सापेक्ष वेग और सापेक्ष चाल

चाल · वेग · सापेक्ष गति — गणित और भौतिकी साथ-साथ

7 भाग11 हल किए उदाहरण30 अभ्यास प्रश्न

चलती ट्रेन में आपके पास बैठा यात्री आपको रुका हुआ दिखता है, पर प्लेटफ़ॉर्म पर खड़े आदमी को वही यात्री 60 किमी/घंटा से भागता दिखता है। दोनों सही हैं। गति हमेशा किसी देखने वाले के सापेक्ष होती है — इसी विचार को सापेक्ष वेग (या सीधी रेखा में सापेक्ष चाल) कहते हैं।

परीक्षाओं की “Basic Science and Mathematics” में चाल, वेग और सापेक्ष वेग गणित और भौतिकी दोनों में आते हैं। इसलिए यह चैप्टर दोनों को जोड़ता है: पहले चाल-वेग-त्वरण की भौतिकी, फिर सीधी रेखा के सापेक्ष चाल के सवाल (जो गणित में समय-चाल-दूरी में आते हैं), फिर दो आयामों के सवाल (नाव-नदी, विमान-हवा, बारिश-छाता), और अंत में निर्देश तंत्र का विचार।

भाग	क्या सीखेंगे	मुख्य सूत्र / विचार
1. गति की नींव	दूरी-विस्थापन, चाल-वेग, इकाइयाँ, ग्राफ़, समीकरण, मुक्त पतन	$v = \frac{s}{t}$ , $v = u + a t$
2. सीधी रेखा	मिलना, पीछा, चलती सीढ़ी, कुत्ता-चिड़िया	एक दिशा: घटाओ; आमने-सामने: जोड़ो
3. गोल रास्ता	चक्कर, $n$ -वाँ मिलन, घड़ी की सुइयाँ, आगे-पीछे का रास्ता	चक्कर की लंबाई ÷ सापेक्ष चाल
4. दो आयाम	सदिश घटाव, नाव-नदी, विमान-हवा, बारिश-छाता, निकटतम दूरी	$v_{A B} = v_{A} - v_{B}$
5. त्वरण के साथ	आगे निकलना, ब्रेक लगाना, चलती गाड़ी से गिरी चीज़	$s = u t + \frac{1}{2} a t^{2}$
6. भौतिकी से जोड़	निर्देश तंत्र, जड़त्वीय तंत्र, गैलीलियो का योग	$v_{A C} = v_{A B} + v_{BC}$

यहाँ: $u$ = आरंभिक वेग, $v$ = अंतिम वेग, $a$ = त्वरण, $s$ = विस्थापन, $t$ = समय; $v_{A B}$ = $B$ के सापेक्ष $A$ का वेग; $v_{A}, v_{B}$ = धरती के सापेक्ष वेग।

शुरू करने का तरीक़ाहर प्रश्न में पहले तीन बातें लिखिए: (1) कौन-कौन चल रहे हैं और किस दिशा में? (2) किसके सापेक्ष चाल पूछी है? (3) सारी इकाइयाँ एक जैसी हैं? इसके बाद ही सूत्र लगाइए।

भाग 1 — गति की नींव

दूरी · वेग · इकाइयाँ · ग्राफ़ · समीकरण

सापेक्ष वेग समझने से पहले चाल, वेग और त्वरण की पक्की समझ।

सापेक्ष वेग में हम दो गतियों की तुलना करते हैं। तुलना तभी सही होगी जब हर गति की अपनी परिभाषा, इकाई और दिशा साफ़ हो। इस भाग में यही नींव बनती है।

दूरी, विस्थापन, चाल और वेग

अदिश बनाम सदिश

रास्ते की लंबाई और सीधी दूरी का फ़र्क़, चाल और वेग का फ़र्क़, औसत चाल और औसत वेग।

विचार

दो शब्द ध्यान से समझिए। दूरी वह है जो आपके पैरों ने (या गाड़ी के पहियों ने) असल में तय की — रास्ते की पूरी लंबाई। विस्थापन वह है जो शुरू के बिंदु से अंत के बिंदु तक सीधी रेखा में दिशा के साथ बताया जाता है। मान लीजिए आप घर से 3 किमी पूर्व गए और फिर 4 किमी उत्तर: दूरी 7 किमी है, पर घर से सीधी दूरी (विस्थापन) केवल 5 किमी है।

◭ चित्र

दूरी रास्ते की लंबाई है; विस्थापन शुरू और अंत को जोड़ने वाला तीर

जिस राशि में केवल मान होता है (दूरी, चाल, समय) उसे अदिश कहते हैं। जिसमें मान और दिशा दोनों होते हैं (विस्थापन, वेग, त्वरण) उसे सदिश कहते हैं। इसी से चाल और वेग अलग हो जाते हैं:

राशि	परिभाषा	प्रकार	कभी शून्य या ऋण?
दूरी	रास्ते की कुल लंबाई	अदिश	कभी ऋण नहीं, कभी घटती नहीं
विस्थापन	शुरू से अंत तक सीधा तीर	सदिश	शून्य या ऋण हो सकता है
चाल	दूरी ÷ समय	अदिश	ऋण नहीं
वेग	विस्थापन ÷ समय	सदिश	शून्य या ऋण हो सकता है

∑ सूत्र

औसत चाल = \frac{कुल दूरी}{कुल समय}, v_{avg} = \frac{कुल विस्थापन}{कुल समय}

औसत चाल और औसत वेग

$v_{avg}$: औसत वेग (किमी/घंटा या मी/से, दिशा सहित)
$e x t कुलदूरी$: पूरे रास्ते की लंबाई (किमी या मी)
$e x t कुलविस्थापन$: शुरू से अंत का सीधा अंतर (किमी या मी)
$e x t कुलसमय$: पूरी यात्रा का समय, रुकने का समय भी जोड़कर

पहचानप्रश्न में “शुरू के बिंदु से”, “विस्थापन”, “वेग”, “लौट आता है” जैसे शब्द दिखें तो विस्थापन की सोचिए। “कुल कितना चला”, “चाल” दिखे तो दूरी की।

कदम

हर हिस्से की लंबाई जोड़कर कुल दूरी निकालिए।
शुरू और अंत को सीधी रेखा से जोड़कर विस्थापन निकालिए — एक सीध में हो तो जोड़-घटाव (दिशा के चिह्न के साथ), समकोण हो तो पाइथागोरस।
समय को सही इकाई में बदलिए (घंटा या सेकंड)।
औसत चाल $=$ दूरी ÷ समय; औसत वेग $=$ विस्थापन ÷ समय।

हल किए उदाहरण

उदाहरण 1 · आसान

अमित एक चौराहे से पूर्व की ओर 6 किमी चलता है, फिर उत्तर की ओर 8 किमी। पूरी यात्रा में 30 मिनट लगते हैं। उसकी औसत चाल और औसत वेग का परिमाण निकालिए।

हल, कदम-दर-कदम

1दूरी रास्ते की कुल लंबाई है, दिशा चाहे कुछ भी हो: 6 + 8 = 14 किमी।
2विस्थापन शुरू से अंत तक की सीधी रेखा है। पूर्व और उत्तर के रास्ते समकोण बनाते हैं, इसलिए पाइथागोरस से $6^{2} + 8^{2} = 100 = 10$ किमी।
3चालें किमी/घंटा में चाहिए, इसलिए समय घंटे में लिखिए: 30 मिनट $= 0.5$ घंटे।
4औसत चाल $= \frac{कुल दूरी}{कुल समय} = \frac{14}{0.5} = 28$ किमी/घंटा।
5औसत वेग $= \frac{विस्थापन}{कुल समय} = \frac{10}{0.5} = 20$ किमी/घंटा (दिशा: उत्तर-पूर्व की ओर)।

उत्तर 28 किमी/घंटा और 20 किमी/घंटा

औसत चाल हमेशा औसत वेग के परिमाण से बड़ी या बराबर होती है; यहाँ मोड़ आया, इसलिए बड़ी है।

उदाहरण 2 · मध्यम

14 मी त्रिज्या वाले गोल पार्क की सीमा पर जोसेफ़ एक बिंदु से दौड़ना शुरू करता है और 40 सेकंड में 1 पूरा चक्कर पूरा करता है। (

π = \frac{22}{7}

लें।) औसत चाल और औसत वेग का परिमाण निकालिए।

हल, कदम-दर-कदम

1एक चक्कर की लंबाई $2 π r = 2 \times \frac{22}{7} \times 14 = 88$ मी है। 1 पूरा चक्कर में दूरी $= 1 \times 88 = 88$ मी।
2पूरे चक्कर लगाकर वह उसी बिंदु पर लौट आता है, इसलिए शुरू और अंत की स्थिति एक ही है: विस्थापन 0।
3समय 40 सेकंड है, इसलिए चाल मी/से में आएगी।
4औसत चाल $= \frac{88}{40} = 2.2$ मी/से।
5औसत वेग $= \frac{0}{40} = 0$ मी/से।

उत्तर 2.2 मी/से और 0 मी/से

जाल: औसत वेग 0 है, पर औसत चाल 0 नहीं — चाल अदिश है, वेग सदिश।

अभ्यास (अपने आप करके देखिए)

आसानपहले खुद करके देखें

इमरान एक चौराहे से पूर्व की ओर 9 किमी चलता है, फिर उत्तर की ओर 12 किमी। पूरी यात्रा में 45 मिनट लगते हैं। उसका विस्थापन कितना है?

आसानपहले खुद करके देखें

किशन सीधी सड़क पर पूर्व की ओर 120 मी चलता है, फिर पश्चिम की ओर 70 मी लौट आता है। कुल 25 सेकंड लगते हैं। उसने कुल कितनी दूरी तय की?

मध्यमपहले खुद करके देखें

रवि एक चौराहे से पूर्व की ओर 15 किमी चलता है, फिर उत्तर की ओर 20 किमी। पूरी यात्रा में 1 घंटे 15 मिनट लगते हैं। उसके औसत वेग का परिमाण कितना है?

मध्यमपहले खुद करके देखें

21 मी त्रिज्या वाले गोल पार्क की सीमा पर सुरेश एक बिंदु से दौड़ना शुरू करता है और 66 सेकंड में डेढ़ चक्कर पूरा करता है। (

π = \frac{22}{7}

लें।) उसकी औसत चाल कितनी है?

कठिनपहले खुद करके देखें

दीपक सीधी सड़क पर पूर्व की ओर 150 मी चलता है, फिर पश्चिम की ओर 110 मी लौट आता है। कुल 16 सेकंड लगते हैं। उसके औसत वेग का परिमाण कितना है?

कठिनपहले खुद करके देखें

7 मी त्रिज्या वाले गोल पार्क की सीमा पर अनिल एक बिंदु से दौड़ना शुरू करता है और 7 सेकंड में डेढ़ चक्कर पूरा करता है। (

π = \frac{22}{7}

लें।) उसके औसत वेग का परिमाण कितना है?

इकाइयाँ, बदलना और एक-सी / असमान गति

किमी/घंटा ⇄ मी/से

चाल की इकाइयाँ और उन्हें बदलना; एकसमान और असमान गति में फ़र्क़।

विचार

चाल का मतलब है एक इकाई समय में तय दूरी। इसलिए इकाई हमेशा “दूरी की इकाई ÷ समय की इकाई” होती है: किमी/घंटा, मी/से, मी/मिनट। सवाल में दूरी किमी में और समय सेकंड में हो तो पहले एक इकाई में लाना ज़रूरी है — यही सबसे आम चूक है।

◭ चित्र

किमी/घंटा और मी/से के बीच का पुल

से	में	गुणक	उदाहरण
किमी/घंटा	मी/से	$\frac{5}{18}$	$72 \to 20$
मी/से	किमी/घंटा	$\frac{18}{5}$	$15 \to 54$
मी/मिनट	किमी/घंटा	$\frac{3}{50}$	$250 \to 15$
किमी/घंटा	मी/मिनट	$\frac{50}{3}$	$12 \to 200$
मी/से	मी/मिनट	60	$4 \to 240$
नॉट (समुद्री मील/घंटा)	किमी/घंटा	1.852	$10 \to 18.52$

यहाँ: गुणक वह संख्या है जिससे पुरानी इकाई की संख्या को गुणा करके नई इकाई की संख्या मिलती है। 1 समुद्री मील $= 1852$ मी; 1 (ज़मीनी) मील $\approx 1.609$ किमी, इसलिए 1 मील/घंटा $\approx 0.447$ मी/से।

एकसमान गति में वस्तु बराबर समय में बराबर दूरी तय करती है (चाल स्थिर)। असमान गति में बराबर समय में दूरियाँ अलग-अलग होती हैं (चाल बदलती है)। रोज़ की यात्राएँ लगभग हमेशा असमान होती हैं, इसलिए हम औसत चाल = कुल दूरी ÷ कुल समय लेते हैं।

∑ सूत्र

S = \frac{D}{T} D = S T T = \frac{D}{S}

चाल–दूरी–समय

$S$: चाल (किमी/घंटा या मी/से)
$D$: तय दूरी (किमी या मी)
$T$: लगा समय (घंटे या सेकंड)

पहचानदूरी–समय–चाल के तीनों में इकाई-जोड़ी मिलाइए: किमी ↔ घंटा ↔ किमी/घंटा, या मी ↔ सेकंड ↔ मी/से। बीच में मिलावट हो तो पहले बदलिए।

कदम

दूरी, समय और चाल की इकाइयाँ लिखिए और देखिए कि मेल खाती हैं या नहीं।
मेल न खाएँ तो ऊपर की सारणी का गुणक लगाइए (जवाब बड़ा आना चाहिए या छोटा, यह पहले सोच लीजिए)।
अब सूत्र $D = ST$ लगाइए।
जवाब माँगी गई इकाई में दीजिए।

हल किए उदाहरण

उदाहरण 3 · आसान

15 मी/से को किमी/घंटा में बदलिए।

हल, कदम-दर-कदम

1उल्टी दिशा में चलने के लिए $\frac{5}{18}$ का उल्टा $\frac{18}{5}$ लगाते हैं (1 मी/से $= 3.6$ किमी/घंटा)।
215 $\times \frac{18}{5} = 54$ किमी/घंटा।

उत्तर 54 किमी/घंटा

सुविधा: 36 किमी/घंटा = 10 मी/से, 54 = 15, 72 = 20, 90 = 25, 108 = 30।

उदाहरण 4 · कठिन

एक ट्रॉली के सफ़र में लगातार 4 अंतरालों (हर अंतराल 5 सेकंड का) में उसने क्रमशः 12, 20, 28, 40 मी तय किए। पूरे सफ़र की औसत चाल निकालिए।

हल, कदम-दर-कदम

1हर अंतराल में चाल $= \frac{दूरी}{5}$ : $2.4$ , $4$ , $5.6$ , $8$ मी/से। चाल बदल रही है, इसलिए गति असमान है।
2कुल दूरी $= 100$ मी, कुल समय $= 4 \times 5 = 20$ सेकंड।
3औसत चाल $= \frac{100}{20} = 5$ मी/से।

उत्तर 5 मी/से

अभ्यास (अपने आप करके देखिए)

आसानपहले खुद करके देखें

126 किमी/घंटा को मी/से में बदलिए।

आसानपहले खुद करके देखें

450 मी/मिनट को किमी/घंटा में बदलिए।

मध्यमपहले खुद करके देखें

15 नॉट को किमी/घंटा में बदलिए। (1 नॉट

= 1.852

किमी/घंटा)

मध्यमपहले खुद करके देखें

एक रॉकेट 40 सेकंड में 2 किमी ऊपर उठता है (एक-सी चाल से)। उसकी चाल मी/से और किमी/घंटा में निकालिए।

कठिनपहले खुद करके देखें

किशन पहले 36 किमी/घंटा की चाल से 10 मिनट चलता है, फिर 8 मी/से की चाल से 15 मिनट। उसने कुल कितने मीटर तय किए और औसत चाल किमी/घंटा में कितनी रही?

कठिनपहले खुद करके देखें

एक ट्रॉली के सफ़र में लगातार 3 अंतरालों (हर अंतराल 6 सेकंड का) में उसने क्रमशः 18, 36, 63 मी तय किए। अंतिम अंतराल में उसकी चाल किमी/घंटा में क्या थी?

गति के ग्राफ़

ढलान = चाल, क्षेत्रफल = दूरी

दूरी–समय और चाल–समय ग्राफ़ पढ़ना।

विचार

ग्राफ़ में गति को तस्वीर की तरह पढ़ा जाता है। दूरी–समय ग्राफ़ में आड़ी धुरी पर समय और खड़ी धुरी पर दूरी होती है। रेखा जितनी तिरछी (खड़ी) होगी, चाल उतनी ज़्यादा; रेखा क्षैतिज हो तो वस्तु रुकी है।

ग्राफ़ का आकार	दूरी–समय ग्राफ़ में अर्थ	चाल–समय ग्राफ़ में अर्थ
क्षैतिज रेखा	रुका हुआ (चाल 0)	एकसमान चाल
सीधी तिरछी रेखा	एकसमान चाल; ढलान = चाल	एकसमान त्वरण; ढलान = त्वरण
ऊपर की ओर मुड़ा वक्र	चाल बढ़ रही है (त्वरण)	त्वरण बढ़ रहा है
नीचे गिरती रेखा	स्थिति घट रही है (वापसी)	चाल घट रही है (मंदन)
रेखा के नीचे का क्षेत्रफल	कुछ नहीं बताता	तय की गई दूरी

∑ सूत्र

चाल = \frac{Δ d}{Δ t} (दूरी - समय ढलान), a = \frac{Δ v}{Δ t} (चाल - समय ढलान), d = क्षेत्रफल

ग्राफ़ पढ़ने के तीन नियम

$Δ d$: दूरी में बदलाव (किमी या मी)
$Δ t$: समय में बदलाव (घंटे या सेकंड)
$a$: त्वरण (मी/से²)
$Δ v$: चाल में बदलाव (मी/से)

◭ चित्र

एक यात्रा: चलना, रुकना, फिर तेज़ चलना। हर रंग के खंड की ढलान उसकी चाल है

◭ चित्र

चाल–समय ग्राफ़: चढ़ती ढलान त्वरण, समतल भाग एकसमान चाल, उतरती ढलान मंदन; नीचे का क्षेत्रफल दूरी

जालदूरी–समय ग्राफ़ में ढलान पढ़ते समय समय को घंटे में बदलना न भूलें (मिनट पर ग्राफ़ हो तो

Δ t /60

)। चाल–समय ग्राफ़ में क्षेत्रफल की इकाई = चाल की इकाई × समय की इकाई।

कदम

ग्राफ़ के दो सिरों के बिंदु (समय, दूरी) पढ़िए।
चाल निकालनी हो तो $Δ d$ ÷ $Δ t$ (घंटे में) लीजिए; दूरी निकालनी हो (चाल–समय ग्राफ़) तो क्षेत्रफल, आकृति को आयत और त्रिभुजों में बाँटकर।
औसत चाल के लिए कुल दूरी ÷ कुल समय (रुकना भी गिनकर)।

हल किए उदाहरण

उदाहरण 5 · आसान

अमित की यात्रा का दूरी–समय ग्राफ़ इन बिंदुओं को जोड़ने वाली टूटी रेखा है: (0 मिनट, 0 किमी), (30 मिनट, 20 किमी), (50 मिनट, 20 किमी), (110 मिनट, 80 किमी)। खंड 3 में उसकी चाल कितनी है?

हल, कदम-दर-कदम

1ढलान $= \frac{दूरी में बदलाव}{समय में बदलाव}$ ही चाल है। (समय को घंटे में लेकर)
2खंड 3: 60 मिनट में 60 किमी $\Rightarrow$ $60$ किमी/घंटा

उत्तर 60 किमी/घंटा

उदाहरण 6 · कठिन

एक ट्रेन स्टेशन से चलकर 10 सेकंड में 72 किमी/घंटा की चाल पकड़ती है, 50 सेकंड इसी चाल से चलती है, फिर 20 सेकंड में रुक जाती है (चाल–समय ग्राफ़ समलंब चतुर्भुज है)। पूरी यात्रा की औसत चाल किमी/घंटा में निकालिए।

हल, कदम-दर-कदम

1चाल मी/से में: 72 $\times \frac{5}{18} = 20$ मी/से, क्योंकि समय सेकंड में है।
2तीनों भागों का क्षेत्रफल: $\frac{1}{2} \times 10 \times 20 = 100$ , $50 \times 20 = 1, 000$ , $\frac{1}{2} \times 20 \times 20 = 200$ मी।
3कुल दूरी $= 1, 300$ मी, कुल समय $= 80$ सेकंड, औसत चाल $= \frac{1 , 300}{80} = 16.25$ मी/से।
4किमी/घंटा में: $16.25 \times \frac{18}{5} = 58.5$ किमी/घंटा।

उत्तर 58.5 किमी/घंटा

औसत चाल अधिकतम चाल से कम होती है, क्योंकि चलने और रुकने में धीमा हिस्सा भी है।

अभ्यास (अपने आप करके देखिए)

आसानपहले खुद करके देखें

इमरान की यात्रा का दूरी–समय ग्राफ़ इन बिंदुओं को जोड़ने वाली टूटी रेखा है: (0 मिनट, 0 किमी), (40 मिनट, 30 किमी), (100 मिनट, 30 किमी), (160 मिनट, 90 किमी)। खंड 1 में उसकी चाल कितनी है?

आसानपहले खुद करके देखें

किशन की यात्रा का दूरी–समय ग्राफ़ इन बिंदुओं को जोड़ने वाली टूटी रेखा है: (0 मिनट, 0 किमी), (40 मिनट, 30 किमी), (100 मिनट, 30 किमी), (160 मिनट, 90 किमी)। वह कितनी देर रुका रहा?

मध्यमपहले खुद करके देखें

रवि की यात्रा का दूरी–समय ग्राफ़ इन बिंदुओं को जोड़ने वाली टूटी रेखा है: (0 मिनट, 0 किमी), (20 मिनट, 12 किमी), (50 मिनट, 12 किमी), (80 मिनट, 42 किमी)। रुकने के समय सहित पूरी यात्रा की औसत चाल निकालिए।

मध्यमपहले खुद करके देखें

एक ट्रेन स्टेशन से चलकर 6 सेकंड में 12 मी/से की चाल पकड़ती है, 14 सेकंड इसी चाल से चलती है, फिर 10 सेकंड में रुक जाती है (चाल–समय ग्राफ़ समलंब चतुर्भुज है)। चलते समय त्वरण और रुकते समय मंदन कितना है? (मी/से² में)

कठिनपहले खुद करके देखें

दीपक की यात्रा का दूरी–समय ग्राफ़ इन बिंदुओं को जोड़ने वाली टूटी रेखा है: (0 मिनट, 0 किमी), (45 मिनट, 36 किमी), (75 मिनट, 12 किमी)। (ग्राफ़ में दूरी का मतलब सड़क के आरंभ से मापी स्थिति है।) कुल चली दूरी के आधार पर औसत चाल और अंतिम स्थिति के आधार पर औसत वेग का परिमाण निकालिए।

कठिनपहले खुद करके देखें

एक ट्रेन स्टेशन से चलकर 12 सेकंड में 72 किमी/घंटा की चाल पकड़ती है, 30 सेकंड इसी चाल से चलती है, फिर 18 सेकंड में रुक जाती है (चाल–समय ग्राफ़ समलंब चतुर्भुज है)। उसने कुल कितनी दूरी तय की?

त्वरण और गति के तीन समीकरण

v = u + a t

s = u t + \frac{1}{2} a t^{2}

v^{2} = u^{2} + 2 a s

त्वरण, मंदन, चिह्न का नियम और तीनों समीकरण।

विचार

जब चाल बदलती है तो गति त्वरित होती है। त्वरण बताता है कि हर सेकंड चाल (वेग) कितनी बदलती है। 2 मी/से² का मतलब: हर सेकंड वेग 2 मी/से बढ़ता है। जब वेग घट रहा हो तो वही राशि ऋण होती है और उसे मंदन (retardation) कहते हैं। त्वरण भी सदिश है; सीधी रेखा में उसकी दिशा चिह्न से बताई जाती है।

◭ चित्र

एकसमान त्वरण: चाल u से v बनी और समय t में विस्थापन s हुआ

∑ सूत्र

a = \frac{v - u}{t}

त्वरण की परिभाषा

$a$: त्वरण (मी/से²)
$u$: आरंभिक वेग (मी/से)
$v$: अंतिम वेग (मी/से)
$t$: समय (सेकंड)

अगर त्वरण स्थिर है तो तीन समीकरण चलते हैं। इनके चार “बदले हुए रूप” भी याद रखिए। चिह्न का नियम: शुरू की गति की दिशा को धन मानिए। तब मंदन में $a$ ऋण रखिए; रुकने पर $v = 0$ ।

∑ सूत्र

v = u + a t s = u t + \frac{1}{2} a t^{2} v^{2} = u^{2} + 2 a s s = \frac{u + v}{2} t

स्थिर त्वरण के समीकरण

$s$: विस्थापन (मी)
$u$: आरंभिक वेग (मी/से)
$v$: अंतिम वेग (मी/से)
$a$: त्वरण (मी/से²); मंदन में ऋण
$t$: समय (सेकंड)

समीकरण	इसमें नहीं है	कब चुनें
$v = u + a t$	$s$	दूरी की बात नहीं
$s = u t + \frac{1}{2} a t^{2}$	$v$	अंतिम चाल की बात नहीं
$v^{2} = u^{2} + 2 a s$	$t$	समय की बात नहीं
$s = \frac{u + v}{2} t$	$a$	त्वरण की बात नहीं
$s_{n} = u + \frac{a}{2} (2 n - 1)$		केवल $n$ -वें सेकंड की दूरी

चुनने का तरीक़ासमीकरण चुनने का तरीक़ा: पाँच राशियाँ

u, v, a, s, t

में तीन पता हों तो बाक़ी दो निकलते हैं। जो राशि न दी है न पूछी है, वही छूटी हुई राशि है — वह समीकरण लीजिए जिसमें वह न हो।

कदम

सब राशियाँ SI इकाई में लिखिए (किमी/घंटा को मी/से में बदलकर)।
दिशा चुनिए: गति की दिशा धन; मंदन का $a$ ऋण।
जो राशि न दी है न पूछी है उसे पहचानकर सही समीकरण चुनिए।
हल करके इकाई के साथ उत्तर लिखिए और जाँचिए कि वह उचित है।

हल किए उदाहरण

उदाहरण 7 · आसान

एक स्कूटर 4 मी/से की चाल से चल रहा है और 2 मी/से² के एकसमान त्वरण से 8 सेकंड तक तेज़ होता है। अंतिम चाल और तय की गई दूरी निकालिए।

हल, कदम-दर-कदम

1गति की दिशा को धन मानिए: $u$ , $a$ और $t$ सब धन हैं।
2 $v = u + a t$ लगाने पर $v = 4 + 2 \times 8 = 20$ मी/से। (चाल हर सेकंड 2 मी/से बढ़ती है, 8 सेकंड में 16 बढ़ी।)
3 $s = u t + \frac{1}{2} a t^{2}$ से $s = 4 \times 8 + \frac{1}{2} \times 2 \times 8^{2} = 32 + 64 = 96$ मी। पहला पद चाल $u$ पर चलने की दूरी है, दूसरा बढ़ती चाल से मिली अतिरिक्त दूरी।

उत्तर 20 मी/से और 96 मी

उदाहरण 8 · मध्यम

गुरप्रीत की कार 72 किमी/घंटा से चल रही है। ब्रेक लगाने पर वह 4 मी/से² की एकसमान मंदन से रुकती है। रुकने में कितनी दूरी और कितना समय लगेगा?

हल, कदम-दर-कदम

1समय सेकंड में है, इसलिए चाल मी/से में: 72 $\times \frac{5}{18} = 20$ मी/से।
2रुकने पर अंतिम चाल $v = 0$ और मंदन का चिह्न ऋण: $a = - 4$ । $v^{2} = u^{2} + 2 a s$ से $0 = 400 - 2 \times 4 \times s$ , इसलिए $s = \frac{400}{8} = 50$ मी।
3 $v = u + a t$ से $0 = 20 - 4 t$ , इसलिए $t = 5$ सेकंड।

उत्तर 50 मी, 5 सेकंड

जाल: चाल दोगुनी होने पर रुकने की दूरी चार गुनी हो जाती है (

s \propto u^{2}

)।

उदाहरण 9 · कठिन

एक गेंद ढलान पर 3 मी/से की चाल से लुढ़कना शुरू करती है और 2 मी/से² के त्वरण से तेज़ होती है।

7

-वें सेकंड (केवल उसी एक सेकंड) में वह कितनी दूरी तय करती है?

हल, कदम-दर-कदम

1 $n$ सेकंड की दूरी में से $(n - 1)$ सेकंड की दूरी घटाइए। 7 सेकंड में: $3 \times 7 + \frac{1}{2} \times 2 \times 7^{2} = 70$ मी।
26 सेकंड में: $3 \times 6 + \frac{1}{2} \times 2 \times 6^{2} = 54$ मी। अंतर $= 70 - 54 = 16$ मी।
3सीधा सूत्र: $s_{n} = u + \frac{a}{2} (2 n - 1) = 3 + 1 \times 13 = 16$ मी।

उत्तर 16 मी

जाल:

n

-वें सेकंड की दूरी और

n

सेकंड की दूरी अलग चीज़ें हैं।

अभ्यास (अपने आप करके देखिए)

आसानपहले खुद करके देखें

एक स्कूटर 6 मी/से की चाल से चल रहा है और 1.5 मी/से² के एकसमान त्वरण से 10 सेकंड तक तेज़ होता है। उसकी अंतिम चाल क्या होगी?

आसानपहले खुद करके देखें

एक साइकिल सवार 2 मी/से की चाल से चल रहा है और 3 मी/से² के एकसमान त्वरण से 6 सेकंड तक तेज़ होता है। इस दौरान वह कितनी दूरी तय करेगा?

मध्यमपहले खुद करके देखें

सुरेश की कार 54 किमी/घंटा से चल रही है। ब्रेक लगाने पर वह 3 मी/से² की एकसमान मंदन से रुकती है। रुकने में कितनी दूरी और कितना समय लगेगा?

मध्यमपहले खुद करके देखें

एक बस ठहरी अवस्था से 2 मी/से² के त्वरण से 8 सेकंड तक तेज़ होती है, फिर उसी चाल से 12 सेकंड चलती है। कुल कितनी दूरी तय हुई?

कठिनपहले खुद करके देखें

एक ट्रेन 80 मी चलने में 12 मी/से से बढ़कर 28 मी/से हो जाती है। त्वरण कितना है?

कठिनपहले खुद करके देखें

एक गेंद ढलान पर 5 मी/से की चाल से लुढ़कना शुरू करती है और 4 मी/से² के त्वरण से तेज़ होती है।

9

-वें सेकंड (केवल उसी एक सेकंड) में वह कितनी दूरी तय करती है?

मुक्त पतन और ऊपर फेंकना

g = 10

या

9.8

मी/से²

सिर्फ़ गुरुत्व के असर में गति: गिरना, ऊपर फेंकना, $n$ -वाँ सेकंड।

विचार

जब कोई वस्तु केवल गुरुत्व के असर में गति करती है (हवा का प्रतिरोध नहीं गिना जाता) तो उसे मुक्त पतन कहते हैं। पृथ्वी के पास हर वस्तु — हल्की या भारी — का त्वरण एक ही होता है: गुरुत्वीय त्वरण $g \approx 9.8$ मी/से² नीचे की ओर (परीक्षा में अक्सर 10 लिया जाता है)। इसलिए ये वही तीन समीकरण हैं जिनमें $a = \pm g$ रखना है।

◭ चित्र

ऊपर फेंकी गेंद: चढ़ने और उतरने में समय बराबर; एक ही ऊँचाई पर चाल बराबर

स्थिति	$u$	सूत्र
ऊँचाई $h$ से छोड़ना	0	$t = \frac{2 h}{g}, v = 2 g h$
सीधा ऊपर फेंकना	$u$	$H = \frac{u ^{2}}{2 g}, t_{u p} = \frac{u}{g}, T = \frac{2 u}{g}$
$t$ सेकंड बाद (ऊपर धन)	$u$	$s = u t - \frac{1}{2} g t^{2}, v = u - g t$
ठहरी अवस्था से $n$ -वाँ सेकंड	0	$s_{n} = \frac{g}{2} (2 n - 1)$

यहाँ: $h$ = ऊँचाई जहाँ से छोड़ा, $H$ = अधिकतम ऊँचाई, $T$ = कुल उड़ान का समय, $t_{u p}$ = ऊपर चढ़ने का समय, $u$ = फेंकने की चाल, $v$ = उस क्षण की चाल।

जालऊपर फेंकी वस्तु लौटते समय उसी ऊँचाई पर वही चाल रखती है जो चढ़ते समय थी; बस दिशा उलटी होती है। सबसे ऊँचे बिंदु पर वेग शून्य है, त्वरण नहीं — वह तब भी

g

है।

कदम

दिशा चुनिए (ऊपर धन या नीचे धन) और $a = \pm g$ तय कीजिए।
$u$ पहचानिए: छोड़ने पर 0, फेंकने पर दी गई चाल; सबसे ऊँचे बिंदु पर $v = 0$ ।
गति के समीकरणों में से सही चुनकर हल कीजिए।

हल किए उदाहरण

उदाहरण 10 · आसान

पुल से एक पत्थर 80 मी की ऊँचाई से बिना धक्का दिए छोड़ा जाता है। (g = 10 मी/से² लें।) धरती से टकराने में कितना समय लगेगा और टकराते समय चाल क्या होगी?

हल, कदम-दर-कदम

1छोड़ने पर आरंभिक वेग $u = 0$ ; नीचे की दिशा धन लीजिए, $a = g$ । $h = \frac{1}{2} g t^{2}$ से $t = \frac{2 h}{g} = \frac{2 \times 80}{10} = 4$ सेकंड।
2टकराने की चाल $v = g t = 10 \times 4 = 40$ मी/से। (जाँच: $v^{2} = 2 g h = 1, 600$ ।)

उत्तर 4 सेकंड, 40 मी/से

समय केवल ऊँचाई पर निर्भर है, वस्तु के भार पर नहीं (हवा का असर छोड़कर)।

उदाहरण 11 · कठिन

एक पत्थर ठहरी अवस्था से गिरना शुरू करता है। (g = 9.8 मी/से² लें।) वह 4-वें सेकंड में कितनी दूरी तय करता है?

हल, कदम-दर-कदम

1 $u = 0$ के साथ $s_{n} = \frac{g}{2} (2 n - 1) = \frac{9.8}{2} \times 7 = 34.3$ मी।
2जाँच: 4 सेकंड में $\frac{1}{2} g n^{2} = 78.4$ , 3 सेकंड में $44.1$ ; अंतर $= 34.3$ मी।

उत्तर 34.3 मी

गैलीलियो का नियम: ठहरी अवस्था से गिरते समय लगातार सेकंडों की दूरियाँ

1 : 3 : 5 : 7 \dots

होती हैं।

अभ्यास (अपने आप करके देखिए)

आसानपहले खुद करके देखें

मीनार से एक लोहे की गोली 45 मी की ऊँचाई से बिना धक्का दिए छोड़ा जाता है। (g = 10 मी/से² लें।) धरती से टकराने में कितना समय लगेगा और टकराते समय चाल क्या होगी?

आसानपहले खुद करके देखें

किशन एक गेंद को सीधा ऊपर 20 मी/से की चाल से फेंकता है। (g = 10 मी/से² लें।) गेंद कितनी ऊँचाई तक जाएगी और फेंकने से हाथ में लौटने तक कुल कितना समय लगेगा?

मध्यमपहले खुद करके देखें

एक सेब पेड़ से गिरकर 30 मी/से की चाल से धरती से टकराता है। (g = 10 मी/से² लें।) वह कितनी ऊँचाई से गिरा और कितनी देर में?

मध्यमपहले खुद करके देखें

एक पत्थर को 25 मी/से से सीधा ऊपर फेंका गया। (g = 10 मी/से² लें।) 2 सेकंड बाद उसकी ऊँचाई और वेग कितना होगा? (वेग की दिशा भी बताइए।)

कठिनपहले खुद करके देखें

मीनार से एक लोहे की गोली 78.4 मी की ऊँचाई से बिना धक्का दिए छोड़ा जाता है। (g = 9.8 मी/से² लें।) धरती से टकराने में कितना समय लगेगा और टकराते समय चाल क्या होगी?

कठिनपहले खुद करके देखें

एक पत्थर को 40 मी/से से सीधा ऊपर फेंका गया। (g = 10 मी/से² लें।) 6 सेकंड बाद उसकी ऊँचाई और वेग कितना होगा? (वेग की दिशा भी बताइए।)

भाग 2 — सीधी रेखा में सापेक्ष चाल

जोड़ और घटाव · मिलना · पीछा · सीढ़ी · चिड़िया

जब सारी गतियाँ एक ही सीधी रेखा पर हों: सापेक्ष चाल या तो जुड़ती है या घटती है।

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सापेक्ष चाल: जोड़ और घटाव

एक दिशा: घटाओ · आमने-सामने: जोड़ो

दो चलती चीज़ों की सापेक्ष चाल, दूरी का बढ़ना-घटना और लंबाई वाली चीज़ों का पार करना।

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दो जगहों से चलकर मिलना

मिलने का समय और स्थान

दो स्थानों से एक साथ या अलग-अलग समय पर चलकर मिलना।

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बढ़त और पीछा करना

एक ही रास्ते पर, एक बाद में चले

जब एक वस्तु पहले चल पड़े और दूसरी तेज़ चलकर उसे पकड़े।

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चलती पट्टी, सीढ़ी और ट्रेन के भीतर चलना

धरती के सापेक्ष = पट्टी + व्यक्ति

जब कोई चलने वाली चीज़ पर चले: दो वेग जुड़ते हैं।

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चिड़िया, कुत्ता और संदेशवाहक: आगे-पीछे दौड़ना

कुल समय = मिलने का समय

आगे-पीछे दौड़ने वाले की दूरी: समय एक बार निकालिए।

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भाग 3 — गोल रास्ता और घड़ी की सुइयाँ

चक्कर ·

n

-वाँ मिलन · घड़ी

जब रास्ता गोल हो: दूरी चक्कर की लंबाई है और चक्कर बार-बार दोहराते हैं।

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गोल रास्ते पर पहला मिलन

\frac{L}{v _{1} \pm v _{2}}

एक ही या विपरीत दिशा में दौड़ते दो धावकों का पहला मिलन।

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$n$ -वाँ मिलन, शुरुआती बिंदु पर मिलन और मिलन-बिंदु

अंतराल · LCM · अनुपात

गोल रास्ते पर बार-बार मिलना: कब, कहाँ और कितनी बार।

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घड़ी की सुइयाँ: गोल रास्ते की दौड़

मिनट की सुई 6°/मिनट, घंटे की सुई 0.5°/मिनट

दो सुइयाँ एक गोल रास्ते पर एक ही दिशा में दौड़ते धावक हैं।

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भाग 4 — दो आयामों में सापेक्ष वेग

सदिश घटाव · नाव · विमान · बारिश

जब गतियाँ अलग-अलग दिशाओं में हों: दिशा भी सापेक्ष वेग का हिस्सा बन जाती है।

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वेग एक सदिश है: सदिश घटाव

v_{A B} = v_{A} - v_{B}

सदिश घटक, $A$ का $B$ के सापेक्ष वेग, परिमाण और दिशा।

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समकोण पर चलती चीज़ें: दूरी का बढ़ना

सापेक्ष चाल

a^{2} + b^{2}

एक ही बिंदु से पूर्व और उत्तर जैसी लंबवत दिशाओं में चलने वाले दो पिंड।

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तिरछे वेग: कोज्या नियम

a^{2} + b^{2} - 2 ab cos θ

जब दो वेगों के बीच 90° के अलावा कोई कोण हो।

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नाव और नदी: सबसे कम समय और सबसे छोटा रास्ता

v_{धरती} = u + w

नदी पार करने में पानी के सापेक्ष और किनारे के सापेक्ष वेग।

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विमान और हवा

धरती का वेग = हवाई वेग + हवा का वेग

विमान हवा में उड़ता है और हवा ख़ुद चलती है: दोनों के वेग जुड़ते हैं।

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बारिश और छाता

आभासी बारिश

=

बारिश

-

आदमी

चलते आदमी या ट्रेन को बारिश तिरछी क्यों दिखती है।

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निकटतम दूरी और टक्कर

d_{m i n} = \frac{∣ b x _{0} - a y _{0} ∣}{a ^{2} + b ^{2}}

दो चलते पिंड कितने पास आएँगे: सापेक्ष पथ पर लंब।

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भाग 5 — त्वरण के साथ सापेक्ष गति

आगे निकलना · ब्रेक · गिरती चीज़ें

जब चाल स्थिर नहीं: सापेक्ष वेग और सापेक्ष त्वरण भी समय के साथ बदलते हैं।

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त्वरण वाली गाड़ी का आगे निकलना

s_{rel} = u_{rel} t + \frac{1}{2} a_{rel} t^{2}

ठहरी या तेज़ होती गाड़ी का स्थिर चाल वाली गाड़ी को पकड़ना।

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ब्रेक लगाना और टक्कर से बचना

सुरक्षित दूरी

\geq \frac{( u _{1} - u _{2} ) ^{2}}{2 a}

पीछे की गाड़ी का ब्रेक: सापेक्ष चाल को शून्य करने की दूरी।

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चलते वाहन से गिरती चीज़ें

क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर गतियाँ अलग

विमान से पैकेट और ट्रेन में उछली गेंद: दो तंत्रों से दो अलग तस्वीरें।

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भाग 6 — भौतिकी से जोड़: निर्देश तंत्र

निर्देश तंत्र · जड़त्वीय तंत्र · गैलीलियो का योग

सापेक्ष वेग का भौतिकी वाला आधार।

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निर्देश तंत्र और गैलीलियो का वेग-योग

v_{A C} = v_{A B} + v_{BC}

हम गति नापते किसके सापेक्ष हैं? जड़त्वीय तंत्र और वेगों का जुड़ना।

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सार, मिश्रित अभ्यास, दोहराव

सब सूत्र एक जगह

सभी सूत्रों की एक सारणी, परीक्षा जैसे मिले-जुले प्रश्न और दोहराव।

सभी सूत्रों का सार

कौन-सा सूत्र कब

प्रश्न पढ़ते ही सूत्र चुनने के लिए एक पन्ना।

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मिश्रित अभ्यास — सेट 1

आसान से मध्यम

सब विषय मिले-जुले; पहले विधि पहचानिए, फिर हल कीजिए।

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मिश्रित अभ्यास — सेट 2

मध्यम से कठिन

परीक्षा के कठिन छोर के मिले-जुले प्रश्न।

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दोहराव — कार्ड और जाल

पलटिए, याद कीजिए

हर कार्ड का प्रश्न पढ़कर पहले ख़ुद सोचिए, फिर पलटिए।

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