2D क्षेत्रमिति: बहुभुज, वृत्त और त्रिज्यखंड

बाह्य और आंतरिक कोण, आंतरिक कोणों का योग, विकर्णों की संख्या और इनसे भुजाएँ निकालना।

एक बहुभुज (मान लीजिए खेत की बाड़) के चारों ओर चलिए। हर कोने पर आपको कुछ मुड़ना पड़ता है। जब आप पूरा चक्कर लगाकर पहले जैसी दिशा में खड़े होते हैं, तो आप ठीक एक पूरा चक्कर, यानी $360^{\circ }$, घूम चुके होते हैं। हर कोने पर मुड़ा हुआ कोण बाह्य कोण है। इसलिए किसी भी (उत्तल) बहुभुज के सभी बाह्य कोणों का योग हमेशा $360^{\circ }$ होता है।

सम बहुभुज में सभी बाह्य कोण बराबर होते हैं, इसलिए हर बाह्य कोण $=\frac{360^{\circ }}{n}$। हर कोने पर आंतरिक और बाह्य कोण मिलकर सीधी रेखा ($180^{\circ }$) बनाते हैं, इसलिए हर आंतरिक कोण $=180^{\circ }-\frac{360^{\circ }}{n}$।

आंतरिक कोणों का योग: एक शीर्ष से बाकी शीर्षों तक विकर्ण खींचिए। बहुभुज $(n-2)$ त्रिभुजों में बँट जाता है, और हर त्रिभुज के कोणों का योग $180^{\circ }$ है। उसी शीर्ष से $n-3$ विकर्ण निकलते हैं (खुद को और दो पड़ोसियों को छोड़कर)। सभी $n$ शीर्षों से मिलाकर $n(n-3)$, पर हर विकर्ण दो बार गिना गया — इसलिए आधा।

तालिका के अक्षर: $n$ = भुजाएँ (साथ में बहुभुज का नाम), $i$ और $e$ = सम बहुभुज का एक आंतरिक और एक बाह्य कोण, $D$ = विकर्ण। इन पंक्तियों को याद कर लीजिए: $108,120,135,144,150$ बार-बार आते हैं। आंतरिक कोणों का योग हर पंक्ति के लिए $(n-2)\times 180$ से सीधा निकलता है।

1. तय कीजिए कि बहुभुज सम (regular) है या नहीं। सम हो तो हर कोण बराबर है।
2. सबसे पहले बाह्य कोण पर आइए: $e=\frac{360}{n}$ या $e=180-i$। भुजाएँ निकालने का यही सबसे छोटा रास्ता है।
3. योग चाहिए तो $(n-2)\times 180$; विकर्ण चाहिए तो $\frac{n(n-3)}{2}$।
4. उत्तर की जाँच कीजिए: $n$ पूर्ण संख्या और 3 या अधिक होनी चाहिए।

षट्भुज का क्षेत्रफल, परिमाप, त्रिज्याएँ, विकर्ण, और वृत्त के साथ संबंध।

सम षट्भुज का सबसे सुंदर गुण: उसे केंद्र से छह कोनों से जोड़ने पर छह बराबर समबाहु त्रिभुज बनते हैं। कारण: केंद्र पर छह बराबर कोण $\frac{360}{6}=60^{\circ }$ के हैं और दोनों भुजाएँ (केंद्र से कोने तक) बराबर हैं, इसलिए बाकी दो कोण भी $60^{\circ }$ के निकलते हैं। इसका मतलब: केंद्र से हर कोने की दूरी $R$ षट्भुज की भुजा $a$ के बराबर है।

अब सब कुछ समबाहु त्रिभुज से निकलता है। एक त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2$, इसलिए छह का $\frac{3\sqrt{3}}{2}{a}^2$। केंद्र से भुजा पर लंब (अंतःत्रिज्या) समबाहु त्रिभुज की ऊँचाई है: $r=\frac{\sqrt{3}}{2}a$। आमने-सामने की दो भुजाओं के बीच की दूरी $2r=\sqrt{3}a$ और सबसे लंबा विकर्ण (केंद्र से होकर) $2a$ है।

1. षट्भुज की भुजा $a$ पता कीजिए (दी हो, या क्षेत्रफल/परिमाप/त्रिज्या/दूरी से निकालिए)।
2. पूछी गई चीज़ को छह त्रिभुजों के रूप में सोचिए: क्षेत्रफल $=6\times \frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2$।
3. वृत्त वाले प्रश्न में पहले तय कीजिए कि वृत्त कोनों से गुज़रता है ($R=a$) या भुजाओं को छूता है ($r=\frac{\sqrt{3}}{2}a$)।

अष्टभुज को वर्ग से बनाना: भुजा, क्षेत्रफल, वर्ग से संबंध और बर्बादी।

सम अष्टभुज (जैसे स्टॉप-साइन) को याद रखने का सबसे अच्छा तरीका है उसे एक वर्ग से चारों कोने काटकर बना हुआ सोचना। हर कोने से एक समकोण समद्विबाहु त्रिभुज कटता है। उसकी बराबर भुजाएँ $x$ हों तो कर्ण $x\sqrt{2}$ बनता है, और यही कर्ण अष्टभुज की एक भुजा $a$ है: $a=x\sqrt{2}$, यानी $x=\frac{a}{\sqrt{2}}$।

वर्ग की भुजा: $S=a+x+x=a+2\cdot \frac{a}{\sqrt{2}}=a+\sqrt{2}a=a(1+\sqrt{2})$। क्षेत्रफल: वर्ग में से चार कोने घटाइए। चार कोनों का क्षेत्रफल $4\times \frac{1}{2}{x}^2=2x^2=2\cdot \frac{a^2}{2}=a^2$। इसलिए अष्टभुज $=S^2-a^2=a^2(1+\sqrt{2}{)}^2-a^2=a^2(3+2\sqrt{2}-1)=a^2(2+2\sqrt{2})=2(1+\sqrt{2})a^2$।

तालिका के अक्षर: $a$ = अष्टभुज की भुजा, $S$ = मूल वर्ग की भुजा। $\sqrt{2}-1$ और $\sqrt{2}+1$ एक-दूसरे के व्युत्क्रम हैं (गुणनफल 1), इसलिए $\frac{1}{1+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1$।

1. कटे कोने का समकोण त्रिभुज बनाइए: बराबर भुजा $x$, कर्ण $a=x\sqrt{2}$।
2. वर्ग की भुजा $S=a+2x$ से $a$, $x$ और $S$ को जोड़िए: कोई एक दिया हो तो बाकी निकल आते हैं।
3. क्षेत्रफल के लिए सूत्र $2(1+\sqrt{2})a^2$ या “वर्ग $-$ चार कोने” लीजिए; दोनों एक-से उत्तर देते हैं।

$n$ त्रिभुजों में काटकर क्षेत्रफल, अंतःत्रिज्या और परिवृत्त त्रिज्या, और बहुभुजों की तुलना।

हर सम बहुभुज को केंद्र से सभी कोनों से जोड़ने पर $n$ बराबर समद्विबाहु त्रिभुज मिलते हैं। हर त्रिभुज का आधार बहुभुज की भुजा $a$ है, और उसकी ऊँचाई केंद्र से भुजा पर लंब दूरी है जिसे अंतःत्रिज्या (apothem) $r$ कहते हैं। केंद्र पर हर त्रिभुज का कोण $\frac{360^{\circ }}{n}$ है।

कुल क्षेत्रफल $=n\times \frac{1}{2}ar=\frac{1}{2}(na)r=\frac{1}{2}\times P\times r$, जहाँ $P=na$ परिमाप है। यही बात वृत्त पर भी चलती है (उसे असंख्य भुजाओं वाला बहुभुज मानिए): परिमाप $2\pi r$ और अंतःत्रिज्या $r$ से क्षेत्रफल $\frac{1}{2}\times 2\pi r\times r=\pi r^2$। सही सूत्र है!

अंतःत्रिज्या और परिवृत्त त्रिज्या जोड़ने वाला समकोण त्रिभुज: केंद्र से भुजा के मध्य-बिंदु तक $r$, मध्य-बिंदु से कोने तक $\frac{a}{2}$, और केंद्र से कोने तक $R$। पाइथागोरस: $R^2=r^2+{\left(\frac{a}{2}\right)}^2$। कोण $\frac{180^{\circ }}{n}$ का उपयोग करें तो $r=\frac{a}{2}\cot \frac{180^{\circ }}{n}$ और $R=\frac{a}{2\sin \frac{180^{\circ }}{n}}$। इन्हें हर बार निकालने की ज़रूरत नहीं: $n=3,4,6$ के लिए मान आसान हैं और बाकी की संख्याएँ प्रश्न में दी जाती हैं।

तालिका के अक्षर: $n$ = भुजाएँ; $r$, $R$ और $A$ भुजा $a=1$ मानकर दिए हैं (किसी और भुजा के लिए $r,R$ को $a$ से और क्षेत्रफल $A$ को $a^2$ से गुणा कीजिए)। इन्हें रटने की ज़रूरत नहीं — बस यह देखिए कि $n$ बढ़ने से आकृति वृत्त के पास पहुँचती है ($r$ और $R$ पास आते जाते हैं)।

तालिका के अक्षर: $n$ = एक ही वृत्त (त्रिज्या $R$) में अंकित बहुभुज की भुजाएँ; क्षेत्रफल $R^2$ के गुणज में है; हर मान $\frac{n}{2}\sin \frac{360^{\circ }}{n}$ है, यानी $n$ त्रिभुज जिनकी दो भुजाएँ $R$ और बीच का कोण $\frac{360}{n}$। भुजाएँ बढ़ने पर क्षेत्रफल बढ़कर वृत्त ($\pi R^2$) के पास पहुँचता है। दोनों बातें याद रखिए: एक ही वृत्त में अधिक भुजाएँ ⟹ अधिक क्षेत्रफल; बराबर परिमाप में भी अधिक भुजाएँ ⟹ अधिक क्षेत्रफल, और वृत्त सबसे अधिक।

1. बहुभुज की भुजा $a$, परिमाप $P=na$ और अंतःत्रिज्या $r$ में से जो दिया हो लिखिए।
2. क्षेत्रफल चाहिए: $\frac{1}{2}Pr$। $r$ या $P$ चाहिए: सूत्र उलटाइए।
3. कोना और भुजा जोड़ना हो तो समकोण त्रिभुज $\left(r,\frac{a}{2},R\right)$ लीजिए।

वृत्त के सूत्र कहाँ से आते हैं, $\pi$ का मान कब कौन-सा लें, और त्रिज्या निकालना।

आधे और चौथाई वृत्त का क्षेत्रफल-परिमाप (सीधा किनारा न भूलें), आयत के साथ जुड़ी आकृतियाँ।

चाप की लंबाई, त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल और परिमाप, घड़ी और पिज़्ज़ा जैसे प्रश्न, और कोण या त्रिज्या निकालना।

जीवा से कटा खंड: छोटा और बड़ा खंड, $60^{\circ }$, $90^{\circ }$, $120^{\circ }$ के खंड और जीवा की लंबाई।

दो संकेंद्री वृत्तों के बीच का क्षेत्र: क्षेत्रफल, चौड़ाई, और बाहरी या भीतरी त्रिज्या निकालना।

पहिया लुढ़कने पर दूरी, चक्कर और चाल; दो पहियों की तुलना; इकाइयाँ बदलना।

त्रिज्या या व्यास में प्रतिशत परिवर्तन से परिधि और क्षेत्रफल का परिवर्तन, उलटे प्रश्न, अनुपात और त्रिज्या में जोड़।

हर विधि: प्रश्न कैसे पहचानें और कौन-सा सूत्र या शॉर्टकट लगाएँ।

SSC CGL/CHSL/CPO जैसे मिले-जुले प्रश्न — पहले विधि पहचानिए, फिर हल कीजिए।

सूत्र और शॉर्टकट याद करने के कार्ड, और परीक्षा की सबसे आम गलतियाँ।