाहिए	सबसे छोटा रास्ता
$a_{4}$	$a_{2} \cdot a_{2} - 2$
$a_{5}$	$a_{2} \cdot a_{3} - a_{1}$
$a_{6}$	$a_{3} \cdot a_{3} - 2$
$a_{7}$	$a_{3} \cdot a_{4} - a_{1}$
$a_{8}$	$a_{4} \cdot a_{4} - 2$
$a_{9}$	$a_{4} \cdot a_{5} - a_{1}$
$a_{10}$	$a_{5} \cdot a_{5} - 2$
कोई भी $a_{n + 1}$	$a_{1} \cdot a_{n} - a_{n - 1}$

यहाँ: दाएँ स्तंभ में $a_{k}$ वही मान हैं जो पिछली विधियों में निकले; $a_{1} = x + \frac{1}{x}$ । सबसे नीचे वाली पंक्ति हमेशा काम करने वाला नियम है (हर बार एक ही सीढ़ी ऊपर); बाक़ी पंक्तियाँ उससे छोटे रास्ते हैं।

◭ चित्र

x + \frac{1}{x} = 6

की सीढ़ी: हर नया डिब्बा “

6 \times

पिछला

-

उससे पिछला” है; नीचे के घुमावदार तीर दिखाते हैं कि चौथा डिब्बा तीसरे और दूसरे से बना।

$n$	$x^{n} + \frac{1}{x ^{n}}$ ( $x + \frac{1}{x} = 3$ के लिए)
$0$	$2$
$1$	$3$
$2$	$7$
$3$	$18$
$4$	$47$
$5$	$123$
$6$	$322$
$7$	$843$
$8$	$2207$

यहाँ: $n$ घात है और दाएँ स्तंभ में उस घात का मान; $x + \frac{1}{x} = 3$ का उदाहरण केवल यह दिखाने को है कि हर पंक्ति ऊपर की दो पंक्तियों से बनती है ( $7 = 3 \cdot 3 - 2$ , $18 = 3 \cdot 7 - 3$ , $47 = 3 \cdot 18 - 7$ , …)।

तरकीबअंतिम अंक की तरकीब: विकल्पों के अंतिम अंक अलग हों तो हर सीढ़ी का केवल अंतिम अंक निकालिए। बड़ी संख्याओं का पूरा गुणा नहीं करना पड़ता।

कदम

$a_{1} = x + \frac{1}{x}$ लिखिए और $a_{2} = a_{1}^{2} - 2$ निकालिए।
लक्ष्य घात को दो छोटी घातों के जोड़ के रूप में तोड़िए ( $m + n$ ), ऐसे कि अंतर $m - n$ वाली सीढ़ी पहले से पता हो।
$a_{m} \cdot a_{n} - a_{m - n}$ निकालिए। $m = n$ हो तो $- 2$ लगाइए।
उत्तर के विकल्पों के अंतिम अंक से जाँच कर लीजिए।

उदाहरण 13 · आसान

यदि

x + \frac{1}{x} = 6

हो, तो

x^{4} + \frac{1}{x ^{4}}

ज्ञात कीजिए।

हल, कदम-दर-कदम

1पहले $x^{2}$ वाली सीढ़ी, फिर उसी का वर्ग। दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} = (x + \frac{1}{x})^{2} - 2 = 6^{2} - 2 = 34$ ।
2अब $x^{2} + \frac{1}{x ^{2}}$ का वर्ग करें: $x^{4} + \frac{1}{x ^{4}} = (x^{2} + \frac{1}{x ^{2}})^{2} - 2 = 3 4^{2} - 2 = 1154$ ।
3इसलिए $x^{4} + \frac{1}{x ^{4}} = 1154$ ।

उत्तर 1154

x^{4}

असल में

(x^{2})^{2}

है, इसलिए यहाँ आधार

x^{2}

है और वर्ग वाला सूत्र (

- 2

) चलता है।

उदाहरण 14 · मध्यम

यदि

x + \frac{1}{x} = 7

हो, तो

x^{5} + \frac{1}{x ^{5}}

ज्ञात कीजिए।

हल, कदम-दर-कदम

1 $5 = 2 + 3$ , इसलिए $x^{2}$ वाली और $x^{3}$ वाली सीढ़ियाँ चाहिए। $a_{2} = 7^{2} - 2 = 47$ ।
2 $a_{3} = 7^{3} - 3 \times 7 = 343 - 21 = 322$ ।
3गुणा: $(x^{2} + \frac{1}{x ^{2}}) (x^{3} + \frac{1}{x ^{3}}) = x^{5} + x^{- 1} + x + \frac{1}{x ^{5}} = a_{5} + a_{1}$ (घातों का अंतर $3 - 2 = 1$ )।
4इसलिए $a_{5} = 47 \times 322 - 7 = 15134 - 7 = 15127$ ।

उत्तर 15127

जाँच: अंतिम अंक

7 \times 2 - 7 = 7

✓।

उदाहरण 15 · मध्यम

यदि

x + \frac{1}{x} = 8

हो, तो

x^{6} + \frac{1}{x ^{6}}

को दो अलग रास्तों से निकालिए।

हल, कदम-दर-कदम

1 $a_{2} = 8^{2} - 2 = 62$ और $a_{3} = 8^{3} - 3 \times 8 = 512 - 24 = 488$ ।
2रास्ता 1 ( $6 = 3 + 3$ ): $a_{6} = a_{3} \cdot a_{3} - 2 = 48 8^{2} - 2 = 238144 - 2 = 238142$ ।
3रास्ता 2 ( $6 = 4 + 2$ ): पहले $a_{4} = 6 2^{2} - 2 = 3842$ ; फिर $a_{6} = a_{4} \cdot a_{2} - a_{4 - 2} = 3842 \times 62 - 62 = 238204 - 62 = 238142$ ।
4दोनों रास्ते एक ही उत्तर देते हैं: $238142$ ।

उत्तर 238142

परीक्षा में वह रास्ता लीजिए जिसमें गुणा आसान हो; ऊपर रास्ता 1 में केवल एक वर्ग करना पड़ता है।

उदाहरण 16 · कठिन

यदि

x + \frac{1}{x} = 9

हो, तो

x^{7} + \frac{1}{x ^{7}}

ज्ञात कीजिए और अंतिम अंक से जाँचिए।

हल, कदम-दर-कदम

1 $7 = 3 + 4$ , इसलिए $a_{7} = a_{3} \cdot a_{4} - a_{1}$ । पहले $a_{2} = 9^{2} - 2 = 79$ और $a_{3} = 9^{3} - 3 \times 9 = 729 - 27 = 702$ ।
2 $a_{4} = a_{2}^{2} - 2 = 7 9^{2} - 2 = 6241 - 2 = 6239$ ।
3अब $a_{7} = 702 \times 6239 - 9 = 4379778 - 9 = 4379769$ ।
4अंतिम अंक से जाँच: $a_{3} \to 2$ , $a_{4} \to 9$ , $a_{1} = 9$ , इसलिए $a_{7} \to 2 \times 9 - 9 = 9$ । ऊपर का उत्तर भी $9$ पर ख़त्म होता है ✓।

उत्तर 4379769

बड़े गुणा में अंतिम अंक की जाँच सबसे सस्ता सुरक्षा-जाल है।

अभ्यास

आसानपहले खुद करके देखें

यदि

x + \frac{1}{x} = 11

हो, तो

x^{4} + \frac{1}{x ^{4}}

का मान है:

आसानपहले खुद करके देखें

यदि

x + \frac{1}{x} = 6

हो, तो

x^{5} + \frac{1}{x ^{5}}

का मान है:

मध्यमपहले खुद करके देखें

यदि

x + \frac{1}{x} = 7

हो, तो

x^{6} + \frac{1}{x ^{6}}

का मान है:

मध्यमपहले खुद करके देखें

यदि

x + \frac{1}{x} = 4

हो, तो

x^{7} + \frac{1}{x ^{7}}

का मान है:

मध्यमपहले खुद करके देखें

यदि

x + \frac{1}{x} = 8

हो, तो

x^{5} + \frac{1}{x ^{5}}

का मान निम्न में से कौन-सा है?

मध्यमपहले खुद करके देखें

यदि

x + \frac{1}{x} = 4

हो, तो

x^{8} + \frac{1}{x ^{8}}

का मान है:

कठिनपहले खुद करके देखें

यदि

x + \frac{1}{x} = 5

हो, तो

x^{5} + \frac{1}{x ^{5}}

का मान है:

कठिनपहले खुद करके देखें

यदि

x + \frac{1}{x} = 7

हो, तो

x^{5} + \frac{1}{x ^{5}}

का मान है:

कठिनपहले खुद करके देखें

यदि

x + \frac{1}{x} = \frac{5}{2}

हो, तो

x^{6} + \frac{1}{x ^{6}}

का मान है:

कठिनपहले खुद करके देखें

यदि

x + \frac{1}{x} = - 5

हो, तो

x^{5} + \frac{1}{x ^{5}}

का मान है:

घटाव का परिवार: xⁿ − 1/xⁿ

गुणनखंड और दूसरी सीढ़ी

जब घातों के बीच ऋण चिह्न हो, या $x - \frac{1}{x}$ दिया हो।

विचार

घटाव वाले रूप दो तरह से मिलते हैं। पहला रास्ता: गुणनखंड। वर्गों के अंतर का सूत्र $A^{2} - B^{2} = (A + B) (A - B)$ घात दोगुनी करता है: $x^{2} - \frac{1}{x ^{2}} = (x + \frac{1}{x}) (x - \frac{1}{x})$ और $x^{4} - \frac{1}{x ^{4}} = (x^{2} + \frac{1}{x ^{2}}) (x^{2} - \frac{1}{x ^{2}})$ । घनों का सूत्र $A^{3} - B^{3} = (A - B) (A^{2} + A B + B^{2})$ देता है $x^{3} - \frac{1}{x ^{3}} = (x - \frac{1}{x}) (x^{2} + 1 + \frac{1}{x ^{2}})$ । दूसरा रास्ता: दूसरी सीढ़ी। यदि $x - \frac{1}{x} = b$ हो तो जोड़ा $x$ और $- \frac{1}{x}$ है, जिनका गुणनफल $- 1$ है। तब नीचे की सीढ़ी $u_{n} = x^{n} + (- \frac{1}{x})^{n}$ बनती है: विषम $n$ पर यह $x^{n} - \frac{1}{x ^{n}}$ है और सम $n$ पर $x^{n} + \frac{1}{x ^{n}}$ ।

∑ सूत्र

x^{2 n} - \frac{1}{x ^{2 n}} = (x^{n} + \frac{1}{x ^{n}}) (x^{n} - \frac{1}{x ^{n}})

वर्गों का अंतर: घात दोगुनी

$n$: कोई घात ( $1, 2, 3, \dots$ )
$x^{2 n} - \frac{1}{x ^{2 n}}$: जो चाहिए

∑ सूत्र

x^{3} - \frac{1}{x ^{3}} = (x - \frac{1}{x}) (x^{2} + 1 + \frac{1}{x ^{2}})

घनों का अंतर

$x - \frac{1}{x}$: पहला गुणनखंड
$x^{2} + 1 + \frac{1}{x ^{2}}$: दूसरा गुणनखंड, $= a^{2} - 1$ जहाँ $a = x + \frac{1}{x}$

∑ सूत्र

u_{n + 1} = b u_{n} + u_{n - 1}, u_{0} = 2, u_{1} = b

दूसरी सीढ़ी (

b = x - \frac{1}{x}

)

$u_{n}$: $x^{n} + (- \frac{1}{x})^{n}$
$b$: $x - \frac{1}{x}$ का मान

ध्यान दीजिए: इस सीढ़ी में “ $+ u_{n - 1}$ ” है, पहली सीढ़ी के “ $- a_{n - 1}$ ” की जगह, क्योंकि जोड़े का गुणनफल $+ 1$ नहीं $- 1$ है। नीचे $b = 2$ के लिए सारणी है।

$n$	$u_{n}$	अर्थ
$0$	$2$	$x^{0} + \frac{1}{x ^{0}}$
$1$	$2$	$x^{1} - \frac{1}{x ^{1}}$
$2$	$6$	$x^{2} + \frac{1}{x ^{2}}$
$3$	$14$	$x^{3} - \frac{1}{x ^{3}}$
$4$	$34$	$x^{4} + \frac{1}{x ^{4}}$
$5$	$82$	$x^{5} - \frac{1}{x ^{5}}$
$6$	$198$	$x^{6} + \frac{1}{x ^{6}}$
$7$	$478$	$x^{7} - \frac{1}{x ^{7}}$

यहाँ: $x - \frac{1}{x} = 2$ लेने पर पंक्ति $n$ में $u_{n}$ का मान है और अंतिम स्तंभ बताता है कि वह कौन-सा रूप है। हर $u$ पिछले का दो गुना और उससे पिछला जोड़कर बनता है ( $6 = 2 \cdot 2 + 2$ , $14 = 2 \cdot 6 + 2$ , $34 = 2 \cdot 14 + 6$ )।

चिह्न

x + \frac{1}{x}

दिया हो और

x^{n} - \frac{1}{x ^{n}}

पूछा हो तो पहले

x - \frac{1}{x} = \pm s^{2} - 4

निकालिए; चिह्न शर्त (

x > 1

⟹

+

) से चुनिए, फिर गुणनखंड लगाइए। चिह्न का सवाल प्रश्न में लगभग हमेशा दिया रहता है।

कदम

देखिए कि दिया हुआ जोड़ा $x + \frac{1}{x}$ है या $x - \frac{1}{x}$ , और पूछा गया रूप जोड़ वाला है या घटाव वाला।
ज़रूरत हो तो $(x - \frac{1}{x})^{2} = (x + \frac{1}{x})^{2} - 4$ से दूसरा जोड़ा बनाइए (चिह्न शर्त से)।
सम घात हो तो वर्गों का अंतर लगाइए; विषम हो तो घनों का सूत्र या दूसरी सीढ़ी।

उदाहरण 17 · आसान

यदि

x + \frac{1}{x} = 6

और

x > 1

हो, तो

x^{2} - \frac{1}{x ^{2}}

ज्ञात कीजिए।

हल, कदम-दर-कदम

1 $x^{2} - \frac{1}{x ^{2}}$ वर्गों का अंतर है, इसलिए $(x + \frac{1}{x}) (x - \frac{1}{x})$ में तोड़ते हैं। $x + \frac{1}{x} = 6$ पता है; $x - \frac{1}{x}$ चाहिए।
2 $(x - \frac{1}{x})^{2} = 36 - 4 = 32$ और $x > 1$ , इसलिए $x - \frac{1}{x} = 42$ ।
3गुणा: $x^{2} - \frac{1}{x ^{2}} = 6 \times 42 = 242$ ।

उत्तर 24√2

जाँच:

(242)^{2} = 1152

और

3 4^{2} - 4 = 1152

✓ (पिछली विधि का

x^{2}

वाला पुल)।

उदाहरण 18 · मध्यम

यदि

x + \frac{1}{x} = 10

और

x > 1

हो, तो

x^{4} - \frac{1}{x ^{4}}

ज्ञात कीजिए।

हल, कदम-दर-कदम

1 $x^{4} - \frac{1}{x ^{4}} = (x^{2} + \frac{1}{x ^{2}}) (x^{2} - \frac{1}{x ^{2}})$ और $x^{2} - \frac{1}{x ^{2}} = (x + \frac{1}{x}) (x - \frac{1}{x})$ : दो बार वर्गों का अंतर।
2 $x - \frac{1}{x}$ : $100 - 4 = 96$ , $x > 1$ ⟹ $x - \frac{1}{x} = 96 = 46$ ।
3 $x^{2} - \frac{1}{x ^{2}} = 10 \times 46 = 406$ और $x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} = 100 - 2 = 98$ ।
4इसलिए $x^{4} - \frac{1}{x ^{4}} = 98 \times 406 = 39206$ ।

उत्तर 3920√6

तीन गुणनखंड एक के बाद एक:

s \cdot d \cdot a_{2}

।

उदाहरण 19 · मध्यम

यदि

x - \frac{1}{x} = 2

हो, तो

x^{5} - \frac{1}{x ^{5}}

ज्ञात कीजिए।

हल, कदम-दर-कदम

1दूसरी सीढ़ी: $u_{1} = 2$ । $u_{2} = x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} = 2^{2} + 2 = 6$ ।
2 $u_{3} = x^{3} - \frac{1}{x ^{3}} = 2^{3} + 3 \times 2 = 14$ ।
3गुणा: $(x^{2} + \frac{1}{x ^{2}}) (x^{3} - \frac{1}{x ^{3}}) = x^{5} - x^{- 1} + x - x^{- 5} = (x^{5} - \frac{1}{x ^{5}}) + (x - \frac{1}{x})$ ।
4इसलिए $x^{5} - \frac{1}{x ^{5}} = 6 \times 14 - 2 = 82$ ।

उत्तर 82

सारणी की पंक्ति

n = 5

भी यही

82

देती है।

उदाहरण 20 · कठिन

यदि

x - \frac{1}{x} = 4

और

x > 0

हो, तो

x^{4} - \frac{1}{x ^{4}}

ज्ञात कीजिए।

हल, कदम-दर-कदम

1 $x^{4} - \frac{1}{x ^{4}} = (x^{2} + \frac{1}{x ^{2}}) (x + \frac{1}{x}) (x - \frac{1}{x})$ । हमें दो बातें चाहिए: $x^{2} + \frac{1}{x ^{2}}$ और $x + \frac{1}{x}$ ।
2 $x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} = 4^{2} + 2 = 18$ ।
3 $(x + \frac{1}{x})^{2} = (x - \frac{1}{x})^{2} + 4 = 20$ , $x > 0$ इसलिए $x + \frac{1}{x} = 25$ ।
4 $x^{4} - \frac{1}{x ^{4}} = 18 \times 25 \times 4 = 1445$ ।

उत्तर 144√5

जाँच:

x^{4} - \frac{1}{x ^{4}}

का वर्ग

= (x^{4} + \frac{1}{x ^{4}})^{2} - 4 = 32 2^{2} - 4 = 103680

और

(1445)^{2} = 103680

✓।

अभ्यास

आसानपहले खुद करके देखें

यदि

x + \frac{1}{x} = 8

और

x > 1

हो, तो

x^{2} - \frac{1}{x ^{2}}

का मान है:

आसानपहले खुद करके देखें

यदि

x - \frac{1}{x} = 6

हो, तो

x^{4} + \frac{1}{x ^{4}}

का मान है:

मध्यमपहले खुद करके देखें

यदि

x - \frac{1}{x} = 5

हो, तो

x^{5} - \frac{1}{x ^{5}}

का मान है:

मध्यमपहले खुद करके देखें

यदि

x - \frac{1}{x} = 4

हो, तो

x^{6} + \frac{1}{x ^{6}}

का मान है:

मध्यमपहले खुद करके देखें

यदि

x + \frac{1}{x} = 6

और

x > 1

हो, तो

x^{3} - \frac{1}{x ^{3}}

का मान है:

मध्यमपहले खुद करके देखें

यदि

x - \frac{1}{x} = 2

हो, तो

x^{7} - \frac{1}{x ^{7}}

का मान है:

कठिनपहले खुद करके देखें

यदि

x + \frac{1}{x} = \frac{5}{2}

और

x > 1

हो, तो

x^{2} - \frac{1}{x ^{2}}

का मान है:

कठिनपहले खुद करके देखें

यदि

x + \frac{1}{x} = 7

और

x > 1

हो, तो

x^{4} - \frac{1}{x ^{4}}

का मान है:

कठिनपहले खुद करके देखें

यदि

x - \frac{1}{x} = 7

हो, तो

x^{3} - \frac{1}{x ^{3}}

का मान है:

कठिनपहले खुद करके देखें

यदि

x - \frac{1}{x} = 22

हो, तो

x^{4} + \frac{1}{x ^{4}}

का मान है:

सही रूप तक पहुँचना

समीकरण · भिन्न · गुणांक · खिसका चर · मूल · x ख़ुद

जब प्रश्न सीधे $x + \frac{1}{x}$ नहीं देता तो उसे उस रूप में कैसे लाएँ।

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समीकरण को x से भाग देना

x^{2} - k x + 1 = 0 \Rightarrow x + \frac{1}{x} = k

जब सीधे $x + \frac{1}{x}$ नहीं, एक द्विघात (या चतुर्घात) समीकरण दी हो।

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भिन्नों को पलटकर तोड़ना

\frac{x}{x ^{2} + b x + 1} = \frac{1}{a + b}

जब $x^{2} + b x + 1$ या $x^{4} + k x^{2} + 1$ वाली भिन्न दी या पूछी जाए।

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गुणांक वाले जोड़े

u^{2} + w^{2} = S^{2} - 2 u w

जब जोड़ा $3 x + \frac{2}{x}$ या $\frac{x}{3} + \frac{3}{x}$ जैसा हो और गुणनफल $1$ न हो।

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खिसका हुआ चर

m = x - a

को नया नाम दो

जब जोड़ा $x$ का नहीं, $x \pm k$ का बनता हो।

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वर्गमूल और घनमूल वाले रूप

x + \frac{1}{x}

का वर्ग

जब जोड़ा $x$ या $3 x$ का हो, या उसी का मान पूछा जाए।

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x ख़ुद निकालना और 2 + √3 जैसे मान

संयुग्मी ही व्युत्क्रम है

जब $x$ का मान सीधे $p + q$ के रूप में दिया हो या उसे निकालना हो।

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सार, मिश्रित अभ्यास, दोहराव

सब विधियाँ एक जगह

सभी विधियों की एक सारणी, परीक्षा जैसे मिले-जुले प्रश्न और दोहराव कार्ड।

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सभी विधियों का सार

कौन-सी विधि कब

प्रश्न पढ़ते ही विधि चुनने के लिए एक पन्ना।

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मिश्रित अभ्यास — सेट 1

आसान से मध्यम

हर प्रकार के प्रश्न मिले-जुले; पहले विधि पहचानिए, फिर हल कीजिए।

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मिश्रित अभ्यास — सेट 2

मध्यम से कठिन

परीक्षा के कठिन छोर के मिले-जुले प्रश्न।

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दोहराव: कार्ड और जाल

पलटिए, याद कीजिए

हर कार्ड का प्रश्न पढ़कर पहले ख़ुद सोचिए, फिर पलटिए।

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x + 1/x वाले व्यंजक

सीढ़ी: ऊपर की घातें

वर्ग: x² + 1/x²

विचार

कदम

अभ्यास

पीछे लौटना: वर्ग से x ± 1/x

विचार

कदम

अभ्यास

घन: x³ + 1/x³

विचार

कदम

अभ्यास

ऊँची घातें: सीढ़ियों को गुणा करके

विचार

कदम

अभ्यास

घटाव का परिवार: xⁿ − 1/xⁿ

विचार

कदम

अभ्यास

सही रूप तक पहुँचना

समीकरण को x से भाग देना

भिन्नों को पलटकर तोड़ना

गुणांक वाले जोड़े

खिसका हुआ चर

वर्गमूल और घनमूल वाले रूप

x ख़ुद निकालना और 2 + √3 जैसे मान

सार, मिश्रित अभ्यास, दोहराव

सभी विधियों का सार

मिश्रित अभ्यास — सेट 1

मिश्रित अभ्यास — सेट 2

दोहराव: कार्ड और जाल

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