निर्देशांक ज्यामिति: सरल रेखाएँ

प्रतियोगी गणित · SSC CGL

5 भाग9 हल किए उदाहरण30 अभ्यास प्रश्न

पिछले अध्याय में हमने बिंदुओं से काम किया। अब पूरी सीधी रेखा को एक समीकरण से लिखेंगे। समीकरण एक नियम है: रेखा का हर बिंदु $(x, y)$ उसे संतुष्ट करता है और रेखा के बाहर का कोई बिंदु नहीं करता। उदाहरण के लिए नियम $2 x - y = 1$ में $(1, 1)$ , $(2, 3)$ और $(3, 5)$ सब बैठते हैं, और वे एक सीध में हैं। इस नियम की मदद से दो रेखाओं का मिलन, रेखाओं के बीच का कोण और बिंदु से दूरी सब निकल आते हैं।

◭ चित्र

रेखा

2 x - y = 1

: उस पर रखे हर बिंदु के निर्देशांक नियम को सही करते हैं (जैसे

(3, 5)

6 - 5 = 1

)।

सवाल	विधि
रेखा कितनी तिरछी है?	ढाल
रेखा का समीकरण क्या है?	रूप: $y = m x + c$ , बिंदु-ढाल, दो बिंदु, अंतःखंड
अक्षों के साथ कितना क्षेत्रफल घिरता है?	अंतःखंड त्रिभुज
दो रेखाएँ कहाँ मिलती हैं?	प्रतिच्छेदन
समांतर, लंब, बीच का कोण?	ढालों की तुलना
बिंदु से रेखा कितनी दूर?	लंबवत दूरी सूत्र

याद रखेंपिछले अध्याय के सूत्र (दूरी, मध्य-बिंदु, विभाजन, क्षेत्रफल) यहाँ भी काम आते हैं — उन्हें साथ रखिए। हर रेखा-प्रश्न में दो चीज़ें साफ़ लिखिए: रेखा का समीकरण और उस पर के बिंदु।

ढाल और समीकरण

तिरछापन ·

y = m x + c

· अंतःखंड

रेखा का ढाल, उसके समीकरण के रूप और अक्षों के साथ बने त्रिभुज।

रेखा को पहचानने के लिए दो बातें चाहिए: वह कितनी तिरछी है (ढाल) और वह कहाँ से गुज़रती है। यहीं से समीकरण बनता है।

ढाल (gradient)

m = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}} = tan θ

रेखा का तिरछापन: दो बिंदुओं से, कोण से और समीकरण से।

विचार

सीढ़ी की तिरछापन इस से नापी जाती है कि आड़ा जितना चलो, ऊपर कितना चढ़ते हैं। रेखा पर भी यही: दो बिंदुओं के बीच जितना ऊपर (या नीचे) गए, उसे जितना आड़ा गए उससे भाग दो। इस भागफल को ढाल $m$ कहते हैं। सीधी रेखा पर यह भागफल हर जोड़ी के बीच एक-सा रहता है, इसीलिए वह सीधी है। ढाल यह भी बताता है कि रेखा धन $X$ -अक्ष से कितने कोण पर झुकी है: $m = tan θ$ , जहाँ $θ$ को वामावर्त (घड़ी की उलटी दिशा में) नापते हैं।

◭ चित्र

A (1, 1)

से

B (5, 4)

: आड़ा 4 (हरा), ऊपर 3 (गुलाबी), इसलिए ढाल

\frac{3}{4}

; और कोण

θ

का

tan θ

भी यही है।

∑ सूत्र

m = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}} = tan θ

बिंदुओं

(x_{1}, y_{1})

(x_{2}, y_{2})

से गुज़रने वाली रेखा का ढाल

$m$: ढाल
$x_{1}, y_{1}$: पहले बिंदु के निर्देशांक
$x_{2}, y_{2}$: दूसरे बिंदु के निर्देशांक
$θ$: धन $X$ -अक्ष से वामावर्त कोण

∑ सूत्र

a x + b y = c \Rightarrow m = - \frac{a}{b}

समीकरण से ढाल

$a, b$: $x$ और $y$ के गुणांक
$c$: अचर पद

◭ चित्र

चार स्थितियाँ:

m > 0

(ऊपर चढ़ती, हरी),

m < 0

(नीचे उतरती, गुलाबी),

m = 0

(आड़ी, नीली), और खड़ी रेखा (बैंगनी) जिसका ढाल अपरिभाषित है क्योंकि आड़ा चलना शून्य है।

कोण $θ$	$0^{\circ}$	$3 0^{\circ}$	$4 5^{\circ}$	$6 0^{\circ}$	$9 0^{\circ}$	$12 0^{\circ}$	$13 5^{\circ}$	$15 0^{\circ}$
ढाल $m$	$0$	$\frac{1}{3}$	$1$	$3$	अपरिभाषित	$- 3$	$- 1$	$- \frac{1}{3}$

पहचानपहचान: “ढाल”, “झुकाव”, “

X

-अक्ष से कोण”, “

a x + b y = c

का ढाल”, “दो बिंदुओं से गुज़रने वाली रेखा”। एक ही रेखा पर तीन बिंदुओं के ढाल बराबर हों तो वे एक सीध में हैं। जाल: खड़ी रेखा (

x = k

) का ढाल नहीं होता, और आड़ी रेखा (

y = k

) का

0

।

कदम

दो बिंदु लिखिए, या समीकरण को $y = m x + c$ में बदलिए।
दोनों अंतर एक ही क्रम में निकालिए: $y_{2} - y_{1}$ और $x_{2} - x_{1}$ ।
भाग दीजिए; $x$ का अंतर शून्य हो तो रेखा खड़ी है।
कोण चाहिए तो $m = tan θ$ तालिका से मिलाइए; ऋण ढाल में $18 0^{\circ} -$ तीव्र कोण।

हल किए उदाहरण

उदाहरण 1 · आसान

बिंदुओं

P (- 2, 5)

और

Q (4, - 1)

से गुज़रने वाली रेखा का ढाल और झुकाव-कोण ज्ञात कीजिए।

हल, कदम-दर-कदम

1ऊपर-नीचे का बदलाव: $y_{2} - y_{1} = - 1 - 5 = - 6$ (6 नीचे उतरे)।
2आड़ा बदलाव: $x_{2} - x_{1} = 4 - (- 2) = 6$ ।
3 $m = \frac{- 6}{6} = - 1$ ।
4 $tan θ = - 1$ ऋण है, इसलिए $θ$ अधिक कोण है। $tan 4 5^{\circ} = 1$ , इसलिए $θ = 18 0^{\circ} - 4 5^{\circ} = 13 5^{\circ}$ ।

उत्तर $m = - 1$ , $θ = 13 5^{\circ}$

ऋण ढाल का कोण सदा

9 0^{\circ}

से बड़ा।

उदाहरण 2 · मध्यम

बिंदुओं

A (2, 3)

और

B (k, 7)

से गुज़रने वाली रेखा का ढाल

\frac{4}{3}

है।

k

ज्ञात कीजिए, और बताइए कि इसी रेखा पर

x = 8

पर

y

कितना होगा।

हल, कदम-दर-कदम

1ढाल का सूत्र: $\frac{7 - 3}{k - 2} = \frac{4}{3}$ , यानी $\frac{4}{k - 2} = \frac{4}{3}$ ।
2आड़ा गुणा: $4 \times 3 = 4 (k - 2)$ , यानी $k - 2 = 3$ और $k = 5$ ।
3रेखा पर ढाल हर जगह $\frac{4}{3}$ है। $A (2, 3)$ से $x = 8$ तक आड़ा चलना $6$ है, इसलिए ऊपर चढ़ना $\frac{4}{3} \times 6 = 8$ ।
4 $y = 3 + 8 = 11$ । जाँच: $(8, 11)$ और $A$ का ढाल $\frac{11 - 3}{8 - 2} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$ ✓।

उत्तर $k = 5$ , और $y = 11$

ढाल बताता है “हर 3 आगे, 4 ऊपर” — इसी से रेखा पर कहीं भी पहुँचिए।

उदाहरण 3 · कठिन

बिंदुओं

A (- 1, 2)

और

B (2, 2 + 33)

से गुज़रने वाली रेखा का

X

-अक्ष से झुकाव-कोण ज्ञात कीजिए। फिर उसी कोण पर

A

से गुज़रने वाली दूसरी रेखा की दिशा बताइए जो पहली से

9 0^{\circ}

पर हो।

हल, कदम-दर-कदम

1आड़ा बदलाव $2 - (- 1) = 3$ और ऊपर का बदलाव $(2 + 33) - 2 = 33$ ।
2 $m = \frac{3 3}{3} = 3$ । तालिका में $tan 6 0^{\circ} = 3$ , इसलिए $θ = 6 0^{\circ}$ ।
3दूसरी रेखा पहली से $9 0^{\circ}$ घुमी है, इसलिए उसका कोण $6 0^{\circ} + 9 0^{\circ} = 15 0^{\circ}$ है (धन $X$ -अक्ष से वामावर्त)।
4जाँच: $tan 15 0^{\circ} = - \frac{1}{3}$ और पहली का $3$ ; गुणनफल $3 \times (- \frac{1}{3}) = - 1$ — लंब रेखाओं का यही चिह्न है (आगे देखिए)।

उत्तर $6 0^{\circ}$ ; दूसरी रेखा $15 0^{\circ}$

ढाल में

3

आए तो

6 0^{\circ}

या

12 0^{\circ}

सोचिए।

स्वयं कीजिए

आसानपहले खुद करके देखें

बिंदुओं

(1, 3)

और

(5, 11)

से गुज़रने वाली रेखा का ढाल ज्ञात कीजिए।

आसानपहले खुद करके देखें

बिंदुओं

(- 4, 6)

और

(2, - 3)

से गुज़रने वाली रेखा का ढाल ज्ञात कीजिए।

आसानपहले खुद करके देखें

एक रेखा का ढाल

1

है। धन

X

-अक्ष से इसका झुकाव-कोण

θ

(वामावर्त नापा) कितना है?

मध्यमपहले खुद करके देखें

एक रेखा का ढाल

- 1

है। धन

X

-अक्ष से इसका झुकाव-कोण

θ

(वामावर्त नापा) कितना है?

मध्यमपहले खुद करके देखें

एक रेखा धन

X

-अक्ष से

12 0^{\circ}

का कोण बनाती है। उसका ढाल ज्ञात कीजिए।

मध्यमपहले खुद करके देखें

बिंदुओं

(3, - 2)

और

(k, 6)

से गुज़रने वाली रेखा का ढाल

2

है।

k

ज्ञात कीजिए।

मध्यमपहले खुद करके देखें

रेखा

5 x + 4 y = 20

का ढाल ज्ञात कीजिए।

मध्यमपहले खुद करके देखें

एक सड़क बिंदुओं

(- 6, - 5)

और

(3, - 2)

(हर खाना 1 मी) के बीच सीधी बनी है। उसका ढाल ज्ञात कीजिए।

कठिनपहले खुद करके देखें

एक रेखा का ढाल

- \frac{1}{3}

है। धन

X

-अक्ष से इसका झुकाव-कोण

θ

(वामावर्त नापा) कितना है?

कठिनपहले खुद करके देखें

रेखा

7 x - 3 y = 21

का ढाल ज्ञात कीजिए।

रेखा के समीकरण के रूप

y = m x + c

· बिंदु-ढाल · दो बिंदु · अंतःखंड

दी हुई जानकारी (ढाल, बिंदु, अंतःखंड) से रेखा का समीकरण बनाना और समीकरण से ढाल व अंतःखंड पढ़ना।

विचार

रेखा का समीकरण वह नियम है जो उसके हर बिंदु के $x$ और $y$ को जोड़ता है। चूँकि रेखा पर ढाल हर जगह एक-सा है, इसलिए रेखा के किसी भी बिंदु $(x, y)$ और एक जाने-पहचाने बिंदु $(x_{1}, y_{1})$ के बीच का ढाल $m$ ही रहेगा: $\frac{y - y _{1}}{x - x _{1}} = m$ । यही बिंदु-ढाल रूप है, और बाकी सब रूप इसी से बनते हैं। जो रूप चुनें, वह इस पर निर्भर है कि प्रश्न में क्या दिया है।

◭ चित्र

रेखा

y = \frac{2}{3} x + 1

: ढाल

\frac{2}{3}

(आड़ा 3 पर ऊपर 2) और

Y

-अक्ष पर कटान

c = 1

(बैंगनी)।

दिया है	रूप	समीकरण
ढाल $m$ और $Y$ -कटान $c$	ढाल-अंतःखंड	$y = m x + c$
ढाल $m$ और एक बिंदु $(x_{1}, y_{1})$	बिंदु-ढाल	$y - y_{1} = m (x - x_{1})$
दो बिंदु	दो-बिंदु	$y - y_{1} = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}} (x - x_{1})$
अक्षों पर कटान $a$ , $b$	अंतःखंड	$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$
सामान्य रूप	सामान्य	$a x + b y + c = 0$
अक्ष के समांतर		$x = k$ (खड़ी), $y = k$ (आड़ी)

यहाँ $m$ = ढाल, $c$ = $Y$ -अक्ष का कटान, $(x_{1}, y_{1})$ और $(x_{2}, y_{2})$ = रेखा के बिंदु, $a$ और $b$ = क्रमशः $X$ - और $Y$ -अक्ष के कटान।

◭ चित्र

अंतःखंड रूप: रेखा

X

-अक्ष को

a = 4

पर और

Y

-अक्ष को

b = - 3

पर काटती है, इसलिए

\frac{x}{4} + \frac{y}{- 3} = 1

, यानी

3 x - 4 y = 12

।

∑ सूत्र

a x + b y = c \Rightarrow m = - \frac{a}{b}, X -cut = \frac{c}{a}, Y -cut = \frac{c}{b}

सामान्य रूप से सब कुछ पढ़ना

$a, b$: $x$ और $y$ के गुणांक
$c$: दाईं ओर का अचर
$m$: ढाल

पहचानपहचान: “समीकरण ज्ञात कीजिए”, “रेखा जो … से गुज़रती है”, “अंतःखंड बराबर”, “अंतःखंडों का योग”। हर बार दिया हुआ बिंदु समीकरण में रखकर जाँच लीजिए। अंतःखंड का रूप तब चुनिए जब अक्षों पर कटान दिए हों; वह रेखा जो मूल बिंदु से जाए उसके अंतःखंड नहीं होते (

c = 0

)।

कदम

देखिए क्या दिया है और ऊपर की तालिका से रूप चुनिए।
दो बिंदु दिए हों तो पहले ढाल निकालिए, फिर बिंदु-ढाल लगाइए।
हर के भिन्न को गुणा करके हटाइए और $a x + b y = c$ रूप में लिखिए।
दिए बिंदुओं को रखकर जाँचिए।

हल किए उदाहरण

उदाहरण 4 · आसान

ढाल

- \frac{3}{4}

और

Y

-अक्ष पर अंतःखंड

5

वाली रेखा का समीकरण

a x + b y = c

रूप में लिखिए।

हल, कदम-दर-कदम

1ढाल-अंतःखंड रूप: $y = m x + c$ में $m = - \frac{3}{4}$ और $c = 5$ : $y = - \frac{3}{4} x + 5$ ।
2हर 4 हटाने के लिए 4 से गुणा: $4 y = - 3 x + 20$ ।
3 $x$ को बाईं ओर लाइए: $3 x + 4 y = 20$ ।
4जाँच: $Y$ -कटान: $x = 0$ पर $4 y = 20$ , $y = 5$ ✓; ढाल $- \frac{3}{4}$ ✓।

उत्तर $3 x + 4 y = 20$

y = m x + c

में

c

सीधे

Y

-कटान है।

उदाहरण 5 · मध्यम

बिंदुओं

(- 2, 3)

और

(4, - 5)

से गुज़रने वाली रेखा का समीकरण और उसके दोनों अंतःखंड ज्ञात कीजिए।

हल, कदम-दर-कदम

1ढाल: $m = \frac{- 5 - 3}{4 - ( - 2 )} = \frac{- 8}{6} = - \frac{4}{3}$ ।
2पहले बिंदु से बिंदु-ढाल: $y - 3 = - \frac{4}{3} (x + 2)$ ।
33 से गुणा: $3 y - 9 = - 4 x - 8$ , यानी $4 x + 3 y = 1$ ।
4जाँच दूसरे बिंदु से: $4 (4) + 3 (- 5) = 16 - 15 = 1$ ✓।
5अंतःखंड: $y = 0$ पर $x = \frac{1}{4}$ ; $x = 0$ पर $y = \frac{1}{3}$ ।

उत्तर $4 x + 3 y = 1$ ; $X$ -कटान $\frac{1}{4}$ , $Y$ -कटान $\frac{1}{3}$

दूसरे बिंदु से जाँच आपको पहले की गलती भी पकड़ाती है।

उदाहरण 6 · कठिन

बिंदु

(4, 3)

से गुज़रने वाली वह रेखा ज्ञात कीजिए जिसके दोनों अक्षों पर अंतःखंडों का योग 14 है।

हल, कदम-दर-कदम

1अंतःखंड रूप: $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ और शर्त $a + b = 14$ , इसलिए $b = 14 - a$ ।
2 $(4, 3)$ रेखा पर है: $\frac{4}{a} + \frac{3}{14 - a} = 1$ । हर हटाने पर $4 (14 - a) + 3 a = a (14 - a)$ ।
3खोलिए: $56 - a = 14 a - a^{2}$ , यानी $a^{2} - 15 a + 56 = 0$ , जो $(a - 7) (a - 8) = 0$ बनता है। $a = 7$ या $a = 8$ ।
4 $a = 7$ पर $b = 7$ : $\frac{x}{7} + \frac{y}{7} = 1$ , यानी $x + y = 7$ । $a = 8$ पर $b = 6$ : $\frac{x}{8} + \frac{y}{6} = 1$ , यानी $3 x + 4 y = 24$ ।
5जाँच: $4 + 3 = 7$ ✓ और $3 (4) + 4 (3) = 24$ ✓।

उत्तर $x + y = 7$ और $3 x + 4 y = 24$

“अंतःखंड बराबर” हो तो

a = b

लेकर

x + y = a

बनता है (अथवा रेखा मूल बिंदु से जा सकती है)।

स्वयं कीजिए

आसानपहले खुद करके देखें

बिंदु

(2, 5)

से गुज़रने वाली और ढाल

3

वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

मध्यमपहले खुद करके देखें

बिंदु

(- 3, 4)

से गुज़रने वाली और ढाल

- \frac{2}{3}

वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

आसानपहले खुद करके देखें

बिंदुओं

(1, 4)

और

(3, - 2)

से गुज़रने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

मध्यमपहले खुद करके देखें

बिंदुओं

(- 4, - 1)

और

(2, 5)

से गुज़रने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

मध्यमपहले खुद करके देखें

एक रेखा

X

-अक्ष को

5

पर और

Y

-अक्ष को

3

पर काटती है। उसका समीकरण ज्ञात कीजिए।

मध्यमपहले खुद करके देखें

एक रेखा

X

-अक्ष को

- 6

पर और

Y

-अक्ष को

4

पर काटती है। उसका समीकरण ज्ञात कीजिए।

मध्यमपहले खुद करके देखें

रेखा

6 x + 5 y = 30

का

Y

-अक्ष पर अंतःखंड ज्ञात कीजिए।

मध्यमपहले खुद करके देखें

रेखा

3 x - 4 y = 24

का

X

-अक्ष पर अंतःखंड ज्ञात कीजिए।

कठिनपहले खुद करके देखें

रेखा

5 x - 2 y = 10

का ढाल ज्ञात कीजिए।

कठिनपहले खुद करके देखें

बिंदु

(6, k)

रेखा

7 x + 3 y = 21

पर स्थित है।

k

ज्ञात कीजिए।

कठिनपहले खुद करके देखें

बिंदुओं

(- 5, 7)

और

(3, - 1)

से गुज़रने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए।

रेखा और अक्षों से बना त्रिभुज

क्षेत्रफल

= \frac{c ^{2}}{2∣ ab ∣}

रेखा $a x + b y = c$ के अंतःखंड, अक्षों से घिरा त्रिभुज और दो समांतर रेखाओं से बना समलंब चतुर्भुज।

विचार

रेखा $a x + b y = c$ अक्षों को $X$ -अक्ष पर $\frac{c}{a}$ और $Y$ -अक्ष पर $\frac{c}{b}$ पर काटती है। दोनों अक्ष परस्पर लंब हैं, इसलिए रेखा और अक्ष मिलकर एक समकोण त्रिभुज घेरते हैं जिसकी लंब भुजाएँ यही दो कटान हैं। अतः क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times \frac{c}{a} \times \frac{c}{b}$ है। यह इस अध्याय का सबसे तेज़ शॉर्टकट है: समीकरण से सीधे $\frac{c ^{2}}{2∣ ab ∣}$ , बिना चित्र बनाए।

◭ चित्र

रेखा

3 x + 5 y = 30

: कटान

\frac{30}{3} = 10

और

\frac{30}{5} = 6

, इसलिए क्षेत्रफल

\frac{1}{2} \times 10 \times 6 = 30

; शॉर्टकट

\frac{3 0 ^{2}}{2 \cdot 15} = 30

।

∑ सूत्र

Area = \frac{c ^{2}}{2∣ a b ∣}

रेखा

a x + b y = c

और दोनों अक्षों से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल

$a, b$: $x$ और $y$ के गुणांक
$c$: दाईं ओर का अचर ( $c \neq = 0$ )
$∣ ∣$: निरपेक्ष मान

अंतःखंड रूप $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ में क्षेत्रफल सीधे $\frac{1}{2} ∣ a b ∣$ है (यहाँ $a, b$ कटान हैं)। दो समांतर रेखाओं $a x + b y = c_{1}$ और $a x + b y = c_{2}$ का अक्षों के साथ बना समलंब चतुर्भुज बड़े त्रिभुज में से छोटा त्रिभुज घटाकर आता है: $\frac{∣ c _{2}^{2} - c _{1}^{2} ∣}{2∣ ab ∣}$ । कर्ण (रेखा का अक्षों के बीच का भाग) $a_{0}^{2} + b_{0}^{2}$ है, जहाँ $a_{0}, b_{0}$ कटान हैं।

◭ चित्र

समांतर रेखाएँ

2 x + 3 y = 12

(हरी) और

2 x + 3 y = 24

(नीली): त्रिभुज 12 और 48; बीच का समलंब चतुर्भुज

48 - 12 = 36

।

पहचानपहचान: “रेखा और अक्षों से घिरा क्षेत्रफल”, “दोनों निर्देशांक-अक्ष और रेखा”, “अंतःखंडों का गुणनफल”, “समलंब जो दो रेखाओं और अक्षों से बना”। सावधानी:

c = 0

हो तो रेखा मूल बिंदु से जाती है और कोई त्रिभुज नहीं बनता।

कदम

रेखा को $a x + b y = c$ रूप में लिखिए ( $c$ दाईं ओर)।
क्षेत्रफल $\frac{c ^{2}}{2∣ ab ∣}$ से निकालिए (या कटान $\frac{c}{a}$ , $\frac{c}{b}$ लेकर $\frac{1}{2} \times$ गुणनफल)।
दो समांतर रेखाएँ हों तो दोनों त्रिभुज निकालकर घटाइए।
क्षेत्रफल दिया हो तो $c^{2}$ के लिए उलटा हल कीजिए; $\pm$ का ध्यान रखिए।

हल किए उदाहरण

उदाहरण 7 · आसान

रेखा

4 x + 5 y = 40

और दोनों निर्देशांक-अक्षों से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल, कदम-दर-कदम

1 $X$ -कटान: $y = 0$ रखने पर $4 x = 40$ , $x = 10$ । $Y$ -कटान: $x = 0$ रखने पर $5 y = 40$ , $y = 8$ ।
2दोनों अक्ष लंब हैं, इसलिए कटान समकोण त्रिभुज की लंब भुजाएँ हैं।
3क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times 10 \times 8 = 40$ वर्ग इकाई।
4शॉर्टकट जाँच: $\frac{c ^{2}}{2∣ ab ∣} = \frac{1600}{2 \times 20} = 40$ ✓।

उत्तर 40 वर्ग इकाई

यदि समीकरण

4 x + 5 y = 40

को

\frac{x}{10} + \frac{y}{8} = 1

बना लें तो कटान सीधे दिख जाते हैं।

उदाहरण 8 · मध्यम

रेखाओं

5 x + 2 y = 20

5 x + 2 y = 40

और दोनों अक्षों से घिरे समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल, कदम-दर-कदम

1दोनों रेखाओं के $a = 5$ और $b = 2$ समान हैं, इसलिए वे समांतर हैं और अक्षों के साथ दो त्रिभुज बनाती हैं।
2छोटा त्रिभुज ( $c = 20$ ): $\frac{2 0 ^{2}}{2 \times 10} = \frac{400}{20} = 20$ ।
3बड़ा त्रिभुज ( $c = 40$ ): $\frac{4 0 ^{2}}{20} = \frac{1600}{20} = 80$ ।
4दोनों के बीच का भाग $80 - 20 = 60$ वर्ग इकाई है, जो समलंब चतुर्भुज है।

उत्तर 60 वर्ग इकाई

छोटा त्रिभुज चतुर्भुज के अंदर समाया है; इसीलिए घटाना है, जोड़ना नहीं।

उदाहरण 9 · कठिन

बिंदु

(2, 3)

से गुज़रने वाली वह रेखा ज्ञात कीजिए जो पहले चतुर्थांश में अक्षों के साथ 12 वर्ग इकाई का त्रिभुज बनाए।

हल, कदम-दर-कदम

1अंतःखंड रूप $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ लीजिए ( $a, b > 0$ )। क्षेत्रफल $\frac{1}{2} ab = 12$ , इसलिए $ab = 24$ ।
2 $(2, 3)$ रेखा पर है: $\frac{2}{a} + \frac{3}{b} = 1$ । $ab$ से गुणा करने पर $2 b + 3 a = ab = 24$ ।
3 $b = \frac{24}{a}$ रखिए: $\frac{48}{a} + 3 a = 24$ । $a$ से गुणा: $48 + 3 a^{2} = 24 a$ , यानी $a^{2} - 8 a + 16 = 0$ , यानी $(a - 4)^{2} = 0$ ।
4 $a = 4$ और $b = \frac{24}{4} = 6$ । रेखा $\frac{x}{4} + \frac{y}{6} = 1$ , यानी $3 x + 2 y = 12$ ।
5जाँच: $3 (2) + 2 (3) = 12$ ✓; क्षेत्रफल $\frac{1 2 ^{2}}{2 \times 6} = 12$ ✓।

उत्तर $3 x + 2 y = 12$ (केवल यही एक रेखा)

पूर्ण वर्ग आना बताता है कि 12 इस बिंदु के लिए सबसे छोटा संभव क्षेत्रफल है।

स्वयं कीजिए

आसानपहले खुद करके देखें

रेखा

3 x + 2 y = 12

और दोनों निर्देशांक-अक्षों से घिरे त्रिभुज का क्षेत्रफल (वर्ग इकाई) ज्ञात कीजिए।

आसानपहले खुद करके देखें

रेखा

5 x + 4 y = 20

मध्यमपहले खुद करके देखें

रेखा

2 x - 3 y = 12

मध्यमपहले खुद करके देखें

रेखाओं

3 x + 4 y = 12

3 x + 4 y = 24

और दोनों अक्षों से घिरे समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

मध्यमपहले खुद करके देखें

रेखा

\frac{x}{6} + \frac{y}{8} = 1

और दोनों अक्षों से बने त्रिभुज का परिमाप ज्ञात कीजिए।

मध्यमपहले खुद करके देखें

रेखा

2 x + 3 y = c

और दोनों अक्षों से बने त्रिभुज का क्षेत्रफल 12 वर्ग इकाई है (

c > 0

)।

c

ज्ञात कीजिए।

मध्यमपहले खुद करके देखें

रेखा

7 x + 2 y = 14

कठिनपहले खुद करके देखें

रेखाओं

4 x + 3 y = 24

4 x + 3 y = 36

और दोनों अक्षों से घिरे समलंब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

कठिनपहले खुद करके देखें

रेखा

\frac{x}{- 5} + \frac{y}{12} = 1

और दोनों अक्षों से बने त्रिभुज का परिमाप ज्ञात कीजिए।

दो रेखाएँ और रेखा-बिंदु

मिलन · समांतर · लंब · दूरी · प्रतिबिंब

दो रेखाओं के संबंध (मिलन, समांतर, लंब, कोण) और बिंदु का रेखा से संबंध (दूरी, पाद, प्रतिबिंब)।

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दो रेखाओं का मिलन

हल · समांतर या एक · संगामी · त्रिभुज

दो रेखाओं का प्रतिच्छेद-बिंदु, मिलने की शर्तें, तीन रेखाओं का संगामी होना और उनसे बना त्रिभुज।

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समांतर, लंब और रेखाओं के बीच का कोण

m_{1} = m_{2}

m_{1} m_{2} = - 1

tan θ

ढालों की तुलना से समांतर और लंब रेखाएँ, उनके समीकरण बनाना और दो रेखाओं के बीच का कोण।

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बिंदु से रेखा की दूरी

\frac{∣ a x _{1} + b y _{1} + c ∣}{a ^{2} + b ^{2}}

बिंदु से रेखा की लंबवत दूरी, दो समांतर रेखाओं की दूरी और बिंदु रेखा के किस ओर है।

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पाद और प्रतिबिंब

F = P - s (a, b)

P^{'} = 2 F - P

बिंदु से रेखा पर डाले लंब का पाद, रेखा में प्रतिबिंब, और प्रतिबिंब से दर्पण का समीकरण।

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त्रिभुज की रेखाएँ, क्षेत्र, मापांक

माध्यिका · असमिका ·

∣ x ∣

त्रिभुज की विशेष रेखाओं के समीकरण, असमिकाओं का क्षेत्र और $∣ x ∣, ∣ y ∣$ वाली आकृतियाँ।

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माध्यिका, ऊँचाई, लंब-समद्विभाजक

हर रेखा = दो जानकारियाँ

त्रिभुज की विशेष रेखाओं के समीकरण, परिकेंद्र और लंब-केंद्र, और दो रेखाओं के प्रतिच्छेद से गुज़रने वाली रेखा।

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रैखिक असमिकाओं का क्षेत्र

मूल बिंदु परीक्षण · छायांकन

असमिका $a x + b y \leq c$ का आधा-तल, छायांकन तय करना, कई असमिकाओं का साझा क्षेत्र और उसका क्षेत्रफल।

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मापांक ( $∣ x ∣$ , $∣ y ∣$ ) वाली आकृतियाँ

∣ x ∣ + ∣ y ∣ = k \Rightarrow 2 k^{2}

$∣ x ∣ + ∣ y ∣ = k$ , $\frac{∣ x ∣}{a} + \frac{∣ y ∣}{b} = 1$ , खिसकी हुई आकृतियाँ, आयत और पूर्णांक-बिंदुओं की गिनती।

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बिंदुपथ और वृत्त

नियम से आकृति · वृत्त

किसी नियम को मानने वाले बिंदु का पथ और वृत्त का समीकरण।

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बिंदुपथ और वृत्त का समीकरण

नियम

\to

समीकरण ·

(x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2}

बराबर दूरी का बिंदुपथ, रेखा से स्थिर दूरी, वृत्त का समीकरण, केंद्र-त्रिज्या, व्यास वाला वृत्त और स्पर्श।

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सार, मिश्रित अभ्यास, दोहराव

सारी विधियाँ एक जगह

सभी विधियों की एक-पृष्ठ तालिका, परीक्षा जैसे मिले-जुले प्रश्न और दोहराव।

सभी विधियों का सार

कब · क्या · कैसे

हर विधि: प्रश्न कैसे पहचानें और कौन-सा सूत्र लगाएँ।

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मिश्रित अभ्यास

परीक्षा जैसे प्रश्न · सभी विधियाँ

सभी विधियों के मिले-जुले प्रश्न; पहले पहचानिए कि कौन-सी विधि लगेगी।

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दोहराव

तेज़ प्रश्न और आम गलतियाँ

एक नज़र में सारे सूत्र और वे गलतियाँ जो नंबर कटवाती हैं।

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निर्देशांक ज्यामिति: सरल रेखाएँ

ढाल और समीकरण

ढाल (gradient)

विचार

कदम

हल किए उदाहरण

स्वयं कीजिए

रेखा के समीकरण के रूप

विचार

कदम

हल किए उदाहरण

स्वयं कीजिए

रेखा और अक्षों से बना त्रिभुज

विचार

कदम

हल किए उदाहरण

स्वयं कीजिए

दो रेखाएँ और रेखा-बिंदु

दो रेखाओं का मिलन

समांतर, लंब और रेखाओं के बीच का कोण

बिंदु से रेखा की दूरी

पाद और प्रतिबिंब

त्रिभुज की रेखाएँ, क्षेत्र, मापांक

माध्यिका, ऊँचाई, लंब-समद्विभाजक

रैखिक असमिकाओं का क्षेत्र

मापांक ( $∣ x ∣$ , $∣ y ∣$ ) वाली आकृतियाँ

बिंदुपथ और वृत्त

बिंदुपथ और वृत्त का समीकरण

सार, मिश्रित अभ्यास, दोहराव

सभी विधियों का सार

मिश्रित अभ्यास

दोहराव

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