x + 1/x: चक्र, सीमाएँ और कई चर

SSC CGL · CHSL · CPO — विधि-दर-विधि

4 भाग15 हल किए उदाहरण27 अभ्यास प्रश्न

पिछले चैप्टर (“x + 1/x वाले व्यंजक”) में सीढ़ी चढ़ना सीखा: $x + \frac{1}{x}$ से $x^{2} + \frac{1}{x ^{2}}$ , $x^{3} + \frac{1}{x ^{3}}$ … पर $x^{100}$ तक सीढ़ी चढ़ना असंभव है। कुछ विशेष मानों ( $x + \frac{1}{x} = 1, - 1, 0, 2, 3$ ) पर सीढ़ी के मान दोहराने लगते हैं, और तब कोई भी बड़ी घात बस चक्र में गिनती का सवाल बन जाती है। इस चैप्टर में वही चक्र, उसके बाद $x + \frac{1}{x} = 2$ जैसी सीमा की स्थितियाँ और न्यूनतम मान, और अंत में $\frac{a}{b} + \frac{b}{a}$ तथा तीन चर वाले प्रश्न हैं।

पहले क्यापहले उस चैप्टर की सीढ़ी (वर्ग, घन, गुणा) पक्की कर लीजिए; यहाँ उसे जाना हुआ मानकर चलते हैं।

चक्र

विशेष मान · बड़ी घातें ·

x^{2} + x + 1 = 0

x + 1/x के विशेष मानों पर घातों का दोहराव।

तीन विधियाँ: चक्र पहचानना, बड़ी घात को चक्र में उतारना, और $x^{2} + x + 1 = 0$ जैसे समीकरण से बहुपद का मान निकालना।

विशेष मान और घातों का चक्र

a_{n} = \pm 2 \Rightarrow x^{n} = \pm 1

$x + \frac{1}{x} = 1, - 1, 0, 2, 3$ पर घातें किस चक्र में घूमती हैं।

विचार

$x + \frac{1}{x} = 1$ लीजिए। दोनों ओर $x$ से गुणा करें तो $x^{2} + 1 = x$ , यानी $x^{2} - x + 1 = 0$ । अब $(x + 1)$ से गुणा कीजिए: $(x + 1) (x^{2} - x + 1) = x^{3} + 1 = 0$ । इसलिए $x^{3} = - 1$ , और उससे $x^{6} = 1$ : घातें $6$ के बाद फिर वहीं लौट आती हैं। यही हर विशेष मान की कहानी है। सीधा नियम: यदि सीढ़ी का कोई मान $a_{n} = 2$ हो तो $x^{n} + \frac{1}{x ^{n}} - 2 = 0$ , यानी $(x^{n} - 1)^{2} = 0$ और $x^{n} = 1$ ; $a_{n} = - 2$ हो तो $x^{n} = - 1$ ; और $a_{n} = 0$ हो तो $x^{2 n} = - 1$ ।

∑ सूत्र

a_{n} = x^{n} + \frac{1}{x ^{n}} : a_{n} = 2 \Rightarrow x^{n} = 1, a_{n} = - 2 \Rightarrow x^{n} = - 1, a_{n} = 0 \Rightarrow x^{2 n} = - 1

सीढ़ी से चक्र पढ़ना

$a_{n}$: $x^{n} + \frac{1}{x ^{n}}$ , सीढ़ी का $n$ -वाँ मान
$n$: घात

◭ चित्र

x + \frac{1}{x} = 1

x

की घातें एक वृत्त पर

6 0^{\circ}

के क़दमों में घूमती हैं और

6

क़दम बाद लौटती हैं;

x^{n} + \frac{1}{x ^{n}}

उस बिंदु की क्षैतिज स्थिति का दोगुना है। (चित्र केवल चक्र समझाने के लिए है।)

◭ चित्र

x + \frac{1}{x} = 3

: क़दम

3 0^{\circ}

का है, इसलिए

12

क़दम का चक्र;

x^{6} = - 1

और

x^{12} = 1

।

$x + \frac{1}{x}$	समीकरण	मुख्य संबंध	चक्र	$a_{0}, a_{1}, a_{2}, \dots$ (एक चक्र)
$1$	$x^{2} - x + 1 = 0$	$x^{3} = - 1$	$6$	$2, 1, - 1, - 2, - 1, 1$
$- 1$	$x^{2} + x + 1 = 0$	$x^{3} = 1$	$3$	$2, - 1, - 1$
$0$	$x^{2} + 1 = 0$	$x^{2} = - 1$	$4$	$2, 0, - 2, 0$
$2$	$x^{2} - 2 x + 1 = 0$	$x^{4} = - 1$	$8$	$2, 2, 0, - 2, - 2, - 2, 0, 2$
$3$	$x^{2} - 3 x + 1 = 0$	$x^{6} = - 1$	$12$	$2, 3, 1, 0, - 1, - 3, - 2, - 3, - 1, 0, 1, 3$
$\frac{5 - 1}{2}$	$x^{2} - \frac{5 - 1}{2} x + 1 = 0$	$x^{5} = 1$	$5$	$2, \frac{- 1 + 5}{2}, \frac{- 1 - 5}{2}, \frac{- 1 - 5}{2}, \frac{- 1 + 5}{2}$

यहाँ: पहला स्तंभ दिया हुआ मान है, दूसरा उससे बनने वाली समीकरण, तीसरा वह घात जिस पर पहली बार $\pm 1$ आता है, चौथा चक्र की लंबाई (कितनी घात बाद सब दोहराता है) और अंतिम स्तंभ एक चक्र के $a_{n}$ मान। $a_{0} = 2$ सदा है।

$x + \frac{1}{x} = 2$ और $- 2$ भी विशेष हैं पर वे अगली विधियों में हैं ( $x = 1$ और $x = - 1$ )। परीक्षा के चार सबसे आम विशेष मान ये हैं: $1$ (चक्र $6$ ), $- 1$ (चक्र $3$ ), $3$ (चक्र $12$ ) और $0$ या $2$ (चक्र $4$ या $8$ )।

पहचानपहचान:

x + \frac{1}{x}

का मान

- 2

और

2

के बीच (या ठीक उनका आधा-गुणज

\pm 1, 0, \pm 2, \pm 3

) हो और घात बड़ी हो। पहले सीढ़ी के मान गिनिए,

\pm 2

पर चक्र पता चल जाएगा।

कदम

सीढ़ी के मान $a_{1}, a_{2}, \dots$ क्रम से निकालिए ( $a_{n + 1} = s a_{n} - a_{n - 1}$ )।
जिस पहले $n$ पर $a_{n} = \pm 2$ आए, वहाँ $x^{n} = \pm 1$ लिखिए (शून्य आए तो $x^{2 n} = - 1$ )।
उस संबंध की घात बनाकर आगे बढ़िए।

उदाहरण 1 · आसान

यदि

x + \frac{1}{x} = 1

हो, तो

x^{3}

और

x^{6}

ज्ञात कीजिए।

हल, कदम-दर-कदम

1सीढ़ी: $a_{1} = 1$ , $a_{2} = 1^{2} - 2 = - 1$ , $a_{3} = 1^{3} - 3 \times 1 = - 2$ ।
2 $a_{3} = - 2$ का मतलब $x^{3} + \frac{1}{x ^{3}} = - 2$ , यानी $(x^{3} + 1)^{2} = 0$ , इसलिए $x^{3} = - 1$ ।
3वर्ग करने पर $x^{6} = (- 1)^{2} = 1$ ।

उत्तर -1 ; 1

वैकल्पिक:

x^{2} - x + 1 = 0

को

(x + 1)

से गुणा करने पर भी

x^{3} + 1 = 0

मिला था।

उदाहरण 2 · मध्यम

यदि

x + \frac{1}{x} = 3

हो, तो चक्र ढूँढकर

x^{12}

ज्ञात कीजिए।

हल, कदम-दर-कदम

1 $a_{1} = 3$ , $a_{2} = 3 - 2 = 1$ , $a_{3} = 3 \times 1 - 3 = 0$ ।
2 $a_{3} = 0$ मतलब $x^{3} + \frac{1}{x ^{3}} = 0$ , यानी $x^{6} + 1 = 0$ और $x^{6} = - 1$ ।
3इसलिए $x^{12} = (x^{6})^{2} = (- 1)^{2} = 1$ ; चक्र $12$ घात का है।

उत्तर 1

ध्यान दीजिए: पहला

\pm 2

वाला मान

a_{6} = - 2

पर आता है, और वही

x^{6} = - 1

है।

उदाहरण 3 · मध्यम

यदि

x + \frac{1}{x} = 0

हो, तो

x^{2}

और

x^{4} + \frac{1}{x ^{4}}

ज्ञात कीजिए।

हल, कदम-दर-कदम

1 $a_{1} = 0$ , इसलिए $a_{2} = 0^{2} - 2 = - 2$ ।
2 $a_{2} = - 2$ मतलब $x^{2} = - 1$ ।
3 $x^{4} = 1$ , इसलिए $x^{4} + \frac{1}{x ^{4}} = 1 + 1 = 2$ ।

उत्तर -1 ; 2

x^{2} = - 1

का कोई वास्तविक

x

नहीं, पर बीजगणित के सूत्र फिर भी सही चलते हैं।

उदाहरण 4 · कठिन

यदि

x + \frac{1}{x} = 2

हो, तो

x^{4}

x^{8}

और

x^{12} + \frac{1}{x ^{12}}

ज्ञात कीजिए।

हल, कदम-दर-कदम

1 $a_{1} = 2$ , $a_{2} = 2 - 2 = 0$ । शून्य आया, इसलिए $x^{2} + \frac{1}{x ^{2}} = 0$ , यानी $x^{4} = - 1$ ।
2 $x^{8} = (x^{4})^{2} = 1$ ।
3 $x^{12} = x^{8} \cdot x^{4} = 1 \times (- 1) = - 1$ , और $\frac{1}{x ^{12}} = - 1$ , इसलिए $x^{12} + \frac{1}{x ^{12}} = - 2$ ।

उत्तर -1 ; 1 ; -2

12 = 8 + 4

: चक्र की घातें जोड़कर किसी भी घात तक जाया जा सकता है।

उदाहरण 5 · कठिन

यदि

x + \frac{1}{x} = \frac{5 - 1}{2}

हो, तो

x^{5}

ज्ञात कीजिए।

हल, कदम-दर-कदम

1 $a_{1} = \frac{5 - 1}{2}$ ; $a_{2} = a_{1}^{2} - 2 = \frac{3 - 5}{2} - 2 = \frac{- 1 - 5}{2}$ ।
2 $a_{3} = a_{1} a_{2} - a_{1} = \frac{- 1 - 5}{2}$ , $a_{4} = a_{1} a_{3} - a_{2} = \frac{- 1 + 5}{2}$ ।
3 $a_{5} = a_{1} a_{4} - a_{3} = 2$ । यह $2$ है, इसलिए $x^{5} = 1$ : चक्र $5$ का है।

उत्तर 1

यह पाँच-चक्र कम आता है; सीढ़ी की विधि फिर भी हर बार पहचान देती है।

अभ्यास

आसानपहले खुद करके देखें

यदि

x + \frac{1}{x} = 1

हो, तो

x^{3}

का मान है:

आसानपहले खुद करके देखें

यदि

x + \frac{1}{x} = - 1

हो, तो

x^{3}

का मान है:

मध्यमपहले खुद करके देखें

यदि

x + \frac{1}{x} = 3

हो, तो

x^{6}

का मान है:

मध्यमपहले खुद करके देखें

यदि

x + \frac{1}{x} = 0

हो, तो

x^{6} + \frac{1}{x ^{6}}

का मान है:

मध्यमपहले खुद करके देखें

यदि

x + \frac{1}{x} = 2

हो, तो

x^{4}

का मान है:

मध्यमपहले खुद करके देखें

यदि

x + \frac{1}{x} = 3

हो, तो

x^{5} + \frac{1}{x ^{5}}

का मान है:

कठिनपहले खुद करके देखें

यदि

x + \frac{1}{x} = 3

हो, तो

x^{18}

का मान है:

कठिनपहले खुद करके देखें

यदि

x + \frac{1}{x} = 1

हो, तो

x^{4} + \frac{1}{x ^{4}}

का मान है:

कठिनपहले खुद करके देखें

यदि

x + \frac{1}{x} = 0

हो, तो

x^{6}

का मान है:

बड़ी घातें: चक्र में उतारना

x^{N} \to x^{N mod P}

$x^{100} + \frac{1}{x ^{100}}$ जैसे प्रश्न बिना सीढ़ी चढ़े।

विचार

जब $x^{P} = 1$ हो (चक्र की लंबाई $P$ ), तो हर $P$ घात के बाद सब कुछ दोहराता है। इसलिए $N = P \times q + r$ लिखें ( $r$ वह शेषफल जो $N \div P$ में बचे), तब $x^{N} = (x^{P})^{q} x^{r} = x^{r}$ । यानी बड़ी घात $N$ का काम छोटी घात $r$ से चल जाता है: $x^{N} + \frac{1}{x ^{N}} = a_{r}$ । यह वही “घड़ी का हिसाब” है जिसमें $13$ बजे का मतलब $1$ बजे होता है। चक्र की लंबाई पिछली विधि की सारणी से मिलती है।

∑ सूत्र

x^{P} = 1 \Rightarrow x^{N} + \frac{1}{x ^{N}} = a_{N mod P}

घात को चक्र में उतारना

$N$: दी हुई (बड़ी) घात
$P$: चक्र की लंबाई
$N mod P$: $N \div P$ का शेषफल
$a_{r}$: सीढ़ी का $r$ -वाँ मान

$x + \frac{1}{x}$	चक्र $P$
$1$	$6$
$- 1$	$3$
$3$	$12$
$0$	$4$
$2$	$8$

यहाँ: बाएँ दिया हुआ मान है और दाएँ उसका चक्र। $P$ से भाग देकर शेषफल लीजिए, फिर पिछली विधि की सारणी में उसी $a_{r}$ को पढ़िए।

दूसरा रूप: केवल $x^{N}$ (भाग $\frac{1}{x ^{N}}$ के बिना) भी चक्र से घटता है। $x^{3} = - 1$ हो तो $x^{3 k} = (- 1)^{k}$ और $x^{n + 3} = - x^{n}$ ; इसलिए $x^{16} + x^{13} = x^{3} x^{13} + x^{13} = - x^{13} + x^{13} = 0$ । $x^{3} = 1$ हो तो $x^{n + 3} = x^{n}$ और एक पूरे चक्र की लगातार घातों का योग $1 + x + x^{2} = 0$ होता है।

वर्ग का रास्तादूसरा रास्ता, जब

N

दो की घात हो (

64

512

): बार-बार वर्ग

a_{2 n} = a_{n}^{2} - 2

। मान

- 1

पर टिक जाता है (

(- 1)^{2} - 2 = - 1

) और

2

पर भी (

2^{2} - 2 = 2

)।

कदम

सीढ़ी से चक्र की लंबाई $P$ निकालिए ( $a_{P} = 2$ पहली बार)।
$N$ को $P$ से भाग दीजिए और शेषफल $r$ लीजिए।
उत्तर $= a_{r}$ (केवल $x^{N}$ हो तो $x^{r}$ , चक्र के चिह्न के साथ)।

उदाहरण 6 · आसान

यदि

x + \frac{1}{x} = 1

हो, तो

x^{100} + \frac{1}{x ^{100}}

ज्ञात कीजिए।

हल, कदम-दर-कदम

1चक्र $6$ घात का है: $a_{0}, \dots, a_{5} = 2, 1, - 1, - 2, - 1, 1$ और फिर $a_{6} = 2$ ।
2 $100 = 6 \times 16 + 4$ , इसलिए $x^{100} = x^{4}$ ।
3 $a_{4} = - 1$ , इसलिए उत्तर $- 1$ ।

उत्तर -1

96

घात (

6

का गुणज) का असर नहीं पड़ता।

उदाहरण 7 · मध्यम

यदि

x + \frac{1}{x} = - 1

हो, तो

x^{50} + \frac{1}{x ^{50}}

ज्ञात कीजिए।

हल, कदम-दर-कदम

1 $a_{1} = - 1$ , $a_{2} = 1 - 2 = - 1$ , $a_{3} = (- 1) (- 1) - (- 1) = 2$ । इसलिए $x^{3} = 1$ और चक्र $3$ का है।
2 $50 = 3 \times 16 + 2$ , इसलिए $x^{50} = x^{2}$ ।
3 $a_{2} = - 1$ , इसलिए उत्तर $- 1$ ।

उत्तर -1

चक्र

3

का हो तो

N mod 3

देखिए: शेषफल

0

पर

2

, बाक़ी पर

- 1

।

उदाहरण 8 · मध्यम

यदि

x + \frac{1}{x} = 3

हो, तो

x^{150} + \frac{1}{x ^{150}}

और

x^{200} + \frac{1}{x ^{200}}

ज्ञात कीजिए।

हल, कदम-दर-कदम

1चक्र $12$ का है: $a_{0}, \dots, a_{11} = 2, 3, 1, 0, - 1, - 3, - 2, - 3, - 1, 0, 1, 3$ ।
2 $150 = 12 \times 12 + 6$ , इसलिए $a_{150} = a_{6} = - 2$ ।
3 $200 = 12 \times 16 + 8$ , इसलिए $a_{200} = a_{8} = - 1$ ।

उत्तर -2 ; -1

a_{6} = - 2

मतलब

x^{150} = - 1

: आधे चक्र पर चिह्न उलट जाता है।

उदाहरण 9 · कठिन

यदि

x + \frac{1}{x} = 1

हो, तो

x^{25} + x^{26} + x^{27} + x^{28} + x^{29} + x^{30}

ज्ञात कीजिए।

हल, कदम-दर-कदम

1 $x^{3} = - 1$ । इसलिए $x^{28} = x^{3} x^{25} = - x^{25}$ , यानी $x^{25} + x^{28} = 0$ ।
2वैसे ही $x^{26} + x^{29} = 0$ और $x^{27} + x^{30} = 0$ ।
3तीनों जोड़े शून्य हैं, इसलिए कुल योग $0$ ।

उत्तर 0

3

दूरी वाली घातें जोड़ी बनाती हैं, क्योंकि

x^{3} = - 1

।

उदाहरण 10 · कठिन

यदि

x + \frac{1}{x} = 2

हो, तो

x^{64} + \frac{1}{x ^{64}}

ज्ञात कीजिए।

हल, कदम-दर-कदम

1वर्ग का रास्ता: $a_{2} = (2)^{2} - 2 = 0$ ।
2 $a_{4} = 0^{2} - 2 = - 2$ , $a_{8} = (- 2)^{2} - 2 = 2$ ।
3 $2$ पर मान टिक जाता है: $a_{16} = 2^{2} - 2 = 2$ , और इसी तरह $a_{32} = a_{64} = 2$ ।

उत्तर 2

चक्र वाला रास्ता:

64 = 8 \times 8

, इसलिए

x^{64} = 1

और उत्तर

2

।

अभ्यास

आसानपहले खुद करके देखें

यदि

x + \frac{1}{x} = 1

हो, तो

x^{150} + \frac{1}{x ^{150}}

का मान है:

आसानपहले खुद करके देखें

यदि

x + \frac{1}{x} = - 1

हो, तो

x^{101} + \frac{1}{x ^{101}}

का मान है:

मध्यमपहले खुद करके देखें

यदि

x + \frac{1}{x} = 3

हो, तो

x^{47} + \frac{1}{x ^{47}}

का मान है:

मध्यमपहले खुद करके देखें

यदि

x + \frac{1}{x} = 0

हो, तो

x^{102} + \frac{1}{x ^{102}}

का मान है:

मध्यमपहले खुद करके देखें

यदि

x + \frac{1}{x} = 2

हो, तो

x^{19} + \frac{1}{x ^{19}}

का मान है:

मध्यमपहले खुद करके देखें

यदि

x + \frac{1}{x} = 1

हो, तो

x^{99} + x^{96}

का मान है:

कठिनपहले खुद करके देखें

यदि

x + \frac{1}{x} = 1

हो, तो

x^{2025} + \frac{1}{x ^{2025}}

का मान है:

कठिनपहले खुद करके देखें

यदि

x + \frac{1}{x} = 3

हो, तो

x^{1000} + \frac{1}{x ^{1000}}

का मान है:

कठिनपहले खुद करके देखें

यदि

x + \frac{1}{x} = - 1

हो, तो

x^{100} + x^{200}

का मान है:

$x^{2} + x + 1 = 0$ वाले व्यंजक

x^{3} = 1

या

x^{3} = - 1

समीकरण $x^{2} \pm x + 1 = 0$ दी हो और बहुपद का मान पूछा जाए।

विचार

यह वही विशेष मान है, बस $x + \frac{1}{x}$ की जगह उसकी समीकरण दी गई है: $x + \frac{1}{x} = - 1 ⟺ x^{2} + x + 1 = 0$ और $x + \frac{1}{x} = 1 ⟺ x^{2} - x + 1 = 0$ । इसलिए वही चक्र: $x^{2} + x + 1 = 0$ से $x^{3} = 1$ और $x^{2} - x + 1 = 0$ से $x^{3} = - 1$ । हर घात $x^{e}$ को $x^{0}$ , $x^{1}$ या $x^{2}$ में उतारिए (चिह्न के साथ), फिर $x^{2} = - x - 1$ (या $x^{2} = x - 1$ ) रखिए: $x$ वाले पद कट जाएँगे और संख्या बचेगी।

∑ सूत्र

x^{2} + x + 1 = 0 \Rightarrow x^{3} = 1, x^{2} = - x - 1, 1 + x + x^{2} = 0; x^{2} - x + 1 = 0 \Rightarrow x^{3} = - 1, x^{2} = x - 1

दोनों समीकरणों के परिणाम

$x^{3}$: चक्र का संबंध
$1 + x + x^{2} = 0$: लगातार तीन घातों का योग शून्य

पहचानपहचान: बहुपद में

x^{20}, x^{100}

जैसी बड़ी घातें और दी हुई समीकरण

x^{2} \pm x + 1 = 0

। सुविधा:

x^{2} + 1 = - x

और

x + 1 = - x^{2}

(जब

x^{2} + x + 1 = 0

) कई गुणनफलों को एक पंक्ति में तोड़ देते हैं।

कदम

$x^{3} = \pm 1$ लिखिए ( $(x \mp 1)$ से गुणा करके)।
हर घात को $x^{0}, x^{1}, x^{2}$ में उतारिए।
$x^{2}$ को समीकरण से बदलकर $x$ वाले पद काटिए।

उदाहरण 11 · आसान

यदि

x^{2} + x + 1 = 0

हो, तो

x^{10} + x^{8} + 1

ज्ञात कीजिए।

हल, कदम-दर-कदम

1 $(x - 1)$ से गुणा: $x^{3} - 1 = 0$ , इसलिए $x^{3} = 1$ ।
2 $x^{10} = x^{9} \cdot x = x$ और $x^{8} = x^{6} \cdot x^{2} = x^{2}$ ।
3योग: $x + x^{2} + 1 = 0$ , यही दी हुई समीकरण है।

उत्तर 0

तीन लगातार घातों का योग शून्य होना इस विधि का सबसे बार-बार आने वाला नतीजा है।

उदाहरण 12 · मध्यम

यदि

x^{2} + x + 1 = 0

हो, तो

\frac{( x ^{2} + 1 ) ^{3}}{x ^{3}}

ज्ञात कीजिए।

हल, कदम-दर-कदम

1समीकरण से $x^{2} + 1 = - x$ ।
2इसलिए अंश $(x^{2} + 1)^{3} = (- x)^{3} = - x^{3}$ ।
3मान $= \frac{- x ^{3}}{x ^{3}} = - 1$ ।

उत्तर -1

यहाँ

x^{3} = 1

की भी ज़रूरत नहीं पड़ी, केवल

x^{2} + 1 = - x

।

उदाहरण 13 · मध्यम

यदि

x^{2} - x + 1 = 0

हो, तो

x^{12} + x^{6} + 1

ज्ञात कीजिए।

हल, कदम-दर-कदम

1 $(x + 1)$ से गुणा: $x^{3} + 1 = 0$ , इसलिए $x^{3} = - 1$ ।
2 $x^{6} = (- 1)^{2} = 1$ और $x^{12} = (- 1)^{4} = 1$ ।
3योग: $1 + 1 + 1 = 3$ ।

उत्तर 3

x^{3} = - 1

हो तो घात

3 k

का चिह्न

(- 1)^{k}

है।

उदाहरण 14 · कठिन

यदि

x^{2} + x + 1 = 0

हो, तो

1 + x + x^{2} + x^{3} + \dots + x^{2025}

ज्ञात कीजिए।

हल, कदम-दर-कदम

1शब्द $x^{0}$ से $x^{2025}$ तक कुल $2026$ हैं। पहले $2025$ शब्दों को तीन-तीन के समूहों में बाँटिए: $2025 = 3 \times 675$ समूह।
2हर समूह $x^{3 k} (1 + x + x^{2}) = 0$ , क्योंकि $1 + x + x^{2} = 0$ ।
3बचा आख़िरी शब्द $x^{2025} = (x^{3})^{675} = 1$ । कुल योग $0 + 1 = 1$ ।

उत्तर 1

गिनती का हिसाब: शब्दों की संख्या को

3

से भाग देकर शेषफल देखिए; शेष शब्द ही उत्तर बनाते हैं।

उदाहरण 15 · कठिन

यदि

x^{2} + x + 1 = 0

हो, तो

(x + 2) (x^{2} + 2)

ज्ञात कीजिए।

हल, कदम-दर-कदम

1गुणा खोलिए: $(x + 2) (x^{2} + 2) = x^{3} + 2 x + 2 x^{2} + 4$ ।
2 $x^{3} = 1$ और $2 x + 2 x^{2} = 2 (x + x^{2}) = 2 \times (- 1) = - 2$ (क्योंकि $x + x^{2} = - 1$ )।
3योग: $1 - 2 + 4 = 3$ ।

उत्तर 3

x + x^{2} = - 1

को “जोड़ी” की तरह रखना सबसे तेज़ रहता है।

अभ्यास

आसानपहले खुद करके देखें

यदि

x^{2} + x + 1 = 0

हो, तो

x^{20} + x^{10} + 1

का मान है:

आसानपहले खुद करके देखें

यदि

x^{2} + x + 1 = 0

हो, तो

x^{3} + x^{6} + x^{9}

का मान है:

मध्यमपहले खुद करके देखें

यदि

x^{2} - x + 1 = 0

हो, तो

x^{9} + x^{3}

का मान है:

मध्यमपहले खुद करके देखें

यदि

x^{2} + x + 1 = 0

हो, तो

x^{4} + x^{5} + 3 + x^{6}

का मान है:

मध्यमपहले खुद करके देखें

यदि

x^{2} + x + 1 = 0

हो, तो

x^{2} + x + 5

का मान है:

मध्यमपहले खुद करके देखें

यदि

x^{2} - x + 1 = 0

हो, तो

x^{18} + x^{12} + x - x^{2}

का मान है:

कठिनपहले खुद करके देखें

यदि

x^{2} + x + 1 = 0

हो, तो

x^{100} + x^{200} + x^{300}

का मान है:

कठिनपहले खुद करके देखें

यदि

x^{2} - x + 1 = 0

हो, तो

x^{2025}

का मान है:

कठिनपहले खुद करके देखें

यदि

x^{2} + x + 1 = 0

हो, तो

x^{30} + x^{31} + x^{32} + 2

का मान है:

सीमाएँ

x + \frac{1}{x} = 2

· न्यूनतम मान

$x + \frac{1}{x}$ कितना छोटा हो सकता है और $2$ पर क्या होता है।

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$x + \frac{1}{x}$ की सीमा और $= 2$ का परिणाम

∣ x + \frac{1}{x} ∣ \geq 2

$x + \frac{1}{x} = \pm 2$ पर $x = \pm 1$ और कौन-से मान असंभव हैं।

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न्यूनतम और अधिकतम मान

k x + \frac{m}{x} \geq 2 km

$x > 0$ के लिए $x + \frac{1}{x}$ जैसे व्यंजकों का सबसे छोटा मान।

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दो और तीन चर

\frac{a}{b} + \frac{b}{a}

· चक्रीय तीन चर

वही जोड़ा जब $x$ की जगह दो या तीन अक्षर हों।

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$\frac{a}{b} + \frac{b}{a}$ वाले प्रश्न

x = \frac{a}{b}

रखो

जब $a^{2} + b^{2} = kab$ या $a : b$ दिया हो और $\frac{a}{b} + \frac{b}{a}$ पूछा जाए।

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तीन चर: चक्रीय जोड़े

x yz = - p

और

x yz = 1

वाली भिन्नें

$x + \frac{1}{y}$ , $y + \frac{1}{z}$ , $z + \frac{1}{x}$ जैसे चक्रीय प्रश्न।

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सार, मिश्रित अभ्यास, दोहराव

सब विधियाँ एक जगह

सभी विधियों की एक सारणी, परीक्षा जैसे मिले-जुले प्रश्न और दोहराव कार्ड।

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सभी विधियों का सार

कौन-सी विधि कब

प्रश्न पढ़ते ही विधि चुनने के लिए एक पन्ना।

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मिश्रित अभ्यास — सेट 1

आसान से मध्यम

हर प्रकार के प्रश्न मिले-जुले; पहले विधि पहचानिए, फिर हल कीजिए।

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मिश्रित अभ्यास — सेट 2

मध्यम से कठिन

परीक्षा के कठिन छोर के मिले-जुले प्रश्न।

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दोहराव: कार्ड और जाल

पलटिए, याद कीजिए

हर कार्ड का प्रश्न पढ़कर पहले ख़ुद सोचिए, फिर पलटिए।

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x + 1/x: चक्र, सीमाएँ और कई चर

चक्र

विशेष मान और घातों का चक्र

विचार

कदम

अभ्यास

बड़ी घातें: चक्र में उतारना

विचार

कदम

अभ्यास

$x^{2} + x + 1 = 0$ वाले व्यंजक

विचार

कदम

अभ्यास

सीमाएँ

$x + \frac{1}{x}$ की सीमा और $= 2$ का परिणाम

न्यूनतम और अधिकतम मान

दो और तीन चर

$\frac{a}{b} + \frac{b}{a}$ वाले प्रश्न

तीन चर: चक्रीय जोड़े

सार, मिश्रित अभ्यास, दोहराव

सभी विधियों का सार

मिश्रित अभ्यास — सेट 1

मिश्रित अभ्यास — सेट 2

दोहराव: कार्ड और जाल

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