त्रिकोणमिति: बहु-कोण सूत्र और अधिकतम-न्यूनतम मान

$\sin 2t$, $\cos 2t$, $\tan 2t$ के सूत्र, उनकी उत्पत्ति और कब कौन-सा रूप चुनें।

विचार

$\sin (A+B)$ के सूत्र में $B=A$ रख दीजिए: $\sin (A+A)=\sin A\cos A+\cos A\sin A=2\sin A\cos A$। बस, दोगुने कोण का सूत्र बन गया। यही चाल $\cos (A+A)$ और $\tan (A+A)$ पर चलती है। ध्यान रहे: $\sin 2t$ का मतलब “$2t$ की sine” है, $2\times \sin t$ नहीं; $t=30^{\circ }$ पर $\sin 60^{\circ }=0.866$ है पर $2\sin 30^{\circ }=1$।

$\cos 2t$ के तीन रूप क्यों? पहला $\cos (t+t)$ से सीधा आता है। फिर ${\sin }^{2}t=1-{\cos }^{2}t$ रखने पर $2{\cos }^{2}t-1$ मिलता है, और ${\cos }^{2}t=1-{\sin }^{2}t$ रखने पर $1-2{\sin }^{2}t$। तीनों बराबर हैं; वह रूप चुनिए जिसमें केवल वही चीज़ आए जो आपको पता है।

कदम

1. देखिए क्या दिया है ($\sin t$, $\cos t$ या $\tan t$) और क्या माँगा है ($2t$ की कोई वस्तु)।
2. जो अनुपात गायब है, उसे समकोण त्रिभुज से निकालिए (अध्याय 1), और चतुर्थांश से चिह्न तय कीजिए।
3. वह सूत्र चुनिए जिसमें केवल मालूम चीज़ें हों।
4. गणना कीजिए; अंत में जाँचिए कि $2t$ के चतुर्थांश में उत्तर का चिह्न सही है।

हल किए उदाहरण

अभ्यास (हल छिपे हैं)

$\sin 3t$, $\cos 3t$, $\tan 3t$ के सूत्र, उनकी उत्पत्ति और उल्टी दिशा में इस्तेमाल।

विचार

तीन गुना कोण को $2t+t$ की तरह तोड़िए और पिछली विधि का दोगुना-कोण सूत्र लगाइए:

1. $\sin 3t=\sin (2t+t)=\sin 2t\cos t+\cos 2t\sin t$।
2. $\sin 2t=2\sin t\cos t$ और $\cos 2t=1-2{\sin }^{2}t$ रखिए: $=2\sin t{\cos }^{2}t+(1-2{\sin }^{2}t)\sin t$।
3. ${\cos }^{2}t=1-{\sin }^{2}t$ रखिए: $=2\sin t-2{\sin }^{3}t+\sin t-2{\sin }^{3}t=3\sin t-4{\sin }^{3}t$।
4. $\cos 3t$ भी वैसे ही: $\cos 2t\cos t-\sin 2t\sin t=(2{\cos }^{2}t-1)\cos t-2{\sin }^{2}t\cos t=4{\cos }^{3}t-3\cos t$।

कब लगाएँ

• $\sin t$ (या $\cos t$) का मान दिया है और $\sin 3t$ माँगा है — कोण ढूँढे बिना।
• व्यंजक $3\sin \square -4{\sin }^3\square$ या $4{\cos }^3\square -3\cos \square$ दिखे: यह $\sin 3\square$ या $\cos 3\square$ है।
• $x+\frac{1}{x}=2\cos t$ जैसी बीजगणित वाली शर्त: $x^3+\frac{1}{x^3}=2\cos 3t$।

हल किए उदाहरण

अभ्यास (हल छिपे हैं)

जब $\cos t$ पता हो और आधे कोण का मान चाहिए, या $22.5^{\circ }$, $15^{\circ }$, $75^{\circ }$ जैसा कोण आए।

विचार

दोगुने कोण के सूत्र में $t$ की जगह $\frac{t}{2}$ रख दीजिए, तो वही सूत्र आधे कोण का सूत्र बन जाता है: $\cos t=1-2{\sin }^2\frac{t}{2}$ और $\cos t=2{\cos }^2\frac{t}{2}-1$। इन्हें $\sin \frac{t}{2}$ और $\cos \frac{t}{2}$ के लिए हल कर लीजिए — वर्गमूल आएगा, इसलिए $\pm$ भी।

यहाँ: $t$ वह कोण है जिसकी sine-cosine हमें पता है ($45^{\circ }$, $30^{\circ }$, $150^{\circ }$); $\tan \frac{t}{2}$ वही कोण है जो पूछा गया। (ऊँचाई-दूरी में $\tan 15^{\circ }=2-\sqrt{3}$ और $\tan 75^{\circ }=2+\sqrt{3}$ बार-बार आते हैं।)

कदम

1. तय कीजिए कि पूछा गया कोण किसका आधा है (यही $t$ है), और $\cos t$ (या $\sin t$) निकालिए।
2. tangent माँगा हो तो $\frac{\sin t}{1+\cos t}$ लगाइए — कोई चिह्न-सवाल नहीं।
3. $\sin$ या $\cos$ माँगा हो तो वर्गमूल वाला रूप लगाइए और $\frac{t}{2}$ के चतुर्थांश से $\pm$ तय कीजिए।

हल किए उदाहरण

अभ्यास (हल छिपे हैं)

दोगुना और तिगुना कोण मिलाकर $\sin 18^{\circ }$ और $\cos 36^{\circ }$ का सटीक मान बनाना (रटना नहीं), और उनके गुणनफल।

विचार

$\theta =18^{\circ }$ लीजिए। तब $5\theta =90^{\circ }$, यानी $2\theta +3\theta =90^{\circ }$ और $2\theta =90^{\circ }-3\theta$। पूरक कोणों की sine और cosine बराबर होती हैं, इसलिए $\sin 2\theta =\cos 3\theta$। बाईं ओर दोगुना कोण, दाईं ओर तिगुना कोण — दोनों के सूत्र हमारे पास हैं, और सब कुछ $\sin \theta$ का समीकरण बन जाता है।

1. $\sin 2\theta =\cos 3\theta$ में दोनों के सूत्र लगाइए: $2\sin \theta \cos \theta =4{\cos }^3\theta -3\cos \theta$।
2. $\cos \theta \ne 0$ है, इसलिए उससे भाग दीजिए: $2\sin \theta =4{\cos }^2\theta -3=4(1-{\sin }^2\theta )-3=1-4{\sin }^2\theta$।
3. $s=\sin 18^{\circ }$ रखिए: $4s^2+2s-1=0$। द्विघात सूत्र: $s=\frac{-2\pm \sqrt{4+16}}{8}=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{4}$।
4. $\sin 18^{\circ }$ धनात्मक है, इसलिए $\sin 18^{\circ }=\frac{\sqrt{5}-1}{4}\approx 0.309$ (ऋण वाला मूल $\approx -0.809$ हटाइए)।
5. अब $\cos 36^{\circ }=1-2{\sin }^{2}18^{\circ }=1-2\cdot \frac{6-2\sqrt{5}}{16}=\frac{1+\sqrt{5}}{4}$, और $\cos 72^{\circ }=\sin 18^{\circ }$ (पूरक कोण)।

यहाँ: $\sin 54^{\circ }=\cos 36^{\circ }$ और $\cos 54^{\circ }=\sin 36^{\circ }$ (पूरक कोण), इसलिए चार सरल मान हैं: $\sin 18^{\circ }$, $\cos 36^{\circ }$, और उनसे $\cos 72^{\circ }$, $\sin 54^{\circ }$। बाकी दो ($\cos 18^{\circ }$, $\sin 36^{\circ }$) $\sqrt{1-{\sin }^2}$ से मिलते हैं।

हल किए उदाहरण

अभ्यास (हल छिपे हैं)

तीन कोणों वाला गुणनफल, उसका प्रमाण और उसे पहचानने का तरीका (cos और tan के रूप में भी)।

कोण जब हर बार दोगुना हो: गुणनफल को $\frac{\sin 2^{n}x}{2^n\sin x}$ में बदलना, और भागफल वाले रूप।

$A+B=45^{\circ }$, $135^{\circ }$, $90^{\circ }$ और $A+B+C=180^{\circ }$ से बने तैयार रिश्ते और उनकी उत्पत्ति।

श्रेणी का योग दिया हो तो कोण निकालना: पहला पद, अनुपात, शर्त $|r|<1$, और सारे हल।

हर अनुपात कौन-से मान ले सकता है, $\sec$ और $\mathrm{cosec}$ कभी $-1$ और $1$ के बीच क्यों नहीं जाते, और $k+mf(t)$ की पहुँच।

व्यंजक को एक ही फलन ($\sin t$ या $\cos t$) में लिखकर द्विघात की तरह हल करना; शीर्ष अंदर है या बाहर, यह जाँच।

$a\sin t+b\cos t=R\sin (t+\alpha )$ की उत्पत्ति, उससे सबसे बड़ा-छोटा मान, अचर और घातांक वाले रूप, और $\sin t\cos t$ वाले व्यंजक।

धनात्मक संख्या और उसके “उलटे” वाले योग का न्यूनतम मान: उत्पत्ति, कब बराबरी होती है, और $\tan t+\cot t$ कभी $-2$ से $2$ के बीच क्यों नहीं जाता।

जब ${\sin }^{2}t$ और उसका उलटा साथ हों: AM-GM कब लगता है और कब न्यूनतम सीमा पर $u=1$ पर मिलता है।

घातों वाले व्यंजकों के सीमाएँ: $\frac{1}{2^n}$ वाला नियम, ${\sin }^4+{\cos }^4$ और ${\sin }^6+{\cos }^6$, और वह भ्रम कि न्यूनतम हमेशा $45^{\circ }$ पर होता है।

जब $A+B+C=180^{\circ }$ हो तो सममित व्यंजकों के सबसे बड़े/छोटे मान: समबाहु त्रिभुज (हर कोण $60^{\circ }$) पर।

हर विधि: प्रश्न कैसे पहचानें और कौन-सा सूत्र लगाएँ।

सभी पंद्रह विधियों के मिले-जुले प्रश्न; पहले पहचानिए कि कौन-सी विधि लगेगी।

एक नज़र में सारे सूत्र और वे गलतियाँ जो नंबर कटवाती हैं।