म.स.प. और ल.स.प. — शब्द-प्रश्न

SSC CGL · CHSL · CPO — विधि-दर-विधि

4 भाग24 हल किए उदाहरण53 अभ्यास प्रश्न

पिछले अध्याय “म.स.प. और ल.स.प.” में हमने HCF और LCM निकालना और उनके आपसी संबंध सीखे। इस अध्याय में वही औज़ार कहानियों में लगाते हैं। हर प्रश्न में पहला काम एक ही है: कहानी का काम पहचानिए — क्या हम किसी चीज़ को बराबर टुकड़ों में बाँट रहे हैं (HCF), या कुछ चीज़ों के दोबारा मिलने / बनने का समय या आकार ढूँढ रहे हैं (LCM)?

कहानी में	विधि	यह अध्याय
सबसे बड़ी संख्या जिससे भाग देने पर एक-सा शेषफल बचे	अंतरों का HCF	शेषफल
सबसे बड़ी संख्या जिससे भाग देने पर दिए शेषफल बचें	(संख्या − शेषफल) का HCF	शेषफल
सबसे छोटी संख्या जिसे भाग देने पर शेषफल $r$ बचे	$L CM + r$ (या $L CM - g$ )	शेषफल
घंटियाँ, बत्तियाँ, धावक, गियर — दोबारा साथ	अंतरालों का LCM	साथ-साथ
सबसे बड़ी टाइल, सबसे लंबा टुकड़ा, सबसे कम समूह	HCF	काटना-बाँटना
सबसे छोटा वर्ग/घन, सबसे कम दूरी या धारिता	LCM	काटना-बाँटना

पहचानदो मुहावरे याद रखिए: “सबसे बड़ा … जो सबको बाँटे” ⟹ HCF। “सबसे छोटा … जिसे सब बाँटें” ⟹ LCM। बाक़ी सब इनके कपड़े हैं।

शेषफल वाले प्रश्न

सबसे बड़ी और सबसे छोटी संख्या

शेषफल को काटकर संख्या को पूरी-विभाज्य बनाने की चाल, और उसके सारे रूप।

शेषफल वाले प्रश्न डरावने लगते हैं पर सबमें एक ही चाल है: शेषफल को “काट” दीजिए — या अंतर लेकर, या घटाकर, या जोड़कर — ताकि संख्या पूरी-पूरी बँटने लगे। उसके बाद HCF (सबसे बड़ी संख्या के लिए) या LCM (सबसे छोटी के लिए) सीधे लगता है।

सबसे बड़ी संख्या: एक-सा शेषफल

N = H CF

(अंतरों का)

जब कई संख्याओं को भाग देने पर हर बार एक ही शेषफल बचे, तब सबसे बड़ा भाजक।

विचार

मान लीजिए कोई संख्या $N$ दो संख्याओं $a$ और $b$ को भाग देने पर दोनों बार शेषफल $r$ छोड़ती है: $a = N q_{1} + r$ और $b = N q_{2} + r$ । इन्हें घटाइए: $a - b = N (q_{1} - q_{2})$ — शेषफल $r$ कट गया, और अंतर पूरा $N$ का गुणज बन गया। इसलिए $N$ अंतर को बाँटता है। तीन संख्याएँ हों तो दोनों अंतरों को बाँटेगा। सबसे बड़ा $N$ चाहिए, तो अंतरों का HCF।

∑ सूत्र

N = H CF (∣ a - b ∣, ∣ b - c ∣, \dots)

सबसे बड़ी संख्या जिससे भाग देने पर हर बार शेषफल एक-सा बचे

$N$: माँगी गई संख्या (भाजक)
$a, b, c$: जिन संख्याओं को भाग दिया जा रहा है
$∣ a - b ∣$: दो संख्याओं का अंतर (बड़ी − छोटी)

ध्यान देंदो संख्याएँ हों तो अंतर ही सबसे बड़ा

N

है (उसका HCF वह स्वयं)। और शेषफल जानना हो तो

N

मिलने के बाद किसी भी संख्या को

N

से भाग देकर देखिए।

जाँचशेषफल हमेशा भाजक से छोटा होना चाहिए। अंतरों का HCF

N

से छोटा शेषफल देगा; जाँच के लिए एक भाग करके देख लीजिए।

कदम

संख्याओं को क्रम में लिखिए और पास-पास के अंतर निकालिए।
इन अंतरों का HCF निकालिए — वही $N$ है।
शेषफल पूछा हो तो किसी संख्या को $N$ से भाग देकर शेषफल निकालिए।
जाँचिए: हर संख्या में एक-सा शेषफल आता है और वह $N$ से छोटा है।

उदाहरण 1 · आसान

वह सबसे बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए जिससे 1232, 1771 और 2555 को भाग देने पर हर बार एक ही शेषफल बचता है।

हल, कदम-दर-कदम

1मान लीजिए वह संख्या $N$ है और हर बार शेषफल $r$ बचता है। तब हर दी हुई संख्या $= N \times (भागफल) + r$ । दो ऐसी संख्याओं का अंतर लेने पर $r$ कट जाता है, इसलिए अंतर $N$ का गुणज होता है।
2अंतर: 1771−1232=539, 2555−1771=784। $N$ इन सभी अंतरों को बाँटता है, और हमें सबसे बड़ा $N$ चाहिए, इसलिए $N = H CF (539, 784)$ ।
3 $539 = 7^{2} \times 11$ , $784 = 2^{4} \times 7^{2}$ ⟹ HCF $= 49$ ।
4जाँच: $1232 = 49 \times 25 + 7$ , $1771 = 49 \times 36 + 7$ , $2555 = 49 \times 52 + 7$ — हर बार शेषफल 7 है, और 7 < 49 (शेषफल भाजक से छोटा होना ही चाहिए)।

उत्तर 49

अंतर 539 और 784 ही नहीं, 49 उनके हर साझा गुणनखंड में सबसे बड़ा है।

उदाहरण 2 · मध्यम

वह सबसे बड़ी संख्या

N

है जिससे 1121, 1750 और 2416 को भाग देने पर हर बार एक ही शेषफल बचता है। वह शेषफल ज्ञात कीजिए।

हल, कदम-दर-कदम

1मान लीजिए वह संख्या $N$ है और हर बार शेषफल $r$ बचता है। तब हर दी हुई संख्या $= N \times (भागफल) + r$ । दो ऐसी संख्याओं का अंतर लेने पर $r$ कट जाता है, इसलिए अंतर $N$ का गुणज होता है।
2अंतर: 1750−1121=629, 2416−1750=666। $N$ इन सभी अंतरों को बाँटता है, और हमें सबसे बड़ा $N$ चाहिए, इसलिए $N = H CF (629, 666)$ ।
3 $629 = 17 \times 37$ , $666 = 2 \times 3^{2} \times 37$ ⟹ HCF $= 37$ ।
4जाँच: $1121 = 37 \times 30 + 11$ , $1750 = 37 \times 47 + 11$ , $2416 = 37 \times 65 + 11$ — हर बार शेषफल 11 है, और 11 < 37 (शेषफल भाजक से छोटा होना ही चाहिए)।
5शेषफल $= 1121 mod 37 = 11$ ।

उत्तर 11

शेषफल

N

से छोटा है — 11 < 37 — इसलिए

N

सही है।

उदाहरण 3 · मध्यम

वह सबसे बड़ी संख्या जिससे 1016, 1811 और 3030 को भाग देने पर हर बार एक-सा शेषफल बचे,

N

है।

N

के अंकों का योग ज्ञात कीजिए।

हल, कदम-दर-कदम

1मान लीजिए वह संख्या $N$ है और हर बार शेषफल $r$ बचता है। तब हर दी हुई संख्या $= N \times (भागफल) + r$ । दो ऐसी संख्याओं का अंतर लेने पर $r$ कट जाता है, इसलिए अंतर $N$ का गुणज होता है।
2अंतर: 1811−1016=795, 3030−1811=1219। $N$ इन सभी अंतरों को बाँटता है, और हमें सबसे बड़ा $N$ चाहिए, इसलिए $N = H CF (795, 1219)$ ।
3 $795 = 3 \times 5 \times 53$ , $1219 = 23 \times 53$ ⟹ HCF $= 53$ ।
4जाँच: $1016 = 53 \times 19 + 9$ , $1811 = 53 \times 34 + 9$ , $3030 = 53 \times 57 + 9$ — हर बार शेषफल 9 है, और 9 < 53 (शेषफल भाजक से छोटा होना ही चाहिए)।
5 $N = 53$ के अंकों का योग $= 5 + 3 = 8$ ।

उत्तर 8

जब कोई प्रश्न

N

का अंक-योग पूछे, तो पहले

N

ही निकालना है।

उदाहरण 4 · कठिन

वह सबसे बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए जिससे 1456 और 2128 को भाग देने पर हर बार एक ही शेषफल बचता है।

हल, कदम-दर-कदम

1मान लीजिए वह संख्या $N$ है और हर बार शेषफल $r$ बचता है। तब हर दी हुई संख्या $= N \times (भागफल) + r$ । दो ऐसी संख्याओं का अंतर लेने पर $r$ कट जाता है, इसलिए अंतर $N$ का गुणज होता है।
2अंतर: 2128−1456=672। $N$ इन सभी अंतरों को बाँटता है, और हमें सबसे बड़ा $N$ चाहिए, इसलिए $N = H CF (672)$ ।
3 $672 = 2^{5} \times 3 \times 7$ ⟹ HCF $= 672$ ।
4जाँच: $1456 = 672 \times 2 + 112$ , $2128 = 672 \times 3 + 112$ — हर बार शेषफल 112 है, और 112 < 672 (शेषफल भाजक से छोटा होना ही चाहिए)।

उत्तर 672

दो संख्याओं में अंतर ही

N

बन गया (672), क्योंकि शेषफल 112 उससे छोटा है।

आसानपहले खुद करके देखें

वह सबसे बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए जिससे 498, 826 और 1195 को भाग देने पर हर बार एक ही शेषफल बचता है।

आसानपहले खुद करके देखें

वह सबसे बड़ी संख्या

N

है जिससे 622, 1028 और 1463 को भाग देने पर हर बार एक ही शेषफल बचता है। वह शेषफल ज्ञात कीजिए।

मध्यमपहले खुद करके देखें

वह सबसे बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए जिससे 716, 1325 और 2108 को भाग देने पर हर बार एक ही शेषफल बचता है।

मध्यमपहले खुद करके देखें

वह सबसे बड़ी संख्या जिससे 715, 1323 और 1703 को भाग देने पर हर बार एक-सा शेषफल बचे,

N

है।

N

के अंकों का योग ज्ञात कीजिए।

कठिनपहले खुद करके देखें

वह सबसे बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए जिससे 1245, 2001 और 2865 को भाग देने पर हर बार एक ही शेषफल बचता है।

कठिनपहले खुद करके देखें

वह सबसे बड़ी संख्या

N

है जिससे 959, 1584 और 2459 को भाग देने पर हर बार एक ही शेषफल बचता है। वह शेषफल ज्ञात कीजिए।

मध्यमपहले खुद करके देखें

वह सबसे बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए जिससे 647, 1214 और 1718 को भाग देने पर हर बार एक ही शेषफल बचता है।

कठिनपहले खुद करके देखें

वह सबसे बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए जिससे 1601 और 2105 को भाग देने पर हर बार एक ही शेषफल बचता है।

सबसे बड़ी संख्या: दिए हुए शेषफल

N = H CF (a - r_{1}, b - r_{2}, \dots)

जब हर संख्या पर अलग शेषफल दिया हो, तब शेषफल घटाकर HCF।

विचार

अगर $N$ से $a$ को भाग देने पर शेषफल $r_{1}$ बचता है, तो $a - r_{1}$ को $N$ पूरा बाँटता है। इसी तरह $b - r_{2}$ को, और $c - r_{3}$ को। यानी शेषफल घटाते ही हर संख्या $N$ की गुणज बन जाती है। अब सवाल सीधा है: ये घटाई हुई संख्याएँ और सबसे बड़ा साझा भाजक — HCF।

∑ सूत्र

N N = H CF (a - r_{1}, b - r_{2}, c - r_{3}) > max (r_{1}, r_{2}, r_{3})

दिए हुए शेषफलों के साथ

$N$: माँगी गई संख्या
$a, b, c$: जिन संख्याओं को भाग दिया जा रहा है
$r_{1}, r_{2}, r_{3}$: उनके क्रमशः दिए हुए शेषफल

जाँचभाजक हमेशा सबसे बड़े शेषफल से बड़ा होना चाहिए। HCF इससे छोटा या बराबर आए, तो ऐसी संख्या नहीं बन सकती (या कोई छोटा भाजक देखना पड़ेगा)। परीक्षा में आम तौर पर यह शर्त पूरी रहती है।

याद रखेंअगर शेषफल 0 हो (“पूरा बँटे”) तो घटाना कुछ नहीं बदलता और यह सीधे संख्याओं का HCF है।

कदम

हर संख्या में से उसका शेषफल घटाइए।
घटी हुई संख्याओं का HCF निकालिए।
जाँचिए कि HCF सबसे बड़े शेषफल से बड़ा है।
हर संख्या को $N$ से भाग देकर शेषफल मिलाइए।

उदाहरण 5 · आसान

वह सबसे बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए जिससे 1084, 1885 और 2874 को भाग देने पर क्रमशः 3, 5, 7 शेषफल बचते हैं।

हल, कदम-दर-कदम

1अगर $N$ से भाग देने पर शेषफल क्रमशः 3, 5, 7 बचते हैं, तो हर संख्या में से उसका शेषफल घटाने पर वह $N$ से पूरी बँट जाएगी। इसलिए 1084−3=1081, 1885−5=1880, 2874−7=2867 सब $N$ के गुणज हैं।
2सबसे बड़ा $N$ इन संख्याओं का HCF है: $1081 = 23 \times 47$ , $1880 = 2^{3} \times 5 \times 47$ , $2867 = 47 \times 61$ ⟹ $N = 47$ ।
3एक बात पक्की कीजिए: भाजक शेषफलों से बड़ा होना चाहिए। 47 > 7 ✓। जाँच: $1084 = 47 \times 23 + 3$ , $1885 = 47 \times 40 + 5$ , $2874 = 47 \times 61 + 7$ ।

उत्तर 47

यहाँ तीनों संख्याएँ 47 की गुणज बनीं (1081, 1880, 2867) — यही कसौटी है।

उदाहरण 6 · मध्यम

वह सबसे बड़ी संख्या

N

है जिससे 1007, 1717 और 2430 को भाग देने पर क्रमशः 4, 6, 11 शेषफल बचते हैं।

N

के अंकों का योग ज्ञात कीजिए।

हल, कदम-दर-कदम

1अगर $N$ से भाग देने पर शेषफल क्रमशः 4, 6, 11 बचते हैं, तो हर संख्या में से उसका शेषफल घटाने पर वह $N$ से पूरी बँट जाएगी। इसलिए 1007−4=1003, 1717−6=1711, 2430−11=2419 सब $N$ के गुणज हैं।
2सबसे बड़ा $N$ इन संख्याओं का HCF है: $1003 = 17 \times 59$ , $1711 = 29 \times 59$ , $2419 = 41 \times 59$ ⟹ $N = 59$ ।
3एक बात पक्की कीजिए: भाजक शेषफलों से बड़ा होना चाहिए। 59 > 11 ✓। जाँच: $1007 = 59 \times 17 + 4$ , $1717 = 59 \times 29 + 6$ , $2430 = 59 \times 41 + 11$ ।
4 $N = 59$ के अंकों का योग $= 14$ ।

उत्तर 14

पूरा हल

N

पर रुका; अंक-योग उसके बाद का एक क़दम है।

उदाहरण 7 · कठिन

वह सबसे बड़ी संख्या

N

है जिससे 563, 1031 और 1469 को भाग देने पर क्रमशः 5, 8, 12 शेषफल बचते हैं। सभी भागफलों का योग ज्ञात कीजिए।

हल, कदम-दर-कदम

1अगर $N$ से भाग देने पर शेषफल क्रमशः 5, 8, 12 बचते हैं, तो हर संख्या में से उसका शेषफल घटाने पर वह $N$ से पूरी बँट जाएगी। इसलिए 563−5=558, 1031−8=1023, 1469−12=1457 सब $N$ के गुणज हैं।
2सबसे बड़ा $N$ इन संख्याओं का HCF है: $558 = 2 \times 3^{2} \times 31$ , $1023 = 3 \times 11 \times 31$ , $1457 = 31 \times 47$ ⟹ $N = 31$ ।
3एक बात पक्की कीजिए: भाजक शेषफलों से बड़ा होना चाहिए। 31 > 12 ✓। जाँच: $563 = 31 \times 18 + 5$ , $1031 = 31 \times 33 + 8$ , $1469 = 31 \times 47 + 12$ ।
4भागफल: 558÷31, 1023÷31, 1457÷31 ⟹ 18, 33, 47; योग $= 98$ ।

उत्तर 98

हर घटी हुई संख्या ÷

N

वही भागफल देता है जो असली भाग में आता।

आसानपहले खुद करके देखें

वह सबसे बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए जिससे 715, 1016 और 1546 को भाग देने पर क्रमशः 2, 4, 5 शेषफल बचते हैं।

आसानपहले खुद करके देखें

वह सबसे बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए जिससे 995 और 1573 को भाग देने पर क्रमशः 7, 15 शेषफल बचते हैं।

मध्यमपहले खुद करके देखें

वह सबसे बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए जिससे 944, 1819 और 2626 को भाग देने पर क्रमशः 6, 10, 13 शेषफल बचते हैं।

मध्यमपहले खुद करके देखें

वह सबसे बड़ी संख्या

N

है जिससे 1005, 1594 और 2593 को भाग देने पर क्रमशः 9, 17, 20 शेषफल बचते हैं।

N

के अंकों का योग ज्ञात कीजिए।

मध्यमपहले खुद करके देखें

वह सबसे बड़ी संख्या

N

है जिससे 663, 1163 और 1659 को भाग देने पर क्रमशः 3, 19, 31 शेषफल बचते हैं। सभी भागफलों का योग ज्ञात कीजिए।

कठिनपहले खुद करके देखें

वह सबसे बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए जिससे 1639, 2786 और 4712 को भाग देने पर क्रमशः 14, 36, 87 शेषफल बचते हैं।

कठिनपहले खुद करके देखें

वह सबसे बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए जिससे 788, 1484, 2272 और 3351 को भाग देने पर क्रमशः 12, 29, 41, 53 शेषफल बचते हैं।

मध्यमपहले खुद करके देखें

वह सबसे बड़ी संख्या ज्ञात कीजिए जिससे 1499, 2427 और 3711 को भाग देने पर क्रमशः 8, 13, 19 शेषफल बचते हैं।

कठिनपहले खुद करके देखें

वह सबसे बड़ी संख्या

N

है जिससे 985, 2062 और 3404 को भाग देने पर क्रमशः 6, 15, 22 शेषफल बचते हैं।

N

के अंकों का योग ज्ञात कीजिए।

सबसे छोटी संख्या: $L CM + r$ और $L CM - g$

शेषफल एक-सा, या हर बार उतनी ही कमी

जब छोटी संख्या पूछी जाए: एक-सा शेषफल हो तो LCM में जोड़ना, हर बार बराबर कमी हो तो LCM से घटाना।

विचार

हर भाजक पर शेषफल $r$ बचता हो, तो $N - r$ सभी भाजकों से पूरा बँटता है। यानी $N - r$ भाजकों का साझा गुणज है, और सबसे छोटी $N$ के लिए सबसे छोटा साझा गुणज — LCM। इसलिए $N = L CM + r$ । दूसरे रूप में, अगर हर बार शेषफल भाजक से ठीक $g$ कम हो ( $d - r = g$ ), तो $N + g$ सबसे पूरा बँटेगा और $N = L CM - g$ ।

∑ सूत्र

N N = L CM + r = L CM - g

पहला: हर बार शेषफल

r

; दूसरा: हर बार भाजक − शेषफल

= g

$N$: सबसे छोटी माँगी गई संख्या
$L CM$: सब भाजकों का LCM
$r$: हर बार एक-सा शेषफल
$g$: हर बार एक-सी कमी (भाजक − शेषफल)

शेषफल कैसे हैं?	संख्या
सब एक-से ( $r$ )	$L CM + r$
भाजक − शेषफल सब बराबर ( $g$ )	$L CM - g$
कोई शेषफल नहीं	$L CM$ का गुणज
“ $g$ जोड़ने पर पूरी बँटे”	$L CM - g$
“ $g$ घटाने पर पूरी बँटे”	$L CM + g$
कमी-कमी अलग-अलग	अगला नोड: क़दम-दर-क़दम विधि

यहाँ: $N$ = माँगी गई संख्या, $r$ = हर बार का शेषफल, $g$ = हर बार की कमी (भाजक − शेषफल)।

परंपराशेषफल

r

हर भाजक से छोटा होना चाहिए। और परंपरा से “सबसे छोटी संख्या” में

L CM + r

ली जाती है — संख्या

r

स्वयं भी तकनीकी रूप से शेषफल

r

देती है, पर उसे नहीं गिना जाता क्योंकि वह भाजकों से छोटी है।

कदम

देखिए: शेषफल सब बराबर हैं, या भाजक − शेषफल बराबर है?
सब भाजकों का LCM निकालिए।
उत्तर $L CM + r$ या $L CM - g$ ।
जाँचिए: हर भाजक से भाग देकर शेषफल मिलाइए।
“अगली संख्या” पूछी हो तो LCM और जोड़िए (संख्याएँ $L CM \times k + r$ हैं)।

उदाहरण 8 · आसान

वह सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जिसे 14, 16, 21 और 24 से भाग देने पर हर बार शेषफल 9 बचता है।

हल, कदम-दर-कदम

1हर भाजक से भाग देने पर शेषफल $9$ बचता है, इसलिए $N - 9$ हर भाजक से पूरा बँटता है — यानी वह भाजकों का साझा गुणज है।
2सबसे छोटी संख्या के लिए $N - 9$ सबसे छोटा साझा गुणज, यानी LCM, लें। $14 = 2 \times 7$ , $16 = 2^{4}$ , $21 = 3 \times 7$ , $24 = 2^{3} \times 3$ ⟹ $L CM = 336$ ।
3 $N = 336 + 9 = 345$ । जाँच: 345÷14 में शेषफल 9; 345÷16 में शेषफल 9; 345÷21 में शेषफल 9; 345÷24 में शेषफल 9।

उत्तर 345

शेषफल 9 सबसे छोटे भाजक 14 से छोटा है, इसलिए ठीक है।

उदाहरण 9 · मध्यम

वह सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जिसे 8, 12, 20 और 30 से भाग देने पर क्रमशः 5, 9, 17, 27 शेषफल बचते हैं।

हल, कदम-दर-कदम

1शेषफल अलग-अलग हैं, पर देखिए भाजक − शेषफल: 8−5=3, 12−9=3, 20−17=3, 30−27=3 — हर बार 3 एक-सा है। यानी हर भाग में संख्या ठीक 3 कम पड़ती है।
2इसलिए $N + 3$ हर भाजक से पूरा बँटेगा। सबसे छोटा $N + 3$ = LCM $= 120$ ( $8 = 2^{3}$ , $12 = 2^{2} \times 3$ , $20 = 2^{2} \times 5$ , $30 = 2 \times 3 \times 5$ )।
3 $N = 120 - 3 = 117$ । जाँच: 117÷8 में शेषफल 5; 117÷12 में शेषफल 9; 117÷20 में शेषफल 17; 117÷30 में शेषफल 27।

उत्तर 117

शेषफल 5, 9, 17, 27 अलग-अलग दिखते हैं, पर कमी हर बार 3 है — यही चाल है।

उदाहरण 10 · मध्यम

9000 में कम से कम कौन-सी संख्या जोड़ें कि योग 16, 24 और 36 से पूरा विभाजित हो जाए?

हल, कदम-दर-कदम

1जो संख्या 16, 24 और 36 सब से पूरी बँटे, वह उनके LCM का गुणज होगी। $L CM = 144$ ।
29000 को 144 से भाग देने पर: $9000 = 144 \times 62 + 72$ — शेषफल 72।
3अगले गुणज तक पहुँचने के लिए $144 - 72 = 72$ जोड़ना होगा: $9000 + 72 = 9072 = 144 \times 63$ ।

उत्तर 72

जोड़ने की संख्या = LCM − शेषफल; घटाने की संख्या केवल शेषफल।

उदाहरण 11 · मध्यम

वह सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जिसमें 8 जोड़ने पर वह 15, 20 और 24 से पूरी विभाजित हो जाए।

हल, कदम-दर-कदम

1संख्या $N$ में 8 जोड़ने पर $N + 8$ सब भाजकों से पूरा बँटना चाहिए, यानी वह भाजकों का साझा गुणज है। सबसे छोटी $N$ के लिए $N + 8$ सबसे छोटा साझा गुणज, यानी LCM, लें।
2 $15 = 3 \times 5$ , $20 = 2^{2} \times 5$ , $24 = 2^{3} \times 3$ ⟹ $L CM = 120$ ।
3 $N + 8 = 120$ ⟹ $N = 120 - 8 = 112$ । जाँच: 112+8=120, और 120 को हर भाजक से भाग देने पर 8, 6, 5 — सब पूर्ण संख्याएँ।

उत्तर 112

“8 जोड़ने पर पूरी बँटे” वही कमी वाला रूप है:

N + 8

= LCM ⟹

N = L CM - 8

। घटाने वाले रूप में

N - 8

= LCM ⟹

N = L CM + 8

।

उदाहरण 12 · कठिन

200 से 2000 तक (दोनों सहित) कितनी संख्याएँ ऐसी हैं जिन्हें 9, 12 और 15 से भाग देने पर हर बार शेषफल 5 बचता है?

हल, कदम-दर-कदम

1ऐसी हर संख्या $180 k + 5$ के रूप की है, जहाँ $L CM = 180$ ।
2 $200 \leq 180 k + 5 \leq 2000$ ⟹ $1.08 \leq k \leq 11.08$ , इसलिए $k$ के पूर्ण मान 2 से 11 तक।
3ऐसे $k$ 11−2+1=10 हैं, इसलिए 10 संख्याएँ।

उत्तर 10

सारी ऐसी संख्याएँ

180 k + 5

हैं, इसलिए गिनती

k

के मानों की गिनती है।

आसानपहले खुद करके देखें

वह सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जिसे 10, 15 और 24 से भाग देने पर हर बार शेषफल 4 बचता है।

आसानपहले खुद करके देखें

वह सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जिसे 6, 10 और 14 से भाग देने पर क्रमशः 5, 9, 13 शेषफल बचते हैं।

मध्यमपहले खुद करके देखें

वह सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जिसे 14, 21, 28 और 35 से भाग देने पर हर बार शेषफल 9 बचता है।

मध्यमपहले खुद करके देखें

12345 में से कम से कम कौन-सी संख्या घटाएँ कि शेष 8, 12 और 15 से पूरा विभाजित हो जाए?

मध्यमपहले खुद करके देखें

वह दूसरी सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जिसे 6, 8, 9 और 12 से भाग देने पर हर बार शेषफल 4 बचता है (सबसे छोटी पहली मानकर)।

कठिनपहले खुद करके देखें

वह सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जिसे 9, 15, 21 और 27 से भाग देने पर क्रमशः 5, 11, 17, 23 शेषफल बचते हैं।

कठिनपहले खुद करके देखें

500 से 5000 तक (दोनों सहित) कितनी संख्याएँ ऐसी हैं जिन्हें 8, 10 और 12 से भाग देने पर हर बार शेषफल 3 बचता है?

मध्यमपहले खुद करके देखें

वह सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जिसमें 7 जोड़ने पर वह 12, 18 और 21 से पूरी विभाजित हो जाए।

मध्यमपहले खुद करके देखें

वह सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जिसमें 9 घटाने पर वह 10, 16 और 24 से पूरी विभाजित हो जाए।

अतिरिक्त शर्त और अलग-अलग कमी

N = L k \pm

और

k

आज़माना

जब संख्या किसी और संख्या से भी पूरी बँटे, या हर शेषफल की कमी अलग हो, तब क़दम-दर-क़दम खोज।

विचार

पिछली विधि हमें संख्याओं का पूरा परिवार देती है: $N = L k + r$ (या $L k - g$ ), $k = 1, 2, 3, \dots$ — यानी हर अगली संख्या पिछली से $L$ आगे। अब कोई और शर्त आए (जैसे “ $m$ से पूरी बँटे”) तो इसी परिवार में $k = 1, 2, 3, \dots$ रखकर पहला सदस्य ढूँढते हैं। $L$ को $m$ से भाग देकर शेषफल $ρ$ देखें तो $m$ से भाग के लिए संख्या $ρ k + r$ जैसा व्यवहार करती है; इसलिए ज़्यादा से ज़्यादा $m$ बार आज़माना पड़ता है।

∑ सूत्र

N N m = L k + r = L k - g ∣ N

k = 1, 2, 3, \dots

आज़माइए;

m

से पूरा बँटने वाला पहला

k

$N$: माँगी गई संख्या
$L$: भाजकों का LCM
$k$: गिनती का क्रम $1, 2, 3, \dots$
$r, g$: एक-सा शेषफल या एक-सी कमी
$m$: वह अतिरिक्त संख्या जिससे $N$ पूरी बँटनी है

अलग-अलग कमी हो (जैसे $7$ से भाग देने पर 3 और $8$ से भाग देने पर 5 शेष) तो LCM − कुछ वाली चाल नहीं चलती। तब बड़े भाजक की शर्त की संख्याएँ ( $8 j + 5$ : 5, 13, 21, …) लिखिए और उनमें दूसरी शर्त ढूँढिए। पहली बार जो मिले वही सबसे छोटी; उसके बाद सारी संख्याएँ LCM जोड़ने से।

जालहमेशा

k = 1

से शुरू कीजिए,

k = 0

से नहीं (वह संख्या स्वयं शेषफल होगी)। अगर

ρ

और

m

में साझा गुणनखंड हो तो हो सकता है कोई हल ही न बने — तब

m

और LCM का HCF देखिए।

कदम

सामान्य रूप लिखिए: $L k + r$ (या $L k - g$ )।
$L mod m$ निकालिए और $k = 1, 2, 3, \dots$ रखकर हर बार $m$ से भाग का शेषफल देखिए।
पहला $k$ जिस पर शेषफल 0 आए, वही उत्तर: $N = L k \pm \dots$ ।
अलग-अलग कमी हो तो बड़े भाजक की सूची बनाकर छोटे भाजक की शर्त जाँचिए।

उदाहरण 13 · आसान

वह सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जिसे 4, 6, 9 और 10 से भाग देने पर हर बार शेषफल 3 बचता है, पर जो 11 से पूरी विभाजित हो।

हल, कदम-दर-कदम

1हर भाजक से शेषफल 3 बचता है, इसलिए संख्या $180 k + 3$ के रूप की है, जहाँ $L CM (4, 6, 9, 10) = 180$ ( $k = 1, 2, \dots$ )।
2इसे 11 से पूरा विभाजित भी होना है। 180 को 11 से भाग देने पर शेषफल 4 बचता है, इसलिए 11 से भाग देते समय $180 k + 3$ का शेषफल वही है जो $4 k + 3$ का। इसे हम $k = 1, 2, 3, \dots$ रखकर परखते हैं।
3 $k = 1$ : 183 ÷ 11 में शेषफल 7; $k = 2$ : 363 ÷ 11 में शेषफल 0 ✓।
4पहली बार $k = 2$ पर पूरा विभाजन हुआ, इसलिए सबसे छोटी संख्या $180 \times 2 + 3 = 363$ ।

उत्तर 363

2 बार में काम बन गया —

m = 11

होने पर भी अधिकतम 11 बार देखना पड़ता।

उदाहरण 14 · मध्यम

वह सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जिसे 6, 8 और 12 से भाग देने पर क्रमशः 4, 6, 10 शेषफल बचते हैं, पर जो 7 से पूरी विभाजित हो।

हल, कदम-दर-कदम

1भाजक − शेषफल हर बार 2 है, इसलिए संख्या $24 k - 2$ के रूप की है, जहाँ $L CM (6, 8, 12) = 24$ ( $k = 1, 2, \dots$ )।
2इसे 7 से पूरा विभाजित भी होना है। 24 को 7 से भाग देने पर शेषफल 3 बचता है, इसलिए 7 से भाग देते समय $24 k - 2$ का शेषफल वही है जो $3 k - 2$ का। इसे हम $k = 1, 2, 3, \dots$ रखकर परखते हैं।
3 $k = 1$ : 22 ÷ 7 में शेषफल 1; $k = 2$ : 46 ÷ 7 में शेषफल 4; $k = 3$ : 70 ÷ 7 में शेषफल 0 ✓।
4पहली बार $k = 3$ पर पूरा विभाजन हुआ, इसलिए सबसे छोटी संख्या $24 \times 3 - 2 = 70$ ।

उत्तर 70

कमी वाले रूप में संख्या

L k - g

है — घटाना न भूलें।

उदाहरण 15 · मध्यम

वह सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जिसे 7 से भाग देने पर शेषफल 3 और 8 से भाग देने पर शेषफल 5 बचता है।

हल, कदम-दर-कदम

1यहाँ भाजक − शेषफल अलग-अलग है (7−3=4, 8−5=3), इसलिए “LCM − कुछ” वाली चाल नहीं चलेगी। हम एक शर्त की संख्याएँ लिखकर दूसरी जाँचते हैं।
2बड़े भाजक 8 की शर्त वाली संख्याएँ 5, 13, 21, … ( $8 j + 5$ ) लिखिए — इससे सूची छोटी रहती है।
3इन्हें 7 से भाग देकर शेषफल 3 ढूँढिए: 5→5, 13→6, 21→0, 29→1, 37→2, 45→3 ✓।
4सबसे छोटी संख्या 45 है। (आगे की सारी संख्याएँ 45 में $L CM = 56$ के गुणज जोड़कर मिलती हैं: 45, 101, …)

उत्तर 45

बड़े भाजक 8 की सूची छोटी रखती है: केवल 7 संख्याएँ जाँचनी पड़ेंगी।

उदाहरण 16 · कठिन

वह सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जिसे 5, 8 और 12 से भाग देने पर हर बार शेषफल 4 बचता है, पर जो 13 से पूरी विभाजित हो।

हल, कदम-दर-कदम

1हर भाजक से शेषफल 4 बचता है, इसलिए संख्या $120 k + 4$ के रूप की है, जहाँ $L CM (5, 8, 12) = 120$ ( $k = 1, 2, \dots$ )।
2इसे 13 से पूरा विभाजित भी होना है। 120 को 13 से भाग देने पर शेषफल 3 बचता है, इसलिए 13 से भाग देते समय $120 k + 4$ का शेषफल वही है जो $3 k + 4$ का। इसे हम $k = 1, 2, 3, \dots$ रखकर परखते हैं।
3 $k = 1$ : 124 ÷ 13 में शेषफल 7; $k = 2$ : 244 ÷ 13 में शेषफल 10; $k = 3$ : 364 ÷ 13 में शेषफल 0 ✓।
4पहली बार $k = 3$ पर पूरा विभाजन हुआ, इसलिए सबसे छोटी संख्या $120 \times 3 + 4 = 364$ ।

उत्तर 364

13 से भाग देने पर

120 mod 13 = 3

; इसलिए

3 k + 4

को 13 से पूरा बँटना है।

आसानपहले खुद करके देखें

वह सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जिसे 6, 9 और 15 से भाग देने पर हर बार शेषफल 2 बचता है, पर जो 7 से पूरी विभाजित हो।

आसानपहले खुद करके देखें

वह सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जिसे 5 से भाग देने पर शेषफल 3 और 7 से भाग देने पर शेषफल 4 बचता है।

मध्यमपहले खुद करके देखें

वह सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जिसे 10, 12 और 15 से भाग देने पर क्रमशः 7, 9, 12 शेषफल बचते हैं, पर जो 7 से पूरी विभाजित हो।

मध्यमपहले खुद करके देखें

वह सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जिसे 9 से भाग देने पर शेषफल 4 और 11 से भाग देने पर शेषफल 7 बचता है।

कठिनपहले खुद करके देखें

वह सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जिसे 8, 12 और 18 से भाग देने पर हर बार शेषफल 5 बचता है, पर जो 13 से पूरी विभाजित हो।

कठिनपहले खुद करके देखें

वह सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जिसे 9, 12 और 18 से भाग देने पर क्रमशः 5, 8, 14 शेषफल बचते हैं, पर जो 11 से पूरी विभाजित हो।

कठिनपहले खुद करके देखें

वह सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जिसे 12 से भाग देने पर शेषफल 7 और 13 से भाग देने पर शेषफल 9 बचता है।

मध्यमपहले खुद करके देखें

वह सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जिसे 12, 15 और 18 से भाग देने पर हर बार शेषफल 7 बचता है, पर जो 13 से पूरी विभाजित हो।

कठिनपहले खुद करके देखें

वह सबसे छोटी संख्या ज्ञात कीजिए जिसे 13 से भाग देने पर शेषफल 6 और 15 से भाग देने पर शेषफल 11 बचता है।

$n$ -अंकीय संख्याएँ

सबसे बड़ी / सबसे छोटी

n

-अंकीय

तय अंकों की सबसे बड़ी या सबसे छोटी संख्या जो LCM से जुड़ी शर्त पूरी करे, और ऐसी संख्याओं की गिनती।

विचार

सबसे बड़ी $n$ -अंकीय संख्या $99 \dots 9$ और सबसे छोटी $100 \dots 0$ है। $L CM = L$ के गुणज एक सीढ़ी की तरह फैले हैं: $L, 2 L, 3 L, \dots$ । सबसे बड़ी के लिए $99 \dots 9$ को $L$ से भाग देकर शेषफल घटाइए (सबसे ऊपर का गुणज मिला)। सबसे छोटी के लिए $100 \dots 0$ से ऊपर का पहला गुणज लीजिए (शेषफल हो तो $L$ में से उसे घटाकर जोड़िए)। शेषफल $r$ वाली संख्या के लिए इस गुणज में $r$ जोड़ें (या कमी $g$ हो तो $g$ घटाएँ) — और देखें कि संख्या फिर भी $n$ अंकों में है।

माँगा गया	क्या करें
सबसे बड़ी, पूरी बँटे	$9 \dots 9$ − ( $9 \dots 9 mod L$ )
सबसे छोटी, पूरी बँटे	$1 \dots 0$ के बाद का पहला $L$ का गुणज
सबसे बड़ी, शेषफल $r$	ऊपर वाला गुणज $+ r$ (बड़ा हो जाए तो $L$ घटाएँ)
सबसे छोटी, कमी $g$	पहला गुणज $- g$ (छोटा पड़े तो $L$ जोड़ें)
कितनी संख्याएँ	$⌊ 9 \dots 9/ L ⌋ - ⌊ 9 \dots 9_{(n - 1)} / L ⌋$

यहाँ: $L$ = भाजकों का LCM, $r$ = शेषफल, $g$ = हर बार की कमी, $9 \dots 9_{(n - 1)}$ = $(n - 1)$ अंकों की सबसे बड़ी संख्या।

जालसबसे आम चूक: गुणज में

r

जोड़ने पर संख्या

99 \dots 9

से ऊपर निकल जाती है (या

g

घटाने पर

100 \dots 0

से नीचे) — तब एक

L

पीछे/आगे हटिए।

कदम

भाजकों का LCM $L$ निकालिए।
सबसे बड़ी (या छोटी) $n$ -अंकीय संख्या को $L$ से भाग देकर शेषफल देखिए।
पास का गुणज निकालिए: ऊपर से घटाकर / नीचे से बढ़ाकर।
शेषफल $r$ जोड़िए या कमी $g$ घटाइए; सीमा पार हो तो एक $L$ हटिए।

उदाहरण 17 · आसान

वह सबसे बड़ी 4-अंकीय संख्या ज्ञात कीजिए जो 10, 14 और 21 से पूरी विभाजित हो।

हल, कदम-दर-कदम

1संख्या 10, 14 और 21 सबसे पूरी बँटनी चाहिए, यानी वह $L CM = 210$ का गुणज हो ( $10 = 2 \times 5$ , $14 = 2 \times 7$ , $21 = 3 \times 7$ )।
2सबसे बड़ी 4-अंकीय संख्या 9999 है। 9999 को 210 से भाग देने पर $9999 = 210 \times 47 + 129$ ।
39999 से नीचे का सबसे बड़ा 210 का गुणज $9999 - 129 = 9870$ है।
4इसलिए उत्तर 9870।

उत्तर 9870

सबसे बड़ी: 9999 से बचा हुआ 129 घटाया — ऊपर वाला गुणज मिल गया।

उदाहरण 18 · मध्यम

वह सबसे छोटी 5-अंकीय संख्या ज्ञात कीजिए जिसे 8, 10 और 12 से भाग देने पर हर बार शेषफल 3 बचे।

हल, कदम-दर-कदम

1शेषफल हर बार 3 है, इसलिए संख्या $120 k + 3$ के रूप की है, जहाँ $L CM = 120$ ( $8 = 2^{3}$ , $10 = 2 \times 5$ , $12 = 2^{2} \times 3$ )।
2सबसे छोटी 5-अंकीय संख्या 10000 है। $10000 = 120 \times 83 + 40$ ।
310000 के बाद का सबसे छोटा 120 का गुणज $10000 + 80 = 10080$ है।
4शेषफल जोड़िए: $10080 + 3 = 10083$ । यह 10000 से छोटा नहीं, इसलिए यही उत्तर है।

उत्तर 10083

सबसे छोटी: 10000 में से अगले गुणज तक का फ़ासला 80 जोड़ा।

उदाहरण 19 · मध्यम

वह सबसे बड़ी 4-अंकीय संख्या ज्ञात कीजिए जिसे 9 और 11 से भाग देने पर हर बार शेषफल 5 बचे।

हल, कदम-दर-कदम

1शेषफल हर बार 5 है, इसलिए संख्या $99 k + 5$ के रूप की है, जहाँ $L CM = 99$ ( $9 = 3^{2}$ , $11 = 11$ )।
2सबसे बड़ी 4-अंकीय संख्या 9999 है। 9999 को 99 से भाग देने पर $9999 = 99 \times 101 + 0$ ।
39999 से नीचे का सबसे बड़ा 99 का गुणज $9999 - 0 = 9999$ है।
4शेषफल जोड़ने पर $9999 + 5 = 10004$ आता है जो 9999 से बड़ा है — 4 अंकों में नहीं रहता। इसलिए एक 99 नीचे जाइए: $10004 - 99 = 9905$ ।

उत्तर 9905

गुणज 9999 है; उसमें 5 जोड़ें तो 4 अंकों से बाहर — इसलिए 99 पीछे हटे।

उदाहरण 20 · कठिन

वह सबसे छोटी 4-अंकीय संख्या ज्ञात कीजिए जिसे 8 और 25 से भाग देने पर क्रमशः 6, 23 शेषफल बचें।

हल, कदम-दर-कदम

1भाजक − शेषफल हर बार 2 है, इसलिए संख्या $200 k - 2$ के रूप की है, जहाँ $L CM = 200$ ( $8 = 2^{3}$ , $25 = 5^{2}$ )।
2सबसे छोटी 4-अंकीय संख्या 1000 है। $1000 = 200 \times 5 + 0$ ।
31000 के बाद का सबसे छोटा 200 का गुणज 1000 है।
42 घटाने पर $1000 - 2 = 998$ आता है जो 1000 से छोटा है — 4 अंकों का नहीं रहता। इसलिए अगला गुणज लीजिए: $1200 - 2 = 1198$ ।

उत्तर 1198

पहला गुणज 1000 है; 2 घटाने पर 998 आया — 3 अंकों का। इसलिए अगला गुणज 1200।

आसानपहले खुद करके देखें

वह सबसे बड़ी 3-अंकीय संख्या ज्ञात कीजिए जो 8, 12 और 15 से पूरी विभाजित हो।

आसानपहले खुद करके देखें

वह सबसे छोटी 4-अंकीय संख्या ज्ञात कीजिए जो 9, 14 और 21 से पूरी विभाजित हो।

मध्यमपहले खुद करके देखें

कितनी 4-अंकीय संख्याएँ 12, 18 और 30 से पूरी विभाजित होती हैं?

मध्यमपहले खुद करके देखें

वह सबसे बड़ी 4-अंकीय संख्या ज्ञात कीजिए जिसे 16, 20 और 24 से भाग देने पर क्रमशः 10, 14, 18 शेषफल बचें।

मध्यमपहले खुद करके देखें

वह सबसे छोटी 5-अंकीय संख्या ज्ञात कीजिए जिसे 8 और 25 से भाग देने पर क्रमशः 6, 23 शेषफल बचें।

कठिनपहले खुद करके देखें

वह सबसे बड़ी 5-अंकीय संख्या ज्ञात कीजिए जिसे 14, 21 और 35 से भाग देने पर हर बार शेषफल 11 बचे।

कठिनपहले खुद करके देखें

कितनी 5-अंकीय संख्याएँ 14, 21 और 35 से पूरी विभाजित होती हैं?

मध्यमपहले खुद करके देखें

वह सबसे छोटी 3-अंकीय संख्या ज्ञात कीजिए जिसे 12, 18 और 24 से भाग देने पर क्रमशः 7, 13, 19 शेषफल बचें।

कठिनपहले खुद करके देखें

वह सबसे बड़ी 4-अंकीय संख्या ज्ञात कीजिए जिसे 12, 16 और 20 से भाग देने पर हर बार शेषफल 9 बचे।

पूर्ण वर्ग और पूर्ण घन

घातें 2 (या 3) की गुणज बनाइए

LCM को पूर्ण वर्ग या घन बनाने के लिए कितने से गुणा या भाग दें।

विचार

पूर्ण वर्ग के अभाज्य गुणनखंडों में हर अभाज्य की घात सम होती है ( $36 = 2^{2} \times 3^{2}$ ), और पूर्ण घन में हर घात 3 की गुणज ( $216 = 2^{3} \times 3^{3}$ )। इसलिए “सबसे छोटा पूर्ण वर्ग जो इन संख्याओं से बँटे” का हल है: पहले LCM लीजिए, फिर उसके हर अभाज्य की घात को सम बनाने के लिए जितना कम पड़े उतना गुणा कीजिए। “किस संख्या से गुणा/भाग दें कि वर्ग बने” में भी यही — जो अभाज्य अधूरे हैं उन्हें पूरा कीजिए या फालतू हटाइए।

∑ सूत्र

N M = \prod p^{e} = \prod p^{(- e) mod s}

गुणा करके पूर्ण वर्ग/घन बनाना

$p$: $N$ का अभाज्य गुणनखंड
$e$: $N$ में $p$ की घात
$s$: वर्ग के लिए 2, घन के लिए 3
$M$: वह सबसे छोटा गुणक जिससे $N$ को गुणा करने पर पूर्ण वर्ग/घन बनता है
$(- e) mod s$: घात को $s$ का गुणज बनाने के लिए जितनी और चाहिए

भाग देकर बनाना हो तो फालतू घात $e mod s$ हटाइए। और “सबसे छोटा $n$ -अंकीय पूर्ण वर्ग जो इनसे बँटे”: सबसे छोटा ऐसा वर्ग $S_{0} = L CM \times (\dots)$ निकालिए, तब सारे ऐसे वर्ग $S_{0} \times j^{2}$ ( $j = 1, 2, 3, \dots$ ) हैं — पहला $j$ ढूँढिए जिससे $n$ अंक पूरे हों।

जालअगर LCM पहले से पूर्ण वर्ग है (जैसे 36) तो उत्तर वही है — गुणक 1 है। और एकाकी अभाज्य (

2^{1}

) को वर्ग बनाने के लिए एक और 2 चाहिए, यानी

2^{2}

, न कि

2^{3}

।

कदम

LCM (या दी हुई संख्या) को अभाज्य घातों में लिखिए।
हर घात देखिए: वर्ग के लिए सम चाहिए, घन के लिए 3 की गुणज।
कमी का गुणक (या फालतू का भाजक) बनाइए और उससे गुणा (या भाग) कीजिए।
$n$ -अंकीय की शर्त हो तो $S_{0} \times j^{2}$ में $j$ बढ़ाते जाइए।

उदाहरण 21 · आसान

वह सबसे छोटा पूर्ण वर्ग ज्ञात कीजिए जो 6, 9 और 14 से पूरा विभाजित हो।

हल, कदम-दर-कदम

1जो संख्या सबसे पूरी बँटे, वह LCM की गुणज है। $L CM = 126 = 2 \times 3^{2} \times 7$ ।
2पूर्ण वर्ग में हर अभाज्य की घात 2 का गुणज होती है। 2 की घात 1 — 1 और चाहिए; 3 की घात 2 — ठीक है; 7 की घात 1 — 1 और चाहिए।
3इसलिए LCM को $2 \times 7 = 14$ से गुणा करें: $126 \times 14 = 1764 = 4 2^{2}$ ।

उत्तर 1764

LCM 126 में 3 की घात पहले से 2 थी, इसलिए 3 से गुणा नहीं किया।

उदाहरण 22 · मध्यम

1176 को किस सबसे छोटी संख्या से गुणा करें कि परिणाम पूर्ण वर्ग बन जाए?

हल, कदम-दर-कदम

1 $1176 = 2^{3} \times 3 \times 7^{2}$ । पूर्ण वर्ग में हर अभाज्य की घात 2 का गुणज होनी चाहिए।
2जिन अभाज्यों की घात 2 की गुणज नहीं, उन्हें उतना और गुणा करना है जितना कमी है: 2: घात 3, कमी 1; 3: घात 1, कमी 1; 7: घात 2, कमी 0।
3गुणक $= 2 \times 3 = 6$ ; परिणाम $7056 = 8 4^{2}$ ।

उत्तर 6

7^{2}

पहले से पूरा था; 2 की घात 3 और 3 की घात 1 अधूरी थीं।

उदाहरण 23 · मध्यम

वह सबसे छोटा पूर्ण घन ज्ञात कीजिए जो 6, 10 और 15 से पूरा विभाजित हो।

हल, कदम-दर-कदम

1जो संख्या सबसे पूरी बँटे, वह LCM की गुणज है। $L CM = 30 = 2 \times 3 \times 5$ ।
2पूर्ण घन में हर अभाज्य की घात 3 का गुणज होती है। 2 की घात 1 — 2 और चाहिए; 3 की घात 1 — 2 और चाहिए; 5 की घात 1 — 2 और चाहिए।
3इसलिए LCM को $2^{2} \times 3^{2} \times 5^{2} = 900$ से गुणा करें: $30 \times 900 = 27000 = 3 0^{3}$ ।

उत्तर 27000

घन के लिए हर घात 3 की गुणज चाहिए:

2^{1} \to 2^{3}

यानी

2^{2}

और चाहिए।

उदाहरण 24 · कठिन

वह सबसे छोटा 4-अंकीय पूर्ण वर्ग ज्ञात कीजिए जो 6, 8 और 9 से पूरा विभाजित हो।

हल, कदम-दर-कदम

1 $L CM = 72 = 2^{3} \times 3^{2}$ ; इसे पूर्ण वर्ग बनाने के लिए $2$ से गुणा करना पड़ता है: सबसे छोटा ऐसा वर्ग $72 \times 2 = 144 = 1 2^{2}$ ।
2अब ऐसे सभी वर्ग $144 \times j^{2}$ ( $j = 1, 2, 3, \dots$ ) हैं, क्योंकि वर्ग को वर्ग से गुणा करने पर वर्ग ही मिलता है और दूसरा कोई वर्ग-गुणज छूटता नहीं।
34-अंकीय होने के लिए कम से कम 1000 चाहिए: $j = 1$ : 144; $j = 2$ : 576; $j = 3$ : 1296।
4पहला जो 1000 या उससे बड़ा है: $1296 = 3 6^{2}$ ।

उत्तर 1296

सबसे छोटा वर्ग 144 तीन अंकों का है; वर्गों के गुणज में

j = 3

पर 1296 पहली बार 4 अंकों का है।

आसानपहले खुद करके देखें

540 को किस सबसे छोटी संख्या से गुणा करें कि परिणाम पूर्ण वर्ग बन जाए?

आसानपहले खुद करके देखें

2352 को किस सबसे छोटी संख्या से भाग दें कि परिणाम पूर्ण वर्ग बन जाए?

मध्यमपहले खुद करके देखें

वह सबसे छोटा पूर्ण वर्ग ज्ञात कीजिए जो 14, 15 और 21 से पूरा विभाजित हो।

मध्यमपहले खुद करके देखें

1500 को किस सबसे छोटी संख्या से गुणा करें कि परिणाम पूर्ण घन बन जाए?

कठिनपहले खुद करके देखें

वह सबसे छोटा 5-अंकीय पूर्ण वर्ग ज्ञात कीजिए जो 6, 10 और 12 से पूरा विभाजित हो।

कठिनपहले खुद करके देखें

5488 को किस सबसे छोटी संख्या से भाग दें कि परिणाम पूर्ण घन बन जाए?

कठिनपहले खुद करके देखें

वह सबसे छोटा पूर्ण घन ज्ञात कीजिए जो 8, 12, 18 और 27 से पूरा विभाजित हो।

मध्यमपहले खुद करके देखें

वह सबसे छोटा पूर्ण वर्ग ज्ञात कीजिए जो 12, 16 और 27 से पूरा विभाजित हो।

कठिनपहले खुद करके देखें

1470 को किस सबसे छोटी संख्या से भाग दें कि परिणाम पूर्ण वर्ग बन जाए?

दोबारा साथ-साथ

घंटियाँ · धावक · गियर · कैलेंडर

जो चीज़ें अपनी-अपनी लय में दोहराती हैं, वे पहली बार कब एक साथ होंगी — LCM।

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घंटियाँ, बत्तियाँ और घड़ियाँ

LCM, घड़ी का समय, और गिनती

घंटियों और बत्तियों का अगली बार साथ होने का समय और एक अवधि में साथ होने की संख्या।

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वृत्ताकार ट्रैक और गियर

चक्कर का समय और दाँतों की गिनती

वृत्ताकार ट्रैक पर धावकों के शुरुआती बिंदु पर दोबारा मिलने और गियर के दाँतों के दोबारा टिकने के प्रश्न।

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तारीख़, वार और अलग-अलग शुरुआत

LCM दिन, और 7 से शेषफल

दिनों के अंतराल पर दोहराने वाले कामों का अगली बार साथ होना: तारीख़, वार, और शुरुआत अलग हो तो पहला साझा दिन।

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काटना, बाँटना और जोड़कर बनाना

रस्सी · टाइल · खंभे · ईंटें · क़दम

चीज़ों को बराबर टुकड़ों में बाँटने (HCF) और छोटी इकाइयों से बड़ा आकार बनाने (LCM) के प्रश्न।

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सबसे लंबा टुकड़ा, सबसे बड़ा बर्तन, सबसे कम समूह

टुकड़ा = HCF, गिनती = जोड़ (लंबाई ÷ HCF)

बराबर टुकड़ों, बर्तनों, समूहों और पैकेटों के प्रश्न जिनमें कुछ बचना नहीं चाहिए।

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टाइलें, घन और खंभे

भुजा = HCF; गिनती = क्षेत्रफल ÷ भुजा²

फ़र्श पर सबसे बड़ी वर्गाकार टाइल, ठोस से सबसे बड़े घन, और सीमा पर बराबर दूरी के खंभे।

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ईंटों से वर्ग/घन, क़दम और धारिता

आकार = LCM; गिनती = आयतन ÷ ईंट

एक-जैसी ईंटों से सबसे छोटा वर्ग या घन, क़दमों की सबसे कम साझा दूरी, और सबसे कम धारिता।

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सार, मिश्रित अभ्यास, दोहराव

सारी विधियाँ एक जगह

सभी विधियों की एक-पृष्ठ तालिका, परीक्षा जैसे मिले-जुले प्रश्न और दोहराव कार्ड।

सभी विधियों का सार

कहानी · विधि · सूत्र

हर कहानी में क्या पहचानें और कौन-सा सूत्र या चाल लगाएँ।

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मिश्रित अभ्यास (परीक्षा जैसा)

सभी कहानियाँ मिली-जुली

SSC CGL/CHSL/CPO जैसे मिले-जुले शब्द-प्रश्न — पहले कहानी पहचानिए, फिर हल कीजिए।

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दोहराव

कार्ड · आम गलतियाँ

सूत्र और चालें याद करने के कार्ड, और परीक्षा की सबसे आम गलतियाँ।

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म.स.प. और ल.स.प. — शब्द-प्रश्न

शेषफल वाले प्रश्न

सबसे बड़ी संख्या: एक-सा शेषफल

विचार

कदम

सबसे बड़ी संख्या: दिए हुए शेषफल

विचार

कदम

सबसे छोटी संख्या: $L CM + r$ और $L CM - g$

विचार

कदम

अतिरिक्त शर्त और अलग-अलग कमी

विचार

कदम

$n$ -अंकीय संख्याएँ

विचार

कदम

पूर्ण वर्ग और पूर्ण घन

विचार

कदम

दोबारा साथ-साथ

घंटियाँ, बत्तियाँ और घड़ियाँ

वृत्ताकार ट्रैक और गियर

तारीख़, वार और अलग-अलग शुरुआत

काटना, बाँटना और जोड़कर बनाना

सबसे लंबा टुकड़ा, सबसे बड़ा बर्तन, सबसे कम समूह

टाइलें, घन और खंभे

ईंटों से वर्ग/घन, क़दम और धारिता

सार, मिश्रित अभ्यास, दोहराव

सभी विधियों का सार

मिश्रित अभ्यास (परीक्षा जैसा)

दोहराव

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