प्रतिशत — अनुप्रयोग

SSC CGL · CHSL · CPO — विधि-दर-विधि

5 भाग14 हल किए उदाहरण29 अभ्यास प्रश्न

यह अध्याय प्रतिशत अध्याय का दूसरा भाग है। वहाँ भिन्न-प्रतिशत तालिका, बदलाव और उलटना, क्रमिक बदलाव और संख्या के प्रश्न सीखे हैं; यहाँ उन्हीं विधियों को असली स्थितियों में लगाते हैं: दाम और खपत, आय और कर, कमीशन, जनसंख्या, परीक्षा के अंक, चुनाव और घोल। अगर वह अध्याय पढ़ा नहीं है तो पहले उसे खोलिए।

शाखा	कौन-से प्रश्न	मुख्य औज़ार
दो चीज़ों का गुणनफल	क्षेत्रफल, ख़र्च, खपत, किलो	इकाई-संख्या, उलटा अनुपात
आय, ख़र्च, कमीशन	बचत, आयकर, सेल्समैन	“100 मान लो”, समीकरण
लोग, अंक, मतदान	जनसंख्या, उत्तीर्ण अंक, चुनाव, दो समूह	भाग, पेड़, मेल का सूत्र
घोल, मिश्रण, समीकरण	पानी उड़ना, भारित औसत, प्रतिशत-अंक	स्थिर भाग, अलिगेशन

कैसे पढ़ेंहर शाखा के अंत में अभ्यास हैं, और अध्याय के अंत में सब विधियों की सारणी तथा मिले-जुले प्रश्न। मिले-जुले प्रश्नों में पहले विधि पहचानिए।

दो चीज़ों का गुणनफल

क्षेत्रफल · ख़र्च · खपत · किलोग्राम

जब कोई राशि दो चीज़ों के गुणनफल से बनी हो: क्षेत्रफल, ख़र्च, आय, कमाई, आयतन।

क्षेत्रफल = लंबाई × चौड़ाई, ख़र्च = दाम × खपत, कमाई = दर × घंटे। जब दो घटक अलग-अलग प्रतिशत से बदलें तो गुणनफल पर क्या असर होगा — और जब गुणनफल स्थिर रखना हो तो एक का बदलाव दूसरे को कैसे बदलेगा — यही इस शाखा के प्रश्न हैं।

गुणनफल पर दोहरा बदलाव

मूल बनाम नया गुणनफल

दोनों घटक अलग-अलग प्रतिशत से बदलें तो गुणनफल का परिवर्तन।

विचार

एक खेत की लंबाई 25% बढ़ी और चौड़ाई 20% घटी। क्षेत्रफल पर असर जानने के लिए प्रतिशत जोड़ना ( $25 - 20 = 5%$ ) ग़लत है। सही तरीक़ा: हर घटक की “इकाई-संख्या” लीजिए। 25% $= \frac{1}{4}$ : लंबाई 4 से 5। 20% $= \frac{1}{5}$ : चौड़ाई 5 से 4। मूल क्षेत्रफल $4 \times 5 = 20$ , नया $5 \times 4 = 20$ : कोई बदलाव नहीं!

गुणनफल	घटक 1	घटक 2
क्षेत्रफल	लंबाई	चौड़ाई
ख़र्च	दाम	खपत
कुल आय	बिक्री की संख्या	दाम प्रति नग
कमाई	दर प्रति घंटा	घंटे
बिल	यूनिट	दर प्रति यूनिट

∑ सूत्र

\frac{b _{1} \pm a _{1}}{b _{1}} \times \frac{b _{2} \pm a _{2}}{b _{2}} - 1

गुणनफल का शुद्ध परिवर्तन (भिन्न रूप में)

$\frac{a _{1}}{b _{1}}$: पहले घटक के प्रतिशत बदलाव की भिन्न
$\frac{a _{2}}{b _{2}}$: दूसरे घटक के प्रतिशत बदलाव की भिन्न
$\pm$: वृद्धि के लिए +, कमी के लिए −

यह वही क्रमिक परिवर्तन वाला नियम है: $x + y + \frac{x y}{100}$ (कमी ऋणात्मक)। यहाँ घटक एक-दूसरे को गुणा करते हैं, वहाँ बदलाव एक के बाद एक आते थे — गणित एक ही है।

ध्यान देंदोनों में से एक घटक स्थिर रहे (जैसे चौड़ाई वही) तो गुणनफल उसी प्रतिशत से बदलता है जिससे दूसरा घटक बदला।

हर घटक के प्रतिशत को भिन्न $\frac{a}{b}$ बनाइए।
उस घटक को $b$ मानिए, नया $b \pm a$ ।
मूल गुणनफल = $b_{1} \times b_{2}$ , नया = $(b_{1} \pm a_{1}) (b_{2} \pm a_{2})$ ।
परिवर्तन ÷ मूल गुणनफल $\times 100$ ।

उदाहरण 1 · आसान

एक आयताकार खेत की लंबाई और चौड़ाई का गुणनफल क्षेत्रफल है। यदि लंबाई में 25% की वृद्धि और चौड़ाई में 20% की कमी हो, तो क्षेत्रफल में कितना परिवर्तन होगा?

हल, कदम-दर-कदम

125% $= \frac{1}{4}$ : लंबाई को $4$ मानें तो नई $5$ । 20% $= \frac{1}{5}$ : चौड़ाई को $5$ मानें तो नई $4$ ।
2मूल क्षेत्रफल $= 4 \times 5 = 20$ ; नया क्षेत्रफल $= 5 \times 4 = 20$ ।
3परिवर्तन $= 20 - 20 = 0$ और $\frac{0}{20} \times 100 = 0%$ , यानी कोई परिवर्तन नहीं।

उत्तर कोई परिवर्तन नहीं

बराबर दिखने वाले +25% और −20% एक-दूसरे को पूरा काट देते हैं, पर यह सिर्फ़ इसी जोड़ी का गुण है।

उदाहरण 2 · मध्यम

एक परिवार के लिए चीनी के दाम और खपत का गुणनफल ख़र्च है। यदि दाम में 12.5% की वृद्धि और खपत में 10% की कमी हो, तो ख़र्च में कितना परिवर्तन होगा?

हल, कदम-दर-कदम

112.5% $= \frac{1}{8}$ : दाम को $8$ मानें तो नया $9$ । 10% $= \frac{1}{10}$ : खपत को $10$ मानें तो नई $9$ ।
2मूल ख़र्च $= 8 \times 10 = 80$ ; नया ख़र्च $= 9 \times 9 = 81$ ।
3परिवर्तन $= 81 - 80 = 1$ और $\frac{1}{80} \times 100 = 1.25%$ , यानी 1.25% वृद्धि।

उत्तर 1.25% वृद्धि

सूत्र से जाँच:

12.5 - 10 + \frac{12.5 \times ( - 10 )}{100} = 1.25

✓।

उदाहरण 3 · मध्यम

एक मज़दूर की प्रति घंटा मज़दूरी और काम के घंटों का गुणनफल कुल कमाई है। यदि प्रति घंटा मज़दूरी में 20% की वृद्धि और काम के घंटों में

16 \frac{2}{3} %

की वृद्धि हो, तो कुल कमाई में कितना परिवर्तन होगा?

हल, कदम-दर-कदम

120% $= \frac{1}{5}$ : प्रति घंटा मज़दूरी को $5$ मानें तो नई $6$ । $16 \frac{2}{3} %$ $= \frac{1}{6}$ : काम के घंटों को $6$ मानें तो नए $7$ ।
2मूल कुल कमाई $= 5 \times 6 = 30$ ; नई कुल कमाई $= 6 \times 7 = 42$ ।
3परिवर्तन $= 42 - 30 = 12$ और $\frac{12}{30} \times 100 = 40%$ , यानी 40% वृद्धि।

उत्तर 40% वृद्धि

दोनों घटक बढ़े, इसलिए गुणनफल का प्रतिशत दोनों के जोड़ से ज़्यादा है।

आसानपहले खुद करके देखें

एक आयताकार खेत की लंबाई और चौड़ाई का गुणनफल क्षेत्रफल है। यदि लंबाई में 40% की वृद्धि और चौड़ाई में 25% की कमी हो, तो क्षेत्रफल में कितना परिवर्तन होगा?

आसानपहले खुद करके देखें

एक परिवार के लिए चीनी के दाम और खपत का गुणनफल ख़र्च है। यदि दाम में 20% की वृद्धि और खपत में 10% की कमी हो, तो ख़र्च में कितना परिवर्तन होगा?

मध्यमपहले खुद करके देखें

एक सिनेमाघर की टिकटों की बिक्री और टिकट के दाम का गुणनफल कुल आय है। यदि टिकटों की बिक्री में 25% की कमी और टिकट के दाम में 20% की वृद्धि हो, तो कुल आय में कितना परिवर्तन होगा?

मध्यमपहले खुद करके देखें

एक मज़दूर की प्रति घंटा मज़दूरी और काम के घंटों का गुणनफल कुल कमाई है। यदि प्रति घंटा मज़दूरी में 50% की वृद्धि और काम के घंटों में 25% की कमी हो, तो कुल कमाई में कितना परिवर्तन होगा?

मध्यमपहले खुद करके देखें

एक घर के प्रयुक्त यूनिटों की संख्या और प्रति यूनिट दर का गुणनफल बिजली का बिल है। यदि प्रयुक्त यूनिटों की संख्या में 20% की कमी और प्रति यूनिट दर में 10% की कमी हो, तो बिजली का बिल में कितना परिवर्तन होगा?

कठिनपहले खुद करके देखें

एक आयताकार खेत की लंबाई और चौड़ाई का गुणनफल क्षेत्रफल है। यदि लंबाई में

16 \frac{2}{3} %

की वृद्धि और चौड़ाई में 20% की वृद्धि हो, तो क्षेत्रफल में कितना परिवर्तन होगा?

कठिनपहले खुद करके देखें

एक सिनेमाघर की टिकटों की बिक्री और टिकट के दाम का गुणनफल कुल आय है। यदि टिकटों की बिक्री में 20% की कमी और टिकट के दाम में 50% की वृद्धि हो, तो कुल आय में कितना परिवर्तन होगा?

दाम बदला, ख़र्च वही

दाम × खपत = स्थिर

दाम बदलने पर ख़र्च वही रखने के लिए खपत में बदलाव, और ख़र्च के बदलाव से खपत का बदलाव।

विचार

ख़र्च = दाम × खपत। दाम 25% बढ़े और ख़र्च वही रखना हो तो खपत घटानी पड़ेगी, पर 25% नहीं। दाम को 4 से 5 मानिए; गुणनफल 20 स्थिर रखने के लिए खपत 5 से 4 होगी, यानी उलटे अनुपात में: दाम $4 : 5$ , खपत $5 : 4$ । कमी 1 भाग है और आधार पुरानी खपत 5 है: $\frac{1}{5} = 20%$ ।

∑ सूत्र

\frac{x}{100 + x} \times 100% (दाम ↑) \frac{x}{100 - x} \times 100% (दाम ↓)

खपत में ज़रूरी कमी / वृद्धि, ख़र्च स्थिर रखने के लिए

$x$: दाम में हुआ प्रतिशत बदलाव

यह वही “मूल पर लौटना” वाला नियम है: दाम का गुणक $\frac{b \pm a}{b}$ हो तो खपत का गुणक उसका उलटा $\frac{b}{b \pm a}$ है। जब ख़र्च भी बदले, तो खपत का गुणक $= \frac{ख़र्च का गुणक}{दाम का गुणक}$ ।

यहाँ: $x$ = दाम में बदलाव % में; $a$ , $b$ = उसकी भिन्न के अंश-हर।

याद रखेंयही सोच हर “गुणनफल स्थिर” प्रश्न में चलती है: बचत × महीने = कार की क़ीमत, दर × समय = कुल काम, गति × समय = दूरी। एक राशि जितने अनुपात में बढ़े, दूसरी उतने ही उलटे अनुपात में घटती है।

दाम का बदलाव $\frac{a}{b}$ लिखिए: दाम $b \to b \pm a$ ।
गुणनफल स्थिर: खपत उलटी, $b \pm a \to b$ ।
खपत का परिवर्तन $= \frac{a}{b \pm a}$ (आधार: पुरानी खपत)।
ख़र्च भी बदले तो सब गुणकों को संख्या (मूल 100) बनाइए और भाग दीजिए।

उदाहरण 4 · आसान

दूध के दाम में

16 \frac{2}{3} %

की वृद्धि हुई। ख़र्च पहले जितना ही रखने के लिए खपत में कितने प्रतिशत का बदलाव करना होगा?

हल, कदम-दर-कदम

1 $16 \frac{2}{3} %$ $= \frac{1}{6}$ । दाम का गुणक $= \frac{7}{6}$ : दाम $6 \to 7$ ।
2ख़र्च $=$ दाम $\times$ खपत स्थिर है। इसलिए दाम और खपत उलटे अनुपात में हैं: खपत $7 \to 6$ ।
3खपत का परिवर्तन $= \frac{1}{7} \times 100 = 14 \frac{2}{7} %$ (आधार: खपत की पुरानी मात्रा), यानी $14 \frac{2}{7} %$ कमी।

उत्तर $14 \frac{2}{7} %$ कमी

दाम

\frac{1}{6}

बढ़ा तो खपत

\frac{1}{7}

घटानी है —

\frac{1}{b}

बढ़ने पर

\frac{1}{b + 1}

घटना।

उदाहरण 5 · मध्यम

पेट्रोल के दाम में 25% की वृद्धि हुई और ख़र्च में 10% की कमी ही हुई। खपत में कितना परिवर्तन हुआ?

हल, कदम-दर-कदम

1मूल ख़र्च $= 100$ मानें; नया ख़र्च $= 90$ ।
2दाम का गुणक $= \frac{5}{4}$ । ख़र्च $=$ दाम $\times$ खपत, इसलिए खपत का गुणक $= \frac{ख़र्च का गुणक}{दाम का गुणक} = \frac{9}{10} \div \frac{5}{4} = \frac{18}{25}$ ।
3परिवर्तन $= \frac{18}{25} - 1 = - \frac{7}{25}$ , यानी 28% कमी।

उत्तर 28% कमी

दाम बढ़ा और ख़र्च घटा, इसलिए खपत में कमी दोनों से बड़ी आई।

उदाहरण 6 · मध्यम

एक व्यक्ति हर महीने एक निश्चित रक़म बचाता है और ऐसे 14 महीनों में स्कूटर ख़रीद सकता है। उसे स्कूटर केवल 8 महीनों में ख़रीदना है। मासिक बचत कितने प्रतिशत बढ़ानी होगी?

हल, कदम-दर-कदम

1वस्तु की क़ीमत स्थिर है: मासिक बचत $\times$ महीने $=$ क़ीमत। इसलिए बचत और महीने उलटे अनुपात में हैं।
2महीने $14 : 8$ हैं, इसलिए बचत $8 : 14$ चाहिए। बचत $8 \to 14$ यानी $6$ इकाई की वृद्धि।
3वृद्धि का आधार पुरानी बचत ( $8$ इकाई) है: $\frac{6}{8} \times 100 = 75%$ ।

उत्तर 75%

महीने घटाने के लिए बचत बढ़ानी है; आधार हमेशा पुरानी बचत है, नई नहीं।

उदाहरण 7 · कठिन

एक परिवार हर महीने 30 किग्रा चावल और 12 किग्रा दाल ख़रीदता है। दाल का भाव चावल के भाव का 3 गुना है। यदि दाल का भाव 25% बढ़ जाए और चावल का भाव वही रहे, तो मासिक ख़र्च वही रखने के लिए (दाल की मात्रा बदले बिना) चावल की खपत कितने प्रतिशत घटानी होगी?

हल, कदम-दर-कदम

1चावल का भाव 1 इकाई/किग्रा मानें, तो दाल का भाव 3 इकाई/किग्रा। मूल ख़र्च $= 30 \times 1 + 12 \times 3 = 66$ इकाई।
2दाल पर ख़र्च $= 12 \times 3 = 36$ इकाई; 25% बढ़ने पर वह $36 \times \frac{25}{100} = 9$ इकाई और बढ़ता है।
3इतना ही चावल से बचाना है: 9 इकाई $= 9$ किग्रा चावल (भाव 1 इकाई)।
4कमी $= \frac{9}{30} \times 100 = 30%$ (आधार: चावल की पुरानी खपत 30 किग्रा)।

उत्तर 30%

एक चीज़ के बढ़े ख़र्च को दूसरी चीज़ की कटौती से पूरा किया — रुपयों में हिसाब रखिए, प्रतिशत में नहीं।

आसानपहले खुद करके देखें

दाल के दाम में 40% की कमी हुई। ख़र्च पहले जितना ही रखने के लिए खपत में कितने प्रतिशत का बदलाव करना होगा?

आसानपहले खुद करके देखें

चीनी के दाम में 50% की वृद्धि हुई। ख़र्च पहले जितना ही रखने के लिए खपत में कितने प्रतिशत का बदलाव करना होगा?

मध्यमपहले खुद करके देखें

दूध के दाम में 12.5% की वृद्धि हुई। ख़र्च पहले जितना ही रखने के लिए खपत में कितने प्रतिशत का बदलाव करना होगा?

मध्यमपहले खुद करके देखें

पेट्रोल के दाम में 20% की कमी हुई और ख़र्च में 10% की कमी ही हुई। खपत में कितना परिवर्तन हुआ?

मध्यमपहले खुद करके देखें

एक व्यक्ति हर महीने एक निश्चित रक़म बचाता है और ऐसे 15 महीनों में लैपटॉप ख़रीद सकता है। उसे लैपटॉप केवल 12 महीनों में ख़रीदना है। मासिक बचत कितने प्रतिशत बढ़ानी होगी?

कठिनपहले खुद करके देखें

दाल के दाम में 20% की वृद्धि हुई और ख़र्च में 50% की वृद्धि ही हुई। खपत में कितना परिवर्तन हुआ?

कठिनपहले खुद करके देखें

एक परिवार हर महीने 40 किग्रा आटा और 15 किग्रा घी ख़रीदता है। घी का भाव आटा के भाव का 2 गुना है। यदि घी का भाव 20% बढ़ जाए और आटा का भाव वही रहे, तो मासिक ख़र्च वही रखने के लिए (घी की मात्रा बदले बिना) आटा की खपत कितने प्रतिशत घटानी होगी?

कठिनपहले खुद करके देखें

एक परिवार हर महीने 50 किग्रा मक्का और 10 किग्रा तेल ख़रीदता है। तेल का भाव मक्का के भाव का 4 गुना है। यदि तेल का भाव 15% बढ़ जाए और मक्का का भाव वही रहे, तो मासिक ख़र्च वही रखने के लिए (तेल की मात्रा बदले बिना) मक्का की खपत कितने प्रतिशत घटानी होगी?

कितने किलो ज़्यादा / कम

अंतर के भागों से मूल खपत

दाम बदलने पर उतने ही पैसों में मिली अतिरिक्त किग्रा से मूल खपत, भाव, और “₹ प्रति किग्रा कमी” वाले सवाल।

विचार

पैसे वही हैं, इसलिए मात्रा दाम के उलटे अनुपात में है। दाम 25% बढ़ा: दाम $4 \to 5$ तो मात्रा $5 \to 4$ । अंतर 1 भाग है। प्रश्न बताता है कि वह 1 भाग 6 किग्रा के बराबर है, इसलिए मूल मात्रा $5 \times 6 = 30$ किग्रा और नई $4 \times 6 = 24$ किग्रा। भाव = रक़म ÷ मात्रा से दोनों भाव मिल जाते हैं।

∑ सूत्र

मूल खपत = \frac{K}{( खपत का परिवर्तन )}

K

किग्रा के अंतर से मूल खपत

$K$: अतिरिक्त (या कम) मिली किग्रा
$खपतकापरिवर्तन$: भिन्न रूप में, पिछली विधि से: $\frac{a}{b \pm a}$

∑ सूत्र

M = \frac{k \times p _{old} \times p _{new}}{d}

“

d

₹/किग्रा की कमी से

k

किग्रा अधिक” वाले प्रश्न में रक़म

$M$: ख़र्च की गई रक़म, ₹
$k$: अधिक मिली किग्रा
$p_{o l d}$: पुराना भाव, ₹/किग्रा
$p_{n e w}$: नया भाव, ₹/किग्रा
$d$: भाव में कमी, ₹/किग्रा

जालभाव ग्राम या पैसे में हो तो पहले एक ही इकाई बनाइए: 50 पैसे प्रति दर्जन में रक़म और भाव दोनों को पैसों में या रुपयों में लाइए। इकाई मिलाए बिना कभी भाग नहीं।

दाम के प्रतिशत से उलटे अनुपात के भाग लिखिए (पुरानी $b \pm a$ , नई $b$ )।
मात्रा का अंतर $a$ भाग है; उसे दी गई किग्रा के बराबर रखकर 1 भाग निकालिए।
पुरानी/नई मात्रा = भाग × 1 भाग।
भाव = रक़म ÷ मात्रा (इकाई मिलाकर)।

उदाहरण 8 · आसान

चीनी का भाव 25% बढ़ गया, इसलिए एक परिवार उतने ही पैसों में 6 किग्रा कम चीनी ख़रीद पाता है। पहले उसकी खपत कितनी थी (किग्रा)?

हल, कदम-दर-कदम

125% $= \frac{1}{4}$ । दाम $4 \to 5$ , और पैसे वही हैं, इसलिए खपत उलटी: $5 \to 4$ ।
2खपत का अंतर $= 1$ भाग, और वह 6 किग्रा है। यानी 1 भाग $= 6$ किग्रा।
3पुरानी खपत $= 5$ भाग $= 30$ किग्रा; नई खपत $= 4$ भाग $= 24$ किग्रा।

उत्तर 30

जाँच: पहले

30 \times

पुराना भाव = अब

24 \times

नया भाव, और भावों का अनुपात

4 : 5

है।

उदाहरण 9 · मध्यम

आटे का भाव 25% बढ़ने से एक परिवार ₹900 में 6 किग्रा कम आटा ख़रीद पाता है। पहले का भाव (₹ प्रति किग्रा) बताइए।

हल, कदम-दर-कदम

125% $= \frac{1}{4}$ : उलटे अनुपात से पुरानी खपत $5$ भाग और नई $4$ भाग। अंतर 1 भाग $= 6$ किग्रा।
21 भाग $= 6$ किग्रा, इसलिए पुरानी खपत $= 30$ किग्रा और नई $= 24$ किग्रा।
3भाव $= \frac{रक़म}{खपत}$ : पुराना $= \frac{900}{30} = 30$ ₹/किग्रा, नया $= \frac{900}{24} = 37.50$ ₹/किग्रा। (जाँच: नया/पुराना $= \frac{5}{4}$ ।)

उत्तर ₹30

पहले मात्राएँ निकाली, फिर भाव — क्रम उलटा करने पर कुछ नहीं निकलता।

उदाहरण 10 · कठिन

चीनी के भाव में ₹5 प्रति किग्रा की कमी से एक व्यक्ति ₹120 में 2 किग्रा चीनी अधिक ख़रीद पाता है। चीनी का मूल भाव कितना था (₹ प्रति किग्रा)?

हल, कदम-दर-कदम

1मूल भाव $x$ मानें, तो नया भाव $x - 5$ । ₹120 में पहले $\frac{120}{x}$ किग्रा और अब $\frac{120}{x - 5}$ किग्रा मिलती है।
2अंतर $2$ किग्रा: $\frac{120}{x - 5} - \frac{120}{x} = 2$ , यानी $\frac{120 \times 5}{x ( x - 5 )} = 2$ ⟹ $x (x - 5) = 300$ ।
3ऐसे दो गुणनखंड खोजिए जिनका अंतर $5$ हो: $20 \times 15 = 300$ ✓। इसलिए $x = 20$ ।

उत्तर ₹20

जाँच:

\frac{120}{15} - \frac{120}{20} = 8 - 6 = 2

किग्रा ✓।

आसानपहले खुद करके देखें

चावल का भाव 20% बढ़ गया, इसलिए एक परिवार उतने ही पैसों में 4 किग्रा कम चावल ख़रीद पाता है। पहले उसकी खपत कितनी थी (किग्रा)?

आसानपहले खुद करके देखें

आटे का भाव 25% घट गया, इसलिए एक परिवार उतने ही पैसों में 9 किग्रा अधिक आटा ख़रीद पाता है। अब उसकी खपत कितनी है (किग्रा)?

मध्यमपहले खुद करके देखें

दाल का भाव 20% बढ़ने से एक परिवार ₹480 में 10 किग्रा कम दाल ख़रीद पाता है। अब का भाव (₹ प्रति किग्रा) बताइए।

मध्यमपहले खुद करके देखें

चीनी का भाव 20% घटने से एक परिवार ₹750 में 15 किग्रा अधिक चीनी ख़रीद पाता है। पहले की खपत (किग्रा) बताइए।

मध्यमपहले खुद करके देखें

चावल का भाव 25% घट गया, जिससे ₹1 में मिलने वाली चावल की मात्रा 40 ग्राम अधिक हो गई। पहले ₹1 में चावल की मात्रा कितने ग्राम थी?

कठिनपहले खुद करके देखें

आटे के भाव में ₹5 प्रति किग्रा की कमी से एक व्यक्ति ₹300 में 3 किग्रा आटा अधिक ख़रीद पाता है। आटे का मूल भाव कितना था (₹ प्रति किग्रा)?

कठिनपहले खुद करके देखें

दाल के भाव में ₹6 प्रति किग्रा की कमी से एक व्यक्ति ₹480 में 4 किग्रा दाल अधिक ख़रीद पाता है। दाल का मूल भाव कितना था (₹ प्रति किग्रा)?

भुजा, त्रिज्या, कोर में बदलाव

वर्ग, घन और माप की त्रुटि

लंबाई के प्रतिशत बदलाव से क्षेत्रफल और आयतन का बदलाव, उलटकर क्षेत्रफल से लंबाई, और माप की त्रुटि।

विचार

क्षेत्रफल लंबाई का वर्ग है और आयतन घन। इसलिए लंबाई 10% बढ़े तो क्षेत्रफल 10% नहीं, $(\frac{11}{10})^{2} = \frac{121}{100}$ , यानी 21% बढ़ता है; आयतन $(\frac{11}{10})^{3} = \frac{1331}{1000}$ , यानी 33.1%। यह दोहरे बदलाव का ही विशेष रूप है, जहाँ दोनों घटक एक साथ और बराबर बदलते हैं।

∑ सूत्र

2 x + \frac{x ^{2}}{100} 3 x + \frac{3 x ^{2}}{100} + \frac{x ^{3}}{1 0 ^{4}}

लंबाई में

x %

बदलाव पर क्षेत्रफल | आयतन में परिवर्तन (%)

$x$: लंबाई (भुजा/त्रिज्या/कोर) में %, घटने पर ऋणात्मक

उलटा सवाल: क्षेत्रफल में $y %$ बदलाव दिया हो तो लंबाई का गुणक $= 1 + \frac{y}{100}$ । इसके लिए $y$ ऐसे लिए जाते हैं कि $1 + \frac{y}{100}$ पूर्ण वर्ग भिन्न बने: 21%, 44%, 69%, 125%, −19%, −36%।

ध्यान देंमाप की त्रुटि: भुजा 5% ज़्यादा नापी तो क्षेत्रफल में त्रुटि

2 \times 5 + \frac{25}{100} = 10.25%

। परिमाप में त्रुटि वही 5% रहती है, क्योंकि परिमाप लंबाई का पहला घात है। वृत्त की परिधि भी त्रिज्या जितने ही प्रतिशत बदलती है।

लंबाई का गुणक लिखिए: $\frac{b \pm a}{b}$ ।
क्षेत्रफल के लिए वर्ग, आयतन के लिए घन; परिमाप के लिए वही गुणक।
गुणक $- 1$ ही परिवर्तन है; $\times 100$ से प्रतिशत।
उलटा हो तो क्षेत्रफल के गुणक का वर्गमूल (आयतन हो तो घनमूल) लीजिए।

उदाहरण 11 · आसान

वर्ग की भुजा में 50% की वृद्धि की गई। क्षेत्रफल में कितना परिवर्तन होगा?

हल, कदम-दर-कदम

150% $= \frac{1}{2}$ : भुजा का गुणक $= \frac{3}{2}$ ।
2क्षेत्रफल $= भुजा^{2}$ है, यानी लंबाई के वर्ग के अनुपात में। इसलिए क्षेत्रफल का गुणक $= (\frac{3}{2})^{2} = \frac{9}{4}$ ।
3परिवर्तन $= \frac{9}{4} - 1 = \frac{5}{4}$ , यानी 125% वृद्धि। (सूत्र: $2 x + \frac{x ^{2}}{100}$ जब $x$ चिह्न सहित हो।)

उत्तर 125% वृद्धि

50% बढ़ने पर

\frac{3}{2}

का वर्ग

\frac{9}{4}

है: क्षेत्रफल दो गुने से भी ज़्यादा।

उदाहरण 12 · मध्यम

एक वर्ग की भुजा नापने में 20% कम नापी गई। इससे निकाले गए क्षेत्रफल में कितने प्रतिशत की त्रुटि होगी?

हल, कदम-दर-कदम

120% $= \frac{1}{5}$ : भुजा का गुणक $= \frac{4}{5}$ ।
2क्षेत्रफल $= भुजा^{2}$ है, यानी लंबाई के वर्ग के अनुपात में। इसलिए क्षेत्रफल का गुणक $= (\frac{4}{5})^{2} = \frac{16}{25}$ ।
3परिवर्तन $= \frac{16}{25} - 1 = - \frac{9}{25}$ , यानी 36% कमी। (सूत्र: $2 x + \frac{x ^{2}}{100}$ जब $x$ चिह्न सहित हो।)

उत्तर 36% कमी

घटने पर भी त्रुटि का प्रतिशत

2 \times (- 20) + \frac{400}{100} = - 36

✓।

उदाहरण 13 · मध्यम

एक वर्ग के क्षेत्रफल में 21% की वृद्धि हुई। उसकी भुजा में कितना परिवर्तन हुआ?

हल, कदम-दर-कदम

1क्षेत्रफल का गुणक $= 1 + \frac{21}{100} = \frac{121}{100}$ ।
2क्षेत्रफल, भुजा के वर्ग के अनुपात में है, इसलिए भुजा का गुणक $= \frac{121}{100} = \frac{11}{10}$ ।
3परिवर्तन $= \frac{11}{10} - 1 = \frac{1}{10}$ , यानी 10% वृद्धि।

उत्तर 10% वृद्धि

क्षेत्रफल का गुणक

\frac{121}{100}

पूर्ण वर्ग है, इसलिए वर्गमूल

\frac{11}{10}

साफ़ मिलता है।

उदाहरण 14 · कठिन

एक घन की कोर में 20% की कमी की गई। उसके आयतन में कितना परिवर्तन होगा?

हल, कदम-दर-कदम

1कोर का गुणक $= \frac{4}{5}$ ।
2आयतन $= कोर^{3}$ , इसलिए आयतन का गुणक $= (\frac{4}{5})^{3} = \frac{64}{125}$ ।
3परिवर्तन $= \frac{64}{125} - 1 = - \frac{61}{125}$ , यानी 48.8% कमी।

उत्तर 48.8% कमी

कोर 20% घटी तो आयतन लगभग आधा हो गया:

(\frac{4}{5})^{3} = \frac{64}{125}

।

आसानपहले खुद करके देखें

वर्ग की भुजा में 20% की वृद्धि की गई। क्षेत्रफल में कितना परिवर्तन होगा?

आसानपहले खुद करके देखें

वृत्त की त्रिज्या में 25% की वृद्धि की गई। क्षेत्रफल में कितना परिवर्तन होगा?

मध्यमपहले खुद करके देखें

एक वर्ग के क्षेत्रफल में 19% की कमी हुई। उसकी भुजा में कितना परिवर्तन हुआ?

मध्यमपहले खुद करके देखें

एक घन की कोर में 10% की वृद्धि की गई। उसके आयतन में कितना परिवर्तन होगा?

मध्यमपहले खुद करके देखें

एक वृत्त के क्षेत्रफल में 69% की वृद्धि हुई। उसकी त्रिज्या में कितना परिवर्तन हुआ?

कठिनपहले खुद करके देखें

एक वर्ग की भुजा नापने में 30% कम नापी गई। इससे निकाले गए क्षेत्रफल में कितने प्रतिशत की त्रुटि होगी?

कठिनपहले खुद करके देखें

एक वर्ग के क्षेत्रफल में 125% की वृद्धि हुई। उसकी भुजा में कितना परिवर्तन हुआ?

आय, ख़र्च, कमीशन

बचत · आयकर · सेल्समैन

पैसों के प्रश्न: आय-ख़र्च-बचत, कर और कमीशन-बोनस।

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आय, ख़र्च और बचत

बचत

=

आय

-

ख़र्च

आय और ख़र्च बदलने पर बचत में प्रतिशत परिवर्तन, और बचत स्थिर रखने की शर्त।

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आयकर और शुद्ध आय

कर : शुद्ध आय

कर बढ़ने पर शुद्ध आय का घटना, करमुक्त हिस्सा और स्लैब वाला कर।

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कमीशन और बोनस

काल्पनिक दर, फिर सुधार

सेल्समैन की कमाई या जमा से कुल बिक्री, जब कमीशन के साथ बोनस या दो स्लैब हों।

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लोग, अंक, मतदान

जनसंख्या · उत्तीर्ण अंक · चुनाव · दो समूह

समूहों और गिनती के प्रश्न: जनसंख्या, परीक्षा के अंक, चुनाव और दो समूहों का मेल।

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जनसंख्या: दो वर्गों की अलग वृद्धि

अंतर विधि (अलिगेशन जैसी)

दो वर्ग अलग दर से बदलें तो प्रत्येक वर्ग की संख्या, विवाहित लोगों का %, और जन्म-मृत्यु-प्रवास।

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उत्तीर्ण अंक और परीक्षा के प्रतिशत

दो स्थितियों के बीच का अंतर

उत्तीर्ण अंक स्थिर रखकर पूर्णांक और उत्तीर्ण प्रतिशत निकालना, और अलग-अलग पूर्णांक वाले पेपरों का कुल प्रतिशत।

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चुनाव के प्रश्न

सूची → मतदान → वैध → जीत का अंतर

मतदान न करने वाले, अवैध मत, विजेता का हिस्सा और जीत का अंतर: पेड़ बनाकर हल।

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दो समूहों का मेल

A + B - दोनों

दो समूहों के प्रतिशत और उनके साझा हिस्से से “कोई नहीं”, “केवल एक”, “ठीक एक” और “दोनों”।

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घोल, मिश्रण, समीकरण

स्थिर भाग · भारित % · समीकरण · प्रतिशत-अंक

उन प्रश्नों की विधियाँ जहाँ कुछ स्थिर रहता है, कई समूहों के प्रतिशत मिलते हैं, या वाक्य को सीधे समीकरण बनाना पड़ता है।

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जो चीज़ नहीं बदलती

% × कुल, दोनों समय बराबर

पानी उड़ने या मिलाने पर नमक की मात्रा, सूखने पर गूदा, और नए लोग जुड़ने पर पुराने वर्ग की संख्या — सब एक ही सिद्धांत।

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मिश्रित समूह का कुल प्रतिशत

भारित औसत और अलिगेशन

दो समूहों के अलग प्रतिशत से कुल प्रतिशत, अनुपात और छूटा हुआ प्रतिशत।

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प्रतिशत के समीकरण

वाक्य

\to

एक समीकरण

बिल में संख्याएँ बदल जाना, अंक कटने वाली परीक्षा, और सापेक्ष मूल्य वाले टिकट: उलझे वाक्य को एक समीकरण में बदलना।

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प्रतिशत और प्रतिशत-अंक

सीधा घटाना बनाम मूल पर भाग

दर के बदलाव को “अंकों” में और “प्रतिशत” में कहना, और प्रतिशत का प्रतिशत।

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सार, मिश्रित अभ्यास, दोहराव

सब विधियाँ एक जगह

सभी विधियों की एक सारणी, परीक्षा जैसे मिले-जुले प्रश्न और दोहराव कार्ड।

सभी विधियों का सार

कौन-सी विधि कब

प्रश्न पढ़ते ही विधि चुनने के लिए एक पन्ना।

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मिश्रित अभ्यास — सेट 1

आसान से मध्यम

हर शाखा के मिले-जुले प्रश्न; पहले विधि पहचानिए, फिर हल कीजिए।

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मिश्रित अभ्यास — सेट 2

मध्यम से कठिन

परीक्षा के कठिन छोर के मिले-जुले प्रश्न।

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दोहराव — कार्ड और जाल

पलटिए, याद कीजिए

हर कार्ड का प्रश्न पढ़कर पहले ख़ुद सोचिए, फिर पलटिए।

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प्रतिशत — अनुप्रयोग

दो चीज़ों का गुणनफल

गुणनफल पर दोहरा बदलाव

विचार

दाम बदला, ख़र्च वही

विचार

कितने किलो ज़्यादा / कम

विचार

भुजा, त्रिज्या, कोर में बदलाव

विचार

आय, ख़र्च, कमीशन

आय, ख़र्च और बचत

आयकर और शुद्ध आय

कमीशन और बोनस

लोग, अंक, मतदान

जनसंख्या: दो वर्गों की अलग वृद्धि

उत्तीर्ण अंक और परीक्षा के प्रतिशत

चुनाव के प्रश्न

दो समूहों का मेल

घोल, मिश्रण, समीकरण

जो चीज़ नहीं बदलती

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प्रतिशत के समीकरण

प्रतिशत और प्रतिशत-अंक

सार, मिश्रित अभ्यास, दोहराव

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