त्रिकोणमिति: चतुर्थांश, पूरक कोण और योग-अंतर सूत्र
प्रतियोगी गणित · SSC CGL
5 भाग15 हल किए उदाहरण53 अभ्यास प्रश्न
पिछले अध्याय में हमने केवल समकोण त्रिभुज के न्यून कोणों (0∘ से 90∘ के बीच) के अनुपात पढ़े। पर प्रश्नों में sin210∘, cos(−60∘) या tan1125∘ भी आते हैं, जिनके लिए त्रिभुज बनता ही नहीं। इस अध्याय में हम अनुपातों की परिभाषा को एक घूमते बिंदु तक बढ़ाते हैं, ताकि कोई भी कोण सँभल जाए।
◭ चित्रचित्र: त्रिज्या 1 वाले वृत्त पर बिंदु (गुलाबी) घूम रहा है। हरा खंड x=cosθ, केसरिया खंड y=sinθ; नीचे हर चतुर्थांश में कौन-से अनुपात धनात्मक हैं, यह जलता है।
इस अध्याय में क्या है
समूह
मुख्य विचार
कहाँ काम आता है
कोई भी कोण
चतुर्थांश के चिह्न, 180∘±θ, 90∘±θ, ऋणात्मक और बड़े कोण, ग्राफ
त्रिभुज और चक्रीय चतुर्भुज के कोण, सूत्रों से सरलीकरण, सरल समीकरण
मिश्रित प्रश्न
पिछला और अगलाक्रम: पहले अध्याय त्रिकोणमिति: अनुपात, मानक मान और सर्वसमिकाएँ से मानक मान (30∘, 45∘, 60∘) और sin2+cos2=1 तैयार रखिए। इस अध्याय के बाद बहु-कोण सूत्र और अधिकतम-न्यूनतम आता है, जो यहाँ के योग सूत्रों पर टिका है।
चित्रों के रंग हर चित्र के नीचे समझाए गए हैं। हर विधि के बाद हल किए उदाहरण हैं और फिर स्वयं करने के प्रश्न — हल तभी खोलिए जब खुद कोशिश कर लें। जहाँ कक्षा-नोट्स में कोई बात गलत या अधूरी थी, वहाँ सही बात सावधान टिप में बताई गई है।
1
कोई भी कोण: चतुर्थांश और घटाव
ASTC · 180±θ · 90±θ
इकाई वृत्त से चतुर्थांश के चिह्न, संदर्भ कोण, 90∘ के घुमाव का नियम, ऋणात्मक व बड़े कोण और ग्राफ।
इकाई वृत्त और चतुर्थांश के चिह्न
ASTC · चिह्न · सीमा-कोण
बड़े कोणों के अनुपात की परिभाषा, किस चतुर्थांश में कौन-सा अनुपात धनात्मक है और 0∘, 90∘, 180∘, 270∘ के मान।
विचार
एक वृत्त लीजिए जिसका केंद्र मूल-बिंदु O और त्रिज्या 1 हो (इकाई वृत्त)। धनात्मक x-अक्ष से घड़ी की उलटी दिशा में कोण θ मापिए; त्रिज्या का सिरा P=(x,y) मिलता है। परिभाषा: cosθ=x, sinθ=y, tanθ=xy। यह पुरानी परिभाषा ही है: न्यून कोण पर P से x-अक्ष पर लंब डालें तो आधार =x, लंब =y, कर्ण =1 बनता है, इसलिए कर्णलंब=y और कर्णआधार=x।
अब 90∘ से बड़े कोण पर भी x और y मौजूद हैं, बस वे ऋणात्मक हो सकते हैं। यही चिह्नों का पूरा रहस्य है: x बाईं ओर ऋणात्मक, y नीचे की ओर ऋणात्मक।
चतुर्थांश
कोण की सीमा
x=cosθ
y=sinθ
tanθ=xy
धनात्मक अनुपात
I
0∘–90∘
+
+
+
सभी (All)
II
90∘–180∘
−
+
−
sin और cosec (S)
III
180∘–270∘
−
−
+
tan और cot (T)
IV
270∘–360∘
+
−
−
cos और sec (C)
तालिका के अक्षर:x = बिंदु की क्षैतिज दूरी (दाएँ +), y = ऊर्ध्वाधर दूरी (ऊपर +)। sec, cosec, cot अपने उलटे अनुपातों (cos, sin, tan) का चिह्न रखते हैं।
◭ चित्रचित्र: चतुर्थांश घड़ी की उलटी दिशा में जलते हैं: All, Sin, Tan, Cos। हर रंग एक चतुर्थांश है और उसमें लिखे अनुपात ही धनात्मक हैं।
याद रखेंयाद रखने की पंक्ति: पहले चतुर्थांश से उलटी दिशा में चलिए और पढ़िए A – S – T – C ("All Smart Toppers Count")। जिस चतुर्थांश में जो अक्षर है, केवल वही अनुपात (और उसका उलटा) धनात्मक है; बाकी सब ऋणात्मक।
अक्षों पर पड़ने वाले कोण
θ
0∘
90∘
180∘
270∘
360∘
sinθ
0
1
0
−1
0
cosθ
1
0
−1
0
1
tanθ
0
अपरिभाषित
0
अपरिभाषित
0
tan90∘=01 है, और शून्य से भाग संभव नहीं, इसलिए tan90∘ और tan270∘परिभाषित ही नहीं हैं (इनका कोई मान नहीं; "अनंत" कहना भी ठीक नहीं)। यह तालिका सीधे चित्र से पढ़ी जा सकती है: 90∘ पर बिंदु (0,1) पर है।
चिह्न निकालने के चरण
कोण को 0∘–360∘ में लाइए (360∘ के पूरे चक्कर जोड़-घटाकर)।
देखिए वह किस चतुर्थांश में है (सीमाएँ 90∘, 180∘, 270∘)।
ASTC से उस अनुपात का चिह्न पढ़िए: अक्षर वहाँ है तो +, नहीं तो −।
कई पदों का गुणनफल हो तो ऋणात्मक चिह्न गिनिए: सम संख्या ⇒+, विषम ⇒−।
उदाहरण 1 · आसान
E=tan300∘sin215∘⋅cos140∘ का चिह्न बताइए।
हल, कदम-दर-कदम
1215∘ सीमा 180∘–270∘ में है, यानी चतुर्थांश III। वहाँ केवल tan, cot धनात्मक हैं, इसलिए sin215∘<0।
2140∘ चतुर्थांश II में है, जहाँ केवल sin धनात्मक है, इसलिए cos140∘<0।
3300∘ चतुर्थांश IV में है, जहाँ केवल cos धनात्मक है, इसलिए tan300∘<0।
4तीन ऋणात्मक चिह्न हैं (विषम संख्या): (−)(−)(−)=−।
उत्तरऋणात्मक
हर पद का चिह्न अलग से तय कीजिए; मान निकालने की जरूरत ही नहीं।
उदाहरण 2 · मध्यम
tanθ=512 और sinθ<0 हो तो θ किस चतुर्थांश में है? 13(sinθ+cosθ) का मान भी निकालिए।
हल, कदम-दर-कदम
1tanθ>0 चतुर्थांश I या III में होता है। sinθ<0 चतुर्थांश III या IV में। दोनों शर्तें केवल चतुर्थांश III में मिलती हैं।
2tanθ=512 से लंब 12, आधार 5 मानिए; कर्ण 122+52=13।
3चतुर्थांश III में sin और cos दोनों ऋणात्मक हैं: sinθ=−1312, cosθ=−135।
413(sinθ+cosθ)=13(−1312−135)=−12−5=−17।
उत्तरचतुर्थांश III; मान −17
सावधान:tanθ=512 से केवल त्रिभुज का आकार मिलता है, चिह्न नहीं। चिह्न हमेशा चतुर्थांश से तय कीजिए — नहीं तो +17 जैसा गलत उत्तर आ जाता है।
उदाहरण 3 · कठिन
यदि sinθcosθ>0 और cosθtanθ<0 हो तो θ किस चतुर्थांश में है?
हल, कदम-दर-कदम
1sinθcosθ>0 का अर्थ है sin और cos का चिह्न एक-सा: चतुर्थांश I (++) या III (−−)।
2cosθtanθ=cosθ⋅cosθsinθ=sinθ (जहाँ cosθ=0)। यानी दूसरी शर्त कहती है sinθ<0।
3sinθ<0 और पहली शर्त (I या III) एक साथ केवल चतुर्थांश III में बनती हैं।
उत्तरचतुर्थांश III
गुणनफल की शर्तों को पहले सरल कीजिए, फिर चतुर्थांश छाँटिए।
अभ्यास
आसानपहले खुद करके देखें
sin100∘⋅cos200∘ का चिह्न क्या है?
आसानपहले खुद करके देखें
tan250∘⋅cos320∘ का चिह्न क्या है?
मध्यमपहले खुद करके देखें
sin160∘⋅cos95∘⋅tan330∘ का चिह्न क्या है?
मध्यमपहले खुद करके देखें
cot195∘⋅sec280∘⋅cosec140∘ का चिह्न क्या है?
आसानपहले खुद करके देखें
कोण 1000∘ किस चतुर्थांश में स्थित है?
मध्यमपहले खुद करके देखें
कोण −250∘ किस चतुर्थांश में स्थित है?
मध्यमपहले खुद करके देखें
कोण 2000∘ किस चतुर्थांश में स्थित है?
मध्यमपहले खुद करके देखें
sinθ=−178 है और θ चतुर्थांश IV में है। tanθ का मान ज्ञात कीजिए।
मध्यमपहले खुद करके देखें
sinθ=2920 है और θ चतुर्थांश II में है। cosθ का मान ज्ञात कीजिए।
कठिनपहले खुद करके देखें
sinθ=−1715 है और θ चतुर्थांश III में है। tanθ का मान ज्ञात कीजिए।
मध्यमपहले खुद करके देखें
sin40∘, cos130∘, tan200∘, cot310∘, sec250∘ में से कितने धनात्मक हैं?
मध्यमपहले खुद करके देखें
मान ज्ञात कीजिए: cos90∘+sin180∘+tan180∘−cos360∘+sin270∘
संदर्भ कोण: 180∘±θ और 360∘−θ
चार दर्पण-बिंदु · नाम वही
θ से 180∘−θ, 180∘+θ, 360∘−θ तक के मान और किसी भी कोण का संदर्भ कोण।
विचार
कोण θ (न्यून) वाला बिंदु P=(cosθ,sinθ) लीजिए। इसके तीन दर्पण-प्रतिबिंब लीजिए: y-अक्ष में (बाएँ), मूल-बिंदु के आर-पार (सामने), x-अक्ष में (नीचे)। ये तीनों बिंदु ठीक 180∘−θ, 180∘+θ और 360∘−θ के कोणों पर पड़ते हैं, और हर बिंदु x-अक्ष से वही कोण θ बनाता है। प्रतिबिंब में x, y की केवल दिशा बदलती है, दूरी नहीं, इसलिए cos और sin का परिमाण वही रहता है, केवल चिह्न बदल सकता है।
◭ चित्रचित्र: नीला बिंदु θ पर, फिर हरा (180∘−θ), गुलाबी (180∘+θ), बैंगनी (360∘−θ) एक-एक करके आते हैं। केसरिया चाप हर बार x-अक्ष से वही कोण θ दिखाते हैं।
कोण
बिंदु (x,y)
sin
cos
tan
θ
(cosθ,sinθ)
sinθ
cosθ
tanθ
180∘−θ
(−cosθ,sinθ)
+sinθ
−cosθ
−tanθ
180∘+θ
(−cosθ,−sinθ)
−sinθ
−cosθ
+tanθ
360∘−θ
(cosθ,−sinθ)
−sinθ
+cosθ
−tanθ
360∘+θ
(cosθ,sinθ)
+sinθ
+cosθ
+tanθ
यहाँ:θ कोई न्यून कोण है। tan की पंक्ति sin÷cos से बनती है (180∘−θ पर −cos+sin=−tan)।
∑ सूत्र
f(180∘±θ)=±f(θ)f(360∘−θ)=±f(θ)
x-अक्ष वाले कोण (180∘, 360∘): अनुपात का नाम वही, चिह्न चतुर्थांश से
f
कोई भी त्रिकोणमितीय अनुपात
θ
न्यून कोण, यानी संदर्भ कोण
±
चिह्न वह जो मूल अनुपात का उस चतुर्थांश में होता है
याद रखेंसंदर्भ कोण: किसी भी कोण का x-अक्ष से बना न्यून कोण। चतुर्थांश II में 180∘−a, III में a−180∘, IV में 360∘−a। फिर f(a)=±f(संदर्भकोण)।
चरण
कोण को 0∘–360∘ में लाइए, चतुर्थांश पहचानिए।
उस चतुर्थांश में दिए गए अनुपात का चिह्न ASTC से लिखिए।
संदर्भ कोण निकालिए और मानक तालिका से परिमाण लिखिए।
चिह्न और परिमाण जोड़िए।
उदाहरण 4 · आसान
sin150∘+cos120∘+tan225∘ का मान निकालिए।
हल, कदम-दर-कदम
1sin150∘: चतुर्थांश II, sin धनात्मक; संदर्भ कोण 180∘−150∘=30∘; मान +sin30∘=21।
2cos120∘: चतुर्थांश II, cos ऋणात्मक; संदर्भ कोण 60∘; मान −cos60∘=−21।
3tan225∘: चतुर्थांश III, tan धनात्मक; संदर्भ कोण 45∘; मान +tan45∘=1।
4जोड़: 21−21+1=1।
उत्तर1
पहले दो पद एक-दूसरे को काटते हैं क्योंकि sin150∘ और cos120∘ बराबर परिमाण के, विपरीत चिह्न के हैं।
उदाहरण 5 · मध्यम
सरल कीजिए: sin(180∘+θ)⋅cos(360∘−θ)⋅tan(180∘−θ)
हल, कदम-दर-कदम
1यहाँ θ को न्यून मानकर चलिए। 180∘+θ चतुर्थांश III में है, वहाँ sin ऋणात्मक: sin(180∘+θ)=−sinθ।
2360∘−θ चतुर्थांश IV में है, वहाँ cos धनात्मक: cos(360∘−θ)=+cosθ।
3180∘−θ चतुर्थांश II में है, वहाँ tan ऋणात्मक: tan(180∘−θ)=−tanθ।
90∘±θ और 270∘±θ के अनुपात: 90∘ घुमाने पर sin और cos आपस में बदल जाते हैं।
विचार
बिंदु P=(x,y) को मूल-बिंदु के चारों ओर 90∘ घुमाइए (घड़ी की उलटी दिशा में)। बिंदु का नया स्थान (−y,x) होता है: पुराना ऊँचाई वाला भाग अब बाईं ओर की दूरी बन गया और पुराना आधार अब ऊँचाई बन गया। चित्र में P पर बनी छोटी त्रिभुज को घुमाकर देखिए — वह वही त्रिभुज है, बस उसकी दोनों भुजाओं की भूमिकाएँ बदल गईं।
◭ चित्रचित्र: नीली-हरी-केसरिया त्रिभुज θ पर है। उसकी प्रति 90∘ घूमती है (गुलाबी बिंदु 90∘+θ पर पहुँचता है): हरा खंड अब ऊँचाई है (sin(90∘+θ)=cosθ) और केसरिया खंड बाईं ओर (cos(90∘+θ)=−sinθ)।
दो और घुमाव, यानी 270∘, पर बिंदु (y,−x) पर पहुँचता है, इसलिए cos(270∘+θ)=sinθ और sin(270∘+θ)=−cosθ। 90∘−θ और 270∘−θ के लिए −θ रखकर ऋणात्मक कोण के नियम लगाइए (अगली विधि)।
कोण
sin
cos
tan
90∘+θ
+cosθ
−sinθ
−cotθ
90∘−θ
+cosθ
+sinθ
+cotθ
270∘+θ
−cosθ
+sinθ
−cotθ
270∘−θ
−cosθ
−sinθ
+cotθ
यहाँ:θ न्यून कोण है। sec, cosec और cot के लिए अपने उलटे अनुपातों का नियम लगाइए (sec↔cosec, tan↔cot)।
∑ सूत्र
f(90∘±θ)=±fˉ(θ),f(270∘±θ)=±fˉ(θ)
y-अक्ष वाले कोण (90∘, 270∘): अनुपात का नाम बदलता है
f
दिया गया अनुपात
fˉ
उसका साथी: sin↔cos, tan↔cot, sec↔cosec
±
मूल अनुपात f का चिह्न उस चतुर्थांश में, जहाँ कोण पड़ता है
सावधानसावधान (सबसे आम गलती): चिह्न मूल अनुपात का देखिए, नया बनने वाला नहीं। उदाहरण: cos(90∘+θ) में 90∘+θ चतुर्थांश II में है और वहाँ cos ऋणात्मक है, इसलिए उत्तर −sinθ। यदि कोई "sin तो वहाँ धनात्मक है" सोचकर +sinθ लिख दे तो गलत होगा।
याद रखेंएक वाक्य में:180∘, 360∘ (सम गुणज) ⇒ नाम वही; 90∘, 270∘ (विषम गुणज) ⇒ नाम बदलो। चिह्न दोनों में मूल अनुपात का।
छह चरण
कोण को "90∘ का गुणज ±θ" के रूप में लिखिए।
गुणज सम है (180, 360) या विषम (90, 270)? सम: नाम वही; विषम: नाम बदलिए।
θ को न्यून मानकर देखिए पूरा कोण किस चतुर्थांश में है।
उस चतुर्थांश में दिए गए (मूल) अनुपात का चिह्न ASTC से पढ़िए।
घड़ी की दिशा में नापे गए कोण, पूरे चक्कर घटाना और sin, cos, tan की आवर्तता।
विचार
कोण को घड़ी की उलटी दिशा में नापें तो वह धनात्मक, सीधी दिशा (घड़ी की) में नापें तो ऋणात्मक। कोण −θ वाला बिंदु θ वाले बिंदु का x-अक्ष में दर्पण-प्रतिबिंब है: x वही, y उलटा। इसलिए cos(−θ)=cosθ और sin(−θ)=−sinθ। tan इनका भागफल है, इसलिए tan(−θ)=−tanθ।
◭ चित्रचित्र: नीली त्रिज्या ऊपर और बैंगनी त्रिज्या नीचे उलटी दिशाओं में घूमती हैं। हरा खंड (cos) दोनों के लिए एक है; केसरिया (sinθ) और गुलाबी (sin(−θ)) खंड बराबर लंबाई के पर उलटी दिशा में हैं।
सम (चिह्न नहीं बदलता)
विषम (चिह्न बदल जाता है)
cos(−θ)=cosθ
sin(−θ)=−sinθ
sec(−θ)=secθ
cosec(−θ)=−cosecθ
tan(−θ)=−tanθ,cot(−θ)=−cotθ
अब बड़े कोण। बिंदु एक पूरा चक्कर (360∘) घूमकर ठीक वहीं लौट आता है, इसलिए x और y वही रहते हैं। कोई भी अनुपात 360∘ बाद दोहराता है। tan और cot तो हर 180∘ पर दोहराते हैं (क्योंकि tan(180∘+θ)=+tanθ)।
∑ सूत्र
f(θ+360∘k)=f(θ),tan(θ+180∘k)=tanθ
k कोई पूर्णांक (धनात्मक, ऋणात्मक या 0)
k
पूरे चक्करों की संख्या
f
sin, cos, sec, cosec (आवर्त 360∘), tan, cot (आवर्त 180∘)
याद रखेंबड़े कोण की चाल: कोण में 360 का सबसे बड़ा गुणज घटाइए और बचे हुए कोण का चतुर्थांश देखिए। जैसे 1230∘=3×360∘+150∘, यानी 1230∘ का मान 150∘ वाला। ऋणात्मक कोण में या तो 360∘ जोड़िए या ऊपर की सम-विषम तालिका लगाइए।
सावधानसावधान:A−720∘ जैसे व्यंजक में भी पूरे चक्कर हटते हैं, पर A+540∘ में 540∘=360∘+180∘ है, इसलिए केवल 360∘ हटाने पर भी 180∘ बचता है और sin, cos का चिह्न बदलता है। 540∘ को "180∘ का गुणज" मानकर चिह्न बदलना न भूलें।
उदाहरण 10 · आसान
sin(−750∘) का मान निकालिए।
हल, कदम-दर-कदम
1ऋणात्मक कोण में पूरे चक्कर जोड़िए: −750∘+720∘=−30∘ (दो चक्कर, मान नहीं बदलता)।
2अब sin विषम है: sin(−30∘)=−sin30∘=−21।
उत्तर−21
जाँच दूसरे तरीके से: −750∘+1080∘=330∘, चतुर्थांश IV में sin ऋणात्मक, संदर्भ कोण 30∘: −21 ✓।
उदाहरण 11 · मध्यम
cos1140∘⋅tan(−1035∘) का मान निकालिए।
हल, कदम-दर-कदम
11140∘=3×360∘+60∘, इसलिए cos1140∘=cos60∘=21।
2tan का आवर्त 180∘ है: 1035∘=5×180∘+135∘, इसलिए tan(−1035∘)=tan(−135∘)।
3tan(−135∘)=−tan135∘, और tan135∘=tan(180∘−45∘)=−1 (चतुर्थांश II में tan ऋणात्मक)। इसलिए tan(−135∘)=+1।
4गुणनफल =21×1=21।
उत्तर21
पहले दोनों कोण अलग-अलग छोटे कीजिए, फिर गुणा।
उदाहरण 12 · कठिन
सरल कीजिए: cos(A−720∘)⋅sin(A+900∘)⋅tan(A−540∘)
हल, कदम-दर-कदम
1cos(A−720∘): 720∘ दो पूरे चक्कर हैं, इसलिए =cosA।
2sin(A+900∘): 900∘=720∘+180∘। दो चक्कर हटाइए: sin(A+180∘)=−sinA (चतुर्थांश III में sin ऋणात्मक)।
3tan(A−540∘): tan का आवर्त 180∘ है और 540∘=3×180∘, इसलिए =tanA।
4गुणनफल =cosA⋅(−sinA)⋅cosAsinA=−sin2A।
उत्तर−sin2A
सावधान:sin का आवर्त 360∘ है, 180∘ नहीं। केवल tan, cot को 180∘ के गुणज हटाने की छूट है।
घूमते बिंदु से sin और cos का ग्राफ बनना, उनकी सममितियाँ और ग्राफ से कोणों की तुलना व हल गिनना।
विचार
ग्राफ वह चित्र है जो हमें हर कोण का मान एक साथ दिखाता है। x-अक्ष पर कोण θ और ऊँचाई पर sinθ रखिए। चित्र में बाएँ वृत्त पर गुलाबी बिंदु घूमता है; उसकी ऊँचाई (केसरिया खंड) ही दाएँ ग्राफ की ऊँचाई बनती है। जैसे-जैसे बिंदु घूमता है, ग्राफ एक लहर के रूप में खिंचता चला जाता है।
◭ चित्रचित्र: वृत्त पर घूमते बिंदु की ऊँचाई केसरिया रंग में ग्राफ की ऊँचाई बन जाती है; 360∘ बाद लहर दोहराती है।
गुण
y=sinθ
y=cosθ
अधिकतम / न्यूनतम
1 (θ=90∘) / −1 (θ=270∘)
1 (θ=0∘, 360∘) / −1 (θ=180∘)
शून्य (ग्राफ अक्ष को छूता है)
0∘,180∘,360∘
90∘,270∘
आवर्त
360∘
360∘
सममिति
θ=90∘ की रेखा के दोनों ओर समान: sin(180∘−θ)=sinθ
θ=180∘ की रेखा के दोनों ओर समान: cos(360∘−θ)=cosθ
बढ़ना
0∘–90∘, 270∘–360∘
180∘–360∘
रिश्ता:cosθ का ग्राफ sinθ के ग्राफ को 90∘ बाईं ओर खिसकाने से मिलता है, क्योंकि cosθ=sin(90∘+θ)। इसीलिए दोनों लहरें एक-सी हैं, बस आगे-पीछे।
◭ चित्रचित्र: sin (केसरिया) और cos (गुलाबी) एक साथ। पृष्ठभूमि के रंग चतुर्थांश हैं। केसरिया बिंदु θ, 180∘−θ (समान ऊँचाई) और 180∘+θ, 360∘−θ (उतनी ही गहराई) दिखाते हैं।
याद रखेंग्राफ से सोचिए: कोणों की तुलना में पहले हर कोण को संदर्भ कोण पर ले आइए (सममिति से), फिर देखिए 0∘ से 90∘ में sin बढ़ता है और cos घटता है। sin100∘ और sin80∘ बराबर हैं, पर cos100∘ और cos80∘ विपरीत चिह्न के।
उदाहरण 13 · आसान
sin20∘, sin130∘, sin100∘, sin170∘ को छोटे से बड़े क्रम में लिखिए।
हल, कदम-दर-कदम
1sin की सममिति: sinθ=sin(180∘−θ)। इसलिए sin130∘=sin50∘, sin100∘=sin80∘, sin170∘=sin10∘।
2अब चारों कोण 0∘–90∘ में हैं (10, 20, 50, 80), जहाँ sin बढ़ता है, इसलिए कोण का क्रम ही मान का क्रम है।
उत्तरsin170∘<sin20∘<sin130∘<sin100∘
170∘ सबसे बड़ा कोण है, पर उसका sin सबसे छोटा है — यही सममिति का असर है।
उदाहरण 14 · मध्यम
0∘≤x≤360∘ में sinx=31 के कितने हल हैं? वे किस रूप में लिखे जाते हैं?
हल, कदम-दर-कदम
1रेखा y=31 खींचिए (अक्ष से थोड़ी ऊपर)। यह sin की लहर को 0∘–180∘ वाले उभार पर दो बिंदुओं पर काटती है, नीचे वाले भाग को नहीं छूती।
2दोनों बिंदु 90∘ की रेखा के आर-पार दर्पण-जोड़ी हैं: यदि एक हल α है (न्यून, α=sin−131) तो दूसरा 180∘−α।
उत्तर2 हल: α और 180∘−α
धनात्मक sin के हल चतुर्थांश I और II में, ऋणात्मक के III और IV में।
उदाहरण 15 · मध्यम
0∘≤x≤720∘ में cosx=0 के कितने हल हैं?
हल, कदम-दर-कदम
1cos का ग्राफ हर चक्कर (360∘) में अक्ष को दो बार काटता है: 90∘ और 270∘ पर।
2720∘ में दो चक्कर हैं, इसलिए हल 90∘, 270∘, 450∘, 630∘: कुल 4।
उत्तर4
हर चक्कर के हल गिनिए, फिर चक्करों की संख्या से गुणा कीजिए।
अभ्यास
आसानपहले खुद करके देखें
sinx का अधिकतम मान और वह कोण जहाँ यह मिलता है (0∘≤x≤360∘):
आसानपहले खुद करके देखें
0∘≤x≤360∘ में cosx=−21 के कितने हल हैं?
मध्यमपहले खुद करके देखें
0∘≤x≤720∘ में sinx=1 कितनी बार होता है?
मध्यमपहले खुद करके देखें
0∘≤x≤360∘ में sinx=cosx के कितने हल हैं?
मध्यमपहले खुद करके देखें
cos10∘, cos100∘, cos190∘, cos280∘ में सबसे बड़ा कौन है?
मध्यमपहले खुद करके देखें
0∘≤x≤360∘ के किस सीमा में sinx और cosx दोनों ऋणात्मक हैं?
कठिनपहले खुद करके देखें
θ और 180∘−θ के बीच कौन-सा कथन सदा सही है (0∘<θ<90∘)?
2
पूरक कोण (A+B=90∘)
नियम · श्रेणी-योग
जब दो कोणों का जोड़ 90∘ हो: अनुपात बदलने के नियम और sin2, cos2 श्रेणियों के योग।
पूरक कोण: A+B=90∘ के नियम
sinA=cosB · tanAtanB=1
जब दो कोणों का योग 90∘ हो तो अनुपात कैसे बदलते हैं और उनके गुणनफल व वर्गों के योग।
🔒
यह भाग All Access में शामिल है।
पास लेने पर इस अध्याय के सारे उदाहरण, अभ्यास प्रश्न और हल खुल जाएँगे।
Free All Access Passevery mind map · Hindi + English · 12 months
00Days
00Hours
00Min
00Sec
Notes worth nearly ₹10,000, free for a limited time
लगभग ₹10,000 के नोट्स, सीमित समय के लिए मुफ़्त
FREE12 months
Limited coupons: only 100 students get the free pass
सीमित कूपन: केवल 100 विद्यार्थियों को मिलेगा मुफ़्त पास94 of 100 left100 में से 94 पास बचे हैं
Free in return for an honest review. Use the notes, then tell other students what you think: good or bad, we publish it, and it is marked as written with free access.
ईमानदार रिव्यू के बदले मुफ़्त। नोट्स इस्तेमाल करें, फिर दूसरे विद्यार्थियों को अपनी राय बताएँ: अच्छी हो या बुरी, हम उसे छापेंगे।
All 53 other notes in our store together cost ₹9,850 at today's prices (स्टोर के बाकी 53 नोट्स का आज की क़ीमत पर कुल दाम ₹9,850).
1,267 chapters — Rajasthan GK, India GK, Maths, Reasoning, Science, Computer, English, Hindi
Short Tricks for Rajasthan GK and India GK, and every new chapter we add
No payment: your one-time code makes checkout ₹0. Sign in with a verified email to claim it